2.2椭圆-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

椭圆 （一）椭圆的标准方程 一、椭圆的定义 平面内到两个定点、的距离之和等于常数()的点的轨迹叫做椭圆． 用集合的记号写出，椭圆就是下述点集： 这两个定点、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． ( 【 知识注释 】 （1） 、 是椭圆上不同的两个 定 点； （2）若 是椭圆上任意一点，则 常数； （3）当常数 时，轨迹为椭圆； 当常数= 时 ，则轨迹为线段 ； 当常数 时 ，则轨迹不存在． ) 【例1】已知点、是两个定点，若：动点到两个定点、的距离之和为一个正常数，：动点的轨迹是以、为焦点的椭圆，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：①若点到，的距离之和恰好为，两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者． ②根据椭圆的定义，椭圆到两焦点的距离和为常数．所以后者能推出前者． 故前者是后者的必要不充分条件． 故选：． 1、平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 集合，，其中，，且，为常数： （1）若____________，则集合为椭圆； （2）若____________，则集合为线段； （3）若____________，则集合为空集． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】解：（1）由椭圆的定义可得，若，为椭圆； （2）若集合，即， 为线段； （3）若，即，由三角形的边角关系，可得点不存在，即为空集． 故答案为：（1），（2），（3）． 二、椭圆的标准方程 ( 当焦点在 轴上时， ， 其中 ； 当焦点在 轴上时， ， 其中 ． ) ( 【 知识注释 】 1 、 这里的 “ 标准 ” 指中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2 、 在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ； 3 、 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；当焦点在 轴上时， 椭圆的焦点坐标为 ， ； 4 、 在两种标准方程中， ∵ a 2 ＞ b 2 ， ∴ 可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． ) 【例2】试推导焦点在轴上的椭圆的标准方程：． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】解：到两定点，，距离之和 为定值的点的轨迹为椭圆． 设，则 ， ， ， （由定义可得，，所以， ，即， 又，不妨令， 焦点在轴上的椭圆的标准方程：． 1、在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程，将其变形为，你能解释这个方程的几何意义吗？ 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】解：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值，则动点的轨迹是以为一个焦点的椭圆． 三、求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： 1、待定系数法： ①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”． ②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式： ． 2、定义法： 先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． ①待定系数法 【例3】已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程． 【难度】★★ 【答案】， 【解析】解：由题意当焦点在轴时，可设椭圆的标准方程为：， ，，可得，，， 椭圆的标准方程为：． 同理可得：当焦点在轴时，可得椭圆的标准方程为：． 综上可得椭圆的标准方程为：，． 【例4】若椭圆的焦点在轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：由题意知，椭圆的焦点在轴上，，， ， 故椭圆的方程为 故答案为：． 【例5】已知椭圆经过两点与，求椭圆的标准方程． 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：设椭圆方程，，， 则有， 所求椭圆的标准方程为：． ②定义法 【例6】已知、，且的周长等于10，则顶点的轨迹方程为____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：由题意可得，故顶点的轨迹是以、为焦点的椭圆，除去与轴的交点． ，， 故顶点的轨迹方程为 故答案为：． 【例7】已知圆，圆，若动圆与圆外切且与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】解：圆的方程为：， 圆的圆心为，半径；同理圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为，则，， 两式相加得：（定值）， 圆心在以、为焦点的椭圆上运动， 由，，得，， 椭圆方程为． 即动圆圆心的轨迹方程为： 1、到点与点的距离之和为10的点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案