广东广州市铁一中学2026-2027学年第一学期九年级开学练习 数学试题

广州市铁一中学2026学年第一学期开学练习 初三数学 本练习共6页，25小题，满分150分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的姓名、学生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2．用2B铅笔将学生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．学生必须保证答题卡的整洁．练习结束后，答题卡交回，练习问卷自行保管． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．的三边长分别为a，b，c，由下列条件能判断为直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（ ） A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 6．如图为某城市7月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（ ） A．这个月空气质量指数的最大值为100 B．中位数为80 C．数据在箱体的右侧比较集中 D．第一四分位数为20 7．已知一次函数（a，b是常数），x与y的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -4 -2 0 2 4 6 8 下列说法中，错误的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而减小 C．方程的解是 D．不等式的解集是 8．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 9．某快递公司每天上午9:30-10:30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时的时刻为（ ） A．9点40分 B．10点15分 C．9点45分或9点30分 D．9点40分或10点 10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，若直线，与线段均有公共点（不含端点），则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11．要使二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 12．如图所示，直线经过点，将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线的解析式为__________． 13．若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：__________（填“>”，“<”或“=”）． 14．我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为__________． 15．如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点C、E、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为__________． 16．如图1，在矩形中，为对角线，动点P从点C出发，沿着的路径运动到点B停止，过点P作，垂足为E，设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，（1）的长为__________；（2）图2中点Q的坐标为，则的值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分6分） 计算： 18．（本小题满分6分） 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 19．（本小题满分8分） 某校积极响应“弘扬传统文化”的号召，举行中学生诗词大赛．甲同学对八年级一班参赛学生中得分为70分、80分、90分、100分的人数进行了整理，并绘制出如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次统计中，分数的众数为__________，中位数为__________，请补全条形统计图； （2）本次统计中获得100分的同学有乙、丙两人，年级拟从这两位同学中推选一人参加区级决赛，结合他们的小组比赛、班级比赛和学校大赛分数（如下表），按“2∶3∶5”的比例计算他们的最终得分，请你通过计算说明应推选谁参加区级决赛． 学生姓名 小组比赛分数 班级比赛分数 学校大赛分数 乙 80 90 100 丙 85 85 100 20．（本小题满分8分） 已知一次函数，完成下列问题： （1）画出该函数的图象，并根据图象回答： ①当时，x的取值范围为__________； ②当时，y的取值范围为__________． （2）该函数与x轴，y轴分别交于点A，B，若x轴上有一点P使得的面积为6，求点P的坐标． 21．（本小题满分8分） 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，延长至点E，使得，连接． （1）尺规作图：作边的中点F，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，，求菱形的面积． 22．（本小题满分10分） 乐音的音调与振动频率有关，为了从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了项目化学习活动： 项目主题 用玻璃杯制作水杯琴 项目准备 1．准备一根竹筷子，若干相同的圆柱形玻璃杯，适量自来水； 2．利用手机上网，查阅资料，下载音频分析软件，了解音乐，物理相关知识． 项目实施 任务一：采集数据 如图1，取若干相同的圆柱形玻璃杯，分别注入不同高度的水，用筷子依次敲击杯口，用音频分析软件测量振动频率，记录数据如下表： 水位高度 … 5 10 15 20 25 … 频率 … 500 420 340 260 180 … 任务二：建立模型 如图2，根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点，发现这些点都在同一条直线上，由此判断f是关于h的一次函数． 任务三：应用模型 通过查阅资料，七个唱名与频率的对照表如下： 唱名 频率 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 利用模型和对照表信息确定唱名所对应的水位高度，制作水杯琴，并演奏一首曲子． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求该玻璃杯振动频率f关于水位高度h的函数解析式（不要求写出自变量h的取值范围）； （2）兴趣小组量得其中一只玻璃杯水位高度为，请求出这只玻璃杯能敲出的唱名； （3）已知玻璃杯中水位每升高，则使用的水量增加．若要改造（2）中的水杯琴，使其敲出唱名，求该玻璃杯需要增加或减少的水量． 23．（本小题满分12分） 如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． （1）如图，从运动开始，当t为何值时，； （2）如图，从运动开始，当t为何值时，； （3）如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 24．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，点，在直线上． （1）当时，求直线l的解析式； （2）若对于任意x，总有，求b的值； （3）已知点，是否存在定点Q，不论t为何值，四边形都是平行四边形？若存在，求出使得平行四边形的周长最小的t值，若不存在，请说明理由． 25．（本小题满分14分） 在正方形中，F是边上一点，，且． （1）如图，过点P作于点E，求证：； （2）如图，连接，交于点G，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，请求出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $广州市铁一中学2026学年第一学期开学练习 初三数学参考答案 题号 1 2 3 5 6 个 8 10 答案 B D B D B B D B 11.x≥-2 12.y=2x+3 13.< 14.3-V5 15.3或6 16.612 17.(6分) 解：V27+V5÷V5 =35+V5(4分) =45.(6分) 18.(6分)证明：BE=DF, .BE+DB=DF+DB,即DE=BF.(1分) :四边形ABCD是平行四边形，· ∴.AD=CB,AD∥CB ∴.∠ADE=∠CBF DE =BF ∠ADE=∠CBF 在△ADE和△CBF中， AD=CB :△ADE≌△CBF(SAS),(4分) ∴，AE=CF,∠AED=∠CFB .AE∥CF.(6分) :.四边形AECF是平行四边形 (连对角线等其他证明方法正确可给分) 19.(8分)(1)5分(2)3分 (1)90:90:(2分)补全条形统计图：总调查人数为：10÷50%=20人， 80分的人数有：20-2-10-2=6人(3分) 画图(4分)下结论：如图条形统计图为所求(5分) 人数 10 6 2 0100分90分80分70分分数 80× 2 02+3+5 +90x3 2+3+5 +100x5 (2)乙的最终得分为： 2+3+5=93 分，(6分) 2 85× +85x3 +100x5 =92.5 丙的最终得分为： 2+3+ 2+3+5 2+3+5 分，(7分) .93>92.5 则应推选乙参加区级决赛.(8分) 20.(8分)(1)5分(2)3分 (1)解：列表（列2点即可） … -3 -2 0 1 … y=2x+4 … -2 0 2 4 6 描点，连线 (1)解：画图像（列表占1分，图像占1分）（共2分） 6引 5 2 -65-432-0 123456 2 4 6⊙ ①由图象可知：当y>0时，x>-2(3分) ②由图象可知：当-1<x≤1时，2<y≤6(5分) (2)P(1,0)咸P(-5,0)(8分) 21.(8分)(1)2分(2)3分 (3)3分 (1)如图所示，点F及线段CF,OF即为所求.(2分) B (2)证明：：在△BDE中，CE=BC,点F为DE的中点， CF∥BD. CF-1BD 2 :四边形ABCD是菱形， :OD=BD D,∠C0D=90°.CF=0D. 又CF∥OD, 四边形OCFD为平行四边形.(4分) .∠C0D=90°. ∴.OCFD是矩形.(5分) (3):四边形OCFD是矩形，∴.CD=OF=4. ,四边形ABCD是菱形，.BC=CD=4, :∠BCD=120°，.∠DCE=180°-∠BCD=60° 如图，作DG⊥BE于点G. :在Rt△DCG中，∠CDG=90°-∠DCG=30° 0c0=2 ∴DG=CD-cG-④-2=23】 .S菱形HBcD=BC·DG=4×2V3=8V ).(8分) 22.(10分)(1)4分(2)2分(3)4分 【详解】1)解：设了=h+b(k≠0)，(1分) 5k+b=500 由题意得， 10k+b=420 (2分) [k=-16 1b=580,(3分) .f=-16h+580,(4分) (2)解：在f=-16h+580中，当h=11.75时， f=-16×11.75+580=392,(5分) “这只玻璃杯能敲出的唱名为Sol;(6分) (3)解：在f=-16h+580中，当f=440时，-16h+580=440, 解得h=8.75,(7分) 15x(8.75-11.75)=-45ml,(9分) 答：该玻璃杯需要减少的水量为45ml.(10分) 23.(12分)(1)3分(2)4分(3)5分 【详解】(1)解：由题意，得：AP=tcm,CQ=2tcm, ..PD=AD-AP=30-1.BO=BC-CO=(35-2t)cm AD∥BC, 当PQ/CD时，四边形PQCD为平行四边形， .DP=CQ.30-t=2t, 解得：t=10;(3分) (2)过点D作DE⊥BC,过点Q作QF1AD,则四边形ABED,四边形DEQF均为矩形， F 9 .DF=QE BE=AD=30 cm, ∴.CE=BC-BE=5cm, :.QE=0C-CE=(2t-5)cm,(4分) .OP=OD ,(5分) 2-5=15克 解得：t=8:(7分) (3)①当∠D0C=90°，如图，则：四边形1B0D为矩形， P .B0=AD=30cm,∴.CQ=35-30=5cm 2:(9分) ②当∠QDC=90°时，过点D作DE⊥BC,则四边形ABED为矩形， B E .DE=AB=12 cm,AD=BE =30 cm. ∴.CE=BC-BE=5cm, :CD=DE2+CE2 =13 cm.OE=CO-CE=(2t-5)cm 在Rt△CQD中，DQ=CQ-CD2 在Rt△QED中，DQ=QE2+DE2 .CO2-CD2=OE2+DE2 (2t)}-132=(2t-5)2+122 1s169 解得：10；(11分) 1=169 综上： 2或10.(12分) 24.(14分)(1)3分 (2)5分(3)6分 【详解】(1)解：：点A,3+),B(5,7-)在直线y=c+b上， k=1- 2 k+b=3+1 有5k+b=7-t,解得 b=2+2t 2 ∴直线1的关系式为： 将t=0代入直线1的关系式，则直线1的解析式为y=x+2.(3分) 或者t=0直接带入点A,B求得解析式正确给分： (2)解：对于任意x,总有0.6x+4>:+b,·(0.6-)x+(4-b)>0恒成立， .0.6-k=0,且4-b>0. 解得k=0.6,且b<4,(5分) 3t .y=0.6x+2 2, k=0.6,(6分) 由(1)得 06=1-2, 解得t=0.8,(7分) 3 3 ∴.b=2+二t=2+。×0.8=3.2 2 2 .(8分) (3)解：：四边形PAQB是平行四边形，“AB与P巴的中点重合. i设(x,月，点4(，3+，B(5,7-)P(3,0),(xy), ,1+53+x3+t+7-t0+y 22,2 2,解得x=3,y=10, 点(3,10 .(10分) ∴平行四边形PAQB的周长为2(PA+A0) ÷点4在直线x=1上运动，P(3,0）,(3,10)为定点. 该问题可转化为在直线：X=】上找一点A,使其到P,Q两点的距离之和最小 作点P关于直线：x=1的对称点P(1,0),则AP=AP, AP+AQ=AP+A犯，当点A,P',Q三点共线时，AP+AQ=AP+A0取最小值， 即当A为线段P'Q与直线x=1的交点时平行四边形PAQB的周长最小.(I2分) 设P'的解析式为y=mr+n, 5 m= 2 3m+n=10 5 n= 有-m+n=0,解得2， 55 Pey=2x+2.(13分) 5. .5 y4-21+2=5 2 则A点坐标为，5)，∴3+1=5，解得t=2. :存在，当1=2时，平行四边形P40B的周长最小.(14分) 25.(14分)(1)3分(2)6分(3)5分 (1)证明：：正方形ABCD,PF⊥AF,PE⊥BC, ∴.AB=BC,∠ABC=∠BCD=∠AFP=∠PEF=9O° ∴.∠AFB+∠BAF=90°=∠AFB+∠PFE. .∠BAF=∠PFE, △ABF≌△FEP,(1分) ∴，BF=PE,AB=FE, ..BC=BF+FC=FE=FC+CE,( .BF=CE. .PE=CE;(3分) (2)证明：如图，连接CG,PC,过P作PE⊥BC于E, G 由(1)得：PE=CE,∴∠PCE=∠CPE=45°， :四边形ABCD是正方形，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC, ∴∠CBD=∠PCE=45°， .PC∥BD,(5分) ∴.∠BGC=∠GCP,∠BGA=∠CPG,(6分) AB=BC,∠ABD=∠CBD.BG=BG, .△ABG≌△CBG,(7分) ∴.AG=CG.∠BGA=∠BGC, ∴.∠PCG=∠CPG.∴.GC=GP, AG=PG;(9分) (3)解：如图，连接GF,GC,过G作GM⊥BC于M,作GN⊥AB于N, 由(2)得：AG=CG=PG,:AF⊥PF,PF=AF, FG⊥AP, FG-AG-PG=1 2 P,.FG-CG, GM⊥BC, ∴.FM=CM=-FC=3 2 ,(11分) :∠ABC=90°.GM⊥BC,GN⊥AB. :四边形NBMG为矩形： .∠ABD=∠CBD=45° .GN=GM,:.四边形NBMG为正方形： :.BG=√2GM=5V2. .GM=5,(12分) FG=V32+52=V34.AG=FG=V34, :AF=AG+FG2=217.(14分)