精品解析：广东深圳市南山区深圳大学附属教育集团外国语中学2026-2027学年第一学期九年级开学考试数学试卷

深大附属外国语2026—2027学年第一学期开学考试 初三数学试卷 说明： 1.全卷分试卷和答题卡，其中试卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 2.答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡指定位置上.不得在答题卡其它区域做任何标记． 3.答题卡上的答案必须写在题目指定位置上.（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分． 4.考试结束，请将答题卡上交． 第一部分 选择题 一、选择题（本部分共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算的结果是__________． 10. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 11. 如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 12. “积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 13. 如图，点是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组：． 15. 解方程： （1） （2） 16. 如图，，，．将向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，可以得到． （1）的顶点的坐标为______，顶点的坐标为______． （2）的面积为______． （3）已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为，则点的坐标为______． 17. 如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 18. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 19. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 20. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： （1）①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； （2）如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； （3）如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深大附属外国语2026—2027学年第一学期开学考试 初三数学试卷 说明： 1.全卷分试卷和答题卡，其中试卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 2.答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡指定位置上.不得在答题卡其它区域做任何标记． 3.答题卡上的答案必须写在题目指定位置上.（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分． 4.考试结束，请将答题卡上交． 第一部分 选择题 一、选择题（本部分共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ，故A选项错误，不符合题意； B、不等式两边同乘2，不等号方向不变，，故B选项正确，符合题意； C、不等式两边同乘得，不等式两边同时加得 ，故C选项错误，不符合题意； D、不等式两边同时减，不等号方向不变，，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据因式分解进行排除选项． 【详解】解：A、，不属于因式分解，故不符合题意； B、，属于因式分解，故符合题意； C、，不属于因式分解，故不符合题意； D、，不属于因式分解，故不符合题意； 故选B． 4. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点A及其对应点的坐标得出平移规律，再根据平移规律可求出点的坐标． 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为：横坐标，纵坐标，即向右平移3个单位，向上平移3个单位， 的横坐标为，纵坐标为，即． 5. 某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 6. 如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 7. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 8. 如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同分母分式的减法法则计算，约分后即可得到结果． 【详解】解：原式． 10. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 11. 如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得点是的中点，得出是的中位线，由中位线的性质得，进而即可求解． 【详解】解：在中，对角线和相交于点， 点是的中点， 点是边的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长为． 12. “积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 13. 如图，点是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，即可得到，，根据旋转的性质可知是等边三角形，则，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，利用四边形的面积等边面积面积面积的面积的面积的面积，进行计算即可判断． 【详解】解：在和中，，，， ∴， ∴，． 如图，连接， 根据旋转的性质可知是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，. ∴面积为， 作于，则， ∴， ∴等边面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为． 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， 或， 解得：； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 16. 如图，，，．将向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，可以得到． （1）的顶点的坐标为______，顶点的坐标为______． （2）的面积为______． （3）已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为，则点的坐标为______． 【答案】（1）；；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出△A1B1C1三个顶点的坐标，然后描点即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△A1B1C1的面积；（3）设P点的坐标为（t，0），利用三角形面积公式，即可得到P点坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作， 顶点A1的坐标为（0，3）；顶点C1的坐标为（4，0）； 故答案为：；； （2）计算△A1B1C1的面积＝4×4−×2×4−×2×1−×4×3＝5； 故答案为：5；（3）设P点得坐标为（t，0），∵以A1、C1、P为顶点的三角形得面积为，∴×3×|t−4|＝，解得t＝3或t＝5，即P点坐标为（3，0）或（5，0）．故答案为：（3，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 17. 如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 18. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． 【小问2详解】 解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 【小问3详解】 解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 19. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】（1）路面设置的宽度符合要求 （2）从购买草莓客户的角度应该降价元 （3）该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【解析】 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； 【小问2详解】 解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 【小问3详解】 解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 20. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： （1）①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； （2）如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； （3）如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①容易证明，因此； ②过点作的平行线，交于点，容易证明四边形是平行四边形，则，由①的结论可得，再使用直角三角形的性质求出即可； （2）分别取、的中点、，连接，由中位线的性质可得，，，，则，容易证明，则，因此； （3）以点为原点建立平面直角坐标系，作于点，交于点，则，，容易证明四边形是正方形，点的坐标为，结合（1）的结论可得，则．分两类讨论，当时，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，进而得到，，使用勾股定理计算出的长；当时，同样的方法可计算出，与题意矛盾，舍去． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图，过点作的平行线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 同理①可得，， 在中，，即点为的中点， ∴； 【小问2详解】 解：如图，分别取、的中点、，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，作于点，交于点， ∵四边形是矩形，且，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形，点的坐标为， ∵， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴； ②当时，如图， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为，这与点在边上矛盾，舍去； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $