专题2.3 椭圆（高效培优讲义）数学沪教版2020选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦椭圆专题，系统梳理椭圆的定义、标准方程（焦点在x轴、y轴两种形式）、几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）、焦点三角形及点与椭圆位置关系等核心知识点，构建从定义推导到方程应用再到性质探究的完整学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型拓展”为主线，通过定义辨析题（如动点轨迹判断）培养数学眼光，借助焦点三角形性质推导（结合余弦定理）发展推理意识，典例与变式训练帮助学生用数学语言表达几何关系。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题2.3 椭圆 教学目标 1.掌握椭圆的定义 2.掌握椭圆的标准方程和推导过程，会求简单的椭圆的标准方程 3.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．　 4.掌握已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系. 教学重难点 1.重点 (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导椭圆的标准方程； (2)与椭圆有关的最值问题． (3)用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想. 知识点01 椭圆的定义 在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集. 【即学即练】 1．与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．双曲线上 B．直线上 C．圆上 D．椭圆上 2．已知动点到，两点的距离和为8，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 3．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 4．动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【即学即练】 1．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．3 B．5 C．11 D．8 2．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 知识点03 椭圆的几何性质 1.对称性 (1)在椭圆的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以椭圆关于x轴(轴)对称,即坐标轴是椭圆的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则椭圆关于原点对称,这个对称中心称为椭圆的中心. 2.范围 因为椭圆上的点的坐标都适合不等式，，即有，，所以这说明椭圆位于由直线和所围成的矩形里,如图所示. 3.顶点 椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点. 如图,椭圆四个顶点的坐标分别为,. 线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长等于2a；线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.a,b分别叫作椭圆的长半轴长与短半轴长. 4.离心率 (1)我们规定,椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即 . (2)因为a>c>0,所以0<e<1. 【即学即练】 1．椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在椭圆：与椭圆：中，下列结论正确的是（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 4．如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为 . 知识点04 椭圆的焦点三角形 定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 【即学即练】 1．已知经过椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（   ）. A．10 B．16 C．18 D．20 2．已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则 ． 3．已知椭圆C：，，是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，若内切圆的面积为，则 . 4．椭圆中，，为其左右焦点，是椭圆上的点，，的面积为9，则 . 知识点05 点与椭圆的位置关系 1．定义法：根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2．代数法：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 【即学即练】 1．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 3．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 题型01 椭圆定义及应用 【典例1】已知如图为函数①；②；③的图象，则方程表示（    ） A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【变式1】若方程表示一条非圆的二次曲线，则它表示（    ）． A．椭圆 B．双曲线 C．焦点为的抛物线 D．焦点为的抛物线 【变式2】已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】若的周长为10，且边长为4，则的面积的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式4】如图，斜线段 与平面 所成的角为， 为斜足，平面上的动点 满足 ，则点的轨迹是（    ）    A．直线 B．圆 C．抛物线 D．椭圆 【变式5】已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【变式6】纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型02 求椭圆的标准方程及参数 【典例1】若椭圆上一点到其焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（   ） A． B． C． D． 1．利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）定位：确定焦点在那个坐标轴上； （2）定量：依据条件及确定的值； （3）写出标准方程； 2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B)，将点的坐标代入，解方程组求得系数。 