压轴专题03 与圆有关的最值范围问题（3类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题03 与圆有关的最值范围问题 目录 1 2 一．与距离有关的最值问题 2 二．与面积有关的最值问题 3 三．利用数学式的几何意义求解最值问题 3 4 一 点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝． 二．圆的标准方程 1.条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. 2.方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3.特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 三．圆的一般方程 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 四．直线与圆相切 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则①CP⊥l；②点C到直线l的距离d＝|CP|＝r；③切点P在直线l上，也在圆上． 五.圆的弦长问题 如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB中点为D， 则①点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距；②CD⊥l；③|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝2 1． 与距离有关的最值问题 【例1】（24-25高二上·河南开封·期中）已知是曲线上的动点，是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2】在平面直角坐标系Oxy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　) A. B. C. D. 【例3】当直线：（）被圆：截得的弦最短时，实数的值为 ． 【解题技法】(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值． 对点训练 1.从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．0 2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 3.（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 . 2． 与面积有关的最值问题 【例4】已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为________． 【例5】已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________. 【解题技法】求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解． 对点训练 1.直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　) A．1 B. C. D. 2.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为________． 三．利用数学式的几何意义求解最值问题 【例6】圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是(　　) A．[3,7] B．[1,9] C．[0,5] D．[0,3] 【例7】已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (3)求x＋y的最大值与最小值． 【解题技法】(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题． 对点训练 1.点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B. (－∞，－] C. (－∞，－]∪[，＋∞) D. [－，] 2.（2023全国乙卷数学（文））已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 1．已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 2．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　) A. B. C．1 D．3 3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　) A．5 B．1 C．3－5 D．3＋5 4．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为(　　) A．－9,1 B．－10,1 C．－9,2 D．－10,2 5．（24-25高二上·河北邢台·期中）圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　) A．2 B. C. D．1 7．若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值为(　　) A. B．3 C. D．2 8．已知实数x，y满足方程y＝，则的最大值为(　　) A．0 B．1 C. D．2 9．（山东省泰安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5,4)且半径为1的动圆，点B是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 11．(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 12．在平面直角坐标系Oxy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________． 13．已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为________． 14．已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，点B的坐标为(0,2)，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，则|PB|＋|PQ|的最小值为________． 15．（24-25高二上·四川雅安·期中）已知直线过定点，则点的坐标为 .；若直线与曲线有两个公共点，则的取值范围为 . 16．（2024高三·全国·专题练习）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 . 17．已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为________． 18.已知两点，动点到点的距离是它到点的距离的倍. (1)设动点的轨迹为曲线，求的标准方程； (2)设直线，若直线与曲线交于两点，当最小时，求直线的方程. 19．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 20．已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程； (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值． 21．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 22．（24-25高二上·天津宝坻·阶段练习）已知圆． (1)过点作圆C的切线l，求l的方程； (2)若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． (3)在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 23．（24-25高二上·浙江·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且. (1)求点的轨迹方程； (2)过作（1）的切线，求切线方程； (3)若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围. 24．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题03 与圆有关的最值范围问题 目录 1 2 一．与距离有关的最值问题 2 二．与面积有关的最值问题 4 三．利用数学式的几何意义求解最值问题 6 8 一 点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝． 二．圆的标准方程 1.条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. 2.方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3.特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 三．圆的一般方程 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 四．直线与圆相切 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则①CP⊥l；②点C到直线l的距离d＝|CP|＝r；③切点P在直线l上，也在圆上． 五.圆的弦长问题 如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB中点为D， 则①点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距；②CD⊥l；③|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝2 1． 与距离有关的最值问题 【例1】（24-25高二上·河南开封·期中）已知是曲线上的动点，是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 曲线，即为， 表示以为圆心，以1为半径的圆， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 连接，， 则， ， 当且仅当共线时，等号成立， 所以则的最小值是， 故选：C 【例2】在平面直角坐标系Oxy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上， 故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方， 而距离的最小值为－＝， 故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为. 【例3】当直线：（）被圆：截得的弦最短时，实数的值为 ． 【答案】 【解析】直线：，即， 圆：的圆心，半径为5． 由解得故直线经过定点． 要使直线被圆截得的弦长最短，需和直线垂直， 故，即，解得． 【解题技法】(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值． 对点训练 1.从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．0 【答案】B 【解析】x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1， 切线长最短时，|CP|最小，|CP|＝， 即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短． 2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 【答案】B 【解析】根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4,3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|＝，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|－1＝－1＝4，则|PQ|的最小值为＝2. 3.（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，所以直线的方程为，即， 又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 故到直线距离的最小值为. 2． 与面积有关的最值问题 【例4】已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为________． 【答案】1 【解析】根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2， O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴， 当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小， 则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1， 则△OAM的面积最小值S＝×|OA|×d＝1. 【例5】已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________. 【答案】2 【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1， 由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC， 又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值S＝1＝r|PB|min＝|PB|min， 则|PB|min＝2， 因为|PB|＝＝， 所以当|PC|取最小值时，|PB|最小． 又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点， 当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离， 所以＝＝，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2. 【解题技法】求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解． 对点训练 1.直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　) A．1 B. C. D. 【答案】B 【解析】设圆心到直线的距离为d(0<d<1)， 则|AB|＝2， 所以S△ABO＝·2·d＝， 由基本不等式，可得S△ABO＝≤＝， 当且仅当d＝时，等号成立． 2.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为________． 【答案】4 【解析】因为C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4， 所以|C1C2|＝＝2， 当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4. 三．利用数学式的几何意义求解最值问题 【例6】圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是(　　) A．[3,7] B．[1,9] C．[0,5] D．[0,3] 【答案】A 【解析】x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2， 圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3， 最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]． 【例7】已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (3)求x＋y的最大值与最小值． 【解】方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. (1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为. (2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到点E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 【解题技法】(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题． 对点训练 1.点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B. (－∞，－] C. (－∞，－]∪[，＋∞) D. [－，] 【答案】C 【解析】将看作圆上动点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率，设＝k，如图，可得k≥或k≤－. 2.（2023全国乙卷数学（文））已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【解析】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得，故选C. 1．已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 【答案】C 【解析】将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4， 则圆心为(2,0)，半径r＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为， |AB|的最小值为2＝2. 2．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　) A. B. C．1 D．3 【答案】A 【解析】由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝. 3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　) A．5 B．1 C．3－5 D．3＋5 【答案】C 【解析】圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9， 圆心为C1(4,2)，半径为3； 圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4， 圆心为C2(－2，－1)，半径为2， ∴两圆的圆心距为|C1C2|＝＝＝＝3>5， ∴两圆外离， ∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去两圆半径的和，即3－5. 4．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为(　　) A．－9,1 B．－10,1 C．－9,2 D．－10,2 【答案】A 【解析】y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示， 当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9. 5．（24-25高二上·河北邢台·期中）圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 若圆上有且仅有两点到直线的距离为， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D． 6．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　) A．2 B. C. D．1 【答案】D 【解析】如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2， 当PC⊥l时，|PC|最小，则|PM|最小． 因为|PC|min＝d＝＝2， 所以()2＝22－r2，解得r＝1. 7．若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值为(　　) A. B．3 C. D．2 【答案】A 【解析】由圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，得圆心(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，点M(a，b)到圆心的距离为，则由点M(a，b)向圆所作的切线长为＝，当a＝2时，所求的切线长取得最小值为. 8．已知实数x，y满足方程y＝，则的最大值为(　　) A．0 B．1 C. D．2 【答案】C 【解析】方程y＝化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，如图所示，当直线与半圆相切时，k＝(负值舍去)，所以的最大值为. 9．（山东省泰安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在直线上， 所以，即，则， 因为圆可化为， 所以圆A的圆心为，半径为， 因为以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点， 所以，即， 即，解得， 则，即，则. 故选：B. 10．点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5,4)且半径为1的动圆，点B是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题可知点C2的轨迹方程是(x－5)2＋(y－4)2＝1， 即得点C2是圆C3：(x－5)2＋(y－4)2＝1上的动点， 又由题知点B是圆C2上的动点， 如图可得|AB|min＝－1－1－1＝2. 11．(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 【答案】ACD 【解析】设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易得直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M外离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋<5＋＝10，故A正确； 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4<－4＝1，故B不正确； 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确． 12．在平面直角坐标系Oxy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________． 【答案】(x－1)2＋y2＝2 【解析】∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)， ∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝， ∴半径最大为， ∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 13．已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为________． 【答案】3 【解析】根据题意，点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)， 则AB的中点为(0,0)，|AB|＝2m， 则以AB的中点为圆心，半径r＝×|AB|的圆为x2＋y2＝m2，设该圆为圆O， 若圆C上存在点M，使得AM⊥MB， 则圆C与圆O有交点， 必有|m－2|≤|OC|≤m＋2， 即 又由m>0， 解得3≤m≤7， 即m的最小值为3. 14．已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，点B的坐标为(0,2)，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，则|PB|＋|PQ|的最小值为________． 【答案】2 【解析】由于点B(0,2)关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)， 则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|， 又B′到圆C上点Q的最短距离为|B′C|－r＝3－＝2， 所以|PB|＋|PQ|的最小值为2. 15．（24-25高二上·四川雅安·期中）已知直线过定点，则点的坐标为 .；若直线与曲线有两个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】①将直线变形为， 所以当时，无论取何值，所以定点的坐标为， ②曲线是化简变形后可得， 其表示以为圆心，为半径的圆在轴上半部分(包含交点)如图所示，    若要直线，与曲线有两个交点， 则其在与之间，所以可得直线的斜率为，则， 故的取值范围为， 16．（2024高三·全国·专题练习）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 . 【答案】 【解析】由圆，得， 四边形的面积， ∵点是直线上的一点，∴， 则， 又， ∴，则， ∴四边形的面积的最小值为.    17．已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为________． 【答案】 【解析】把圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圆心M(1，－1)，半径r＝.直线l与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d＝＝，由勾股定理得半弦长＝＝， 所以弦长|AC|＝2×＝. 又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线(即为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为S＝|AC|×|BE|＋|AC|×|DE|＝|AC|×|BD|＝××2＝. 18.已知两点，动点到点的距离是它到点的距离的倍. (1)设动点的轨迹为曲线，求的标准方程； (2)设直线，若直线与曲线交于两点，当最小时，求直线的方程. 【解】（1）由题意得， 化简得，即为动点的轨迹方程； （2）由直线，即， 可令， 解得，则直线过定点， 设的圆心为， 当与直线垂直时，最小，此时， 即，得， 直线的方程为. 19．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 【解】(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2， 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)由题意可知表示直线MQ的斜率， 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0， 则＝k. 由直线MQ与圆C有交点， 得≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 20．已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程； (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值． 【解】(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∵圆心C到直线l的距离为3， 由点到直线的距离公式，得d＝＝3， 解得a＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. (2)PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点(图略)， ∴△PCE≌△PCF， ∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点， ∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4， ∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为C到l的距离， 由(1)知|PC|min＝3， ∴|PE|＝32－4＝5，即|PE|min＝， ∴S△PCE＝|EC|·|PE|＝×2×＝， ∴四边形PECF的面积的最小值为2. 21．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 【解】（1）设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为， 整理可得标准方程为. （2）由圆的方程，则圆心，半径， 由，即，则直线过定点， 由圆心到定点的距离， 则定点在圆内，易知当时，最短， . 22．（24-25高二上·天津宝坻·阶段练习）已知圆． (1)过点作圆C的切线l，求l的方程； (2)若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． (3)在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 【解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或. （2）直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， . （3）圆的圆心，半径， 点到直线：的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 23．（24-25高二上·浙江·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且. (1)求点的轨迹方程； (2)过作（1）的切线，求切线方程； (3)若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围. 【解】（1）设，由， 得， 整理得，，即， 则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （3）点到圆心的距离为， 所以，即， 即的取值范围为. 24．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值． 【解】（1）由已知得， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为：. （2）若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆． 到直线AB的距离，所以， 同理，， 所以． ， 当且仅当，即时，等号成立. 若AB、CD两直线中有一条斜率不存在，则另一条的斜率为0， 此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、）， 所以． 综上所述，四边形ACBD的面积的最大值为7． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$