专题练习02 圆中的最值与范围问题 -2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练02 圆中的最值与范围问题 题型一：斜率型最值与范围 1．如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，即，代入已知等式后，由可得的最大值． 【解析】显然，令，即，代入得， 所以，解得． 所以的最大值为． 故选：D． 2．（2021·上海市第五十四中学高二阶段练习）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】依题意转化为直线与半圆有公共点，求出直线过定点坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围； 【详解】解：因为关于的方程有解，即直线与半圆有公共点，因为直线，即，令，解得，即直线恒过定点，设半圆与轴交于，，则，，结合图象可知或，即 故答案为： 3．已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合可得解. 【解析】由可得，即直线过定点， 由可得，即曲线C：， 作出曲线与直线的图象，如图， 当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 直线与曲线相切时，圆心到直线的距离， 即，解得或（由图可知不符合题意，舍去）， 由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点. 故答案为：或 题型二：截距型最值与范围 4．（2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 【解析】由，令，则， 所以当时，的最大值为. 故选：A 5.已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（       ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆：经过点， ．又，所以， 可看成是直线在轴上的截距．如图所示， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得， 所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为． 故选：C． 题型三：距离型最值与范围 6.已知点在直线上运动，求的最小值及取得最小值时点的坐标． 【解析】因为，可看作定点与直线上任意一点距离的平方，所以距离最小值即是点到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得最小值为； 此时直线与直线垂直，所以直线的方程为，即， 由得，即. 故的最小值为，此时点P的坐标为. 7．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是__________ ________. [答案]　＋3 [解析]　关键是搞清式子的意义．实数x，y满足方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，所以(x，y)为方程所表示的曲线上的动点.＝，表示动点(x，y)到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示以C(－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO交圆于点M，N，由圆的几何性质可知，MO的长即为所求的最大值． 8.已知实数满足，求函数的最小值． 【答案】最小值是1 【分析】由函数，转化为点与直线上的动点的距离的平方，结合点直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，函数， 表示点与直线上的动点的距离的平方， 当时，取得最小值，即点到直线距离的平方， 因为，所以的最小值是1. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及其应用，其中解答中把函数转化为点到直线的距离的平方是解答的关键，着重考查转化思想，以及计算能力. 9.若，则的最小值为. 【难度】★ 【答案】 10.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【解析】方程x2＋y2－4x＋1＝0可变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆． (1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4. (3)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. 11.若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为． ， ， 由于，所以． 设是的中点，则， 设，则，即的轨迹为单位圆． 原点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离． 所以， 所以的最大值是． 故选：D 12．已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是 . 【答案】 【分析】设，由得点轨迹为；由可知当三点共线且在线段上时取得最小值，联立圆的方程和直线方程即可求得结果. 【解析】设，则，整理可得：； ， 当三点共线且在线段上时，取得最小值， 又直线方程为：，即， 由得：或， 又在线段上，. 故答案为：. 13.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则（|PA|2＋|PB|2）的最大值为（       ） A．3＋ B．7＋4 C．8＋4 D．16＋8 【答案】C 【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 不妨令A（－1，0），则B（1，0），设P（x，y）． 由＝，则，化简得：（x－2）2＋y2＝3为P的轨迹方程． ∴， 其中x2＋y2可以看作圆（x－2）2＋y2＝3上的点（x，y）到点（0，0）的距离的平方， ∴x2＋y2的最大值为（2＋）2＝7＋4， ∴x2＋y2＋1的最大值为8＋4，即的最大值为8＋4． 故选：C． 14.若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（       ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点， 点到直线的距离为， 所以所求最大值为． 故选：A． 题型四：周长面积型最值与范围 15.已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B， 所以有，， 因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 故选：A 16.已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径，直线的方程为：， 于是点到直线：的距离，而点在圆上， 因此点到直线距离的最大值为，又， 所以面积的最大值为. 故选：D 17.若对于任意角，都有，则直线围成的正多边形的最小面积是（　　 ） A． B．4 C． D．不确定 【答案】D 【分析】先根据点到直线的距离为，确定直线为以为圆心，为半径的圆的切线，再取特殊直线运算否定ABC即得选项. 【详解】解：由对于任意角，都有， 则点到直线的距离为， 即此直线为以为圆心，为半径的圆的切线， 当三条切线如图所示时，则正三角形的面积 ， 即存在直线围成的正多边形的面积为，即选项A,B,C错误， 故选D. 【点睛】本题考查了直线系方程及数形结合的数学思想方法，重点考查了点到直线的距离，属中档题. 题型五：数量积型最值与范围 18.已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则 所以得，所以，， 所以直线方程为，圆的方程为，所以，， 的中点， 则 因为， 所以 故，所以的最大值为 故答案为： 19.已知点，点为圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】圆的标准方程为：，圆心为，半径为， ， 当点动到点时，取得最大值，即为在上的投影， . 故答案为：. 20.若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可化为， 故圆N的圆心为，半径为， 由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1， 所以且，故， 当的坐标为时，， 在△NAB中，， 又，在上单调递减， 故为锐角，且当时，最大， 又在上单调递增， 所以当最大时，取得最大值，且最大值为， 故选：D 题型六：坐标与角度型最值与范围 21．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分直线的斜率存在与否，探讨直线的斜率范围，即可求解作答. 【解析】当直线的斜率不存在时，直线：与圆相离，无公共点， 当直线的斜率存在时，设直线：，即， 由，解得，令直线的倾斜角为，则，而，因此， 直线的倾斜角取值范围是. 故选：D 22．过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】已知条件得到在直线上运动，设，则，，分析出当直线与直线垂直时，取最小值，最后利用对勾函数单调性得到的最大值． 【解析】由得， 则圆心，半径为1，圆心在直线上运动， 设，则， 因为是圆的切线，所以，故， ∴ ， 当直线与直线垂直时，取最小值， 则取最小值，又， 因为分别是圆C的切线，所以， 所以点在以为直径的圆上．因为， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为 故以为直径的圆的方程为， 整理得到 又因为圆C：， 所以直线的方程为， 化简得 又因为 所以，得到， 所以，且， 则，则． 由“双勾函数”的单调性可知，函数在上为增函数， 且，故函数在上为减函数， 故当时，取得最大值，最大值为．    故答案为：. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于，利用几何关系得出，利用直线为圆和以为直径的圆的公共弦，结合条件得出，再利用函数的单调性即可求解出结果. 题型七：长度型最值与范围 23．已知圆：，点是圆上动点，点是圆外动点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于A，两点，若的取值范围是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质可得，根据切线的性质可得，进而分析取值范围. 【解析】由题意可知：圆的半径，则， 当且仅当为时，；当且仅当为时，； 设， 因为，则， 当且仅当时，取到最小值；当且仅当时，取到最大值； 可得，即的取值范围是. 故选：A. 24.已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】如图所示， 圆的圆心为，半径为3， 圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为， 则 ，解得：， 故圆B的圆心为，半径为1， 由于此时圆心A与圆心B的距离为：， 大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为 故选：D. 题型八：方程中的参数最值与范围 25．已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合可得解. 【解析】由可得，即直线过定点， 由可得，即曲线C：， 作出曲线与直线的图象，如图， 当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 直线与曲线相切时，圆心到直线的距离， 即，解得或（由图可知不符合题意，舍去）， 由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点. 故答案为：或 26．已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题知的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，且是以为圆心的直径的两个端点，若始终有为锐角，只需要两圆相离即可，故得到圆心距和半径和的不等关系，求解即可. 【解析】 如图，连接，则 ， 所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上， 设的中点为，则 ，且 ， 因为当A，B在圆上运动时，始终有为锐角， 所以以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相离， 故 ，解得 或 ，即 故答案为： 27．已知圆M：与圆N：有两条公切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得圆M与N圆相交，求出圆M与N圆的圆心和半径，由，解不等式即可得出答案. 【解析】圆M：与圆N：有两条公切线，所以圆M与N圆相交， 圆M的圆心为，半径为，圆N的圆心为，半径为． 依题意可得， 即， 即，解得． 故选：D 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练02 圆中的最值与范围问题 题型一：斜率型最值与范围 1．如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·上海市第五十四中学高二阶段练习）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是________. 3．已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是 ． 题型二：截距型最值与范围 4．（2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．5 5.已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（       ） A．4 B． C． D． 题型三：距离型最值与范围 6.已知点在直线上运动，求的最小值及取得最小值时点的坐标． 7．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是__________ ________. 8.已知实数满足，求函数的最小值． 9.若，则的最小值为. 10.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 11.若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是 . 13.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则（|PA|2＋|PB|2）的最大值为（       ） A．3＋ B．7＋4 C．8＋4 D．16＋8 14.若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（       ） A． B．2 C． D．4 题型四：周长面积型最值与范围 15.已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 16.已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 17.若对于任意角，都有，则直线围成的正多边形的最小面积是（　　 ） A． B．4 C． D．不确定 题型五：数量积型最值与范围 18.已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为 ． 19.已知点，点为圆上的动点，则的最大值为 . 20.若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（       ） A． B． C． D． 题型六：坐标与角度型最值与范围 21．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点，，则的最大值为 ． 题型七：长度型最值与范围 23．已知圆：，点是圆上动点，点是圆外动点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于A，两点，若的取值范围是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24.已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型八：方程中的参数最值与范围 25．已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是 ． 26．已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是 . 27．已知圆M：与圆N：有两条公切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$