【变式1】知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】方程表示椭圆，则n的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式4】已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5】已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的标准方程为 . 题型03 椭圆焦点三角形问题 【典例1】已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【变式4】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6】已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【变式7】已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为 . 【变式8】已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且，两点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)若点，，证明：点M在椭圆上，并求的周长. 题型04 椭圆几何性质的应用 【典例1】已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【变式1】已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式3】设椭圆的上顶点、右顶点分别为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】把椭圆的长轴分为2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于2023个点，F是椭圆的一个焦点，则这2023个点到F的距离之和为（   ） A．10120 B．10110 C．10115 D．10110 【变式5】已知椭圆的长轴长为短轴长的3倍，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6】法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【变式7】如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 【变式8】如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则 . 题型05 椭圆的离心率求解 【典例1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【变式4】设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式5】已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【变式6】已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 【变式7】已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是 ． 题型06 椭圆的焦半径公式及应用 【典例1】已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆C：的焦点，直线l：，点，线段AF交C于点B，若，则等于（    ） A． B．2 C． D．3 【变式2】在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知椭圆：的焦点分别是、，过的直线垂直轴交椭圆于A、两点，且，椭圆与轴正半轴交于且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知椭圆的左焦点为和是椭圆上关于轴对称的两个动点，当的周长最大时，的面积为 . 【变式5】设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为 ． 【变式6】已知椭圆，是的左、右焦点，是过焦点的弦，且的面积为32，求． 题型07 点和椭圆位置关系的判定及应用 【典例1】已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式1】若不等式的解集为，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D．7 【变式2】点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【变式3】直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【变式5】直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 【变式6】若过点的直线l与椭圆只有一个公共点，则直线l的方程为 ． 1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知定点和，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 3．设P是椭圆上一点，M，N分别是圆和圆上的点，则的最小值与最大值的和为（   ） A．18 B．19 C．20 D．22 4．椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 5．已知分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的一点，则（  ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则椭圆半焦距长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（   ） A． B． C． D． 11．已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是 . 13．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则 . 14．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是 ． 15．已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，当动点满足时，求点的纵坐标. 16．（1）求过点且与直线平行的直线的方程． （2）求圆心在直线上，且过点，半径为5的圆的方程． （3）求两个焦点坐标分别是且经过点的椭圆的标准方程． 17．椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 18．已知椭圆的焦点为、，该椭圆经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求. 19．已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 20．已知的周长为18，，． (1)求顶点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 椭圆 教学目标 1.掌握椭圆的定义 2.掌握椭圆的标准方程和推导过程，会求简单的椭圆的标准方程 3.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．　 4.掌握已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系. 教学重难点 1.重点 (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导椭圆的标准方程； (2)与椭圆有关的最值问题． (3)用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想. 知识点01 椭圆的定义 在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集. 【即学即练】 1．与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．双曲线上 B．直线上 C．圆上 D．椭圆上 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义确定正确答案. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径为． ，圆心为，半径为． 设所求圆的圆心为，半径为， 则，，， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的椭圆． 故选：D．    2．已知动点到，两点的距离和为8，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义来进行判断即可. 【详解】由于，，所以动点的轨迹为椭圆， 故选：D. 3．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 4．动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 【答案】 以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 【分析】利用椭圆的定义判断即可． 【详解】设， 因为表示点到的距离，表示点到的距离， 又动点满足， 又，即， 动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆． 得，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【即学即练】 1．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．3 B．5 C．11 D．8 【答案】A 【分析】利用椭圆的标准方程的形式，结合条件得到，即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，则，解得， 故选：A. 2．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程表示椭圆，则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3．经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 4．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 【答案】 【分析】利用待定系数法可求椭圆的方程. 【详解】由已知设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，两点， 所以，解得， 则椭圆的方程为. 故答案为：. 知识点03 椭圆的几何性质 1.对称性 (1)在椭圆的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以椭圆关于x轴(轴)对称,即坐标轴是椭圆的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则椭圆关于原点对称,这个对称中心称为椭圆的中心. 2.范围 因为椭圆上的点的坐标都适合不等式，，即有，，所以这说明椭圆位于由直线和所围成的矩形里,如图所示. 3.顶点 椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点. 如图,椭圆四个顶点的坐标分别为,. 线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长等于2a；线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.a,b分别叫作椭圆的长半轴长与短半轴长. 4.离心率 (1)我们规定,椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即 . (2)因为a>c>0,所以0<e<1. 【即学即练】 1．椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程有，即可得左顶点坐标. 【详解】由椭圆标准方程为，则，故左顶点的坐标为. 故选：B 2．古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出，，再根据题意椭圆的面积，计算求解即可. 【详解】已知椭圆，得：，，即，， 则椭圆的面积. 故选：D 3．在椭圆：与椭圆：中，下列结论正确的是（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】先求出两个椭圆的长轴长、短轴长、焦距和离心率即可求出. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 椭圆：，，故， 椭圆：，，故， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 两个椭圆的焦距相等. 故选：. 4．如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】延长交于另一点，连接，设，再根据椭圆定义得到其他长度，利用余弦定理得，最后再次使用余弦定理即可得到关于的齐次方程，解出即可. 【详解】如图，延长交于另一点，连接，由椭圆的对称性，得． 设，则． 在中，利用余弦定理得 ，即，解得， 所以． 在中，利用余弦定理得， 即，化简得， 所以的离心率． 故答案为：． 知识点04 椭圆的焦点三角形 定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 【即学即练】 1．已知经过椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（   ）. A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长． 【详解】 为椭圆的两个焦点，      ， 的周长为． 故选：D． 2．已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求出的值，由此可求得的值. 【详解】由题意得，则椭圆的焦点在轴上， 过的直线交于、两点， 可得的周长为，则， 故. 故答案为： 3．已知椭圆C：，，是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，若内切圆的面积为，则 . 【答案】/0.6 【分析】设.先求出内切圆的半径，并利用表示出的面积，在中，由余弦定理求出，并根据三角形面积公式列出等式，得到，结合求出即可. 【详解】设内切圆的半径为，则有，解得. 由椭圆C：可知. 设，在中，由余弦定理可知 ， 即， 即， 即，所以. 因为的面积， 即，即， 解得①.因为②，且， 所以由①②解得，即. 故答案为： 4．椭圆中，，为其左右焦点，是椭圆上的点，，的面积为9，则 . 【答案】3 【分析】根据椭圆焦点三角形的面积公式结合题干即可求出. 【详解】是椭圆上的点，，根据焦点三角形的面积公式可知， 又的面积为9，，，. 故答案为：. 知识点05 点与椭圆的位置关系 1．定义法：根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2．代数法：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 【即学即练】 1．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 2．已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 3．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 4．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 题型01 椭圆定义及应用 【典例1】已知如图为函数①；②；③的图象，则方程表示（    ） A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【分析】利用三个函数在坐标轴上的单调性和截距，判断的正负以及大小关系，进而可将方程化简，即可判断曲线类型. 【详解】根据题意可知，可知 将方程化为，由可知， 方程表示焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 【变式1】若方程表示一条非圆的二次曲线，则它表示（    ）． A．椭圆 B．双曲线 C．焦点为的抛物线 D．焦点为的抛物线 【答案】A 【分析】用x换为，方程不变，说明y轴是曲线的对称轴，方程中y换为，方程不变，说明x轴也是曲线的对称轴，再利用特殊值，判断选项. 【详解】方程中x换为，方程不变，说明y轴是曲线的对称轴； 方程中y换为，方程不变，说明x轴也是曲线的对称轴． 由此可推断，它表示椭圆或双曲线，且是标准的圆锥曲线． 当时，；当时，．故它表示椭圆. 故选：A. 【变式2】已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 【变式3】若的周长为10，且边长为4，则的面积的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得点的轨迹方程，结合椭圆的几何性质即可得的面积的最大值. 【详解】由题意得，又， 所以， 则点在以为焦点的椭圆上，且长轴长，焦距， 则，所以 如图取焦点在轴上的椭圆： 则点的轨迹方程为， 所以， 又，所以. 故选：B. 【变式4】如图，斜线段 与平面 所成的角为， 为斜足，平面上的动点 满足 ，则点的轨迹是（    ）    A．直线 B．圆 C．抛物线 D．椭圆 【答案】D 【分析】根据题意得点运功轨迹结合平面截圆锥截面判断即可. 【详解】平面上的动点 满足 ，可以理解为在以 为轴的圆锥的侧面上， 再由斜线段 与平面 所成的角为，可得 的轨迹为：以 为轴线的圆锥侧面与 平面的交线， 如图所示：    所以点的轨迹是椭圆． 故选：D． 【点睛】结论点睛：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线. 【变式5】已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 【变式6】纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】记圆O半径为，设点A关于直线的对应点为，连接交直线于点，连接，计算，根据椭圆定义可得． 【详解】如图，圆半径为，是一条折痕，点关于的对称点在圆上，连接交直线于，则， 所以， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为． 故选：B 题型02 求椭圆的标准方程及参数 【典例1】若椭圆上一点到其焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义即可解决. 【详解】依题意， ， . 故选：D. 1．利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）定位：确定焦点在那个坐标轴上； （2）定量：依据条件及确定的值； （3）写出标准方程； 2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B)，将点的坐标代入，解方程组求得系数。 【变式1】知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义得， ，然后在和中，利用勾股定理得，，即可求解椭圆方程. 【详解】连接，由椭圆的定义有， ， 因为，所以， 在中，，即，解得， 在中，，即， 所以，解得，所以， 所以椭圆的方程为即. 故选：B 【变式2】已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程结合的关系，列方程求解的值即可. 【详解】焦点在轴上的椭圆的焦距为， 则，所以， 则，故， 又，则的值为. 故选：B. 【变式3】方程表示椭圆，则n的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的标准方程即可求出参数范围. 【详解】由于方程表示椭圆，所以， 解得或． 故选：B． 【变式4】已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义、离心率和椭圆关系可直接求得椭圆方程； 【详解】由椭圆定义知：，解得， 又离心率，，， 所以椭圆的标准方程为：. 故选：A 【变式5】已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点差法化简即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，， 则， 由直线过与的中点，则， 由，相减得， 即， ∴， 又，∴，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B 【变式6】已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质直接可得. 【详解】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为， 由题意可得，解得， 所以的标准方程为 故答案为：. 题型03 椭圆焦点三角形问题 【典例1】已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【详解】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为. 故选：C 【变式1】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式，结合椭圆之间的关系，利用代入法进行求解即可. 【详解】由， 设，因为的面积为， 所以有， 点在椭圆上， 所以， 故选：C 【变式2】已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【详解】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 【变式3】已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，设的内切圆半径为r，根据可得答案． 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点， 由，得，， ，， 所以． 设的内切圆半径为r， 因为， 所以，得．    故选：B. 【变式4】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设上顶点为，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由椭圆，设上顶点为， 若存在一点使得，则， 可得，其中点为坐标原点， 所以，可得，所以. 故选：B.    【变式5】已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题知，进而在焦点三角形中结合余弦定理得，进一步计算可知即可得答案. 【详解】由椭圆的方程得， 由椭圆的定义知：，则 故在中，因为， 故根据余弦定理知：， 即，解得， 所以 所以，即， 所以. 故选：C 【变式6】已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 由椭圆的定义得：， 所以，所以的周长是16. 故选：A 【变式7】已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】椭圆的焦点，且， 则， 因此，当且仅当，即时取等号， 而，则等腰的面积， 所以的内切圆半径. 故答案为： 【变式8】已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且，两点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)若点，，证明：点M在椭圆上，并求的周长. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得. （2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆E经过，两点， 所以由椭圆的结构特征可知，，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆E的方程为. （2）由点，得， 显然点满足椭圆方程，所以点M在椭圆E上，如下图： 由椭圆方程可知，， 所以的周长为. 题型04 椭圆几何性质的应用 【典例1】已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的关系、椭圆性质及图形关系计算求解即可. 【详解】因为椭圆上顶点，所以， 因为为等腰直角三角形，所以， 因为，所以椭圆的长轴长. 故选：D 【变式1】已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据，可求出以及，再依据的面积为，列出方程，结合，求出，从而求出椭圆的标准方程． 【详解】 由题意，设椭圆方程为，左焦点为，则，， 因为， 所以，故， 所以 ， 解得，， 又，， 解得，，故椭圆方程为. 故选：D 【变式2】已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设，确定，根据二次函数性质得到最值. 【详解】由题意可知：，设， 由可得，， 则， 因为，可知当时，最大为. 故选：B 【变式3】设椭圆的上顶点、右顶点分别为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质和圆的标准方程求解. 【详解】依题意可得，则，线段AB的中点为， 故以线段AB为直径的圆的方程为． 故选:A. 【变式4】把椭圆的长轴分为2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于2023个点，F是椭圆的一个焦点，则这2023个点到F的距离之和为（   ） A．10120 B．10110 C．10115 D．10110 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和对称性，即可求解. 【详解】因为把椭圆的长轴分成2024等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，. 如图，设椭圆的右焦点为，且 . 由椭圆的定义及椭圆的对称性得：，，…，. 所以 . 故选：C 【变式5】已知椭圆的长轴长为短轴长的3倍，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用椭圆的性质求解即可. 【详解】，椭圆的长轴长，短轴长，由题意可知，，解得. 故选:A 【变式6】法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解． 【详解】根据题意作图如下，    因为椭圆C的离心率，所以．因为，则， 所以，所以椭圆C的蒙日圆的半径为． 因为，所以为蒙日圆的直径，所以， 所以． 因为，当时，等号成立， 所以面积的最大值为．由面积的最大值为10， 得，得，进而有，故椭圆C的长轴长为． 故选：B． 【变式7】如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 【答案】35 【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性，可知，，， 又根据椭圆的定义，得，，，， 所以， 又由椭圆，可知， 所以. 故答案为：. 【变式8】如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则 . 【答案】15 【分析】根据图形的对称性和椭圆的定义可得结果. 【详解】 设椭圆的右焦点为，连接.由题意得，. 由图形对称得，. 由椭圆定义得，，故， 所以. 故答案为：15. 题型05 椭圆的离心率求解 【典例1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】由题可知，．由，得， 由椭圆的定义可得，， 设，则，， 所以，． 因为，所以，又，所以， 又，故， 即为直角三角形，， 在Rt中，由勾股定理得， ，解得或（舍去），    在Rt中，由勾股定理得， 又，代入，整理得，所以离心率． 故选：B 【变式1】设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由含有度角的直角三角形中，用焦距表示出与，再根据椭圆的定义建立起与的等式，即可求出离心率. 【详解】 由题可知，， 又因为，，故， 又因为，故. 故选：B. 【变式2】已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，由直线，的斜率之积为，结合椭圆方程求得的关系，即，由和求得椭圆的离心率. 【详解】由题可知，，设， 则， 所以， 即．由， 得，所以， 所以． 故选：B． 【变式3】已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合图形及三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】椭圆的长半轴长，设半焦距为c，则，， 因此的面积为，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 【变式4】设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据条件可得，再利用条件可得，即可求解. 【详解】因为，不妨设，则， 整理得到，所以，又，所以， 整理得到，所以，解得或（舍）， 故选：B. 【变式5】已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答． 【详解】由题可得，， 又，则有， 由椭圆的定义知：， 当且仅当等号成立， 所以，则， 又椭圆的离心率小于1，所以椭圆的离心率的取值范围为， 故答案为：. 【变式6】已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】易知椭圆焦点轴上，设椭圆方程，在将代入椭圆方程，可得与，再由等腰直角三角形可知，化简可得解. 【详解】由已知可得椭圆焦点在轴上，不妨设椭圆方程为，， 设为椭圆的右焦点，且点在轴上方，则，， 又轴，所以，代入椭圆方程可知， 化简可得，结合椭圆的对称性可知，且为中点， 即，又为等腰直角三角形，则， 即，等式左右同时除以， 可得，解得，或（舍）， 故答案为：. 【变式7】已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用圆的切点的性质得出圆心到点的距离，利用椭圆的性质得出点到点距离的取值范围，根据已知条件列不等式得出的范围，最后利用离心率公式求出离心率的取值范围． 【详解】   为圆的切线，， ，， ， ， 点到原点的距离为， 若存在满足条件，则，即， ， ， ，又，． 故答案为：． 题型06 椭圆的焦半径公式及应用 【典例1】已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【变式1】已知椭圆C：的焦点，直线l：，点，线段AF交C于点B，若，则等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用给定条件求出关键点坐标，结合平面向量模长公式求解即可. 【详解】设，，又， 所以，， 由，即，所以 又点B在椭圆C上，所以，解得， 所以A点坐标为， 所以，故C正确. 故选：C 【变式2】在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记与圆相切于点，，，，即可推出，从而得到的周长为，即可求出、，从而求出离心率. 【详解】首先证明椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离，（焦半径公式）； 证明：因为、， 所以 ； 同理可得； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，； 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得，故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率. 故选：D 【变式3】已知椭圆：的焦点分别是、，过的直线垂直轴交椭圆于A、两点，且，椭圆与轴正半轴交于且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用，得到，再根据求得，即解出，得到方程. 【详解】依题意过的直线垂直轴，令代入椭圆方程，得，即. 椭圆与轴正半轴交于，则，而，则， 即，解得，故椭圆的方程为. 故选：C. 【变式4】已知椭圆的左焦点为和是椭圆上关于轴对称的两个动点，当的周长最大时，的面积为 . 【答案】 【分析】设椭圆的右焦点为，根据题意结合椭圆的定义分析可得当且仅当直线经过点时取等号，进而可得面积. 【详解】由题意可知：， 设椭圆的右焦点为，则， 如图，   的周长为， 当且仅当直线经过点时取等号，此时的方程为， 可得，所以. 故答案为：. 【变式5】设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为 ． 【答案】 【分析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出. 【详解】椭圆C：,所以. 因为M在椭圆上,. 因为M在第一象限,故. 为等腰三角形,则,所以, 由余弦定理可得.    过M作MA⊥x轴于A,则 所以,即M的横坐标为. 因为M为椭圆C：上一点且在第一象限， 所以，解得： 所以M的坐标为. 故答案为： 【变式6】已知椭圆，是的左、右焦点，是过焦点的弦，且的面积为32，求． 【答案】16 【分析】根据椭圆的焦点弦长公式及三角形面积公式求解． 【详解】设直线的倾斜角为，，则， 则， 其中，故．    又， 因此的面积 ， 即，解得或（舍）． 于是． 题型07 点和椭圆位置关系的判定及应用 【典例1】已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】首先化为椭圆的标准方程，根据方程表示椭圆，以及原点在椭圆内，建立不等式即可求解. 【详解】椭圆的方可化为① 一方面，由原方程表示椭圆，知，且，于是，. 另一方面，由已知条件知原点在椭圆内部，于是，解得. 综上可得或. 故选：C 【变式1】若不等式的解集为，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】将转化为点与点，距离的和为，求出以，为焦点，长轴长为的椭圆方程，则点不能在椭圆外，进而可得的范围，则的值可求. 【详解】令， 则的值为平面直角坐标系中点与点，距离的和 若，即点与点，距离的和为， 则点为以，为焦点，长轴长为的椭圆与轴的交点， 设以，为焦点，长轴长为的椭圆方程为， 则，，， 故椭圆方程为，如图： 令，解得，即， 椭圆内的点到，的距离和小于，椭圆外的点到，的距离和大于， 所以点不能在椭圆外，即点在线段上， 所以， 即， 所以. 故选：C. 【变式2】点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 【变式3】直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果. 【详解】直线过定点，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴， 解得，又， 故选：C． 【变式4】若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性可判断. 【详解】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 【变式5】直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式6】若过点的直线l与椭圆只有一个公共点，则直线l的方程为 ． 【答案】或y＝－5 【分析】点刚好在处，故存在与轴垂直和与轴垂直的两条切线. 【详解】椭圆标准方程为：， 右顶点坐标，下顶点坐标， 过作椭圆的切线，如图所示： 直线的方程为：或y＝－5， 故答案为：或y＝－5 1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解即可 【详解】，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 2．已知定点和，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，，而， 因此点的轨迹是以为上下焦点，长轴长的椭圆， 而半焦距，则短半轴， 所以动点的轨迹方程为. 故选：C 3．设P是椭圆上一点，M，N分别是圆和圆上的点，则的最小值与最大值的和为（   ） A．18 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可． 【详解】如图，由圆的方程可知两圆圆心分别为，半径均为1， 由椭圆的方程可知恰好是其两个焦点， 由椭圆定义知，， 连接分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为； 连接并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为， 则的最小值与最大值的和为20． 故选：C． 4．椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出，即可求解. 【详解】由题知，所以， 所以焦距为， 故选：A. 5．已知分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的一点，则（  ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求解． 【详解】由椭圆的定义可得． 故选：A． 6．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点在轴上的椭圆列出关于的不等式组，解之即可. 【详解】椭圆方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以. 故选：A. 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得，结合椭圆的定义求得的周长. 【详解】在椭圆C中，， 由椭圆的定义可得， 则的周长为. 故选：C 9．已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则椭圆半焦距长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出与直线平行，且距离为的直线方程，与椭圆联立，可得关于x的一元二次方程，由题意，该直线与椭圆E相切或没有公共点，利用判别式，可得，根据离心率，可得a，c的关系，代入所求，即可得答案. 【详解】直线过第二、三、四象限，由题意得，椭圆E与直线没有公共点， 所以直线在椭圆E的下方， 设直线l在的上方，与直线平行，且距离为， 则直线l方程为， 所以，解得或7（舍）， 所以直线， 联立，得， 因为椭圆上的点到直线的最短距离不小于， 所以直线l与椭圆E相切或没有公共点， 所以， 解得， 因为离心率，所以，， 所以，解得， 又，所以椭圆半焦距长c的取值范围. 故选：B 10．已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据列等式得到动点的轨迹方程，然后结合几何知识得到当在延长线于圆的交点时距离最大，然后计算的最大值即可. 【详解】    由题意得，设， ，即，所以， 整理得， 所以动点在圆心，半径的圆上， 由题意可知，与椭圆上点距离最大时，椭圆上的点要在圆外，设这个点为， 此时最大值 ，所以当最大时最大， 设，则，， 所以当时最大，为， 所以. 故选：D. 11．已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取椭圆的上顶点，可根据求离心率的取值范围. 【详解】如图： 取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形，所以必有. 即 . 所以 . 所以，又椭圆的离心率， 所以. 故选：D 12．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是 . 【答案】 【分析】设出的坐标，将向量数量积运算转化为坐标运算，根据的坐标满足椭圆方程进行化简，再根据的范围可求的最小值. 【详解】设，因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，此时， 故答案为：. 13．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及标准方程结合题中条件得到关系式，进一步计算即可. 【详解】因为是边长为1的等边三角形， 则， 所以， 又， 所以， 则 故答案为： 14．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得，再由的范围，可得的取值范围． 【详解】由椭圆的方程可得，， 可得， 易知圆的圆心，半径为1，    因为， 所以 ， 可知恰为椭圆的右焦点，所以， 所以． 故答案为：． 15．已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，当动点满足时，求点的纵坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简得轨迹方程； （2）根据椭圆的定义可得，再根据，得，化简得，与联立方程求解即可. 【详解】（1）设，则由已知得，所以， 化简得. （2）由（1）知为椭圆的两个焦点， 根据椭圆的定义可得， 因为，所以，， 所以，即，又， 所以，即，即，解得， 所以点的纵坐标为. 16．（1）求过点且与直线平行的直线的方程． （2）求圆心在直线上，且过点，半径为5的圆的方程． （3）求两个焦点坐标分别是且经过点的椭圆的标准方程． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据平行关系可设直线方程为，代入点运算求解即可； （2）设圆心为，可得圆的方程为，代入点运算求解即可； （3）根据椭圆的定义可得，，进而可得，即可得椭圆方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线的方程为， 代入点可得，即， 所以所求直线方程为； （2）因为圆心在直线上，可设圆心为， 且半径为5，则圆的方程为， 代入点可得，整理可得，解得或， 所以圆的方程为或； （3）设两焦点分别是，点， 则，，可得， 即，，则， 且焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为. 17．椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 18．已知椭圆的焦点为、，该椭圆经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）由题意得出，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合三角形的面积公式可求得的值. 【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义可得，故， 又因为，所以， 因此椭圆的标准方程为. （2）由题意可得，故， ，， 因为，所以 ，解得， 故. 19．已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得圆和的圆心坐标和半径，根据题意，得到，，进而得到，结合椭圆的定义，即可求解； （2）由（1）得到椭圆的左焦点，根据椭圆的定义，转化为,结合三角形边的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，与圆相内切，则，， 两式相加，可得 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以椭圆的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的方程为，可得左焦点，且， 又由椭圆的定义，可得，即， 所以, 如图所示，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 20．已知的周长为18，，． (1)求顶点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标． 【答案】(1) ． (2)． 【分析】（1）根据周长可得动点满足的几何性质，根据椭圆的定义可得动点的轨迹方程； （2）设点， 可得，与椭圆方程联立可得答案. 【详解】（1）设，易得，则， 由椭圆定义可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含轴上两点）， 且，， 所以，，， 所以所求轨迹方程为 ． （2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上， 所以该圆圆心为，半径为，即圆的方程为， 设点， 可得， 又点在椭圆上，所以， 即， 解得，，则的纵坐标为．      49 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $