福建省厦门市2026-2027学年人教版八年级数学上册期中数学练习卷

福建省厦门市2026—2027学年第一学期八年级期中练习卷 数学 （满分150分　考试时间120分钟） 学校：______　班级：______　姓名：______　座号：______　成绩：______ 试卷正文 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题意） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5　　B．3，4，8　　C．5，6，10　　D．4，4，8 2．一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（　　） A．6　　B．7　　C．8　　D．9 3．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．等腰三角形　　B．正方形　　C．平行四边形　　D．圆 4．如图，∠ACD是△ABC的外角。若∠A＝70°，∠B＝50°，则∠ACD的度数是（　　） A．100°　　B．110°　　C．120°　　D．130° 5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E。若AC＝5，BC＝8，则△ACE的周长是（　　） A．13　　B．11　　C．8　　D．5 6．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（　　） A．50°　　B．80°　　C．50°或80°　　D．100° 7．如图，在△ABC和△ADC中，∠BAC＝∠DAC。若要用"SAS"判定△ABC≌△ADC，则需要添加的条件是（　　） A．AB＝AD　　B．BC＝DC　　C．∠B＝∠D　　D．∠ACB＝∠ACD 8．下列条件中，不能判定△ABC与△DEF全等的是（　　） A．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E　　B．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF　　C．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D　　D．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D。若BC＝12，BD＝7，则点D到AB的距离是（　　） A．5　　B．7　　C．12　　D．19 10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O。若∠A＝64°，则∠BOC的度数是（　　） A．116°　　B．122°　　C．128°　　D．132° 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若一个三角形的三边长分别为3，5，x，则x的取值范围是________。 12．若点P（m，－2）与点Q（4，n）关于x轴对称，则m＋n＝________。 13．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠C＝________°。 14．如图，△ABC≌△DEF，其中点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点。若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F＝________°。 15．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N。若AB＝6，AC＝5，则△AMN的周长是________。 16．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E。若∠DAE＝20°，则∠C＝________°。 三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，连接AD。求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）AD⊥BC。 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－3，4），B（－4，1），C（－1，1）。 （1）作出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标； （2）求△ABC的面积。 19．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE。求证：△ACD≌△EBD，并说明AC与BE的位置关系。 20．（8分）如图，AB＝AD，CB＝CD，AC与BD相交于点O。 （1）求证：△ABC≌△ADC； （2）求证：AC垂直平分BD。 21．（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF。求证：AD垂直平分EF。 22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10。 （1）用尺规作图，作∠ABC的平分线BD，交边AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段CD的长。 23．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线。 （1）求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC； （2）若AB＝8，AC＝6，BC＝7，求BD的长。 24．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是边AB上一点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE，交边AC于点F，连接EF。 （1）求证：DE＝DF； （2）探究BE与AF的数量关系，并加以证明； （3）若AE＝6，AB＝10，求△AEF的面积。 25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D是直线BC上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE。 （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△ABD≌△ACE； （2）在（1）的条件下，直接写出BD与CE的数量关系，并求出∠BCE的度数； （3）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，（1）（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。 图1 图2 参考答案与解析 （说明：解答题只给出主要得分步骤，其他合理解法同样给分。） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．　C 【考点】三角形的三边关系。 【难度】易 【解题思路】把三条线段按从小到大排列，只需检验"两条较短线段的和是否大于第三条线段"。 【解答过程】A．2＋3＝5，两边之和等于第三边，不能组成三角形；B．3＋4＝7＜8，两边之和小于第三边，不能组成三角形；C．5＋6＝11＞10，均满足，能组成三角形；D．4＋4＝8，两边之和等于第三边，不能组成三角形。故选C。 【错因分析】选A、D：误把"两边之和等于第三边"当作可以组成三角形，此时三点共线，围不成三角形；选B：没有检验两边之和与第三边的大小关系。 2．　C 【考点】多边形的内角和公式（n－2）×180°。 【难度】易 【解题思路】设边数为n，由内角和公式列方程求解。 【解答过程】设这个多边形的边数为n，则（n－2）×180°＝1080°，∴n－2＝6，∴n＝8。故选C。 【错因分析】选A：把"1080°÷180°＝6"直接当作边数，忘记加2；选B、D：解方程或运算出错。 3．　C 【考点】轴对称图形的识别。 【难度】易 【解题思路】判断一个图形是否为轴对称图形，关键看能否找到一条直线，使图形沿这条直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合。 【解答过程】等腰三角形有1条对称轴（底边上的高所在直线），正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，它们都是轴对称图形；而一般的平行四边形不是轴对称图形，它只是中心对称图形。故选C。 【错因分析】选A、B、D：把"中心对称"与"轴对称"混淆。 4．　C 【考点】三角形外角的性质；三角形内角和定理。 【难度】易 【解题思路】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。 【解答过程】∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝70°＋50°＝120°。故选C。 【错因分析】选A：先把∠ACB算成60°，再把60°与40°相加得到100°，混用了"内角和"与"外角性质"；选B、D：运算错误或数据看错。 5．　A 【考点】线段垂直平分线的性质。 【难度】易 【解题思路】点E在AB的垂直平分线上，则EA＝EB，把△ACE的周长转化为AC＋BC。 【解答过程】∵DE垂直平分AB，点E在DE上，∴EA＝EB。∴C△ACE＝AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋EB＝AC＋BC＝5＋8＝13。故选A。 【错因分析】选B：误认为AE＝AB或漏算一条边；选C、D：只算出其中一条线段的长。 6．　C 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论。 【难度】中 【解题思路】80°的角可能是顶角，也可能是底角，需分两种情况讨论，再结合三角形内角和求解。 【解答过程】①若80°是顶角，则底角＝（180°－80°）÷2＝50°；②若80°是底角，则另一底角也是80°，此时顶角＝180°－80°－80°＝20°，符合题意。综上，底角为50°或80°。故选C。 【错因分析】选A：只考虑了80°为顶角的情况，漏掉80°为底角的可能；选B、D：对角的位置判断不全，缺少分类讨论。 7．　A 【考点】全等三角形的判定（SAS）。 【难度】易 【解题思路】已有∠BAC＝∠DAC和公共边AC＝AC，若用SAS，还需添加另一组夹角邻边相等。 【解答过程】当AB＝AD时，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS），符合题意。故选A。 【错因分析】选B：BC＝DC与AC＝AC、∠BAC＝∠DAC构成"两边及其中一边的对角"（SSA），不能判定全等；选C：∠B＝∠D时判定依据是AAS；选D：∠ACB＝∠ACD时判定依据是ASA。C、D虽能判定全等，但不符合题目"SAS"的要求。 8．　D 【考点】全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。 【难度】中 【解题思路】逐项判断所给条件能否唯一确定一对全等三角形，注意“SAS”“ASA”“SSS”可用，而“SSA”不能判定全等。 【解答过程】A．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，即两角及其夹边对应相等，可用ASA判定全等；B．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，三边对应相等，可用SSS判定全等；C．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，即两边及其夹角对应相等，可用SAS判定全等；D．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，属于“两边和其中一边的对角”（SSA），不能判定全等。故选D。 【错因分析】误选A、B、C：没有认清各选项对应的判定方法；漏选D：误以为“两边及一角”就一定能判定全等，忽略了“角必须是两边的夹角”这一关键。 9．　A 【考点】角平分线的性质定理。 【难度】中 【解题思路】点D到AB的距离就是过D作AB的垂线段长，由角平分线的性质可知它等于DC。 【解答过程】∵BC＝12，BD＝7，∴DC＝BC－BD＝12－7＝5。∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，AB过点A，∴点D到AB的距离等于DC＝5。故选A。 【错因分析】选B：把BD当作所求距离；选C：误认为角平分线把对边平分或误用BC；选D：误用BC＋BD计算。 10．　B 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义。 【难度】难 【解题思路】在△BOC中利用内角和，把∠OBC＋∠OCB用∠ABC＋∠ACB的一半表示。 【解答过程】在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－64°＝116°。∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴。在△BOC中，∠BOC＝180°－58°＝122°。故选B。 【错因分析】选A：误用∠BOC＝180°－∠A；选C：误用∠BOC＝180°－∠A；选D：运算出错。（结论可归纳为。） 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．　2＜x＜8 【考点】三角形的三边关系。 【难度】易 【解题思路】第三边应大于另两边之差，且小于另两边之和。 【解答过程】由三边关系得5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8。 12．　6 【考点】用坐标表示轴对称（关于x轴对称的点的坐标特征）。 【难度】易 【解题思路】关于x轴对称的两点，横坐标相同、纵坐标互为相反数。 【解答过程】∵点P（m，－2）与点Q（4，n）关于x轴对称，∴m＝4，n＝2，∴m＋n＝4＋2＝6。故填6。 【易错提醒】“关于x轴对称，纵坐标变号；关于y轴对称，横坐标变号”，不要记混。 13．　90 【考点】三角形内角和定理；比例分配。 【难度】易 【解题思路】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，由三角形内角和为180°列方程求解。 【解答过程】设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x。∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3x＝90°。故填90。 14．　70 【考点】全等三角形的性质；三角形内角和定理。 【难度】易 【解题思路】全等三角形的对应角相等，先求∠C，再由∠F＝∠C得解。 【解答过程】在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－60°＝70°。∵△ABC≌△DEF，C与F是对应顶点，∴∠F＝∠C＝70°。 15．　11 【考点】角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定。 【难度】中 【解题思路】由BO平分∠ABC和MN∥BC得∠MBO＝∠MOB，从而MB＝MO；同理NC＝NO，再把周长转化成AB＋AC。 【解答过程】∵BO平分∠ABC，∴∠MBO＝∠OBC。∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC（两直线平行，内错角相等）。∴∠MBO＝∠MOB，∴MB＝MO。同理可得NC＝NO。∴C△AMN＝AM＋MN＋AN＝AM＋（MO＋ON）＋AN＝（AM＋MB）＋（NC＋AN）＝AB＋AC＝6＋5＝11。 16．　40 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形的两个锐角互余。 【难度】难 【解题思路】设∠C＝x，把∠DAE用x表示，列出方程求解。 【解答过程】设∠C＝x，则∠B＝2x，∠BAC＝180°－3x。∵AE平分∠BAC，∴。∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，∠DAC＝90°－∠C＝90°－x。∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝（90°－x）－（90°－1.5x）＝0.5x。∵∠DAE＝20°，∴0.5x＝20°，∴x＝40°，即∠C＝40°。（验证：∠B＝80°，∠BAC＝60°，∠EAC＝30°，∠DAC＝50°，∠DAE＝50°－30°＝20°，符合题意。） 【易错提醒】要注意∠DAC与∠EAC的大小关系，∠DAE＝∠DAC－∠EAC；若不加判断直接把两角相加，会得到错误方程。 三、解答题（共86分） 17．　（8分） 【考点】全等三角形的判定（SSS）与性质；等腰三角形的性质。 【难度】易 【解题思路】（1）利用AB＝AC、BD＝CD以及公共边AD，用SSS证明全等；（2）由全等得∠ADB＝∠ADC，再结合平角的定义推出AD⊥BC。 【解答过程】（1）在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）。……（4分）（2）由（1）得∠ADB＝∠ADC（全等三角形的对应角相等）。……（5分）∵点D在BC上，∴∠ADB＋∠ADC＝180°。……（6分）∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC。……（8分） 【步骤分说明】①正确写出三组相等条件并证明全等（4分）；②得出∠ADB＝∠ADC（2分）；③结合平角得出AD⊥BC（2分）。 18．　（8分） 【考点】用坐标表示轴对称；在坐标系中求三角形的面积。 【难度】易 【解题思路】（1）关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标互为相反数；（2）BC平行于x轴，可直接用"底×高÷2"求面积。 【解答过程】（1）∵关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，∴A₁（3，4），B₁（4，1），C₁（1，1）。……（2分）如图，依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，即得△A₁B₁C₁。……（4分）（2）∵B（－4，1），C（－1，1），∴BC＝3，且BC∥x轴。……（6分）点A（－3，4）到直线BC（直线y＝1）的距离为h＝4－1＝3。∴。……（8分） 【步骤分说明】①写出A₁的坐标（2分）；②正确作出对称三角形（2分）；③求出底BC与高（2分）；④算出面积（2分，不写单位不扣分）。 19．　（8分） 【考点】全等三角形的判定（SAS）与性质；平行线的判定。 【难度】中 【解题思路】由D是BC的中点得BD＝CD，由对顶角相等得∠ADC＝∠EDB，结合AD＝ED用SAS证明全等；再由全等得∠ACD＝∠EBD，用“内错角相等”推出AC∥BE。 【解答过程】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD。……（1分）∵A，D，E在同一条直线上，B，D，C在同一条直线上，∴∠ADC＝∠EDB（对顶角相等）。……（3分）在△ACD和△EBD中，∵CD＝BD，∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD（SAS）。……（6分）∴AC＝BE，∠ACD＝∠EBD。……（7分）∴AC∥BE（内错角相等，两直线平行）。……（8分） 【步骤分说明】①得出BD＝CD、∠ADC＝∠EDB（3分）；②证明全等（3分）；③得出AC＝BE、∠ACD＝∠EBD（1分）；④得出AC∥BE（1分）。 20．　（8分） 【考点】全等三角形的判定（SSS）与性质；线段垂直平分线的判定。 【难度】中 【解题思路】（1）三边对应相等，用SSS证明；（2）既可由全等得AC平分∠BAD，再用等腰三角形"三线合一"证明；也可用"到线段两端距离相等的点在垂直平分线上"说明。 【解答过程】（1）在△ABC和△ADC中，∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）。……（4分）（2）证法一：由（1）得∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD。……（5分）在△ABD中，∵AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形，又AO平分顶角∠BAD，∴AO⊥BD且BO＝DO（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。∴AC垂直平分BD。……（8分）证法二：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上；∵CB＝CD，∴点C也在线段BD的垂直平分线上。∴直线AC是线段BD的垂直平分线，即AC垂直平分BD。 【步骤分说明】①证明全等（4分）；②得出AC平分∠BAD（2分）；③得出AC⊥BD且平分BD（2分）。 21．　（10分） 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定（AAS）与性质；线段垂直平分线的判定。 【难度】中 【解题思路】先证△ADE≌△ADF，得到AE＝AF、DE＝DF，再说明点A、D都在EF的垂直平分线上。 【解答过程】∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAF。……（2分）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°。……（3分）在△ADE和△ADF中，∵∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF，AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS）。……（6分）∴AE＝AF，DE＝DF（全等三角形的对应边相等）。……（8分）∴点A、点D都在线段EF的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。∴直线AD是线段EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF。……（10分） 【步骤分说明】①得出∠DAE＝∠DAF与两个直角（3分）；②判定全等（3分）；③得出AE＝AF、DE＝DF（2分）；④得出垂直平分线结论（2分）。 22．　（10分） 【考点】尺规作图（作角的平分线）；角平分线的性质；全等三角形的判定（HL）；三角形面积的分割。 【难度】中 【解题思路】（1）按“作已知角的平分线”的基本步骤作图；（2）过D作DE⊥AB，由角平分线的性质得DE＝DC，再用“S△ABC＝S△ABD＋S△BCD”列方程求解。 【解答过程】（1）作法（作图痕迹保留）：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于½MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③作射线BP，交AC于点D。射线BD即为所求。……（4分）（2）过点D作DE⊥AB于点E。∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DC。……（6分）设CD＝DE＝x。∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴½×AC×BC＝½×AB×DE＋½×BC×CD，……（8分）即½×8×6＝½×10×x＋½×6×x，24＝5x＋3x＝8x，解得x＝3。∴CD＝3。……（10分） 【步骤分说明】①尺规作图（4分，痕迹不清酌减）；②作出DE并得出DE＝DC（2分）；③用面积分割列出方程（2分）；④求出CD＝3（2分）。 23．　（10分） 【考点】角平分线的性质；三角形面积公式；等高三角形的面积比与底边比的关系。 【难度】中 【解题思路】（1）过D分别作AB、AC的垂线，两垂线段长相等，再用面积公式作比；（2）△ABD与△ACD以BC为底时高相同，面积比等于BD∶DC，结合（1）列式求解。 【解答过程】（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。……（1分）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF。……（2分）∵，，……（3分）∴。……（4分）（2）∵△ABD与△ACD的公共顶点为A，底边BD、DC在同一条直线BC上，∴以BD、DC为底时，两三角形的高相等（都等于点A到直线BC的距离）。……（6分）∴。……（7分）由（1）得。……（8分）又BD＋DC＝BC＝7，∴。……（10分） 【步骤分说明】①作垂线并用角平分线性质得DE＝DF（2分）；②面积比＝AB∶AC（2分）；③得出面积比＝BD∶DC（3分）；④求出BD∶DC＝4∶3（2分）；⑤求出BD＝4（1分）。 24．　（12分） 【考点】等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定（ASA）与性质；三角形面积公式；图形的旋转。 【难度】难 【解题思路】（1）连接AD，可发现“将△ADE绕点D顺时针旋转90°恰好与△CDF重合”，故转化为证明△ADE≌△CDF；（2）由（1）得AE＝CF，再由AB＝AC得出BE＝AF；（3）先由AB、AE求出BE，再由BE＝AF求出AF，最后用三角形的面积公式求△AEF的面积。 【解答过程】（1）连接AD。∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°。∵D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD＝½BC，且AD⊥BC。……（2分）∴∠ADC＝90°，∠DAE＝½∠BAC＝45°＝∠DCF。∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°。∴∠ADE＝∠ADC－∠EDC＝90°－∠EDC，∠CDF＝∠EDF－∠EDC＝90°－∠EDC，∴∠ADE＝∠CDF。……（4分）在△ADE和△CDF中，∵∠DAE＝∠DCF，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA）。∴DE＝DF。……（5分）（2）BE＝AF。……（6分）证明：由（1）得△ADE≌△CDF，∴AE＝CF。……（8分）又AB＝AC，∴BE＝AB－AE＝AC－CF＝AF。……（9分）（3）∵AE＝6，AB＝10，∴BE＝AB－AE＝4。……（10分）由（2）得AF＝BE＝4。……（11分）∴S△AEF＝½×AE×AF＝½×6×4＝12。……（12分） 【步骤分说明】①得出AD＝CD、AD⊥BC及∠DAE＝∠DCF（2分）；②得出∠ADE＝∠CDF（2分）；③判定全等并得DE＝DF（1分）；④写出BE＝AF（1分）；⑤用AE＝CF证明（2分）；⑥得出AF＝4（1分）；⑦求出△AEF的面积＝12（3分）。 【多解法思路】解法二（坐标法）：以A为原点，AB所在直线为x轴、AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设B（a，0），C（0，a），则D（，）。设E（e，0），F（0，f），由DE⊥DF可得AE＋AF＝AB＝AC，再由AF＝BE可证BE＝AF，同时可算得DE＝DF。解法三（旋转法）：把△ADE绕点D顺时针旋转90°，由AD⊥CD且AD＝CD知点A落在点C上，由∠EDF＝90°知射线DE落在射线DF上，再说明点E落在F处即可。 25．　（12分） 【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定（SAS）与性质；图形的旋转；分类讨论与开放探究。 【难度】难 【解题思路】（1）（3）中的图形都可以看作"把△ABD绕点A旋转∠BAC"，因此只需说明∠BAD＝∠CAE，再用SAS证全等；（2）利用全等把BD转化为CE，再利用对应角求∠BCE。 【解答过程】（1）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠CAE＝∠BAD。……（2分）在△ABD和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。……（4分）（2）BD＝CE；∠BCE＝100°。……（8分，每小题4分）理由：由△ABD≌△ACE得BD＝CE，∠ACE＝∠ABD。∵AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°－80°）÷2＝50°。∵点D在线段BC上，∴∠ABD＝∠ABC＝50°，∴∠ACE＝50°。又CE与CB分别在直线CA的两侧，∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝50°＋50°＝100°。（3）结论仍然成立。……（9分）证明：∵点D在线段BC的延长线上，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD。∵∠DAE＝∠BAC，∴∠CAE＝∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC＝∠BAD。……（10分）在△ABD和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD＝CE。……（11分）又∠ACE＝∠ABD＝∠ABC＝50°，此时CE、CB仍在直线CA的两侧，∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝50°＋50°＝100°。即（1）（2）中的结论仍然成立。……（12分） 【步骤分说明】①得出∠CAE＝∠BAD（2分）；②判定全等（2分）；③写出BD＝CE与∠BCE＝100°（4分）；④判断结论成立并给出∠CAE＝∠BAD的证明（2分）；⑤完成全等与角度结论（2分）。 【多解法思路】解法二（旋转变换）：把△ABD绕点A按逆时针方向旋转∠BAC（即80°）。因为AB＝AC，所以旋转后AB与AC重合，点B落在点C处；又∠DAE＝∠BAC且AD＝AE，所以旋转后AD与AE重合，点D落在点E处。于是△ABD旋转后与△ACE完全重合，从而△ABD≌△ACE，BD＝CE，∠ACE＝∠ABD。此法对（1）（3）两种位置一并成立，体现了"手拉手"模型的本质。 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $