第2章圆锥曲线---圆单元复习（培优篇）-2026-2027学年高二数学秋学期同步培优讲义（沪教版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学秋季班同步培优讲义（选择性必修第一册） 第2章圆锥曲线--圆单元复习（培优篇） 题型01：求圆的方程 1．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标. 【解析】圆的方程是，即， 所以圆心的坐标为. 故答案为： 2.圆心为，且与直线相切的圆的方程为________ 【答案】 【分析】由圆与直线相切可求得r的值，进而可求得圆的方程. 【解析】由题意知，， 所以所求圆的方程为. 3．在中，为坐标原点，、，则内切圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知，直线的方程为，即， 由题意可知的角平分线所在直线的方程为，如下图所示：    设内切圆圆心为，则圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为， 整理可得，因为，解得， 故圆心为，圆的半径为， 所以内切圆的标准方程为. 故答案为：. 4．求经过圆与圆的交点，且圆心在直线：上的圆的方程． 【答案】 【详解】过两圆和交点的圆系方程可设为： （注：时表示两圆公共弦所在直线）， 整理得，两边同除得： ， 因此所求圆的圆心为，由已知所求圆的圆心在直线：上， ，解得， 代入圆系方程，则所求圆的方程为． 5.（2022秋•浦东新区校级月考）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圆，则实数a的值是 　　． 【分析】直接利用圆的方程的应用求出结果． 【解答】解：2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圆， 故2a2＝a+1，解得a＝1或﹣， 当a＝1时，圆的方程为，由于，故不满足圆的方程的条件，故舍去； 当a＝﹣时，满足圆的方程构成的条件，故a＝﹣． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 6.方程x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是　　． 【分析】根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k的不等式，解不等式即可． 【解答】解：把方程配方得：（x﹣k）2+（y﹣1）2＝1+k，因为方程表示一个圆， 则1+k＞0，解得k＞﹣1， 故答案为：（﹣1，+∞）． 【点评】本题考查学生会把圆的一般方程化为圆的标准方程，掌握方程为圆时的条件，会求一元二次不等式的解集，是一道综合题． 7.已知点A（1，6），B（﹣5，2），C（1，k），若C点在以AB为直径的圆外，则k的取值范围是　　． 【分析】先求出以AB为直径的圆的方程，再由点C在圆外，列不等式，解不等式即可得结论． 【解答】解：因为点A（1，6），B（﹣5，2）， 则以AB为直径的圆的圆心坐标为（﹣2，4），半径r＝＝， 所以圆的方程为（x+2）2+（y﹣4）2＝13， 因为点C（1，k）在以AB为直径的圆外， 所以（1+2）2+（k﹣4）2＞13， 解得k＞6或k＜2． 故k的取值范围是（﹣∞，2）∪（6，+∞）． 故答案为：（﹣∞，2）∪（6，+∞）． 【点评】本题主要考查圆的方程，点与圆的位置关系，属于基础题． 8.已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【解答过程】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D. 题型02：直线与圆的位置关系的判断 9.（2022春•嘉定区校级月考）若直线ax+by＝4与圆x2+y2＝4有两个公共点，则点P（a，b）与圆x2+y2＝4的位置关系是（　　） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 【分析】由题意可得，圆心（0，0）到直线ax+by＝4的距离小于半径，即a2+b2＞4，再结合两点之间的距离公式，即可求解． 【解答】解：∵直线ax+by＝4与圆x2+y2＝4有两个公共点， ∴圆心（0，0）到直线ax+by＝4的距离小于半径，即， ∴a2+b2＞4， 故点P（a，b）在圆外． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题． 10. （2026·高一·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【解析】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 11．(24-25高二上·上海市上海大学附属中学··期末) 若圆与圆外切，则实数 . 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆的位置关系，确定圆心距等于半径和，由此得到方程： ，解方程即可求解. 【详解】圆，圆心，半径为， 圆，圆心，半径，， 因为两圆外切，所以，即， 整理有：，解得：. 故答案为： 12．（2023上·上海·高三上海市大同中学校考期中）若曲线上恰有两个点到直线的距离为1，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】易得方程表示以为圆心，为半径的圆，求出圆心到直线的距离，由题意可得，进而可得出答案. 【解析】将方程化为， 当时，方程表示点，不符题意， 当时，方程表示以为圆心，为半径的圆， 圆心到直线的距离为， 因为曲线上恰有两个点到直线的距离为1， 当时，，即直线过圆心，此时圆的半径为，满足题意； 当时，有， 当，即时，，解得； 当且，即时，，解得； 当时，，则； 综上，，即实数a的取值范围是. 故答案为：. . 【点睛】关键点睛：方程表示以为圆心，为半径的圆，求出圆心到直线的距离，由题意得出是解决本题的关键. 13．(24-25高二上·上海市复旦大学附属中学期末) 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 14.已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 15.（25-26曹杨二中高二上期中）设，若圆上恰有两点到直线的距离等于，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出与原直线距离为的平行线，计算圆心到这些平行线的距离，结合圆与直线的位置关系确定半径的范围. 【详解】圆的圆心为，半径. 设与距离为平行线为， 由两平行线的距离公式，可得，即，解得或 于是得两条平行线：和. 分别计算圆心到的距离：， 要使圆上恰有两点到原直线的距离为， 需使圆与相交且与相离，即. 所以. 故答案为：. 题型03：圆的切线问题 16．（2022秋•闵行区校级期中）若直线l经过点（1，3），且与圆x2+y2＝10相切，则直线l的方程是 　　． 【分析】点A（1，3）在圆C：x2+y2＝10上，求出AC所在直线当斜率，由两直线垂直与斜率的关系可得切线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：点A（1，3）在圆C：x2+y2＝10上， ∵， ∴切线的斜率为﹣，则切线方程为y﹣3＝（x﹣1），即x+3y﹣10＝0． 故答案为：x+3y﹣10＝0． 【点评】本题考查圆的切线方程，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题． 17．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 18. 在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆 相切的直线方程是或. 故选：D. 19.过点作圆的两条切线，切点分别为，则劣弧的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用点到圆心的距离结合切线的几何性质，可得劣弧所对的圆心角，进而可求. 【详解】，即，则圆心，， 则，则中，， 则，则. 故选：A. 20．（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案. 【解析】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点. 题型04：圆的弦长问题 21．已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由圆的一般方程得到圆的圆心和半径，设圆心到直线的距离为，用表示出的面积，由面积为50解出，再结合点到直线的距离公式解出的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，则， 所以的面积，解得. 又，所以，化简，得，解得. 故选：A. 22. 已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 23. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 24.（25-26罗店中学高二上期中）已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为____________． 【答案】 【分析】先根据已知直线方程求出直线过的定点，再求出定点到圆心的距离，比较与半径的大小确定定点与圆的位置关系，进而确定弦长最小时直线与圆的位置关系，最后利用弦长公式求解． 【详解】 ， 直线经过直线与的交点， 圆的圆心为，半径为， 点到圆心的距离，即点位于圆内， 当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 25．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值. 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 26.（25-26上海市建平中学高二上期中）已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】（1）或； （2）. 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【小问1详解】 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 题型05：直线与部分圆的相交问题 27.直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解. 【解析】曲线，即， 表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）， 如图， 设、、， 当直线经过点A时，， 当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意； 所以当时，直线与曲线有一个公共点； 当直线和半圆相切时， 则圆心到直线的距离等于半径， 即，求得或（舍去）， 即时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数的取值范围为或， 故选：D． 28. 若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】直线恒过定点，曲线表示右半圆，画出草图可得有两个交点，需求临界相切时的斜率（1个交点）与临界过点A的直线的斜率（2个交点）. 【解析】∵直线l： 恒过定点 曲线C： 即： ∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆. ∵直线l与曲线C有两个交点， ∴如图所示， 当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点， 此时 解得： 当过点M的直线也过点 时有2个交点， 此时 ∴ 故选：B. 29．（2023下·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知直线与曲线有两个公共点，作出图形，求出当直线与曲线相切时实数的值，以及直线过原点时的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【解析】由可得， 则直线与曲线有两个公共点，如下图所示： 由可得，即， 所以，曲线表示圆的上半圆， 直线是过点且斜率为的直线，当直线与圆相切时，则，解得， 当直线过原点时，， 由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型06：圆与圆的位置关系 30．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，列方程解实数的值. 【解析】圆化为标准方程为，圆心，半径， 圆化为标准方程为，圆心，半径， 由两圆外切，有，即，解得. 故答案为： 31. 已知两圆和无公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由两圆和无公共点，可得两圆外离或内含，从而可得答案. 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 设圆心距为，则， 因为两圆和无公共点， 所以两圆外离或内含， 则或， 即或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 32. （25-26曹杨二中高二上期中）已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆心坐标为，由两圆外切则圆心距，利用两点间距离公式列方程，再由三点共线，根据列方程，结合两个方程求解出的坐标. 【详解】设的圆心坐标为， 由圆方程得到其圆心为，； 因为圆与圆外切于点，所以， 即，即， 又因三点共线，所以，故，得代入，得到， 所以. 又因为圆与圆外切于点， 所以与在原点同侧，所以 ，所以， 当时，，此时. 故答案为： 33. （25-26奉贤中学高二上期中）设m是实数，已知集合，集合，且，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题意, 分析可得与表示的平面区域, 又有 , 即可得两个区域的包含关系, 转化为圆与圆的位置关系，即可得到答案. 【详解】点集表示平面上以 为圆心, 2 为半径的圆所围成的区域（包括圆周）; 点集表示平面上以 为圆心, 为半径的圆的内部. 要使 , 应使内含或内切于. 故有 , 即， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查交集的运算, 但因涉及圆以及几何区域, 难度较大, 要求学生熟悉用集合语言表述 几何问题, 利用数形结合方法解题. 题型07：两圆公共弦长与公共弦方程 34.圆与圆的公共弦所在的直线的方程为__________，弦长为__________． 【答案】 【解析】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为， 化简得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为， 其圆心，半径， 圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为． 故答案为：；. 35．（2008春•徐汇区校级期中）已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2x+y﹣5＝0相交，则它们的公共弦所在的直线方程是　　． 【分析】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程． 【解答】解：由题意，∵圆 x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2x+y﹣5＝0相交 ∴两圆的方程作差得2x﹣y+1＝0， 即公式弦所在直线方程为2x﹣y+1＝0 故答案为 2x﹣y+1＝0 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交弦所在直线方程的求法，属于基础题． 36.过点作圆的切线，切点为A、B，则过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【分析】由题知线段AB是一条公共弦，写出以为直径的圆的一般方程，与圆的方程相减，消去，即得所求直线方程. 【详解】如图： 圆的圆心坐标为，且A、B在以PC为直径的圆上， 由圆的直径式方程，得以为直径的圆的方程. （直径式方程应用直径对应圆周角为直角，利用向量垂直坐标表示得到）， 所求直线方程为. 故答案为： 37．（2022下·上海徐汇·高二上海中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆，且圆和圆相交于两点，若在直线上存在一点，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出两圆的圆心、半径.根据已知，可得在直线两侧或在直线上，进而即可得出的取值范围. 【解析】由已知可得，圆的圆心，半径； 圆的圆心为，半径. 所以，. 因为两圆相交，所以，所以. 若在直线上存在一点，使得， 所以在直线两侧或在直线上. 当在直线两侧时，显然有成立. 如图1，只需，即，所以， 当在直线上时，如图2. 此时由，可知，显然此时值最大. 从而的取值范围是． 故答案为：． 38．已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得出的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得． 【详解】圆，即， 则圆心为，半径为1，， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为， 所以，得，解得， 因此． 故选：D． 39.已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求点到两圆公共弦所在直线的距离 【解析】（1） 由题意得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 则有，，， 因为，所以两圆相交，得证. （2）由题意得，， 将两圆方程相减，可得，整理得， 即两圆公共弦所在直线的方程为. （3）由（2）得两圆公共弦所在直线的方程为， 故点到直线的距离. 题型08：两圆的公切线问题 40.已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】利用已知条件得出圆心和半径，再利用公切线条件得出两圆相交，进而列不等式求出实数的取值范围． 【解答过程】圆，圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 又两圆有且仅有2条公切线， 两圆相交，即， ， ，即，由恒成立， 只需解不等式，即，解得， 实数的取值范围为． 故答案为：． 41.若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a+b的最大值为（　　） A．﹣3 B．﹣3 C．3 D．3 【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由＝3，得到a2+b2＝9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上， 法一：令a+b＝t，利用线性规划求出t的最大值； 法二、可令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π），运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值． 【解答】解：由题意可得，两圆相外切， 两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2＝4，x2+（y﹣b）2＝1， 圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为2和1， 故有＝3，∴a2+b2＝9， 故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上． 法一、令a+b＝t，利用线性规划求出t的最大值． 如图：可行域为圆a2+b2＝9，t＝a+b为目标函数， 点A（﹣，﹣）和点B（，）为最优解， 故B（，）使a+b＝t 取得最大值为3． 法二、令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π）， 则a+b＝3cosα+3sinα＝3sin（α+）， 当sin（α+）＝1，即α＝时，可得a+b的最大值为3． 故选：D． 【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，简单的线性规划的应用，体现了数形结合与转化的数学思想，属于中档题． 42.已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：C. 43.下列方程中，圆与圆的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据题意可知，， 如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P， 由几何关系可知，，，， 所以，，，，l的斜率为， 则l的方程为，即， 根据对称可得出另一条公切线方程为.故选：B． 44.已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 题型09：与圆有关的轨迹方程 45．（2026·高二·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【解析】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 46．已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 47.已知圆：，直线过点. (1)当与圆相切时，求的方程； (2)设线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明动点的轨迹 【解析】（1）已知圆的圆心是，半径是2， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. （2）（解法1）设点，，则由点是线段的中点得， 所以①， 因为点在圆上运动，所以②， 将①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆. （解法2）连接，，取中点，连接， 因为为中点，所以， 因为，所以， 所以动点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为 题型10：与圆有关的最值问题 48．若点是圆:上一点,则的最小值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【解析】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 49.已知实数满足方程，则下列结论错误的是（  ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】B 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B错误；利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C正确；采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【解析】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B错误； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离， 的最大值为，C正确； 对于D，设，，， ， ，， 当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选；B. 50. （25-26上海市建平中学高二上期中）已知实数满足，则的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由，令，由直线与有公共点，求得的范围，结合对勾函数单调性求解即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 令，则， 由直线与有公共点， 得，解得， 则， 令， 由对勾函数的单调性可知在单调递增， 所以在单调递增， 当时，， 所以， 所以， 即的取值范围为， 综上的取值范围为， 故答案为： 51．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【解析】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 题型11：圆方程的综合 52．（2023下·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 【分析】（1）由圆的方程确定圆心和半径，利用几何法求弦长公式和点到直线的距离公式计算即可求解； （2）设，，假设存在点满足题意，即，直线方程联立圆的方程，利用韦达定理表示、，结合两点求斜率公式，化简计算即可求解. 【解析】（1）因为圆C：， 所以圆心坐标为，半径为2，因为， 所以C到AB的距离为， 由点C到直线的距离为：，解得； （2）设，，l的方程为， 则，得， 因为，所以，， 设存在点满足题意，即， 所以， 因为， 所以， 所以，解得． 所以存在点符合题意． 53．（2023下·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)为定值，且 【分析】（1）利用垂直时求出，利用点斜式即可得出直线的方程，然后验证圆心在直线上即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据即可得解； （3）先转化，根据直线斜率是否存在分别求出点点坐标，计算后即可得解. 【解析】（1）解：直线与直线垂直，且，. 故直线方程为，即. 圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心. （2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为， 且，合乎题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即， ，是中点，圆圆心为，半径为， ，则由，得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）解：，. ①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得， 即点，则， 又，. ②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中， 则由可得，即点，则. . 综上所述，与直线的斜率无关，且. 54．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1)；(2)；证明见解析；(3)弦长为；直线方程为 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 55．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3)或 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、坐标法的应用——直线与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 56.（25-26奉贤中学高二上期中）已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、． （1）当的横坐标为时，求的大小； （2）求证：经过、、三点圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析，定点、 （3）证明见解析，定点为 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，可求出，由切线的几何性质可知，根据可得出的大小，进而可得出，即可得解； （2）设点分析可知圆的一条直径为，求出圆的方程得，联立方程组，可得出圆所过定点的坐标； （3）求出以点为圆心，为半径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程为，由可得出直线所过定点的坐标. 【小问1详解】 将代入方程可得，即点， 圆的圆心为，半径为， 由平面内两点间的距离公式可得， 因为直线切圆于点，则， 因为，且为锐角，故，故. 【小问2详解】 设，因为，所以圆的一条直径为，且点， 圆的半径为， 故圆的方程为， 即， 由，解得或， 所以圆经过定点和. 【小问3详解】 因为， 所以以点为圆心，半径为的圆的方程为， 即， 直线可视为圆与圆公共弦所在的直线， 将圆的方程与圆的方程作差， 可得直线的方程为， 由得，故直线过定点. 1、 填空题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知、，则以为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程. 【解析】线段的中点坐标为，， 所以，所求圆的半径为，故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【解析】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 3. 圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为 . 【答案】 【分析】先设圆心为，由题中条件，求出圆的方程，根据点与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【解析】设圆心为，由得， 所以， 则半径， 故圆的方程为， 又在圆内， 所以，解得. 故答案为：. 4. 已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【解析】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 5.（21-22高二上·上海闵行·期末）直线与圆交于、两点，则 ． 【答案】 【分析】求圆心到直线的距离，利用几何法求弦长. 【解析】圆的圆心到直线的距离， 又圆的半径，则． 故答案为： 6.圆与圆的公共弦长为__________. 【答案】 【解析】将两个圆的方程作差得：， 即公共弦所在的直线为， 又知，则到直线的距离为： ，所以公共弦长为. 故答案为：. 7.求过点M（﹣1，）的圆x2+y2＝4的切线方程　　． 【分析】设出直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离d＝r求出斜率，写出切线方程；再考虑斜率不存在时的情况，从而求出所求的切线方程． 【解答】解：设过点M（﹣1，）的直线方程为y﹣＝k（x+1）， 化为一般式方程为kx﹣y++k＝0， 则圆x2+y2＝4的圆心（0，0）到直线的距离为d＝r， 即＝2， 解得k＝， ∴切线方程为y﹣＝（x+1），即x﹣y+4＝0． 故答案为：x﹣y+4＝0． 【点评】本题考查了直线方程与圆的切线问题，是基础题． 8. 圆和圆的公切线条数为__________. 【答案】4 【解题思路】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数. 【解答过程】∵圆，圆， ∴ ∴圆心距， 而两圆半径之和， ∴两个圆相离，则这两个圆的公切线有4条. 故答案为：4. 9．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【解析】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 10.已知实数满足关系：，则的最小值 ． 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，数形结合可得答案. 【解析】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心 坐标为，圆的半径 ， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离； 如图 ， ， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 11.已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【详解】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为. 故答案为：.    12.过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为A，B，当最大时，四边形的面积为________. 【答案】 【解题思路】连接，由，通过确定最大时，最大，进而可求解. 【解答过程】 圆的标准方程为：， 其圆心到直线的距离为，故直线与圆相离. 连接，在Rt中，， 则当的长度最小时，最大，此时最大. 而的最小值即为圆心到直线的距离，即，此时切线长， 由于Rt， 故四边形的面积， 故答案为：. 二、选择题 13.已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　　． 【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程． 【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程 将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y＝0， 故答案为 x+3y＝0． 【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程． 14．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 15．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 16．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 三、解答题 17. （25-26上海市晋元中学高二上期中）已知点，，： （1）求的外接圆的方程； （2）设直线：与圆相交于，两点，若，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过设圆的一般方程，代入三点坐标求解系数得到外接圆方程； （2）利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，建立方程求解实数的值. 【小问1详解】 设外接圆的方程为， 将、、分别代入得： ， 解得，，， 因此圆的方程为，即. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径. 直线的一般式为，圆心到直线的距离. 由弦长公式，且，可得，即. 于是，解得. 18. （25-26曹杨二中高二上期中）已知圆． （1）求圆关于直线的对称圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，得到关于直线对称点为，从而得到对称圆的方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径进行求解. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为4， 关于直线对称点为， 圆关于直线的对称圆的方程为； 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时圆心到的距离为4，等于半径，故满足要求； 当过点的直线斜率存在时，设为， 由题意得，解得， 故直线方程为，即， 综上，切线方程为或. 19．已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）①设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 20．如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1)或 (2)②证明见解析，；② 【分析】（1）分与两种情况，借助两点间距离公式求解即可. （2）①时，联立圆与直线方程，借助韦达定理及两点斜率公式求解，并验证时满足； ②由，将，代入计算即可. 【详解】（1）设，由题意得，，， 当时，即， 解得，当时，三点共线，舍去，所以， 当时， 即，解得，所以， 综上或； （2）①设，，，，，， ，， 设直线斜率存在， 联立，消去y可得， 设，， 则，， 故，，， 或舍去， 则直线， ∴直线恒过定点， 当时，过定点，符合， 综上，直线恒过定点； ②由①得，， 则 ， ， 令， 则，当时，取得最大值， 当直线，四边形面积有最大值 . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学秋季班同步培优讲义（选择性必修第一册） 第2章圆锥曲线--圆单元复习（培优篇） 题型01：求圆的方程 1．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 2.圆心为，且与直线相切的圆的方程为________ 3．在中，为坐标原点，、，则内切圆的标准方程为 . 4．求经过圆与圆的交点，且圆心在直线：上的圆的方程． 5.（2022秋•浦东新区校级月考）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圆，则实数a的值是 　　． 6.方程x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是　　． 7.已知点A（1，6），B（﹣5，2），C（1，k），若C点在以AB为直径的圆外，则k的取值范围是　　． 8.已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型02：直线与圆的位置关系的判断 9.（2022春•嘉定区校级月考）若直线ax+by＝4与圆x2+y2＝4有两个公共点，则点P（a，b）与圆x2+y2＝4的位置关系是（　　） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 10. （2026·高一·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 11．(24-25高二上·上海市上海大学附属中学··期末) 若圆与圆外切，则实数 . 12．（2023上·上海·高三上海市大同中学校考期中）若曲线上恰有两个点到直线的距离为1，则实数a的取值范围是 ． 13．(24-25高二上·上海市复旦大学附属中学期末) 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 14.已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 15.（25-26曹杨二中高二上期中）设，若圆上恰有两点到直线的距离等于，则的取值范围是___________． 题型03：圆的切线问题 16．（2022秋•闵行区校级期中）若直线l经过点（1，3），且与圆x2+y2＝10相切，则直线l的方程是 　　． 17．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 18. 在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 19.过点作圆的两条切线，切点分别为，则劣弧的长度是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 题型04：圆的弦长问题 21．已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 22. 已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 23. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 24.（25-26罗店中学高二上期中）已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为____________． 25．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 26.（25-26上海市建平中学高二上期中）已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 题型05：直线与部分圆的相交问题 27.直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 28. 若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 29．（2023下·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 题型06：圆与圆的位置关系 30．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 31. 已知两圆和无公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 32. （25-26曹杨二中高二上期中）已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 33. （25-26奉贤中学高二上期中）设m是实数，已知集合，集合，且，则m的取值范围是_______． 题型07：两圆公共弦弦长与公共弦方程 34.圆与圆的公共弦所在的直线的方程为__________，弦长为__________． 35．（2008春•徐汇区校级期中）已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2x+y﹣5＝0相交，则它们的公共弦所在的直线方程是　　． 36.过点作圆的切线，切点为A、B，则过切点A，B的直线方程为 ． 37．（2022下·上海徐汇·高二上海中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆，且圆和圆相交于两点，若在直线上存在一点，使得，则的取值范围是 ． 38．已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 39.已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求点到两圆公共弦所在直线的距离 题型08：两圆的公切线问题 40.已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为___________． 41.若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a+b的最大值为（　　） A．﹣3 B．﹣3 C．3 D．3 42.已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 43.下列方程中，圆与圆的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 44.已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 题型09：与圆有关的轨迹方程 45．（2026·高二·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 46．已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 47.已知圆：，直线过点. (1)当与圆相切时，求的方程； (2)设线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明动点的轨迹 题型10：与圆有关的最值问题 48．若点是圆:上一点,则的最小值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 49.已知实数满足方程，则下列结论错误的是（  ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 50. （25-26上海市建平中学高二上期中）已知实数满足，则的取值范围为___________ 51．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 题型11：圆方程的综合 52．（2023下·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 53．（2023下·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 54．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 55．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 56.（25-26奉贤中学高二上期中）已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、． （1）当的横坐标为时，求的大小； （2）求证：经过、、三点圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标． 1、 填空题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知、，则以为直径的圆的标准方程为 . 2．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 3. 圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为 . 4. 已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 5.（21-22高二上·上海闵行·期末）直线与圆交于、两点，则 ． 6.圆与圆的公共弦长为__________. 7.求过点M（﹣1，）的圆x2+y2＝4的切线方程　　． 8. 圆和圆的公切线条数为__________. 9．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 10.已知实数满足关系：，则的最小值 ． 11.已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 12.过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为A，B，当最大时，四边形的面积为________. 二、选择题 13.已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　　． 14．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 15．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 16．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17. （25-26上海市晋元中学高二上期中）已知点，，： （1）求的外接圆的方程； （2）设直线：与圆相交于，两点，若，求实数的值； 18. （25-26曹杨二中高二上期中）已知圆． （1）求圆关于直线的对称圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 19．已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 20．如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $