精品解析：福建莆田市城厢区霞林学校2025-2026学年上学期八年级数学期中考试卷

2025-2026学年上学期霞林八年级数学期中考试卷 一．选择题（共10小题） 1. 下列图形中，不具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可． 【详解】A．选项为多个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误 B．选项为三个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误 C．选项为二个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误 D．选项为四边形，非三角形结构，故不具有稳定性，符合题意，故正确 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 2. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，函数值都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于任意一个值，可能有多个值与之对应，故不是函数图象； B．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； C．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； D．对于任意一个值，有唯一确定的值与之对应，故是函数图象． 3. 下列根式中，与可合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先把每一项都化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可推出能与合并的二次根式． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； B、，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； C、，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； D、，与是同类二次根式，能合并，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，同类二次根式，关键在于熟练掌握同类二次根式的定义，正确的对每一选项中的二次根式进行化简． 4. 在平行四边形中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解： 【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意； C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意； D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 6. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. B. ∠A＝∠B+∠C C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a＝6，b＝8，c＝10 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C， ∴∠A=90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C.设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°， ∴∠C=5×15°=75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D.∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 7. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：设菱形的对角线交于点，则：， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选D 8. 如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 9. 某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为．则校门打开了（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的应用，连接，相交于O，首先求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，同理求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可． 【详解】解：连接，相交于O， 所以 所以 所以， 所以校门关闭时，伸缩门的宽度为． 因为校门部分打开时，每个菱形中的原的角缩小为， 所以， 所以校门部分打开时，伸缩门的宽度为， 所以校门打开了． 故选C． 10. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】证明，可判定①正确；连接交于点O,Q，点M，点G关于直线对称，故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,故的最小值是，即可判断②正确；根据，得出，即可判断③正确；根据，即可判断④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，故①正确； 连接交于点O,Q，如图， ∵正方形，且， ∴， ∵垂直平分， ∴点M，点G关于直线对称， 故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为， 故的最小值是，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的有①②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 在关系式中，当时，_____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：当时，． 12. 在ABCD中，AD=6，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF=____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得BC长，再利用三角形中位线性质可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 如图， ∴BC=AD=6， ∵点E，F分别是BD，CD的中点， ∴EF=BC=3， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形中位线性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 13. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14. 在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两基地前去拦截,6分钟后同时到达C地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东________° 【答案】50 【解析】 【分析】先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解． 【详解】根据题意，如图所示 ∵AC=120×=12（海里），BC=50×=5（海里），AB=13海里， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形． ∵∠CBA=90°-40°=50°， ∴∠CAB=40°， ∴甲的航向为北偏东50°． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键． 15. 已知：，则的值为_______． 【答案】 2026 【解析】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． 首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到的值，再代入表达式 ，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ：2026． 16. 如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，涉及矩形和菱形的判定与性质，三角形的中位线性质，通过推导计算得到面积的变化规律是解答的关键．根据矩形和菱形的判定与性质，结合三角形的中位线性质得到每一次得到的四边形的面积与菱形的关系，进而得到变化规律即可． 【详解】解：连接，，，， ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 依次可得，， 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在平行四边形中，E，F为对角线上的点，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质的，，然后证明出，最后利用等角等补角相等证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等是解本题的关键． 19. 如图，在四边形中，，．连接，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形是否是特殊的四边形？如果是，请给出证明． 【答案】（1）图见解析 （2）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先得出，则可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 解：四边形是特殊的四边形，证明如下： ∵垂直平分， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 20. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … … … … （1）表格中：_________，_________． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是_________； ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质． 【答案】（1）， （2）作图见详解 （3）①；②关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）观察表格可知，当，，时，函数值的变化规律，由此即可求解； （2）利用描点，连线的方法即可求解函数图像； （3）①从（2）中图像可求解；②根据图像，对称性，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，；当时，；当时，， ∴函数关系的图像关于对称， ∴的函数值与的函数值相等，的函数值与的函数值相等， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 （2）根据表格数轴，运用描点，连线方法画函数图像，如图所示， ∴图示即为所求函数的图像． 【小问3详解】 解：根据函数图像可得，函数的最小值是； 故答案为：； ②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 【点睛】本题是函数以绝对值的综合运用，掌握绝对值的性质，观察列表中的数，并找出规律，用描点，连线的方法画函数图像是解题的关键． 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 【答案】（1）风筝的高度为米； （2）他应该往回收线8米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 22. 如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． （1）求证：； （2），平分，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理得到，，根据中线的性质即可求解； （2）根据中线的性质得到，根据三角形外角的性质得到，根据平行线的性质得到，即，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：在中，M，N分别为，的中点， ∴，， 在中， 点是的中点， ， ， ∴ 【小问2详解】 解：∵，平分， ， 由（1）可知，， ∴， ∵， ， ， ． 23. 在平行四边形中，，E为中点，点M在线段上，连接，在下方有一点N，满足，连接． （1）若，，求的面积； （2）若，，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，再求出，然后根据直角三角形斜边上中线的性质可得的长，结合勾股定理求解，的长，根据的面积等于面积的一半可求解结果； （2）延长至G，使，易得，在上截取，可得，结合已知推出，即为等边三角形，继而有，因此可得，由，结合，最终可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 解法2：解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 解得， ∴． 【小问2详解】 证明：延长至G，使， 由（1）知， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在上截取， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，第（2）小题作辅助线构造等边三角形及直角三角形是解题的关键． 24. 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当，即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，的最小值为______；当时，的最大值为______； （2）当时，求的最小值； （3）如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为1，的面积为4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）4； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值； （2）由，结合（1）的结论可得答案； （3）设的面积为，可得四边形的面积，再结合（1）的结论可得答案． 【小问1详解】 解：当时， ， 当即时，的最小值为4； 当时，， ， ， 当即时，的最大值为； 【小问2详解】 而，由（1）可知的最小值为4 的最小值是． 【小问3详解】 设的面积为， ， 即，． 四边形的面积， 由（1）可知的最小值为4 的最小值是． 四边形面积最小为9． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形． （1）如图1，当时，求点的坐标； （2）如图2，当时，连接，过点作于，过点作轴于，交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，当时，点、分别为四边形的边、延长线上的两点．连接、、．若，点的纵坐标为，求点的横坐标（用含、的代数式表示）． 【答案】（1） （2）矩形，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴，轴，根据等量代换求，然后证明，得到，，根据得出，根据，进而根据得出，进而求得的坐标； （2）同（1）可得，进而得出是等腰直角三角形，可得四边形是矩形则，进而证明四边形为矩形； （3）首先在上截取，即可得到，进而根据等量代换，然后证明，得到，进而根据勾股定理表示出，根据点的坐标表示出，设的横坐标为，根据建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图 过点作轴，轴， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， （）， ，， 到坐标轴，轴的距离相等， ， 当时，， 设 ∵， 解得： ； 【小问2详解】 解：如图过点作轴，轴，交于， 轴， 四边形是矩形， ， 同（）可得 ， 是等腰直角三角形， ， ，即 ， ， 是等腰直角三角形 ， 又， 又轴 四边形是矩形 四边形为矩形； 【小问3详解】 如图，在上截取 ， 是等腰直角三角形， 又是等腰直角三角形， ， 同理可得 四边形是矩形， 四边形是正方形 又， ， ， ， ，， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， （）， ， ，则 点的纵坐标为， 设的横坐标为，则， 在中， ， 解得： 即点的横坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期霞林八年级数学期中考试卷 一．选择题（共10小题） 1. 下列图形中，不具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式中，与可合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 6. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. B. ∠A＝∠B+∠C C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a＝6，b＝8，c＝10 7. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8. 如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 9. 某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为．则校门打开了（　　）． A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为 ，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④ 二．填空题（共6小题） 11. 在关系式中，当时，_____． 12. 在ABCD中，AD=6，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF=____________． 13. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 14. 在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两基地前去拦截,6分钟后同时到达C地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东________° 15. 已知：，则的值为_______． 16. 如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是________． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： 18. 如图，在平行四边形中，E，F为对角线上的点，且，求证：． 19. 如图，在四边形中，，．连接，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形是否是特殊的四边形？如果是，请给出证明． 20. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … … … … （1）表格中：_________，_________． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是_________； ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质． 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 22. 如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． （1）求证：； （2），平分，，求的长． 23. 在平行四边形中，，E为中点，点M在线段上，连接，在下方有一点N，满足，连接． （1）若，，求的面积； （2）若，，求证：． 24. 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当，即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，的最小值为______；当时，的最大值为______； （2）当时，求的最小值； （3）如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为1，的面积为4，求四边形面积的最小值． 25. 在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形． （1）如图1，当时，求点的坐标； （2）如图2，当时，连接，过点作于，过点作轴于，交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，当时，点、分别为四边形的边、延长线上的两点．连接、、．若，点的纵坐标为，求点的横坐标（用含、的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $