专题02 全等三角形（期中真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴的对应角是． 故选：C． 2．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应角相等即可得出答案． 【详解】 解：， ， 故选：C． 3．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则的长为（     ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，若，，，，四点在同一直线上，，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用三角形全等的性质得到，再利用进行求解即可． 【详解】 解：， ， ，，，四点在同一直线上， ． 故选：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 5．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，△ACB≌△DCE，∠BCE=25°，则∠ACD的度数为(     ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质可知∠DCE=∠ACB，∠DCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，进而得到∠ACD=∠BCE，即可得解. 【详解】∵△ACB≌△DCE ∴∠DCE=∠ACB ∴∠DCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE ∴∠ACD=∠BCE=25° 故选B 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握该性质定理是解题关键. 6．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，，且，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质，根据，，得，再结合全等三角形的性质，得，最后代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：C． 7．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，已知，，，那么的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵，， ∴； 故选C． 8．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）如图，两个三角形全等，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据图形确定的对应角，再根据全等三角形对应角相等即可得到答案，解题的关键是利用全等三角形对应角相等解答． 【详解】 解：∵两个三角形全等，根据全等三角形对应角相等， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等图形的定义，全等图形：大小相等且形状相同的图形，据此逐个选项分析，即可作答． 【详解】 解：A、这两幅图大小不相等，故该选项不符合题意； B、这两幅图大小不相等，故该选项不符合题意； C、这两幅图大小相等且形状相同，故该选项符合题意； D、这两幅图大小相等但形状不同，故该选项不符合题意； 故选：C． 10．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据全等三角形的性质可得∠B=∠C，∠BED=∠EFC，再利用三角形内角和定理可得出等量关系，化简即可． 【详解】 解： ∵， ∴∠B=∠C，∠BED=∠EFC， ∵，，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴，, ∴， ∵在△EFC中，， ∴,即， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质．熟练掌握定理，能结合图形完成角度之间的转化是解题关键． 11．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，已知，，，则的值为　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 12．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：4． 13．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，，，若，则等于　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 证明和，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】 解：由图知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：16． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 15．（25-26学年八上·福建宁德·期中）古今中外，验证勾股定理的方法众多，常见的方法是通过图形的分割与拼接来证明．例如古印度的“无字证明”：如图所示，用两条互相垂直的线段，将正方形分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形，就可以证明勾股定理． （1）若，则的长是__________； （2）若，则正方形的边长是__________；（用含m、n的代数式表示）； （3）某同学发现：将正方形按图1的方式分割，当所得到的四个图形不全等时，也可以证明勾股定理．如图2，将分割所得的图①移到正方形中的指定位置，请你在正方形中画出②、③、④、⑤四个图形． 【答案】（1）1     （2）     （3） 解：如图所示： 【分析】 本题考查了正方形的四边相等，掌握全等的性质是解题的关键． （1）根据全等的性质可得，，进而即可得解； （2）由图可得，，则，，进而即可求解； （3）根据题意画出图形即可． (1) 小问详解： 解：∵将正方形分割成四个全等的四边形， ∴，， ∵， ∴ ， 故答案为：1； (2) 小问详解： 解：由图可得，， ∴， ∴， ∴正方形的边长 ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 16．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，___________； （2）如图①当___________时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】（1）4     （2）或     （3）点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：① 当点在上，点在上；② 当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：∵，，，，，，，， ∴， ① 当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ② 当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（       ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】 解：在和中， ∵ ， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 2．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】 解：∵，点D，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 3．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，得到，测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用全等三角形的判定方法进行分析即可． 【详解】 解：在和中， ， ， 判定的理由是， 故选：C． 【点睛】 本题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 4．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）如图，在和中，，，下列条件中不能判断与全等的是(          ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】【考点】三角形全等的判定． 【分析】根据三角形全等的5种判定方法即可选出不能判断与全等的答案． 【解答】解：， A、由，，，根据AAS可以判断与全等，故本选项错误； B、由，，，根据AAS可以判断与全等，故本选项错误； C、由，，，根据SAS可以判断与全等，故本选项错误； D、由，，，不能判断与全等，故本选项正确． 故选D． 5．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（        ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 全等三角形的判定定理有，根据定理逐个判断即可． 【详解】 解：A、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； B、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项符合题意； D、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有． 6．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（       ） A. SAS B. AAS C. ASA D. HL 【答案】D 【分析】 本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】 解：由图示知，小宏第一步为截取线段， 第二步为作线段， 在与中， ， ∴， 故选：D． 7．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）小华同学周末在家做家务，不慎把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以选择的方法是（       ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带③④去 D. 带②④去 【答案】A 【分析】 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】 解：A、带① ②去，符合判定，选项符合题意； B、带② ③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； C、带③ ④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； D、带② ④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】 此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 8．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，与交于点O，若，要用“”证明，还需要的条件是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了对全等三角形的判定的应用，解题关键是掌握全等三角形的判断方法有、、、、．用“”证明，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件． 【详解】 解：添加： ∵， ，， ∴， 故选：C． 9．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，用直尺和圆规作射线，使它平分，则的理由是（       ） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL 【答案】A 【分析】 此题考查全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法解答．根据作图知，用证明三角形全等即可． 【详解】 解：由作图可知，， 在与中 ， ， 故选：A． 10．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，已知，求作，使得．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可判断A、B，可利用证明，则可判断D；根据现有条件无法推出C中的结论． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 11．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法且结合选项的条件进行分析，即可作答． 【详解】 解：A、∵，，， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴，即， ∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，，， ∴不能证明，故该选项符合题意； D、∵，，， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 12．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】 解：，， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线． 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键． 13．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】 解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合. 故选：B． 14．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】 解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 15．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由可推出，结合各选项的条件即可作出判断． 【详解】 解：∵， ∴，即； 若，则通过可证，故A不符合题意； 若，则通过可证，故B不符合题意； 若，则通过可证，故C不符合题意； 若时，不能推出，故D符合题意； 故选：D． 16．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，可以证明，因此测得的长为，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定，那么． 【详解】 解：，, ， 又，, （） ∴， 故选：A． 17．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则周长为（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明．利用已知条件证明，得到，从而，即可求得的周长． 【详解】 解：是的平分线， 在和中， ， ， ， ， 的周长． 故选：B． 18．（25-26学年八上·福建泉州·期中）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】 解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 19．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】 解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 20．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，即可证明得到，即可判断① ②；设与的交点为，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③；过点作于，于，先证明得到，即可证明得到，假设平分，则可证得到，这与矛盾，即可判断④． 【详解】 解：， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ，故②正确； 设于的交点为， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ， ，故③正确； 过点作于，于， ， 又，， ， ， 又， ， ， 假设平分， ， ，即， 又， ， ，这与矛盾， 不平分，故④错误， 故正确的有：① ② ③． 故选：B． 21．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】 解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 22．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，用尺规作出了，其作图依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】 解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 23．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（       ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】 对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】 解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 24．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图，，由“”判定，则需添加的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定，已知，是公共边，具备了一边一角对应相等，再有，就可以用判定． 【详解】 解：已知，是公共边，具备了一边一角对应相等， A．添加后，由“”判定，不合题意； B．添加后，由“”判定，不合题意； C．添加后，不能判定，不合题意； D．添加后，由“”判定，符合题意； 故选D． 25．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形性质和判定，垂直定义，同角的余角相等，由，，得，通过同角的余角相等得，证明，所以，然后通过线段和差即可求解，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 26．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】 解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 27．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据“角角边”证明，得到，，从而可得，即可求出答案． 【详解】 解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B与地面距离为， ， ， 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 故选：B． 28．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，下列条件中不能得到的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的判定与性质，结合已知条件和各选项中条件逐个分析判断即可． 【详解】 解：A、∵， ∴，又，， ∴， ∴．故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴．故此选项不符合题意； C、由，，不能判定，即不能证明，故此选项符合题意； D、连接， ∵，，， ∴， ∴．故此选项不符合题意； 故选：C． 29．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 ，就可得△ABC≌△DEF．下列条件中不符合要求的是（   ） A. BC＝EF B. AB＝DE C. ∠B＝∠E D. AB∥DE 【答案】B 【分析】 由平行可知到∠ACB＝∠EFD，AF＝DC可得到AC＝FD，故只需添加BC＝EF，或一组角相等即可． 【详解】 ∵AF＝DC， ∴AC＝DF， ∵BCEF， ∴∠ACB＝∠EFD， 当BC＝EF时， 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 当∠B＝∠E时， 可由AAS判定， 当ABDE时， 可知∠A＝∠D，可由ASA判定， 而当AB＝DE时，由条件可知满足ASS，不能判定全等， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，注意ASS不能判定全等． 30．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，在中，，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，证明得出，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答案：A． 31．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 通过角平分线性质、全等三角形判定与性质、等腰三角形性质等知识本题需逐一分析四个结论，判断即可得解． 【详解】 解：∵为的角平分线， ∴ 又∵，， ∴，故① 正确． ∵， ∴ 由，得， 又∵， ∴，故② 正确． ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③ 正确． ④过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故④ 正确． 综上，① ② ③ ④ 正确， 故选：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、等）及角平分线的性质是解题的关键． 32．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为（     ） A. 100 B. 63 C. 58 D. 56 【答案】C 【分析】 作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，证明，由题意得，证明，再证明，得出，根据，通过计算可得． 【详解】 解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得， ， ， 故答案为：58． 【点睛】 此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 33．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明：在和中， ∵ ， ∴()． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定． 直接根据证明即可． 【详解】 略 34．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”判定三角形全等及全等三角形对应角相等是解题的关键． 利用判定三角形全等，再由全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】 证明：∵，，， ∴（）， ∴． 35．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，已知，．求证：． 【答案】见详解 【分析】 本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】 证明：∵在和中， ∴（） 36．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】 略 37．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，将两根长度相等的钢条，的中点固定在点，使，可以绕着点转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽，原因是和全等，那么判定和全等的依据为　　　　　　． 【答案】边角边 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质的应用；由题意得，由对顶角相等即可判定两个三角形全等． 【详解】 解：连接、，    ∵两根长度相等的钢条，的中点固定在点， ∴， ∵， ∴； 故答案为：边角边． 38．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，，平分，证明． 【答案】证明：∵平分， ∴， 在与中， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上定理和定义． 利用角平分线的定义得出，再利用角角边进行证明三角形全等即可． 【详解】 略 39．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）已知，，D，C在上，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了同位角相等两直线平行，全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用判定可得，再根据同位角相等，两直线平行可得． 【详解】 略 40．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，点，，在同一条直线上，，点为的中点，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可得到． 【详解】 略． 41．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的 判定和性质，利用可证，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 42．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，点在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据证和全等，根据全等三角形的对应边相等即可得出，进而得到． 【详解】 略 43．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，再利用即可证明． 【详解】 略 44．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）（多选）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．求证：△≌△． 【答案】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴ ∠C=∠D=90°， 在Rt△ACB和 Rt△BDA 中， ， ∴ △ACB≌ △BDA（HL）． 【分析】 由AC⊥BC，BD⊥AD，得到∠C=∠D=90°，又有公共边相等，根据斜边、直角边定理判定这两个直角三角形全等． 【详解】 略 45．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，已知求证： 【答案】证明：∵， ， 在与中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，即可得出结论． 【详解】 略 46．（25-26学年八上·福建福州·期中）已知：如图，，只需添加一个条件　　　　　　．即可证明．（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一，或或） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 通过全等三角形的判定方法直接添加条件即可． 【详解】 解：由题意可知，，， 可添加条件，可利用证得， 所以这个条件可以是（答案不唯一）． 也可添加条件，可利用证得， 也可添加条件，可利用证得， 也可添加条件，可利用证得， 故答案为：（答案不唯一，或或）． 47．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B． 连接并延长到点D，使，连接 并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A，B的距离．为什么？ 【答案】在和中， ， ， ． 即的长就是A，B的距离． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】 略 48．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）小颖家墙边上挂了一盏路灯．某天，小颖对这盏路灯挂得多高产生了兴趣，恰好旁边有根比路灯高度更长的晾衣杆与三块砖，小颖借助这根晾衣杆进行测量，如图： ①将三块砖垒起，测出他们的高度； ②将晾衣杆斜搭在墙上，使得晾衣杆一端落在路灯挂钩A处，另一端放在离墙根的B点； ③将晾衣杆绕B点顺时针旋转，将它的另一端搭在三块砖的边缘上，从而产生； ④测量砖的边沿所在位置E离B点的距离，即的长度为，则路灯所挂的高度． （1）小颖设计的方案你同意吗？请说明理由； （2）求晾衣杆由旋转到的角度的度数． 【答案】（1） 同意小颖设计的方案，理由如下： 由题意得，， 由旋转的性质可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴同意小颖设计的方案；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，则可证明，得到，据此可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，则可证明，再由平角的定义可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． 49．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）如图，在与中，且，，求证． 【答案】证明：， ， ， ， 即， 在与中， ， 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 求出，再根据，得到，根据推出两三角形全等即可． 【详解】 略 50．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）已知：如图，是的中点，，．求证：． 【答案】证明： ∵是的中点， ∴ 在和中 ． 【分析】 由中点定义得AM=BM，在利用SAS判定两个三角形全等证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查SAS定理及其应用，观察图形，找出图中隐含的等量关系是解题关键． 51．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图，已知点A、E、F、C在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴． 【分析】 根据可得，即可证，进而得． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的证明及性质，掌握全等三角形的证明及性质是解题的关键． 52．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵BF=CE ∴BF+FC=CE+FC ∴BC=EF ∵AC//DF ∴∠ACB=∠DFE 在中 ∴ ∴∠B=∠E ∴AB//DE 【分析】 根据题意证明，然后根据平行线的判定定理即可证明 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题中需注意的相关事项是本题的解题关键． 53．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先通过角度的和差关系得出，再结合已知的，，利用“”判定两个三角形全等． 【详解】 略 54．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【答案】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴． 【分析】 在和中，利用HL定理判定即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查直角三角形的判定，牢记判定定理并能够灵活应用是解题关键． 55．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，，，，证明：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 56．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，，，，，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】 在和中， ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 57．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 【答案】证明：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴∠A=∠C． ∴AB∥CD． 【分析】 根据SAS可知△AOB≌△COD，从而得出∠A=∠C，根据内错角相等两直线平行的判定可得结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了1．全等三角形的判定和性质；2．平行线的判定． 58．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，直线与相交于点A，平分． （1）利用尺规：过点B作直线，交于点D； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：，如图所示；      （2）      【分析】 本题考查了与角平分线有关的计算，作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在点处作，根据内错角相等，两直线平行，得出，即可作答． （2）先结合平行线的性质得，根据角平分线的定义得，因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 59．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 【答案】；；；；； 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理结合证明过程中前后步骤的逻辑关系填空即可． 【详解】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， 故答案为：；；；；；． 60．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】 解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 61．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，                                                             在和中， ， ∴．      【分析】 本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴； (2) 小问详解： 略 62．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）（多选）为等腰直角三角形，，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角，. （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值。 （3）如图2，过点E作交CB的延长线于点H，过点D作，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由. 【答案】（1）∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°． ∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°， 又∵EF⊥BC， ∴∠ECF+∠CEF=90°， ∴∠DCB=∠CEF， 在△DBC和△CEF中， ， ∴△DBC≌△CFE； （2）2； （3）不变，值为1 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE； （2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以； （3）在EH上截取EQ=DG，如图2，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出. 【详解】 证明：(1) 略 （2）解：如图1， ∵△DBC≌△CFE， ∴BD=CF，BC=EF， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC， ∴AB=EF，AD=BF， 在△ABM和△EFM中， ， ∴△ABM≌△EFM， ∴BM=FM， ∴BF=2BM， ∴AD=2BM， ∴ （3）解：的值不变． 在EH上截取EQ=DG，如图2， 在△CDG和△CEQ中 ， ∴△CDG≌△CEQ， ∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ， ∵∠DCG+∠DCB=45°， ∴∠ECQ+∠DCB=45°， 而∠DCE=90°， ∴∠HCQ=45°， ∴∠HCQ=∠HCG， 在△HCG和△HCQ中， ， ∴△HCG≌△HCQ， ∴HG=HQ， ∴ 即式子的值不会发生变化. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 63．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于　　　　　　． 【答案】28 【分析】 延长交于，由证明，得出，得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】 如图所示，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：28． 【点睛】 此题考查全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，证明三角形全等得出是解题关键． 64．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BF=CE，AB∥DE． 求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明：∵BF=CE， ∴BF-FC=CE-CF，即BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠E=∠B， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 【分析】 首先根据平行线的性质可得∠E=∠B，进而求得BC=EF，再加上∠1=∠2，可利用AAS证明△ABC≌△DEF． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 65．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是　　　　　　　　　　　　　　．（写出所有正确结论的序号） 【答案】② ④ 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】 解：① 根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ② 根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③ 根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④ 根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤ 根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：② ④ ． 66．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，已知点、、、在同一直线上，且，，，与相交于点．求证： 【答案】证明：， ， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 【分析】 本题主要考查了直角三角形全等的判定（），熟练掌握判定定理是解题的关键． 通过已知条件推导出，再结合、，利用直角三角形全等的判定定理证明，从而得出． 【详解】 略 67．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证：； （2）证明：∠1=∠3． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）已证：， ， 由对顶角相等得：， 又 ， ． 【分析】 （1）先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 68．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，，求证：． 【答案】证明：， ， 即． 在和中， ， ∴． ． 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，证明即可． 【详解】 略 69．（25-26学年八上·福建福州·期中）请根据条件进行推理，完成下面的证明，并在括号内注明理由． 如图，在等腰与中，，，，，相交于点M， 求证：． 根据下面的证明过程中序号所对应的内容填入本题中的“括号内”或“横线上”． 证明：∵， ∴（             ①                  ），即， 在和中， ∴， ∴       ④          （          ⑤        ）， ∵          ⑥                  ⑦          ， ∴， ∴（               ⑧                      ） 【答案】①等式的性质1；②；③；④；⑤全等三角形对应角相等；⑥；⑦；⑧垂直的定义 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 先利用角度转换得到，再证明，可得，最后利用角度的转换即可解答． 【详解】 证明：∵， ∴（等式的性质1），即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴（垂直的定义） 故答案为：①等式的性质1；②；③；④；⑤全等三角形对应角相等；⑥；⑦；⑧垂直的定义． 70．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定以及性质的运用，熟练掌握全等的判定定理以及运用全等的性质求解线段的长度是解决本题的关键． （1）利用得到，再结合已知条件利用“角角边”判定两个三角形全等； （2）根据全等的性质得到，再根据已知条件结合线段的和差计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 71．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在中，为的中线，延长至E，使，若，，，则　　　　　　．（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，延长到H，使得，连接，证明得到，；再证明，得到，则，据此由三角形外角的性质可得答案． 【详解】 解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵为的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， 故答案为：． 72．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点B到的垂线段长度． 【详解】 解：在上取一点，使， ∵在中，，，， ∴ ，，， ， ， ， 则最小值时即垂直时，等于的长度， 此时， ∴ ． 故答案为：． 73．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】 补充， 在和中， ， ∴， 补充， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 74．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）如图，中，D是延长线上一点，，点G是边上一点，连接交于点F，点E是边上一点，连接，且，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练运用相关性质是解答本题的关键． （1）运用“”证明，可得，根据“同位角相等，两直线平行”可证明； （2）由可得，根据三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴． 75．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若，且，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴的垂线，垂足为，可证明，得到，根据题意可证明点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，则，再证明即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴点C只能在y轴右侧， ∵， ∴点B在y轴上， ∵， ∴点C在点B的上方， ∴点B在y轴正半轴上，点C在第一象限， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 76．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形变换”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． （1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图1放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小亮将变换到，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理证明小亮得到． 根据以上信息，请填空： ①______； ②线段，，之间的数量关系为_____； （2）【迁移探究】小亮将四边形纸片换成了图2中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明． 【答案】（1）① 45；②     （2） 解：，仍然成立，理由如下： 如图，绕点D顺时针旋转得到，与重合，    ∴， 又∵， ∴∘，即，A，P三点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即； 【分析】 （1）① 根据旋转的性质得到，再由等腰直角三角形的性质可得，从而得到，即可求解；② 根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； (1) 小问详解： ① 根据题意得：绕点D顺时针旋转得到， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：45 ② 根据题意得：绕点D顺时针旋转得到， ∴， ∴，即，A，P三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 77．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，笔直的公路上、两点相距，、为两村庄，于点，于点，已知，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，且，则收购站应建在离点多远处？ 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的实际应用，可利用证明得到，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵、两村到收购站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：收购站应建在离点． 78．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图，分别是边上的高，． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1） 证明：∵分别是边上的高， ， ， 在和中， ， ， ；     （2） 证明：， ， ， ， 即， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用． （1）由于，可得，根据余角的性质可得，根据得出，即可得出结论； （2）在（1）的基础上，证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 79．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为　　　　　　　　　　． 【答案】24厘米 【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】 解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 80．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）课本再现：①角平分线上点到角两边距离相等；②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． （1）如图1，，，，若为，则为________． （2）如图2，在四边形中，平分，，，求证：． （3）在（2）的条件下，如图3，过点作于点，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 证明：如图2中，作于，于， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3） 解：结论：． 理由：如图3中，连接，作于， 同（2）小题可得，， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，求得，即可得解； （2）作于，于，由角平分线的性质定理可得，再证明，即可得证； （3）连接，作于，同（2）小题可得，，再证明，得出，即可得解． (1) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵为， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 81．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）（多选）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD． 【答案】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°， 又∵∠D＝110°， ∴∠ACB＝∠D， ∵AB∥DE， ∴∠CAB＝∠E， ∴在△ABC和△EAD中， ， ∴△ABC≌△EAD(AAS)． 【分析】 由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD． 【详解】 略 【点睛】 本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可． 82．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）已知：如图，已知是等边三角形，点在边上，在延长线上取点，使得．    （1）尺规作图：作交于F点，保留作图痕迹． （2）如图，求证：． 【答案】（1） 解：所作图形如图：        ；     （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了作一个角等于已知角及等边三角形的判定和性质和等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明是等边三角形，求得，再证明，，根据证明即可得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 83．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，已知点是线段上一点，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ；     （2） 证明：， ，， ， ．      【分析】 （1）由得，即，从而即可证得； （2）由可得，，即可得到，从而即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 84．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，C是的中点，，请添加一个条件　　　　　　　　，使． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】 解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 85．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）在中，，则边上的中线的取值范围是　　． 【答案】 【分析】 延长到点E，使，连接，证明，得到，在中，根据三角形三边的关系得到，代入求解即可． 【详解】 解：如图所示，延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 86．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）求证：全等三角形的对应边上的高相等．根据所给图形补充已知、求证、证明过程． 已知： 求证： 证明： 【答案】已知：，， 求证：． 证明：， ∴ ∴， 在和中 ∴ 【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定．先画出图形，写出已知，求证，然后证明即可． 【详解】 略 87．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，已知，，相交于点，，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ．     （2） 如图，令交于点O， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 88．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，在中，为等腰直角三角形，直角顶点D在线段上运动，当点D运动到中点时，的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 通过作辅助线构造全等三角形，将的面积转化为可计算的图形面积，利用等腰直角三角形和中点的性质求解． 【详解】 解：过点作，交的延长线于点 ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵，是中点， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 89．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，在中，的平分线交于点D，延长交于E，点分别在上，连接． （1）填空：若，则________； （2）若， ①设，且为锐角，判断的形状并加以证明； ②求证：． 【答案】（1）     （2） ① 解：是直角三角形，理由如下： 设，在中，． ∵、分别平分、， ∴，． ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵， ∴． 是直角三角形． ② 证明：延长交于， ∵， ∴， 平分， ∴， ∵， 和中 ， ∴（）， ，， 在和中 ， ， ， ， ．      【分析】 （1）利用三角形内角和定理以及角平分线的性质，先求出的度数，再得出的度数，最后根据三角形内角和求出． （2）① 先根据角平分线性质和三角形内角和求出与的关系，再结合已知推出，从而判断三角形形状． ② 通过作辅助线延长交于，先证明，再证明，进而推出结论． (1) 小问详解： 解：在中，∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴在中，． (2) 小问详解： ① 略 ② 略 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 90．（25-26学年八上·福建漳州·期中）设直线（）与轴，轴分别交于，两点．设直线交轴于点，过点作垂线交直线于点． （1）求点的坐标． （2）当时，记点，点是轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． （3）动点在直线上，从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接，在运动过程中，直线交轴于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）点的坐标为     （2）直线经过点     （3）当时，；当时，      【分析】 本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，直线过定点、动点问题中的数量关系探究．熟练掌握一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由直线与轴交点求出坐标即可； （2）利用证明得到点坐标，结合坐标设解析式，代入点、坐标求解析式，分析过顶点； （3）设时间，得坐标，求直线解析式，进而得到坐标，分和两种情况讨论，分别计算和，探究数量关系． (1) 小问详解： 解：对于直线（）， 当时，， 点的坐标为． (2) 小问详解： 解：直线经过点． 理由如下：直线与轴交于点， ， ， ， 当时，， 点的坐标为． 如图， 过点作轴， ， ， ， ， ， 由题意知点的横坐标为， ， ， ， ， ， ， 点是轴负半轴上一点，且， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得 ，解得 ， 直线的解析式为， 时，， 直线经过点． (3) 小问详解： 解： 如图，，设点的运动时间为秒，则， 设直线的解析式为，则， ， ， 当时，， 解得， ； 如图，当时，点在点右侧， ， ， ， 又， ， ，即； 如图，当时，点在点左侧， 则， ， ， ，即， 综上所述，当时，；当时，． 91．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）一副三角尺如图放置，为中点，边、分别与边、分别交于点、，若，则阴影部分面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及全等三角形的判定是解题的关键． 连接，利用直角三角形中线性质、三角尺角度关系，证明三角形全等，进而通过面积转化求出阴影部分面积． 【详解】 解：连接， ∵为中点，是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， 同理可证， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， 故答案为： 92．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）在中，，点为射线上一动点，且在点的左侧，， （1）如图1，求证：； （2）如图2，．与交于点， ①若点为中点，求的面积； ②设，当时，直接写出点运动路径的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又， ∴；     （2）①2；②7      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）证明，根据可证明； （2）① 过点作于点H，求出，根据证明得，过点作交的延长线于点,证明是等腰直角三角形，得，从而可求出； ② 设，则，求得，，根据得，代入和可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 过点作于点H，如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 同（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴； 过点作交的延长线于点, ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∴； ② ∵， ∴，，点运动路径的长度与点运动路径的长度相等， 设，则， ∴， ， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，， ∴当时，点运动路径的长度为． 93．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）如图，在等边中，点为线段上一点（不含端点），平分交于点，与的延长线交于点，连接，且，以下结论：①；②；③连接，；④，其中正确的有　　　　　　 （请写序号）． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 由已知证出，，证明，即可得出，可判断①； 证出，则可判断②； 由等边三角形的性质得出，，证出，是等腰三角形，设，则，求出，由三角形的外角性质得出，求出，证明，得出，可判断③； 延长至点，使，连接、，证出是等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论④． 【详解】 解：， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，； 故①正确； 是等边三角形， ， ， ， 与不全等， 故②不正确；    是等边三角形， ，， ， ， 是等腰三角形， 设，则， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确； 延长至点，使，连接、，如图：    ， ，， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， 故④正确． 故答案为：① ③ ④． 94．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，和是等腰直角三角形，，连接，.若，，则四边形面积的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，先证明，得到，即得，可知当面积最大时，四边形面积最大，又知当时，的面积取得最大值，据此解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图所示，延长至，使得，连接，则， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵和的面积是定值， ∴当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∴四边形的面积的最大值 ， 故答案为：． 95．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图1，，B在x轴上，点在射线上． （1）若，，． ①点C到x轴的距离为                    ； ②如图2，点D在第四象限，，，连接交x轴于点H，求点D的坐标． （2）如图3，点E、F分别在坐标轴上，，点P为的内角平分线的交点，、分别交x轴、y轴于N、M两点． ①求的度数； ②若点P的纵坐标为m，求的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）①5；②     （2）①；②      【分析】 （1）① 先得出的坐标，再求得点C到x的距离为； ② 过点B作，过点C作交于K点，过点D作交于L点，先证明，再利用全等三角形的性质得出，，从而可求得、，就可得出点D的坐标； （2）① 先证明，，再利用全等三角形的性质得出，从而可求得，进而可求得； ② 先角平分线的性质得出，再根据点P的纵坐标为m，得出，然后根据旋转的性质得出，，，再证明，利用全等三角形的性质得出，从而可求的周长． (1) 小问详解： 解：①∵点，，， ∴， ∴点C到x的距离为5， 故答案为：5； ② 过点B作，过点C作交于K点，过点D作交于L点， 如图2． ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； (2) 小问详解： ① 连接、、，如图3， ∵点P为的内角平分线的交点， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴； ② 过点P作轴交于G点，过点P作轴交于H点，如图3． ∵点P为的内角平分线的交点， ∴． ∵点P的纵坐标为m， ∴． 将绕点P逆时针旋转，得到，如图4．                  图4 ∴，，， ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴的周长 ． 【点睛】 本题考查了求点到坐标轴的距离，三角形角平分线的定义，全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合，根据旋转的性质说明线段或角相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 96．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）如图所示的正方形图案是我国古代数学著作《周髀算经》中的“赵爽弦图”，它是用4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交、于P、M两点：已知正方形的面积为25，．下列结论 ①；②；③；④； 其中正确的是　　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ③ 【分析】 本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形、三角形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．根据正方形的面积为25得出．再根据和勾股定理，解得，；由于得出，．根据三角形面积公式计算即可判断① ；计算，得出，即可判断④ ．根据得出，．再根据得出，根据证明，即可判断② ；根据得出，．根据准则证明，得出．因此即可判断③ ； 【详解】 解：∵， ∴，  ，    ，    ， ∴， ， 解得：或， ，    ， 不符合题意舍去， ∴， ∵， ，，， ∴，故① 正确； ，    ∴，故④ 错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故② 正确； ∵，    ∴，． ，    在和中， ∴， ， ， ， ， ∴，故③ 正确， 故正确的有① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 97．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先证得，从而推得① 正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断② 正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出，则可得出④ 正确，由可得出结论③ 正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤ 正确． 【详解】 解∶ ， ，即． 在和中 ． ，故正确； 设与交于O， ， ， ，， ． 与的所交角等于． ，故② 正确； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ． ，． 在和中 ． ，． 同理． ，． ． ．，， ． 在和中 ． ． ．故④ 正确； ， ．故③ 正确． ， ，， ，故⑤ 正确． 故答案为：． 【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 98．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，是等边三角形，D，E分别为，边上的点，且，，相交于点F，连接并延长到点M，与相交于点G，延长到点N，连接，，若，，点F是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　　　　　　． 【答案】② ③ 【分析】 由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出，可判断① 错误；设，通过三角形内角和外角的性质分别表示出，，即可证明，可判断②正确；通过三角形内角和外角的性质分别表示出，可判断④ 错误；延长到，使，先证明，再证明，由全等三角形的性质得出，即可得出，可判断③ 正确． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故① 错误； ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ， ∴，故④ 错误； 延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，故③ 正确． 故答案为：② ③ ． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉辅助线的常见做法． 99．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线左侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交线段的延长线于点，求证：． （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：，， ，， ， 又，， ， ．     （2） 证明：如图， 作的延长线于点， 同理（1），， ，． ， ． 又，， ， ， 即． ， ．     （3）或      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． （1）通过倒角证明即可； （2）作的延长线于点，先证出，进一步再证出，最后倒边即可； （3）根据点需要分两种情况讨论，设，通过证三角形全等，再倒边可分别求出和的值，最后根据面积公式即可求出比值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， ． 由题意知，点需分两种情况： 当在线段上时，如图， 作的延长线于点， 同理（1），， ，． ， ． 同理（2），， ． 设，则，， ， ， ； 当在的延长线上时，如图， 作的延长线于点， 同理，，， 设，则，， ，， ． 综上所述，的值为或． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】D 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理， 根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】 解：∵平分，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 2．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON=8cm，则OM长为（　　） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 不能确定 【答案】C 【分析】 根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】 解：如图， 是的平分线， ∵ 故选C． 【点睛】 考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 3．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（       ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【分析】 根据作图的方法确定三角形全等的判定方法． 【详解】 作法：① 以O为圆心，任意长为半径画弧，交MO、NO于点A、G， ② 再分别以A、G为圆心，大于AG长为半径画弧，两弧交于点B， ③ 画射线OB，射线OB即为所求， 由作图过程可得：OA=OG，AB=GB，而OB=OB， 则用到的三角形全等的判定方法是：SSS． 故选：A． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定，作线段相等，理解三角形全等的判定是解题的关键． 4．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，在中，，平分，过点D作，若，，则的长为（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 【点睛】 此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 5．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【详解】 解：如图，过点P作于E， ∵是的平分线， ∴， ∵Q是上任一点， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键，作出辅助线更形象直观． 6．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（   ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【分析】 由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答． 【详解】 解：由作图过程可得：， ∵， ∴． ∴． ∴A选项符合题意； 不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意； 不能确定,故C选项不符合题意， 不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． 7．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】D 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】 解：∵平分，，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 8．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据垂线段最短判断点与射线上某一点连线的长度范围． 【详解】 解：过点作于点． 平分， ， 根据垂线段最短，点到射线的距离为7， 点与射线上某一点连线的长度最小为7，观察选项，只有D选项8大于7． 故选：D． 9．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点作， 由题意可知：平分，，， ，， ， ， 故选：． 10．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(     ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 11．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，平分，过C点作于E，并且，则下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 过C作于F．先判定，即可得出，再判定，即可得到；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论． 【详解】 解：如图，过C作于F． ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即，故① 正确； ∵， ∴， ∴，故③ 正确； 又∵， ∴， ∴四边形中，，故② 正确； ∵， ∴， 即，故④ 错误． 故选C． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，四边形的内角和定理以及邻补角定义等知识点的综合运用，正确作辅助线，构造全等三角形是解答此题的关键． 12．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】 解：作于E，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 即点P到边的距离为6． 故答案为：6． 13．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，　　　　　　　　． 【答案】128 【分析】 本题考查的角平分线的性质，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，如图，过作于，交于，此时，此时最短，再结合角平分线与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】 解：如图，过作于，交于，    当时，而平分， ∴， ∴，此时最短， ∵，平分， ∴，， ∴， 故答案为： 14．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 15．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在　　　　　　． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】 本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】 解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 16．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在四边形中，平分，，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：如图，过点作交的延长线于， 平分，，， ，， ，， ， 在和中， ， ；     （2）22      【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，再根据四边形周长定义及线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，，， 平分， ， 在和中， ， ∴． 四边形的周长 ， ，， 四边形的周长． 17．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接． 求证：平分． 请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 证明：如图，过点作于点于点． ， ___________°． ， 即平分___________． 又， ___________．（___________）． 是角平分线，， ， ___________．（等量代换） 又， 点在的平分线上，（角的内部，___________） 平分． 【答案】；；；角平分线的性质；；到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】 本题考查了角平分线的判定和性质．过点作于点于点，先证明平分，再证得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】 略 18．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 【答案】（1） 是的平分线， 理由如下： 在和中， ， ， 平分；     （2）12      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键； （1）利用证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用面积计算公式解题即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：过点作于点， 平分， ， ， ． 19．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为　　　　　　． 【答案】@度 【分析】 本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键．连接，过C作于点F，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】 如图，在x轴和y轴上取点N、P，连接，过C作于点F，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）（多选）已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC． 【答案】证明：过E点作EF⊥AB于点F， ∵∠D＝∠AFE＝90°，AE平分∠DAB ∴DE=EF ∵E是CD的中点 ∴DE＝EC ∴EF＝EC ∵EF⊥AB，∠C＝90° ∴BE平分∠ABC． 【分析】 根据题意，先过E点作EF⊥AB于点F，然后根据角平分线的性质及判定定理进行解答即可. 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了有关角平分线的辅助线画法，以及角平分线的性质及判定的证明，熟练掌握有关角平分线的性质及判定的证明方法是解决本题的关键，这类题目是考试的重点，要理解性掌握. 21．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 【答案】（1） 证明：过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线．     （2） 证明：， 在和中 ， 同理可得， ．      【分析】 此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点的坐标为，直角顶点在轴上． （1）如图（1），若点的坐标为，直接写出点的坐标； （2）如图（2），点在轴的负半轴上，为的中点，连，求的度数； （3）如图（3），点在轴的负半轴上，点在轴负半轴上，连接并延长，交于，若，求点的横坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）2      【分析】 （1）如图，过作轴于，证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）连，，过点分别作轴，轴，垂足分别为，证明，再证明， 可得，从而可得答案； （3）过点作交轴于，过点作轴，垂足为，证明，可得， 证明，   可得 ，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作轴于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴点坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，连结，，过点分别作轴，轴，垂足分别为， 轴轴 ， ， ， 是等腰直角三角形，为的中点   ， ， ，    ，    ， 是的角平分线，即． (3) 小问详解： 解：过点作交轴于，过点作轴，垂足为， ， ， ， 轴轴 ， ， ，    ， 是等腰直角三角形 ， ， ，    ， ，    ，    ，    ， ， ， 点的横坐标为2． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则的长为（     ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 4．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，若，，，，四点在同一直线上，，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，△ACB≌△DCE，∠BCE=25°，则∠ACD的度数为(     ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 6．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，，且，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，已知，，，那么的长是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）如图，两个三角形全等，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，已知，，，则的值为　　　　　． 12．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，，若，，则的长为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，，，若，则等于　　　　． 14．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·福建宁德·期中）古今中外，验证勾股定理的方法众多，常见的方法是通过图形的分割与拼接来证明．例如古印度的“无字证明”：如图所示，用两条互相垂直的线段，将正方形分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形，就可以证明勾股定理． （1）若，则的长是__________； （2）若，则正方形的边长是__________；（用含m、n的代数式表示）； （3）某同学发现：将正方形按图1的方式分割，当所得到的四个图形不全等时，也可以证明勾股定理．如图2，将分割所得的图①移到正方形中的指定位置，请你在正方形中画出②、③、④、⑤四个图形． 16．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，___________； （2）如图①当___________时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（       ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 2．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，得到，测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）如图，在和中，，，下列条件中不能判断与全等的是(          ) A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（        ）． A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（       ） A. SAS B. AAS C. ASA D. HL 7．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）小华同学周末在家做家务，不慎把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以选择的方法是（       ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带③④去 D. 带②④去 8．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，与交于点O，若，要用“”证明，还需要的条件是（       ）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，用直尺和圆规作射线，使它平分，则的理由是（       ） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL 10．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，已知，求作，使得．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（       ）． A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，可以证明，因此测得的长为，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 17．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则周长为（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 18．（25-26学年八上·福建泉州·期中）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 21．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，用尺规作出了，其作图依据是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（       ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 24．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图，，由“”判定，则需添加的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（    ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（     ） A.  B. 2 C.  D.  27．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，下列条件中不能得到的是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 ，就可得△ABC≌△DEF．下列条件中不符合要求的是（   ） A. BC＝EF B. AB＝DE C. ∠B＝∠E D. AB∥DE 30．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，在中，，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 32．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为（     ） A. 100 B. 63 C. 58 D. 56 33．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，，，求证：． 34．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，，求证：． 35．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，已知，．求证：． 36．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，，，，求证：． 37．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，将两根长度相等的钢条，的中点固定在点，使，可以绕着点转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽，原因是和全等，那么判定和全等的依据为　　　　　　． 38．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，，平分，证明． 39．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）已知，，D，C在上，且，求证：． 40．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，点，，在同一条直线上，，点为的中点，求证：． 41．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为　　　　　． 42．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，点在一条直线上，，，．求证：． 43．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，，，，求证：． 44．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）（多选）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．求证：△≌△． 45．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，已知求证： 46．（25-26学年八上·福建福州·期中）已知：如图，，只需添加一个条件　　　　　　．即可证明．（写一个即可）． 47．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B． 连接并延长到点D，使，连接 并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A，B的距离．为什么？ 48．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）小颖家墙边上挂了一盏路灯．某天，小颖对这盏路灯挂得多高产生了兴趣，恰好旁边有根比路灯高度更长的晾衣杆与三块砖，小颖借助这根晾衣杆进行测量，如图： ①将三块砖垒起，测出他们的高度； ②将晾衣杆斜搭在墙上，使得晾衣杆一端落在路灯挂钩A处，另一端放在离墙根的B点； ③将晾衣杆绕B点顺时针旋转，将它的另一端搭在三块砖的边缘上，从而产生； ④测量砖的边沿所在位置E离B点的距离，即的长度为，则路灯所挂的高度． （1）小颖设计的方案你同意吗？请说明理由； （2）求晾衣杆由旋转到的角度的度数． 49．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）如图，在与中，且，，求证． 50．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）已知：如图，是的中点，，．求证：． 51．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图，已知点A、E、F、C在同一条直线上，，，．求证：． 52．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：． 53．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，已知，，．求证：． 54．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 55．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，，，，证明：． 56．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，，，，，，则的长为　　　　　　　　． 57．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 58．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，直线与相交于点A，平分． （1）利用尺规：过点B作直线，交于点D； （2）若，求的度数． 59．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 60．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　　　　　　　． 61．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 62．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）（多选）为等腰直角三角形，，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角，. （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值。 （3）如图2，过点E作交CB的延长线于点H，过点D作，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由. 63．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于　　　　　　． 64．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BF=CE，AB∥DE． 求证：△ABC≌△DEF． 65．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是　　　　　　　　　　　　　　．（写出所有正确结论的序号） 66．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，已知点、、、在同一直线上，且，，，与相交于点．求证： 67．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证：； （2）证明：∠1=∠3． 68．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，，求证：． 69．（25-26学年八上·福建福州·期中）请根据条件进行推理，完成下面的证明，并在括号内注明理由． 如图，在等腰与中，，，，，相交于点M， 求证：． 根据下面的证明过程中序号所对应的内容填入本题中的“括号内”或“横线上”． 证明：∵， ∴（             ①                  ），即， 在和中， ∴， ∴       ④          （          ⑤        ）， ∵          ⑥                  ⑦          ， ∴， ∴（               ⑧                      ） 70．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 71．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在中，为的中线，延长至E，使，若，，，则　　　　　　．（用含a，b的式子表示） 72．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为　　　　　　． 73．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件　　　　　　． 74．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）如图，中，D是延长线上一点，，点G是边上一点，连接交于点F，点E是边上一点，连接，且，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 75．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若，且，则的取值范围是　　　　　　． 76．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形变换”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． （1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图1放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小亮将变换到，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理证明小亮得到． 根据以上信息，请填空： ①______； ②线段，，之间的数量关系为_____； （2）【迁移探究】小亮将四边形纸片换成了图2中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明． 77．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，笔直的公路上、两点相距，、为两村庄，于点，于点，已知，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，且，则收购站应建在离点多远处？ 78．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图，分别是边上的高，． （1）证明：； （2）证明：． 79．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为　　　　　　　　　　． 80．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）课本再现：①角平分线上点到角两边距离相等；②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． （1）如图1，，，，若为，则为________． （2）如图2，在四边形中，平分，，，求证：． （3）在（2）的条件下，如图3，过点作于点，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 81．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）（多选）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD． 82．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）已知：如图，已知是等边三角形，点在边上，在延长线上取点，使得．    （1）尺规作图：作交于F点，保留作图痕迹． （2）如图，求证：． 83．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，已知点是线段上一点，，． （1）求证：； （2）求证：． 84．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，C是的中点，，请添加一个条件　　　　　　　　，使． 85．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）在中，，则边上的中线的取值范围是　　． 86．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）求证：全等三角形的对应边上的高相等．根据所给图形补充已知、求证、证明过程． 已知： 求证： 证明： 87．（25-26学年八·福建龙岩武平第三中学）如图，已知，，相交于点，，． （1）求证：． （2）求证：． 88．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，在中，为等腰直角三角形，直角顶点D在线段上运动，当点D运动到中点时，的面积为　　　　　　　　． 89．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，在中，的平分线交于点D，延长交于E，点分别在上，连接． （1）填空：若，则________； （2）若， ①设，且为锐角，判断的形状并加以证明； ②求证：． 90．（25-26学年八上·福建漳州·期中）设直线（）与轴，轴分别交于，两点．设直线交轴于点，过点作垂线交直线于点． （1）求点的坐标． （2）当时，记点，点是轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． （3）动点在直线上，从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接，在运动过程中，直线交轴于点，请直接写出与的数量关系． 91．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）一副三角尺如图放置，为中点，边、分别与边、分别交于点、，若，则阴影部分面积为　　　　　　　　　　　． 92．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）在中，，点为射线上一动点，且在点的左侧，， （1）如图1，求证：； （2）如图2，．与交于点， ①若点为中点，求的面积； ②设，当时，直接写出点运动路径的长度． 93．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）如图，在等边中，点为线段上一点（不含端点），平分交于点，与的延长线交于点，连接，且，以下结论：①；②；③连接，；④，其中正确的有　　　　　　 （请写序号）． 94．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，和是等腰直角三角形，，连接，.若，，则四边形面积的最大值为　　　　　　． 95．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图1，，B在x轴上，点在射线上． （1）若，，． ①点C到x轴的距离为                    ； ②如图2，点D在第四象限，，，连接交x轴于点H，求点D的坐标． （2）如图3，点E、F分别在坐标轴上，，点P为的内角平分线的交点，、分别交x轴、y轴于N、M两点． ①求的度数； ②若点P的纵坐标为m，求的周长（用含m的代数式表示）． 96．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）如图所示的正方形图案是我国古代数学著作《周髀算经》中的“赵爽弦图”，它是用4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交、于P、M两点：已知正方形的面积为25，．下列结论 ①；②；③；④； 其中正确的是　　　　　　　　　　　． 97．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有　　　　　　　　． 98．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，是等边三角形，D，E分别为，边上的点，且，，相交于点F，连接并延长到点M，与相交于点G，延长到点N，连接，，若，，点F是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　　　　　　． 99．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线左侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交线段的延长线于点，求证：． （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，请直接写出的值． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 2．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON=8cm，则OM长为（　　） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 不能确定 3．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（       ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 4．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，在中，，平分，过点D作，若，，则的长为（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（   ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 8．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 10．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(     ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 11．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，平分，过C点作于E，并且，则下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是　　　　　　． 15．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在　　　　　　． 16．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在四边形中，平分，，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 17．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接． 求证：平分． 请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 证明：如图，过点作于点于点． ， ___________°． ， 即平分___________． 又， ___________．（___________）． 是角平分线，， ， ___________．（等量代换） 又， 点在的平分线上，（角的内部，___________） 平分． 18．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 19．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为　　　　　　． 20．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）（多选）已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC． 21．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 22．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点的坐标为，直角顶点在轴上． （1）如图（1），若点的坐标为，直接写出点的坐标； （2）如图（2），点在轴的负半轴上，为的中点，连，求的度数； （3）如图（3），点在轴的负半轴上，点在轴负半轴上，连接并延长，交于，若，求点的横坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C 8．B 9．C 10．B 11．【答案】5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 12．【答案】4 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：4． 13．【答案】4 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．【答案】16 【分析】 证明和，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】 解：由图知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：16． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 15．【答案】（1）1     （2）     （3） 解：如图所示： 【分析】 本题考查了正方形的四边相等，掌握全等的性质是解题的关键． （1）根据全等的性质可得，，进而即可得解； （2）由图可得，，则，，进而即可求解； （3）根据题意画出图形即可． (1) 小问详解： 解：∵将正方形分割成四个全等的四边形， ∴，， ∵， ∴ ， 故答案为：1； (2) 小问详解： 解：由图可得，， ∴， ∴， ∴正方形的边长 ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 16．【答案】（1）4     （2）或     （3）点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：① 当点在上，点在上；② 当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：∵，，，，，，，， ∴， ① 当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ② 当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 考点02 三角形全等的判定 1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．A 10．C 11．C 12．D 13．B 14．D 15．D 16．A 17．B 18．A 19．D 20．B 21．D 22．A 23．D 24．D 25．C 26．C 27．B 28．C 29．B 30．A 31．D 32．C 33．【答案】证明：在和中， ∵ ， ∴()． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定． 直接根据证明即可． 【详解】 略 34．【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”判定三角形全等及全等三角形对应角相等是解题的关键． 利用判定三角形全等，再由全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】 证明：∵，，， ∴（）， ∴． 35．【答案】见详解 【分析】 本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】 证明：∵在和中， ∴（） 36．【答案】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】 略 37．【答案】边角边 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质的应用；由题意得，由对顶角相等即可判定两个三角形全等． 【详解】 解：连接、，    ∵两根长度相等的钢条，的中点固定在点， ∴， ∵， ∴； 故答案为：边角边． 38．【答案】证明：∵平分， ∴， 在与中， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上定理和定义． 利用角平分线的定义得出，再利用角角边进行证明三角形全等即可． 【详解】 略 39．【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了同位角相等两直线平行，全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用判定可得，再根据同位角相等，两直线平行可得． 【详解】 略 40．【答案】证明：∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可得到． 【详解】 略． 41．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的 判定和性质，利用可证，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 42．【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据证和全等，根据全等三角形的对应边相等即可得出，进而得到． 【详解】 略 43．【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，再利用即可证明． 【详解】 略 44．【答案】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴ ∠C=∠D=90°， 在Rt△ACB和 Rt△BDA 中， ， ∴ △ACB≌ △BDA（HL）． 【分析】 由AC⊥BC，BD⊥AD，得到∠C=∠D=90°，又有公共边相等，根据斜边、直角边定理判定这两个直角三角形全等． 【详解】 略 45．【答案】证明：∵， ， 在与中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，即可得出结论． 【详解】 略 46．【答案】（答案不唯一，或或） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 通过全等三角形的判定方法直接添加条件即可． 【详解】 解：由题意可知，，， 可添加条件，可利用证得， 所以这个条件可以是（答案不唯一）． 也可添加条件，可利用证得， 也可添加条件，可利用证得， 也可添加条件，可利用证得， 故答案为：（答案不唯一，或或）． 47．【答案】在和中， ， ， ． 即的长就是A，B的距离． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】 略 48．【答案】（1） 同意小颖设计的方案，理由如下： 由题意得，， 由旋转的性质可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴同意小颖设计的方案；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，则可证明，得到，据此可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，则可证明，再由平角的定义可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． 49．【答案】证明：， ， ， ， 即， 在与中， ， 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 求出，再根据，得到，根据推出两三角形全等即可． 【详解】 略 50．【答案】证明： ∵是的中点， ∴ 在和中 ． 【分析】 由中点定义得AM=BM，在利用SAS判定两个三角形全等证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查SAS定理及其应用，观察图形，找出图中隐含的等量关系是解题关键． 51．【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴． 【分析】 根据可得，即可证，进而得． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的证明及性质，掌握全等三角形的证明及性质是解题的关键． 52．【答案】证明：∵BF=CE ∴BF+FC=CE+FC ∴BC=EF ∵AC//DF ∴∠ACB=∠DFE 在中 ∴ ∴∠B=∠E ∴AB//DE 【分析】 根据题意证明，然后根据平行线的判定定理即可证明 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题中需注意的相关事项是本题的解题关键． 53．【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先通过角度的和差关系得出，再结合已知的，，利用“”判定两个三角形全等． 【详解】 略 54．【答案】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴． 【分析】 在和中，利用HL定理判定即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查直角三角形的判定，牢记判定定理并能够灵活应用是解题关键． 55．【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 56．【答案】3 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】 在和中， ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 57．【答案】证明：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴∠A=∠C． ∴AB∥CD． 【分析】 根据SAS可知△AOB≌△COD，从而得出∠A=∠C，根据内错角相等两直线平行的判定可得结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了1．全等三角形的判定和性质；2．平行线的判定． 58．【答案】（1） 解：，如图所示；      （2）      【分析】 本题考查了与角平分线有关的计算，作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在点处作，根据内错角相等，两直线平行，得出，即可作答． （2）先结合平行线的性质得，根据角平分线的定义得，因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 59．【答案】；；；；； 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理结合证明过程中前后步骤的逻辑关系填空即可． 【详解】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， 故答案为：；；；；；． 60．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】 解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 61．【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，                                                             在和中， ， ∴．      【分析】 本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴； (2) 小问详解： 略 62．【答案】（1）∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°． ∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°， 又∵EF⊥BC， ∴∠ECF+∠CEF=90°， ∴∠DCB=∠CEF， 在△DBC和△CEF中， ， ∴△DBC≌△CFE； （2）2； （3）不变，值为1 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE； （2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以； （3）在EH上截取EQ=DG，如图2，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出. 【详解】 证明：(1) 略 （2）解：如图1， ∵△DBC≌△CFE， ∴BD=CF，BC=EF， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC， ∴AB=EF，AD=BF， 在△ABM和△EFM中， ， ∴△ABM≌△EFM， ∴BM=FM， ∴BF=2BM， ∴AD=2BM， ∴ （3）解：的值不变． 在EH上截取EQ=DG，如图2， 在△CDG和△CEQ中 ， ∴△CDG≌△CEQ， ∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ， ∵∠DCG+∠DCB=45°， ∴∠ECQ+∠DCB=45°， 而∠DCE=90°， ∴∠HCQ=45°， ∴∠HCQ=∠HCG， 在△HCG和△HCQ中， ， ∴△HCG≌△HCQ， ∴HG=HQ， ∴ 即式子的值不会发生变化. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 63．【答案】28 【分析】 延长交于，由证明，得出，得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】 如图所示，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：28． 【点睛】 此题考查全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，证明三角形全等得出是解题关键． 64．【答案】证明：∵BF=CE， ∴BF-FC=CE-CF，即BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠E=∠B， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 【分析】 首先根据平行线的性质可得∠E=∠B，进而求得BC=EF，再加上∠1=∠2，可利用AAS证明△ABC≌△DEF． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 65．【答案】② ④ 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】 解：① 根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ② 根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③ 根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④ 根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤ 根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：② ④ ． 66．【答案】证明：， ， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 【分析】 本题主要考查了直角三角形全等的判定（），熟练掌握判定定理是解题的关键． 通过已知条件推导出，再结合、，利用直角三角形全等的判定定理证明，从而得出． 【详解】 略 67．【答案】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）已证：， ， 由对顶角相等得：， 又 ， ． 【分析】 （1）先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 68．【答案】证明：， ， 即． 在和中， ， ∴． ． 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，证明即可． 【详解】 略 69．【答案】①等式的性质1；②；③；④；⑤全等三角形对应角相等；⑥；⑦；⑧垂直的定义 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 先利用角度转换得到，再证明，可得，最后利用角度的转换即可解答． 【详解】 证明：∵， ∴（等式的性质1），即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴（垂直的定义） 故答案为：①等式的性质1；②；③；④；⑤全等三角形对应角相等；⑥；⑦；⑧垂直的定义． 70．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定以及性质的运用，熟练掌握全等的判定定理以及运用全等的性质求解线段的长度是解决本题的关键． （1）利用得到，再结合已知条件利用“角角边”判定两个三角形全等； （2）根据全等的性质得到，再根据已知条件结合线段的和差计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 71．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，延长到H，使得，连接，证明得到，；再证明，得到，则，据此由三角形外角的性质可得答案． 【详解】 解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵为的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， 故答案为：． 72．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点B到的垂线段长度． 【详解】 解：在上取一点，使， ∵在中，，，， ∴ ，，， ， ， ， 则最小值时即垂直时，等于的长度， 此时， ∴ ． 故答案为：． 73．【答案】或 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】 补充， 在和中， ， ∴， 补充， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 74．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练运用相关性质是解答本题的关键． （1）运用“”证明，可得，根据“同位角相等，两直线平行”可证明； （2）由可得，根据三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴． 75．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴的垂线，垂足为，可证明，得到，根据题意可证明点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，则，再证明即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴点C只能在y轴右侧， ∵， ∴点B在y轴上， ∵， ∴点C在点B的上方， ∴点B在y轴正半轴上，点C在第一象限， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 76．【答案】（1）① 45；②     （2） 解：，仍然成立，理由如下： 如图，绕点D顺时针旋转得到，与重合，    ∴， 又∵， ∴∘，即，A，P三点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即； 【分析】 （1）① 根据旋转的性质得到，再由等腰直角三角形的性质可得，从而得到，即可求解；② 根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； (1) 小问详解： ① 根据题意得：绕点D顺时针旋转得到， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：45 ② 根据题意得：绕点D顺时针旋转得到， ∴， ∴，即，A，P三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 77．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的实际应用，可利用证明得到，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵、两村到收购站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：收购站应建在离点． 78．【答案】（1） 证明：∵分别是边上的高， ， ， 在和中， ， ， ；     （2） 证明：， ， ， ， 即， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用． （1）由于，可得，根据余角的性质可得，根据得出，即可得出结论； （2）在（1）的基础上，证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 79．【答案】24厘米 【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】 解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 80．【答案】（1）     （2） 证明：如图2中，作于，于， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3） 解：结论：． 理由：如图3中，连接，作于， 同（2）小题可得，， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，求得，即可得解； （2）作于，于，由角平分线的性质定理可得，再证明，即可得证； （3）连接，作于，同（2）小题可得，，再证明，得出，即可得解． (1) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵为， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 81．【答案】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°， 又∵∠D＝110°， ∴∠ACB＝∠D， ∵AB∥DE， ∴∠CAB＝∠E， ∴在△ABC和△EAD中， ， ∴△ABC≌△EAD(AAS)． 【分析】 由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD． 【详解】 略 【点睛】 本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可． 82．【答案】（1） 解：所作图形如图：        ；     （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了作一个角等于已知角及等边三角形的判定和性质和等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明是等边三角形，求得，再证明，，根据证明即可得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 83．【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ；     （2） 证明：， ，， ， ．      【分析】 （1）由得，即，从而即可证得； （2）由可得，，即可得到，从而即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 84．【答案】或 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】 解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 85．【答案】 【分析】 延长到点E，使，连接，证明，得到，在中，根据三角形三边的关系得到，代入求解即可． 【详解】 解：如图所示，延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 86．【答案】已知：，， 求证：． 证明：， ∴ ∴， 在和中 ∴ 【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定．先画出图形，写出已知，求证，然后证明即可． 【详解】 略 87．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ．     （2） 如图，令交于点O， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 88．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 通过作辅助线构造全等三角形，将的面积转化为可计算的图形面积，利用等腰直角三角形和中点的性质求解． 【详解】 解：过点作，交的延长线于点 ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵，是中点， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 89．【答案】（1）     （2） ① 解：是直角三角形，理由如下： 设，在中，． ∵、分别平分、， ∴，． ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵， ∴． 是直角三角形． ② 证明：延长交于， ∵， ∴， 平分， ∴， ∵， 和中 ， ∴（）， ，， 在和中 ， ， ， ， ．      【分析】 （1）利用三角形内角和定理以及角平分线的性质，先求出的度数，再得出的度数，最后根据三角形内角和求出． （2）① 先根据角平分线性质和三角形内角和求出与的关系，再结合已知推出，从而判断三角形形状． ② 通过作辅助线延长交于，先证明，再证明，进而推出结论． (1) 小问详解： 解：在中，∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴在中，． (2) 小问详解： ① 略 ② 略 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 90．【答案】（1）点的坐标为     （2）直线经过点     （3）当时，；当时，      【分析】 本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，直线过定点、动点问题中的数量关系探究．熟练掌握一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由直线与轴交点求出坐标即可； （2）利用证明得到点坐标，结合坐标设解析式，代入点、坐标求解析式，分析过顶点； （3）设时间，得坐标，求直线解析式，进而得到坐标，分和两种情况讨论，分别计算和，探究数量关系． (1) 小问详解： 解：对于直线（）， 当时，， 点的坐标为． (2) 小问详解： 解：直线经过点． 理由如下：直线与轴交于点， ， ， ， 当时，， 点的坐标为． 如图， 过点作轴， ， ， ， ， ， 由题意知点的横坐标为， ， ， ， ， ， ， 点是轴负半轴上一点，且， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得 ，解得 ， 直线的解析式为， 时，， 直线经过点． (3) 小问详解： 解： 如图，，设点的运动时间为秒，则， 设直线的解析式为，则， ， ， 当时，， 解得， ； 如图，当时，点在点右侧， ， ， ， 又， ， ，即； 如图，当时，点在点左侧， 则， ， ， ，即， 综上所述，当时，；当时，． 91．【答案】 【分析】 本题主要考查了直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及全等三角形的判定是解题的关键． 连接，利用直角三角形中线性质、三角尺角度关系，证明三角形全等，进而通过面积转化求出阴影部分面积． 【详解】 解：连接， ∵为中点，是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， 同理可证， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， 故答案为： 92．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又， ∴；     （2）①2；②7      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）证明，根据可证明； （2）① 过点作于点H，求出，根据证明得，过点作交的延长线于点,证明是等腰直角三角形，得，从而可求出； ② 设，则，求得，，根据得，代入和可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 过点作于点H，如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 同（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴； 过点作交的延长线于点, ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∴； ② ∵， ∴，，点运动路径的长度与点运动路径的长度相等， 设，则， ∴， ， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，， ∴当时，点运动路径的长度为． 93．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 由已知证出，，证明，即可得出，可判断①； 证出，则可判断②； 由等边三角形的性质得出，，证出，是等腰三角形，设，则，求出，由三角形的外角性质得出，求出，证明，得出，可判断③； 延长至点，使，连接、，证出是等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论④． 【详解】 解：， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，； 故①正确； 是等边三角形， ， ， ， 与不全等， 故②不正确；    是等边三角形， ，， ， ， 是等腰三角形， 设，则， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确； 延长至点，使，连接、，如图：    ， ，， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， 故④正确． 故答案为：① ③ ④． 94．【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，先证明，得到，即得，可知当面积最大时，四边形面积最大，又知当时，的面积取得最大值，据此解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图所示，延长至，使得，连接，则， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵和的面积是定值， ∴当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∴四边形的面积的最大值 ， 故答案为：． 95．【答案】（1）①5；②     （2）①；②      【分析】 （1）① 先得出的坐标，再求得点C到x的距离为； ② 过点B作，过点C作交于K点，过点D作交于L点，先证明，再利用全等三角形的性质得出，，从而可求得、，就可得出点D的坐标； （2）① 先证明，，再利用全等三角形的性质得出，从而可求得，进而可求得； ② 先角平分线的性质得出，再根据点P的纵坐标为m，得出，然后根据旋转的性质得出，，，再证明，利用全等三角形的性质得出，从而可求的周长． (1) 小问详解： 解：①∵点，，， ∴， ∴点C到x的距离为5， 故答案为：5； ② 过点B作，过点C作交于K点，过点D作交于L点， 如图2． ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； (2) 小问详解： ① 连接、、，如图3， ∵点P为的内角平分线的交点， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴； ② 过点P作轴交于G点，过点P作轴交于H点，如图3． ∵点P为的内角平分线的交点， ∴． ∵点P的纵坐标为m， ∴． 将绕点P逆时针旋转，得到，如图4．                  图4 ∴，，， ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴的周长 ． 【点睛】 本题考查了求点到坐标轴的距离，三角形角平分线的定义，全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合，根据旋转的性质说明线段或角相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 96．【答案】① ② ③ 【分析】 本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形、三角形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．根据正方形的面积为25得出．再根据和勾股定理，解得，；由于得出，．根据三角形面积公式计算即可判断① ；计算，得出，即可判断④ ．根据得出，．再根据得出，根据证明，即可判断② ；根据得出，．根据准则证明，得出．因此即可判断③ ； 【详解】 解：∵， ∴，  ，    ，    ， ∴， ， 解得：或， ，    ， 不符合题意舍去， ∴， ∵， ，，， ∴，故① 正确； ，    ∴，故④ 错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故② 正确； ∵，    ∴，． ，    在和中， ∴， ， ， ， ， ∴，故③ 正确， 故正确的有① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 97．【答案】 【分析】 先证得，从而推得① 正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断② 正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出，则可得出④ 正确，由可得出结论③ 正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤ 正确． 【详解】 解∶ ， ，即． 在和中 ． ，故正确； 设与交于O， ， ， ，， ． 与的所交角等于． ，故② 正确； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ． ，． 在和中 ． ，． 同理． ，． ． ．，， ． 在和中 ． ． ．故④ 正确； ， ．故③ 正确． ， ，， ，故⑤ 正确． 故答案为：． 【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 98．【答案】② ③ 【分析】 由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出，可判断① 错误；设，通过三角形内角和外角的性质分别表示出，，即可证明，可判断②正确；通过三角形内角和外角的性质分别表示出，可判断④ 错误；延长到，使，先证明，再证明，由全等三角形的性质得出，即可得出，可判断③ 正确． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故① 错误； ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ， ∴，故④ 错误； 延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，故③ 正确． 故答案为：② ③ ． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉辅助线的常见做法． 99．【答案】（1） 证明：，， ，， ， 又，， ， ．     （2） 证明：如图， 作的延长线于点， 同理（1），， ，． ， ． 又，， ， ， 即． ， ．     （3）或      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． （1）通过倒角证明即可； （2）作的延长线于点，先证出，进一步再证出，最后倒边即可； （3）根据点需要分两种情况讨论，设，通过证三角形全等，再倒边可分别求出和的值，最后根据面积公式即可求出比值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， ． 由题意知，点需分两种情况： 当在线段上时，如图， 作的延长线于点， 同理（1），， ，． ， ． 同理（2），， ． 设，则，， ， ， ； 当在的延长线上时，如图， 作的延长线于点， 同理，，， 设，则，， ，， ． 综上所述，的值为或． 考点03 角的平分线 1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．A 7．D 8．D 9．A 10．A 11．C 12．【答案】6 【分析】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】 解：作于E，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 即点P到边的距离为6． 故答案为：6． 13．【答案】128 【分析】 本题考查的角平分线的性质，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，如图，过作于，交于，此时，此时最短，再结合角平分线与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】 解：如图，过作于，交于，    当时，而平分， ∴， ∴，此时最短， ∵，平分， ∴，， ∴， 故答案为： 14．【答案】2 【分析】 本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 15．【答案】三条角平分线的交点处 【分析】 本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】 解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 16．【答案】（1） 证明：如图，过点作交的延长线于， 平分，，， ，， ，， ， 在和中， ， ；     （2）22      【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，再根据四边形周长定义及线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，，， 平分， ， 在和中， ， ∴． 四边形的周长 ， ，， 四边形的周长． 17．【答案】；；；角平分线的性质；；到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】 本题考查了角平分线的判定和性质．过点作于点于点，先证明平分，再证得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】 略 18．【答案】（1） 是的平分线， 理由如下： 在和中， ， ， 平分；     （2）12      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键； （1）利用证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用面积计算公式解题即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：过点作于点， 平分， ， ， ． 19．【答案】@度 【分析】 本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键．连接，过C作于点F，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】 如图，在x轴和y轴上取点N、P，连接，过C作于点F，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故答案为：． 20．【答案】证明：过E点作EF⊥AB于点F， ∵∠D＝∠AFE＝90°，AE平分∠DAB ∴DE=EF ∵E是CD的中点 ∴DE＝EC ∴EF＝EC ∵EF⊥AB，∠C＝90° ∴BE平分∠ABC． 【分析】 根据题意，先过E点作EF⊥AB于点F，然后根据角平分线的性质及判定定理进行解答即可. 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了有关角平分线的辅助线画法，以及角平分线的性质及判定的证明，熟练掌握有关角平分线的性质及判定的证明方法是解决本题的关键，这类题目是考试的重点，要理解性掌握. 21．【答案】（1） 证明：过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线．     （2） 证明：， 在和中 ， 同理可得， ．      【分析】 此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1）     （2）     （3）2      【分析】 （1）如图，过作轴于，证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）连，，过点分别作轴，轴，垂足分别为，证明，再证明， 可得，从而可得答案； （3）过点作交轴于，过点作轴，垂足为，证明，可得， 证明，   可得 ，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作轴于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴点坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，连结，，过点分别作轴，轴，垂足分别为， 轴轴 ， ， ， 是等腰直角三角形，为的中点   ， ， ，    ，    ， 是的角平分线，即． (3) 小问详解： 解：过点作交轴于，过点作轴，垂足为， ， ， ， 轴轴 ， ， ，    ， 是等腰直角三角形 ， ， ，    ， ，    ，    ，    ， ， ， 点的横坐标为2． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $