专题05 因式分解（期中真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题05 因式分解 2大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）下列式子是和的公因式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可． 【详解】 解：和的公因式的是， 故选：C． 3．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）下列式子从左到右变形是因式分解的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可． 【详解】 解：A、不是因式分解，故此选错误； B、，正确； C、，不是因式分解，故此选错误； D、，不是因式分解，故此选错误. 故选B． 【点睛】 本题考查了因式分解的判断，解题的关键是掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解． 4．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了因式分解的定义，正确理解因式分解的定义是关键．因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．根据因式分解的定义，逐一判断即可． 【详解】 解：A、，右边是整式的积，符合题意； B、，右边不是积的形式，不符合题意； C、，是整式乘法，不符合题意； D：，但计算得，等式不成立，不符合题意． 故选：A． 5．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）分解因式：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：① 提公因式法；② 公式法；③ 十字相乘法；④ 分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用提取公因式法分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）若分解因式的结果是，则的值为（　　） A. -3 B. 3 C. 1 D. -1 【答案】A 【分析】 将展开变为，可知m=-1，n=-2，即可求出结果． 【详解】 解：由题意得， ∵分解因式的结果是， ∴m=-1，n=-2， ∴． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查的是多项式乘以多项式法则以及因式分解，能够理解两者为互逆运算是解题的关键． 2．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了用平方差公式因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式因式分解是解题的关键．利用平方差公式将表达式因式分解为，由于n为自然数，为整数，因此表达式一定能被4整除． 【详解】 解： ， 为自然数， 为整数， 能被4整除， 因此，原式一定能被4整除． 故选：B． 3．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）已知，则代数式的值为（　　） A. 15 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴原式， 故选：A． 4．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如，所以都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（       ） A. 22 B. 24 C. 30 D. 34 【答案】B 【分析】 本题考查的是因式分解的应用，设这两个连续奇数分别为：，其中n是正整数，则“凤凰数”，据此计算即可． 【详解】 设这两个连续奇数分别为：，其中n是正整数， ∴“凤凰数” A、，故该选项错误； B、，故该选项正确； C、，故该选项错误； D、 ，故该选项错误； 故选：B． 5．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）若，则、、的大小关系是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查因式分解的应用，通过简化每个表达式，计算出 x、y、z 的具体数值，然后比较大小． x 通过提取公因数简化，y 利用平方差公式简化，z 通过完全平方公式简化． 【详解】 解：∵ ， ， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）因式分解： （1） （2） 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了因式分解的两种方法，即平方差公式和完全平方公式以及提取公因式法．熟练掌握平方差公式、完全平方公式和提取公因式法是解题的关键． （1）利用平方差公式因式分解即可． （2）对于，先提取公因式，再看剩余部分是否还能继续分解，剩余部分符合完全平方公式的形式，这里，，从而即可因式分解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）（1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了整式的混合运算，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先计算多项式除以单项式、多项式乘以单项式，再合并同类项； （2）先用提公因式法分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】 （1）解：原式 ； （2） ． 8．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）因式分解： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，平方差公式，提公因式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 原式． ． 9．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）因式分解： 　　　　　　； 　　　　　　； 【答案】①     ② 【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】 解：； ； 故答案为：， 10．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）已知实数a，b满足，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴ 故答案为：． 11．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）已知，则代数式的值为　　　． 【答案】28 【分析】 先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，最后代值求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：28． 【点睛】 本题考查了代数式求值，综合提公因式与公式法进行因式分解等知识，解题的关键在于正确的运算． 12．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）分解因式 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解； (1) 小问详解： (2) 小问详解： 【点睛】 本题考查了提公因式法、公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用公式法分解．还要注意分解要彻底． 13．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如:当时，即或-1时，的值均为6；当时，即或-2时，的值均为11．于是小明给出一个定义:对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于__________对偶； （2）当或时，关于x的多项的值相等，求b的值； （3）若整式)关于对偶，求n的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）把配方后即可得到答案； （2）把配方后，根据新定义得到，即可得到答案； （3）把原式变形后，根据新定义即可得到n的值． (1) 小问详解： 解：∵， ∴根据题意，多项式关于对偶； 故答案为： (2) 小问详解： 解：． 依题意，得与互为相反数，即 ∴； (3) 小问详解： ∵该整式关于对偶． ∴ 【点睛】 此题是新定义题，主要考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 14．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）若，则　　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值． 将利用平方差公式分解为，代入已知条件，再化简整个表达式，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴ ． 故答案为：16 15．（25-26学年八上·福建泉州·期中）分解因式： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟记、乘法公式是解答的关键． （1）先提公因式m，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 16．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）分解因式： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了综合运用提取公因式法和公式法因式分解，熟练掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ． 17．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 （1）用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； 本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法与公式法分解因式是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 18．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）因式分解 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式提取公因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 19．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． （1）在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号） （2）根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除． ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． （3）若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值． 【答案】（1）②     （2） ① 证明：， 因为k为正整数，所以能被8整除， 因此：“双奇差数”都能被8整除． ② 设四个连续奇数为、、、， ， ， ， ，， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．     （3）7      【分析】 本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． （1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）① 利用完全平方公式计算整理原式即可得解； ② 设四个连续奇数为、、、，作差即可得解； （3）将已知式子变形为，结合“双奇差数”的定义求解即可． (1) 小问详解： 解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； 故答案为：② ； (2) 小问详解： 解：① 略； ② 略； (3) 小问详解： 解：因为m、n为正整数，且， ， 因为是“双奇差数”， 所以，其中k为正整数，所以， 因为，即，所以当最小时，有最小值， 所以当最小时，有最小值， 当时，，不是完全平方数； 当时，，不是完全平方数； 当时，，由得，， ∴的最小值为7． 20．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）已知：a，b，c都是正整数，且，．abc的最大值为M，最小值为N，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由已知条件整理出，再利用因式分解法转化为求的正整数解，据此得到 或 或 或 ，据此解得a的值，最后代入计算即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ，，都是正整数， 或 或 或 ， 或或或， 或， 即的最大值为，最小值为，即，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查因式分解法、二元一次方程组的整数解等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）综合与实践： 阅读材料 对于关于x的多项式M，有如下结论：如果是M的因式，则时，．这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 问题背景 某工厂生产一种特殊形状的金属零件，其体积可以用三次多项式表示，其中表示零件的关键尺寸（单位：厘米）．技术人员通过测试发现： 测试结果1：当时，零件体积；测试结果2：当时，零件体积． 请根据上述信息解决下列问题： 问题解决 （1）利用因式定理，确定多项式中的参数a和b的值； （2）若该零件的体积为，求此时的关键尺寸x的值； 拓展探究 （3）在实际生产过程中，技术人员发现该零件的一种性质：存在常数m，使得对于多个（两个或以上）关键尺寸x，使能写成某些正整数的平方．例如：当时，和满足条件，．当和时，请找出所有满足该性质的正整数m，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】 本题考查解二元一次方程组，因式分解的应用，读懂题意，理解因式定理是解题的关键． （1）根据，得到关于a，b的方程，求解即可； （2）由得到，因式分解得到，即可解得，，，再根据关键尺寸即可解答； （3）由题意求得，，根据，都能写成某些正整数的平方，设，（，为正整数），因此，将204分解为两个正整数的积，即可分别讨论，的值，进而求出满足该性质的正整数m． 【详解】 解：（1）∵当时，零件体积， ∴，即， ∵当时，零件体积， ∴，即， 由可得，． （2）∵，， ∴， 当时，， ∴， 因式分解，得， ∴或或， 解得，，， ∵关键尺寸， ∴． （3）由（1）可知， ∴当时，， 当时，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，都能写成某些正整数的平方， ∴设，（，为正整数）， ∴，即， ∴， ∴当 时，解得 ，此时，，解得； 当 时，解得 ，不符合，为正整数，舍去， 当 时，解得 ，不符合，为正整数，舍去， 当 时，解得 ，此时，，解得； 当 时，解得 ，不符合，为正整数，舍去， 综上所述，满足该性质的正整数m为或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05因式分解 2大高频考点概览 考点01用提公因式法分解因式 考点02用公式法分解因式 》 考点01用提公因式法分解因式 1.(25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中)下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是 () A.3a+b=3a+3b B.a-a+1=aa-1+1 C.a+2a+4=a+22 D.d2-9=a+3ja-3 2.(25-26学年八上·福建厦门湖里中学.期中)下列式子是2m和mm+1的公因式的是( A.2 B.2m C.m D.m+1 3.（25-26学年八上·福建泉州第七中学期中)下列式子从左到右变形是因式分解的是() Aa2+4a-21=aa+4-21 B.ad2+4a-21=a-3la+7 C.{a-3la+7=d2+4a-21 D.a2+4a-21=a+2}-25 4.（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中)下列从左到右的变形中，是因式分解的是() A. m2+2m=mm+2 B.m2-2m+1=mm-2+1 C.(m+1=m2+2m+1 1/4 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.m2+9=m-32 5.(25-26学年八上·福建福州第一中学.期中)分解因式：x2-6x= D考点02用公式法分解因式 1.(25-26学年八上福建永春第一中学.期中)若x2+mx+n分解因式的结果是（x-2)(x+1),则m+n的 值为() A.-3 B.3 C.1 D.-1 2.(25-26学年八上福建福州延安中学：期中)当n为自然数时，n-1?-n-3P一定能被下列哪个数整 除() A.3 B.4 C.5 D.6 3.(25-26学年八上·福建福州延安中学期中)已知a-b=3,b-c=-5,则代数式ac-ab-bc+b的 值为() A.15 B.-15 C.2 D.-2 4.（25-26学年八上·福建泉州东海中学.期中)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称 这个正整数为“凤凰数”，如8=32-12,16=52-32，所以8,16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数” 的为( ) A.22 B.24 C.30 D.34 5. (25-26学年八上·福建永春第一中学·期中)若 x=592×2021-592×2020,y=20242-2025×2023,z=/口，则x、y、z的大小关系是() A.y<x<z B.X<z<y C.y<z<x D.Z<y<x 6.（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学.期中)因式分解： (1)1-4x2 (2)3x+6xy+3y2 7.(2526学年八上福建厦门湖演中学期中)1)计算：3x-5x:X-6x行x-2 (2)因式分解：m2(a-3)+3-a 8.(25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中)因式分解： 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)a2-25 (2)X2x-y+y-x刘 ,p·搏平图中鲜·泰中雨磔L国匙泰9S) ；4x3-4x2+x= 10.(25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中)已知实数a,b满足a+b=2,则a2-b2+4b= 11.(25-26学年八上·福建泉州东海中学.期中)已知a-b=-2,ab=7,则代数式a3b-2ab2+ab3的 值为 12.（25-26学年八上·福建永春第一中学.期中)分解因式 (1)x(a+b)+y(a+b) (2)m3+10m2+25m 13.（25-26学年八上·福建永春第一中学期中)小明在学习配方法时，将关于×的多项式x-2x+3配方 成x-1P+2发现当x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式X-2x+3的值是相等的、例如：当 x-1=±2时，即x=3或-1时，x2-2x+3的值均为6；当x-1=±3时，即x=4或-2时，x2-2x+3的值 均为1.于是小明给出一个定义：对于关于×的多项式，若当x-t取任意一对互为相反数的数时，该多项 式的值相等，就称该多项式关于x=t对偶，例如x-2x+3关于x=1对偶. 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x-6x+10关于 对偶； (2)当x=m或6-m时，关于x的多项x+2bx+c的值相等，求b的值； (3)若整式x+8x+16X-4x+4)关于x=n对偶，求m的值. 14.（25-26学年八上·福建福州屏东中学期中)若m-n=4,则m2-n2-8n= 15.(25-26学年八上·福建泉州期中)分解因式： (1)m3-4m. (2)3a3b-6a2b+3ab 16.（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中)分解因式： (1)2a2-4ab+2b (2)a2x-y+25y-x刘 17.(25-26学年八上·福建泉州东海中学期中)分解因式： (1)x2-36y: (2)m3-8m2+16m. 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(25-26学年八上·福建福州杨桥中学期中)因式分解 1)x3-6x2+9x (2)(a-1P-21-a 19.(25-26学年八上·福建泉州·期中)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整 数为“双奇差数”.例如：16=52-32,24=72-52,32=92-72，所以16,24,32都是“双奇差数”. (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是 (填序号) (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为2k+1和2k-1,其中k为正整数， ①求证：“双奇差数”都能被8整除 ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证， (3》若m、n为正整数，且m>n若m-5m+5+n2-2mn是“双奇差数”，求m-n的最小值. 20.(25-26学年八上·福建永春第一中学·期中)已知：a,b,c都是正整数，且a+b+c=342, a-bc=331.abc的最大值为M,最小值为N,则M+N= 21.（25-26学年八上·福建福州第一中学期中)综合与实践： 阅读材料 对于关于x的多项式M,有如下结论：如果X-Q是M的因式，则x=a时，M=0,这个结论被称为因式定 理.例如：若x-1是多项式M=x2-1的因式，则当x=1时，M=0. 问题背景 某工厂生产一种特殊形状的金属零件，其体积可以用三次多项式V(x=X+aX+bX+6表示，其中x表 示零件的关键尺寸（单位：厘米），技术人员通过测试发现： 测试结果1：当x=1cm时，零件体积V1=0:测试结果2：当x=2cm时，零件体积V2=0, 请根据上述信息解决下列问题： 问题解决 (1)利用因式定理，确定多项式中的参数a和b的值： (2)若该零件的体积为12cm3,求此时的关键尺寸x的值： 拓展探究 (3)在实际生产过程中，技术人员发现该零件的一种性质：存在常数，使得对于多个（两个或以上） 关键尺寸x,使Vx+m能写成某些正整数的平方.例如：当m=4时，x=3和x=5满足条件 V3+4=16=42:V5+4=100=102:当×=5和X=7时，请找出所有满足该性质的正整数m,并说明 理由. 414 专题05 因式分解 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．D 2．C 3．B 4．A 5．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：① 提公因式法；② 公式法；③ 十字相乘法；④ 分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用提取公因式法分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 考点02 用公式法分解因式 1．A 2．B 3．A 4．B 5．C 6．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了因式分解的两种方法，即平方差公式和完全平方公式以及提取公因式法．熟练掌握平方差公式、完全平方公式和提取公因式法是解题的关键． （1）利用平方差公式因式分解即可． （2）对于，先提取公因式，再看剩余部分是否还能继续分解，剩余部分符合完全平方公式的形式，这里，，从而即可因式分解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了整式的混合运算，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先计算多项式除以单项式、多项式乘以单项式，再合并同类项； （2）先用提公因式法分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】 （1）解：原式 ； （2） ． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，平方差公式，提公因式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 原式． ． 9．【答案】①     ② 【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】 解：； ； 故答案为：， 10．【答案】 【分析】 本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴ 故答案为：． 11．【答案】28 【分析】 先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，最后代值求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：28． 【点睛】 本题考查了代数式求值，综合提公因式与公式法进行因式分解等知识，解题的关键在于正确的运算． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解； (1) 小问详解： (2) 小问详解： 【点睛】 本题考查了提公因式法、公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用公式法分解．还要注意分解要彻底． 13．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）把配方后即可得到答案； （2）把配方后，根据新定义得到，即可得到答案； （3）把原式变形后，根据新定义即可得到n的值． (1) 小问详解： 解：∵， ∴根据题意，多项式关于对偶； 故答案为： (2) 小问详解： 解：． 依题意，得与互为相反数，即 ∴； (3) 小问详解： ∵该整式关于对偶． ∴ 【点睛】 此题是新定义题，主要考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 14．【答案】16 【分析】 本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值． 将利用平方差公式分解为，代入已知条件，再化简整个表达式，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴ ． 故答案为：16 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟记、乘法公式是解答的关键． （1）先提公因式m，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了综合运用提取公因式法和公式法因式分解，熟练掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ． 17．【答案】（1）      （2）       【分析】 （1）用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； 本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法与公式法分解因式是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式提取公因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 19．【答案】（1）②     （2） ① 证明：， 因为k为正整数，所以能被8整除， 因此：“双奇差数”都能被8整除． ② 设四个连续奇数为、、、， ， ， ， ，， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．     （3）7      【分析】 本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． （1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）① 利用完全平方公式计算整理原式即可得解； ② 设四个连续奇数为、、、，作差即可得解； （3）将已知式子变形为，结合“双奇差数”的定义求解即可． (1) 小问详解： 解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； 故答案为：② ； (2) 小问详解： 解：① 略； ② 略； (3) 小问详解： 解：因为m、n为正整数，且， ， 因为是“双奇差数”， 所以，其中k为正整数，所以， 因为，即，所以当最小时，有最小值， 所以当最小时，有最小值， 当时，，不是完全平方数； 当时，，不是完全平方数； 当时，，由得，， ∴的最小值为7． 20．【答案】 【分析】 由已知条件整理出，再利用因式分解法转化为求的正整数解，据此得到 或 或 或 ，据此解得a的值，最后代入计算即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ，，都是正整数， 或 或 或 ， 或或或， 或， 即的最大值为，最小值为，即，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查因式分解法、二元一次方程组的整数解等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21．【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】 本题考查解二元一次方程组，因式分解的应用，读懂题意，理解因式定理是解题的关键． （1）根据，得到关于a，b的方程，求解即可； （2）由得到，因式分解得到，即可解得，，，再根据关键尺寸即可解答； （3）由题意求得，，根据，都能写成某些正整数的平方，设，（，为正整数），因此，将204分解为两个正整数的积，即可分别讨论，的值，进而求出满足该性质的正整数m． 【详解】 解：（1）∵当时，零件体积， ∴，即， ∵当时，零件体积， ∴，即， 由可得，． （2）∵，， ∴， 当时，， ∴， 因式分解，得， ∴或或， 解得，，， ∵关键尺寸， ∴． （3）由（1）可知， ∴当时，， 当时，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，都能写成某些正整数的平方， ∴设，（，为正整数）， ∴，即， ∴， ∴当 时，解得 ，此时，，解得； 当 时，解得 ，不符合，为正整数，舍去， 当 时，解得 ，不符合，为正整数，舍去， 当 时，解得 ，此时，，解得； 当 时，解得 ，不符合，为正整数，舍去， 综上所述，满足该性质的正整数m为或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $