专题05 一元一次方程（3大考点）（期中真题汇编，福建专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·福建永春第一中学·期中）如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（       ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可． 【详解】 解：∵集合B的元素，，可得， ∴， ∴，， ∴， 当时，，，，不满足互异性，情况不存在， 当时，，（舍），时，，，满足题意， 此时，． 故选：Ｃ 【点睛】 本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即可． 2．（25-26学年七上·福建福州第十九中学·期中）二次三项式x2﹣3x+2的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（       ） A. 0，，2 B. 0，，-2 C. 1，，2 D. 1，3，2 【答案】C 【分析】 根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b是一次项系数，c叫做常数项进行分析即可． 【详解】 解：x2-3x+2=0的二次项系数是1，一次项系数是-3，常数项是2， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握判断二次项系数，一次项系数，常数项时要先化成一般式． 3．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）若是方程的解，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查方程的解，利用方程的解是使方程成立来求未知数的值是解题的关键．将代入方程，得出一个关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：把代入方程， 得， 即，解得， 故答案为：． 考点02 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·福建厦门第一中学·期中）方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”是解题的关键. 根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】 解：， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26学年七上·福建泉州一中等·期中）适合的整数的值有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 7个 D. 9个 【答案】A 【分析】 本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点间的距离，通过绝对值方程的几何意义，确定a的取值范围，再求整数a的个数． 【详解】 解：， 原方程可理解为数轴上表示的点到表示和的点的距离之和为8， 点和之间的距离恰好为， 表示的点必在这两点之间（含端点）， 即， 解得， a为整数， ，共4个， 故选：A． 3．（25-26学年七上·福建师范大学附属中学·期中）已知下表中的两个量，成反比例关系，则值是　　　　　　　． 2 3 6 【答案】4 【分析】 本题考查反比例，解一元一次方程．根据反比例是乘积为定值求解即可． 【详解】 解：∵A与B两个量成反比例关系， ∴， ∴． 故答案为：4． 4．（25-26学年七上·福建莆田第二十五中学·期中）若和互为相反数，则　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查相反数的性质，掌握互为相反数的两个数和为0是解决问题的关键．根据相反数的性质列方程，直接求解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵和互为相反数， ∴， 解得：， 故答案为：7． 5．（25-26学年七上·福建厦门第十一中学·期中）若是关于的一元一次方程，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程”判断即可． 【详解】 解：由题意可得：且， 即且， ， 故答案为：． 6．（25-26学年七上·福建泉州第七中学·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． （1）折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是             ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是             ； （2）如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ （3）如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】（1）3，     （2）或     （3）和      【分析】 本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质． （1）找出表示的点与9表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案； （2）分点在小之间和点右侧两种情况解答； （3）先求出A，两点之间距离和连续对折5次后的段数，再求出每两条相邻折痕间的距离，即可解得答案． (1) 小问详解： 解：， ∴折痕与数轴的交点表示的数是：3； 因为两点间的距离为7， ∴这两点到表示数3的点的距离为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：3，； (2) 小问详解： 解：设点表示的数为， ， 点离点A较近，只有两种情况： ① 点在线段上时，， 解得：； ② 当点在点A的左边数轴上时，， 解得：， 故点表示的数是为：或； (3) 小问详解： 解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离， 最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：， 最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：． 答：最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为：和． 7．（25-26学年七上·福建厦门第十一中学·期中）“铺地锦”是我国明朝《算法统宗》里介绍的一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为18450． （1）如图（2）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，则______，？______； （2）在图（3）中按图（1）示例完成（1）的计算； （3）图（4）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，求出运算结果（用含的式子表示）． 【答案】（1）2，4     （2） 解：根据（1）可得 ，如图所示， 计算结果为 2852 ；     （3）      【分析】 本题主要考查有理数的混合运算，代数式表示数，理解题目中表格方法计算有理数的乘法，掌握有理数的混合运算法则，用代数式表示数的方法是解题的关键． （1）根据有理数的乘法可得，由此即可求解； （2）根据表格计算有理数乘法运算方法计算即可； （3）根据题意，，令，可得，根据表格计算有理数乘法运算即可求解． (1) 小问详解： 解：根据图示， ， ， ， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设这个三位数是与两位数是， 根据题意，， 令， 如图所示， ， 故答案为：． 8．（25-26学年七上·福建泉州第五中学·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达1，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题正确的是　　　　　　．（填序号） ①当时，； ②当时，则经过2025次运算后，得到的运算结果是2 ③若，则只能是4； ④若，则的值可能有两种情况． 【答案】② ③ ④ 【分析】 本题主要考查了猜想与证明，准确分析是解题的关键． 根据冰雹猜想的规则，逐一验证每个命题的正确性。命题①中时而非，错误；命题②中经过次运算后结果为，正确；命题③中时只能是，正确；命题④中时有和两种情况，正确； 【详解】 对于命题①：当时，变换序列为，共步第一次到达，故，命题错误； 对于命题②：当时，变换进入循环，运算次后为，之后周期为，，余，对应循环中第个值为，故运算次后结果为，命题正确； 对于命题③：若，则第一步后必须为，第二步为，第一步前若为偶数则除以得，故为；若为奇数则，无整数解，故只能是，命题正确； 对于命题④：若，则步骤为，步骤为，步骤为，步骤为，步骤为，初始值若为偶数则除以得，故；若为奇数则，故，有两种情况，命题正确； 故答案为② ③ ④． 9．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而解答即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而解答即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查解一元一次方程，关键是根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解答． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·福建厦门第一中学·期中）王师傅加工一批零件，前3天加工了36个，照这样的速度，完成全部任务需要再加工9天，这批零件一共有多少个？若这批零件一共有x个，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据前3天加工36个，求出工作效率，总加工时间为前3天与再加工9天之和，据此列出比例方程． 【详解】 解：前3天加工36个，则工作效率为个天， 由于完成全部任务需再加工9天，则总时间为天， 设总零件数为个，列方程得： ， 故选：C． 2．（25-26学年七上·福建福州延安中学·期中）据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知都是正整数，，且满足，则其中的值为（     ） a c m d b A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据每行和对角线上的数字之和相等，即可得出关于m的一元一次方程，求解即可得出结论． 【详解】 已知都是正整数，， ∵， ∴， ∴第一行第3个方格中的数为， ∵第2行及对角线上的三个数之和相等， ∴， 即， 解得， 故选：B． 3．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）一件夹克衫先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，结果获利28元，如果设这件夹克衫的成本价是元，那么根据题意，所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据售价的两种表示方法解答，关系式为：标价×80%=进价+28，把相关数值代入即可． 【详解】由题意得，标价为：x（1+50%）， 八折出售的价格为：（1+50%）x×80%； ∴可列方程为：（1+50%）x×80%=x+28， 故选：A． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据售价的两种不同方式列出等量关系是解题的关键． 4．（25-26学年七上·福建仙游现代中学·期中）如图，将这9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的积相等．则其中的值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查有理数的乘、除法运算，解一元一次方程，难度较大，熟练掌握解题技巧和有理数乘、除法运算法则是解题关键． 先确定同一行、列、对角线的乘积相等，且为，可得，则；，则；，；然后确定幻方的九个空格中处在中央的数是，即可求解． 【详解】 解：， ∴同一行、列、对角线的乘积相等，且为，如图： ∴，则； ，则； ，； 正中间的数为，则幻方的九个空格中处在中央的数是． ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 可求，经检验，均符合题意， 故选：A． 5．（25-26学年七上·福建龙岩实验学校·期中）如图是2025年1月的月历，其中“”型，“”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的值是　　　　　　　　　　． 【答案】5或1 【分析】 本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是列出表示式． 先分别表示出M与N的表示，再由，表示出由此可求． 【详解】 解：设“”型阴影覆盖的最小数字为， 则其他三个数字为， ∴， “”型阴影覆盖的最小数字为， ∴， ∵， ∴，可得， ∴的值是5或1． 故答案为：5或1 ． 6．（25-26学年七上·福建厦门外国语学校·期中）如图，点、都在数轴上，为原点，且，两点间的距离，A，B两点间的距离． （1）请直接写出点、表示的数，：　　　　　，：　　　　　． （2）若点以每秒2个单位长度的速度，点以每秒1个单位长度的速度，同时向左运动，则运动几秒后，两点间的距离？ （3）我们定义：对于数轴上从左到右的三点，如果中间的点与它右边的点的距离恰好是中间的点与它左边的点的距离的3倍，则称中间点是其它两个点的“友好点”．比如，在数轴上点D、O、E分别表示的数为-3、0、9，这三点满足，则称点是点和点的“友好点”． 若点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为秒．在运动的过程中，当点是点和点的“友好点”时，点和点之间的距离是一个定值．请你求出这个定值． 【答案】（1）① 3    ②      （2）或     （3）      【分析】 本题考查了数轴上两点间距离，正确理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置和距离得出结果即可； （2）假设运动秒，利用绝对值表示点，两点间的距离，列出绝对值方程，求出时间即可； （3）假运动秒后，点位于，点位于，点位于，根据“友好点”的定义，列出方程，计算求解的值即可． (1) 小问详解： 解：由于点在数轴的右侧，，两点间的距离， 则点表示的数为3， 点在数轴的左侧，A，B两点间的距离， 则，即点B表示的数为， 故答案为：3，； (2) 小问详解： 解：设运动秒后两点相距3，则此时点的位置为，点的位置为， 根据题意得：， 整理得， 解得或； (3) 小问详解： 解：当点是点和点的“友好点”时，点在点和点之间，在右边， 根据题意得，运动秒后，点位于，点位于，点位于， 由于， 则， 解得， 因此． 答：的定值为． 7．（25-26学年七上·福建师范大学附属中学·期中）将一些长为，宽为的长方形白纸，按照下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． 观察图形中的规律，解答下列问题： （1）将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是________； （2）设白纸有x张，则粘合后的总长度为：_______（用含x的代数式表示）； （3）你认为白纸粘合起来的总长度可能为吗？为什么？ 【答案】（1）75     （2）     （3）白纸粘合起来的总长度不可能为．      【分析】 本题主要考查了列代数式，解一元一次方程等． （1）根据题意找出白纸张数跟纸条长度之间的关系，列式计算即可； （2）x张白纸粘合，需粘合次，重叠，所以总长可以表示出来； （3）根据题意列式得，解方程即可判断． (1) 小问详解： 解：将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是： ， 故答案为：75； (2) 小问详解： 解：根据题意和所给图形可得出： 粘合后的总长度为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：由题意得，， 解得，不是整数， ∴白纸粘合起来的总长度不可能为． 8．（25-26学年七上·福建师范大学附属中学·期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______；（注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______；（4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】 本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】 解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 9．（25-26学年七上·福建泉州第七中学·期中）如图，已知数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是20，动点、分别从、两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设运动时间为． （1）当时，点P对应的数是______，点Q对应的数是______； （2）当t为何值时，P、Q两点之间相距8个单位长度； （3）当时，若线段和线段同时以1个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；     （2）或；     （3）存在秒或秒时，使得，秒时，为；秒时，为12．      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题，涉及两点间距离公式、绝对值方程的求解．熟练掌握数轴上点的运动规律、两点间距离公式以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据动点的起始位置和运动速度、时间，计算动点对应的数． （2）先表示出运动秒后、对应的数，再根据两点间距离公式列出方程求解． （3）先确定时、的位置，再分析线段运动后的、、、的位置，根据距离关系列方程求解，进而求出的距离． (1) 小问详解： 解：点从点（表示的数是）出发，速度是个单位长度/秒，运动时间秒， ∴点对应的数是． 点从点（表示的数是）出发，速度是个单位长度/秒，运动时间秒， ∴点对应的数是， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为． ∴． 当时，． 则或． 当时，，． 当时，，． 综上所述：当或时，P、Q两点之间相距8个单位长度； (3) 小问详解： 解：当时，点对应的数为，点对应的数为． 设线段运动的时间为秒，则，此时： 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ． ． 由，得． 分情况讨论： 当时，， 解得． 当时，，得，故此时不成立． 当时，， 解得． 当时，点对应的数为，点对应的数为，，此时秒． 当时，点对应的数为，点对应的数为，，此时秒．． 综上，存在秒或秒时，使得，秒时，为；秒时，为12． 10．（25-26学年七上·福建厦门槟榔中学·期中）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． （1）请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； （2）数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是_____（填空，要化简结果） ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于650吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 【答案】（1） 如图：      （2）①； ② 不能，理由如下： 设十字框中最中间的一个数为， 由题意可得：， 解得：， ∵十字框内的数均为奇数，而得出的的数均为偶数， ∴十字框中的五个数字之和不能等于．      【分析】 本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，填入合适的数即可； （2）① 根据第1行中间的数是，第2行中间的数是，第3行中间的数是，第4行中间的数是，即可得解；② 设十字框中最中间的一个数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 由图可得：第1行中间的数是， 第2行中间的数是 第3行中间的数是， 第4行中间的数是， …， ∴位于第行的中间的数是； ② 略 11．（25-26学年七上·福建福州·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若分别表示其中的一个数，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元一次方程的应用，代数式求值，解题的关键是正确列出方程． 首先根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等分别列方程求出，然后代入求解即可． 【详解】 解：由题意得，， 解得，， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年七上·福建漳州第三中学·期中）根据以下素材，探索完成任务． 不同方案利润问题的探索 素材1 某校开展爱心义卖活动，小方和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计． 素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒；方案2：木板制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子；方案3：在方案2的基础上，每块图2的余料可以另制作1个小玩具． 素材4 义卖时的售价如标签所示：（所有手工制品全部售出） 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度_______； 任务2 不同分配方案利润相同的探索 当方案1与方案2利润相同时，求a的值； 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当a值为39时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 【答案】任务1：5；任务2：42； 任务3： 应选方案3，理由如下： 选用方案可获得的总利润为（元）， 选用方案可获得的总利润为（元）， 选用方案可获得的总利润为（元）， ∵， ∴为了获得的利润最大，应选用方案． 【分析】 本题考查了有理数的混合运算的应用、一元一次方程的应用． 任务1：利用收纳盒的高度（长方形木板的长制成无盖长方体收纳盒底面的长）计算即可得解； 任务2：设用块长方形木板按图裁割，则用块长方形木板按图裁割，根据题意列出方程求解即可； 任务3：分别计算出各个方案的利润，比较即可得解． 【详解】 解：任务1：根据题意得：， 故收纳盒的高度为； 任务：设用块长方形木板按图裁割，则用块长方形木板按图裁割， 根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴方案可制成个有盖的长方体收纳盒， ∵方案1与方案2利润相同， ∴， 解得：； 任务：略 13．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为2000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八折优惠． （1）如果设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为______元，乙旅行社的费用为______元；（用含的代数式表示，并化简） （2）假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由． （3）如果计划在五月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为，则这七天的日期之和为______．（用含的代数式表示，并化简） （4）假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？ 【答案】（1），；     （2）甲旅行社更优惠，理由： 将代入得，甲旅行社的费用（元）； 乙旅行社的费用（元） ∵元 ∴甲旅行社更优惠；     （3）     （4）他们可能于5月6号或15号或24号出发      【分析】 本题考查的是代数式，整式加减的应用，一元一次方程的应用． （1）由题意得，甲旅行社的费用；乙旅行社的费用，再对两个式子进行化简即可． （2）将代入（1）中的代数式，比较费用较少的比较优惠． （3）设最中间一天的日期为a，分别用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可． （4）根据前面求得七天的日期之和的求得最中间的那个日期，然后分别求得当为63的1倍，2倍，3倍时，日期分别是什么即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，甲旅行社的费用； 乙旅行社的费用． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设最中间一天的日期为a，则这七天分别为：，，，a，，，， ∴这七天的日期之和． (4) 小问详解： ① 设这七天的日期之和是63，则， 解得：， 所以，即6号出发； ② 设这七天的日期之和是63的2倍，即126，则， 解得：， 所以，即15号出发； ③ 设这七天的日期之和是63的3倍，即189，则， 解得：， 所以，即24号出发； 所以他们可能于5月6号或15号或24号出发． 14．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）一列慢车和一列快车分别从、两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出．相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，、两站相距　　　　　　千米． 【答案】558 【分析】 此题考查一元一次方程的应用，设快车速度为，慢车速度为，快车出发后到相遇的时间为t小时，根据相遇时快车和B站的距离与慢车和A站的距离的关系列方程，求出，再计算总距离 【详解】 解：设快车速度为，慢车速度为，快车出发后到相遇的时间为t小时， 相遇时，快车行驶距离为，慢车行驶总距离为， 由题意，， 化简得，解得， A、B两站距离为慢车行驶总距离与快车行驶距离之和，即， 故答案为：558 15．（25-26学年七上·福建龙岩第二中学·期中）随着全球贸易的不断增长，传统的苏伊士运河、巴拿马运河等航道面临着日益严重的拥堵问题，通航效率降低．同时，这些航道途经的一些地区政治局势不稳定，给航运安全带来了巨大威胁．而北极航道作为连接北大西洋和北太平洋的新航线，可避开这些高风险区域，且能缩短航程．“雪龙号”是中国第一艘自主建造的极地科学考察破冰船，若破冰船在无冰区顺流速度为千米/时，水流速度为千米/时． （1）求破冰船在无冰区的逆流速度． （2）若破冰船在冰区顺流、逆流速度均会降低千米/时，请用含有字母的代数式分别表示破冰船在冰区的顺流速度和逆流速度． （3）若A、B两个极地港口相距千米（其中无冰区千米，冰区千米），当时，求破冰船从A到B（顺流）再返回A（逆流）的总时间． 【答案】（1）千米/时     （2）顺流速度：千米/时，逆流速度：千米/时     （3）小时      【分析】 本题主要考查了用字母表示数，列代数式以及行程问题，熟练掌握速度之间的关系是解题的关键． （1）先求出静水速度，静水速度=顺流速度-水流速度，在求逆流速度即可，逆流速度=静水速度-水流速度． （2）找出数量关系，列出代数式即可． （3）将数值代入关系式，并用时间=路程速度公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：破冰船的静水速度：（千米/时）， 无冰区逆流速度：（千米/时）． (2) 小问详解： 解：冰区顺流速度：千米/时， 由（1）可知，无冰区逆流速度为千米/时， 冰区逆流速度：千米/时． (3) 小问详解： 解：当时， 在无冰区顺流所用时间为：（小时）； 在冰区顺流速度为：（千米/时），顺流所用时间：（小时）； 在无冰区逆流所用时间：（小时）； 在冰区逆流速度为：（千米/时），逆流所用时间：（小时）； 总时间：（小时）． 16．（25-26学年七上·福建永春第一中学·期中）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是　　　　　　． 【答案】27 【分析】 根据题意可得关于x、y的方程，继而进行求解即可得答案． 【详解】 根据题意可得： 解得 ， ∴， 故答案为：27． 【点睛】 本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键． 17．（25-26学年七上·福建永春第一中学·期中）如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，且． （1）填空：_______， _______； （2）若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，已知点C为数轴上一动点，且满足，求出点C表示的数； （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在点A与原点之间，且存在正整数k，使得（n为正整数且是一个定值），求k和m的值． 【答案】（1），16     （2）点表示的数为9或37；     （3）当时，；当时，；当时，．      【分析】 本题主要考查了数轴，非负数的意义． （1）利用非负数的意义即可求得结论； （2）分三种情况讨论解答：① 点在点和点的之间，② 点在点的右侧；③ 点在点的左侧； （3）根据题意求得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，依据题意列出的式子，整理后使得的系数为0，再分类计算即可求得结论． (1) 小问详解： 解：， ，， 解得：，， 故答案为：，16； (2) 小问详解： 解：设点在数轴上表示的数为， ① 点在点和点的之间， ，，， ． 解得：； ② 点在点的右侧时， ，，， ． 解得：． ③ 点在点的左侧时，，不存在，此情况不合题意； 综上，点表示的数为9或37； (3) 小问详解： 解：由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的值始终是一个定值， ∴，即， ∵k是正整数， ∴， ∴， ∵n是正整数，为定值， ∴， ∴， ∵k是正整数， ∴k的值为1，2，3， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，当时，；当时，；当时，． 18．（25-26学年七上·福建福州第一中学·期中）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，若的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数为“好数”．当三位自然数为“好数”时，交换的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数，规定，例如：当时，因为，所以384是“好数”，此时，则． （1）请判断：当时，___________“好数”（填“是”或“不是”），若是，请求出值；若不是，请说明理由； （2）已知一个三位自然数是“好数”，的各个数位上的数字和记为，若能被7整除，求所有满足条件的三位自然数． 【答案】（1）是，     （2）263、321、584、642、963      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，一元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据“好数”的定义求解即可； （2）根据题意设，求得，由c的取值进行分类讨论即可求得t的所有取值． (1) 小问详解： 解：，个位数字为3，十位数字为6。 ∵， ∴是好数， 交换百位和十位数字得， ∴， 故答案为：是； (2) 小问详解： 解：根据题意设：（a、b、c为到的自然数）且， ∴， ∴， ∵， ∴c的取值只能为，，，； ∵能被7整除，即能被7整除， ∴当时，，，， 当时，，，， 当时，，，，，或，，， 当时，，，， ∴所有满足条件的三位自然数为：、、、、 19．（25-26学年七上·福建泉州一中等·期中）已知点在数轴上所表示的数分别为，且满足：． （1）填空：___________，___________； （2）①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，则玩具火车的长为___________个单位长度； ②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要44年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，112岁了！”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？ （3）在（2）①的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）①5；②60岁     （3）时，是定值为15      【分析】 本题主要考查绝对值与平方的非负性，数轴上的动点问题，实际问题与一元一次方程的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想． （1）由非负性可求m，n的值； （2）① 由题意可得，即可求解；② 由题意列出方程组，即可求解； （3）用参数t分别表示出的长度，进而用参数t表示出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； 故答案为： (2) 小问详解： ① 由题意得：， ∴， ∴玩具火车的长为：5个单位长度， 故答案为：． ② 如图， 类似① ，借助数轴，可设奶奶和小明的年龄差为线段，则表示的数为，表示的数为， ． 奶奶和小明的年龄差为：，        奶奶现在的年龄是：岁． 答：奶奶现在的年龄是：岁． (3) 小问详解： 如图 设它们的运动时间为秒， 由① 知：A，，P，Q四点运动秒后在数轴上对应的数分别为 A：；：；P：；Q： 则，        ， ∵的值与它们的运动时间无关， ∴， 即当时，的值与它们的运动时间无关，为定值． 该定值为：． 20．（25-26学年七上·福建莆田荔城区莆田第四中学·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数． （1）        ，          ，            ． （2）是数轴上任意一个有理数，则有最小值是        ，有最大值是          ，当取得最大值时相应的有理数的取值范围是            ． （3）如图3，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出的值． 【答案】（1），，     （2）；；     （3）的值为或      【分析】 （1）根据相反数的定义、有理数相关知识以及多项式的次数的定义，即可获得答案； （2）代数式表示点与的距离与点与点距离的和，进而得到当时，最小，求解即可；代数式表示点与的距离与点与点距离的差，然后分情况讨论，即可得到答案； （3）根据题意，秒后，点表示数是，点表示数是，点表示数是，首先求得当点与点重合时，，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． (1) 小问详解： 解： 是的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数， ，，， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 根据题意分情况可得： 当时，， 此时， 当时，， 当时，， 此时， 故当时，的值最小，最小值为； 代数式表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，， 当时，， 此时， 当时，， 所以有最大值是，当取得最大值时相应的有理数的取值范围是； 故答案为：；；； (3) 小问详解： 根据题意，秒后，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 当点与点重合时，根据题意，， 整理得，， 解得， 分两种情况讨论： ① 当时，，， ， 的值是一个定值， ， 解得； ② 当时，，， ∴， ∵的值是一个定值， ∴，解得． 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题主要考查了相反数、有理数分类、多项式的次数、数轴上两点间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题，一元一次方程的应用，整式的加减的应用，分类讨论是解答本题的关键． 21．（25-26学年七上·福建莆田第二十五中学·期中）阅读：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为 理解与实践： （1）数轴上点代表的数是，数轴上表示的点到点之间的距离是______用含的式子表示；可表示为点到表示数______的距离； （2）若，则______； （3）代数式的最小值是______； 拓展与延伸： （4）数轴上三个不重合的点，，，若，，三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”已知点代表的数是，点代表的数是，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 【答案】（1），；     （2）或；     （3）     （4）或或或      【分析】 （1）根据绝对值的几何意义和距离表达式解答即可； （2）化简绝对值运算即可； （3）根据绝对值的几何意义分析出当在线段到中间时，的值最小，再化简绝对值运算即可； （4）设点表示的数为，分类讨论的位置，结合距离的运算方法列式运算即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：数轴上表示的点到点之间的距离是；可表示为点到表示数的距离； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 解得：或； 故答案为：或； (3) 小问详解： ∵表示到点和的距离， ∴当在线段到中间时，的值最小， ∴， 故答案为：； (4) 小问详解： 设点表示的数为， ① 当在左边时，，，由得：，解得； ② 当在，之间靠近时，，由得：，解得； ③ 当在，之间靠近时，，，由得，解得； ④ 当在右边时，，，由得，解得； 综上，点表示的数为或或或． 【点睛】 本题主要考查数轴上两点间的距离公式及绝对值的几何意义，通过分析距离关系解决代数式最值和“倍分点”问题，需分步骤运用绝对值定义，方程求解及分类讨论思想． 22．（25-26学年七上·福建福州延安中学·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知数轴上点、所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转180°得到点，此时数轴上点所表示的数为4，我们称点是点关于点的映射点； 记作：或； 操作二：如图3，已知点和线段，将点、绕同一点旋转180°，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点； 记作：；如：； （1）借助图1、图2、图3理解，直接填空：，；________； （2）若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） （3）点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点在运动过程中，线段的长度是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，点B与点D的距离为1时，求a的值． 【答案】（1）；；     （2）     （3）①4；②或或或      【分析】 本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，解绝对值方程，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据，得出，根据A、B两点所表示的数分别是、，代入求值即可； （3）①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案； ②设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，，得出，根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，当点B在点A右侧时，得出点B表示的数为，当点B在点A左侧时，得出点B表示的数为，根据B、D两点之间距离刚好为1，得出或，解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：； ； 根据题意得：． 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：∵， ∴为的中点， ∵A、B两点所表示的数分别是、， 点表示的数为： ， 所以点C所表示的数； (3) 小问详解： 解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②设点D表示的数为d，点A表示的数为a， ∵点C表示的数是，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴当点B在点A右侧时，点B表示的数为，当点B在点A左侧时，点B表示的数为， ∵B、D两点之间距离刚好为1， ∴或， ∴或， 解得：或或或． 23．（25-26学年七上·福建福州·期中）【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点在数轴上，如果，我们就可以认为点是点与点的“二倍和谐点”，此时点___________点与点的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点___________点与点的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，如果点是点与点的“二倍和谐点”，且点在点的右侧，请求出点表示的数； （3）已知，点是数轴的原点，点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点在线段上，满足，且点也随一起运动，点也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为秒．当点位于点右侧且点是点与点的“二倍和谐点”时，求点此时表示的数． 【答案】（1）不是，是；（2）点F表示的数是；（3）点此时所代表的数为或． 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题，数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识， 理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （2）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （3）根据“二倍和谐点”的定义点表示的数为，由题意得到点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是，则，结合点位于点右侧，即，，分①，②两种情况求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点B不是点A与点C的“二倍和谐点”， 点C是点A与点B的“二倍和谐点”， 故答案为：不是，是； （2）设点表示的数为，当点在点右侧，时， ， 解得：， ∴点F表示的数是； （3）设点表示的数为，， 则：， ∴， ∴点表示的数为， 由题意得：点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是， ∴， ∵点位于点右侧，即， ∴， 当时， ∴， ∴或， ∴． 当时， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， 当 时， ， 当时， ， ∴当点位于点右侧且点是点与点N的“二倍和谐点”时， 点此时所代表的数为或． 24．（25-26学年七上·福建福州第一中学·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题： 如图2：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数是最大的负整数，且满足． （1）___________，___________，___________； （2）若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，求点表示的数； （3）点开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1），，     （2）点P表示数或     （3） 解：改变，理由如下： ∵点和点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴， ， ∵点以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴， ∴，， 当，则，随着时间的变化而改变； 当，则，不随着时间的变化而改变； 答：的值改变．      【分析】 本题主要考查了数轴及两点间的距离、绝对值的意义，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据最大的负整数是，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （2）设点P表示数，表示出点到点的距离和点到点的距离，由题意列出等式求解即可； （3）分别表示出的表达式，再结合时间进行化解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，， ∵是最大的负整数， ∴； 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：设点P表示数，则点到点的距离等于，点到点的距离等于， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， 即或， 解得或， 则点P表示数或； (3) 小问详解： 略 25．（25-26学年七上·福建漳州第一中学·期中）定义：对于数轴上一点和一个非零常数，若存在点，使得点到原点的距离是点到原点距离的倍，且两点在原点两侧，我们就称点是点的“倍对称点”．特别地，我们规定原点的“倍对称点”为原点．例如，数轴上表示的点的“倍对称点”为表示的点，表示的点的“倍对称点”为表示的点． 已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． （1）点的“倍对称点”表示的数是___________；点的“倍对称点”和点之间的距离是___________． （2）①点表示的数是___________（用含的代数式表示）． ②当为何值时，点的“倍对称点”到点的距离是个单位长度． （3）已知点为点的“倍对称点”，点为点的“倍对称点”，那么在点运动过程中，是否存在某个或的值，使得点到原点的距离恰好等于它到点的距离？若存在，求或的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）①；②或     （3）或      【分析】 （1）根据“k倍对称点”的定义，先确定点A的“1倍对称点”表示的数，再利用数轴上两点间距离公式计算其与点B的距离． （2）① 根据点的运动规律，用起始点表示的数加上运动速度乘以时间得到点M表示的数；② 先求出点M的“2倍对称点”表示的数，再根据两点间距离为6列方程求解． （3）先根据定义分别表示出点、点表示的数，再根据点到原点的距离等于到点的距离列方程，分情况讨论求解． (1) 小问详解： 解：∵点A表示的数为，根据“1倍对称点”的定义，点A的“1倍对称点”到原点的距离是，且与点A在原点的两侧， ∴点的“1倍对称点”表示的数是． ∵点B表示的数为， ∴点A的“1倍对称点”和点B之间的距离是． (2) 小问详解： 解：①∵点M从点A（表示的数为）出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒， ∴点M表示的数是． ②设点M的“2倍对称点”为点． 点M表示的数是，则点M到原点的距离为． ∵点是点M的“2倍对称点”，且、在原点两侧， ∴点表示的数为． ∵点到点A的距离是， ∴，即． 当时，，， 解得； 当时，，， 解得． ∴当为或时，点的“2倍对称点”到点的距离是6个单位长度； (3) 小问详解： 解：由题意可得点表示的数为． ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为； ∵与在原点两侧，的绝对值为， ∴的绝对值为， ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为， ∴点到原点的距离为，点到点的距离为． 由， 分情况讨论： 当时，两边同时除以，得． （无解）或，解得． 当时，即，解得，此时点在原点，点也在原点，点也在原点，点到原点的距离为，到点的距离也为，符合条件． 综上，或． 26．（25-26学年七上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作． （1）______，______； （2）若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒6个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数； （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）总路程，停在     （3）存在，，，，      【分析】 （1）根据非负数的意义分析即可； （2）根据题意，、、三点重合，则只需计算点的位置以及运动时间即可； （3）根据题意分情况讨论，根据情况建立一元一次方程解决问题． (1) 小问详解： ∵， ∴，， 故答案为；． (2) 小问详解： 当点到达点时，动点从原点出发， 到达点需要：（秒）， 此时点的位置为：， 设秒后停止运动， 则，解得， 此时点的位置在：， 即也停在点位置，对应的有理数为， 运动的时间为秒，速度为每秒个单位， ∴运动路程为：， 综上所述，行驶的总路程为，停留在． (3) 小问详解： 存在，的值为：，，，， 理由如下：∵（秒）， ∴秒后、后停止运动， ① 当、分别位于的两侧时，如图， 此时，表示的数为，表示的数为， ∴，解得； ② 当和重合时，即第一次相遇时，如图， 则，解得； ③ 当点从点返回时，则点表示的数为：， 若此时未到点，则，如图， 则，解得（不合题意，舍去）， ∴此时已经过点，，如图， 则，解得； ④ 当点、在点右侧重合时，即第二次相遇时，如图， ，解得，此时点、到达点，停止运动，符合题意； 综上所述，的值为：，，，． 【点睛】 本题考查了数轴和数轴上点的运动，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意，分类讨论，分类讨论要做到不重不漏． 27．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．    （1）若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是            ； （2）若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； （3）在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值． 【答案】（1）1     （2）或     （3）7或或或      【分析】 （1）设点C表示的数是，则，根据题意，得，代入计算即可． （2）设点C表示的数是，结合，则或，分别计算即可． （3）设点C表示的数是m，则，分类计算即可． (1) 小问详解： 解：设点C表示的数是， ∵点A表示的数是，点B表示的数是3，点C在线段上， ∴， ∵点C是点A关于B的“隔序点”，且 ， ∴， ∴， 解得， ∴点C表示的数是1， 故答案为：1． (2) 小问详解： 设点C表示的数是， ∵， ∴或， 当时， ∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． (3) 小问详解： 设点C表示的数是m，则， ∵k和b满足， 又：表示数轴上表示点的数到表示点的数的距离，以及到表示点3的数的距离之和， ∴当时，有最小值为， ∴当k取最小值时，b最大值时，此时：， 当点C是点B关于A“隔序点”时，，， ∴， 解得：或； 当点C是点A关于B“隔序点”时，，， ∴， 解得：或； 综上所述m的值为7或或或． 【点睛】 本题考查了新定义计算，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，最值的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 28．（25-26学年七上·福建永春第一中学·期中）（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，规定点与点之间的距离表示为，若点A，B所表示的数a，b满足，，则             ，             ； （2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以1个单位/的速度向正方向运动，同时线段以2个单位/的速度向负方向运动．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？ （3）如图2，、、三点在以为原点的数轴上，点在以为圆心，半径等于2的圆周上，且，点绕点以的速度顺时针旋转了时停止运动；同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转（当停止运动，也停止），问：点、开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？ 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】 本题考查了绝对值与平方数的性质、数轴上的运动以及角度相关知识，解题关键在于利用相关性质建立等式或方程，并清晰分析运动过程与角度关系； （1）利用数轴张两点的距离计算即可得出答案； （2）对于线段的运动，通过分析它们的相对运动速度和初始距离来计算完全离开所需时间； （3）对于点的旋转和运动问题，需要分不同阶段，根据角度关系建立方程求解． 【详解】 （1）由图可知：， ， 解得； （2）由（1）知点A表示数为，点B表示数为6，点Q表示数为8， 线段长为， 运动到完全离开时间为； （3）点绕点O旋转用时， 点到点的距离为，用时为． ① 点与点P第一次重合时，即共线，如图， 则， 解得：； ② 当射线与射线第一次成一条直线时．如图， 则， 解得：； 当点与点P第二次重合时，即共线，如图， ， 解得：； 当射线与射线第二次成一条直线时．如图， 则， 解得：（舍去）； 综上所述，当运动时间为或或时，线段、在同一直线上． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·福建永春第一中学·期中）如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（       ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2．（25-26学年七上·福建福州第十九中学·期中）二次三项式x2﹣3x+2的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（       ） A. 0，，2 B. 0，，-2 C. 1，，2 D. 1，3，2 3．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）若是方程的解，则的值为　　　　　． 考点02 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·福建厦门第一中学·期中）方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·福建泉州一中等·期中）适合的整数的值有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 7个 D. 9个 3．（25-26学年七上·福建师范大学附属中学·期中）已知下表中的两个量，成反比例关系，则值是　　　　　　　． 2 3 6 4．（25-26学年七上·福建莆田第二十五中学·期中）若和互为相反数，则　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年七上·福建厦门第十一中学·期中）若是关于的一元一次方程，则　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·福建泉州第七中学·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． （1）折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是             ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是             ； （2）如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ （3）如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 7．（25-26学年七上·福建厦门第十一中学·期中）“铺地锦”是我国明朝《算法统宗》里介绍的一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为18450． （1）如图（2）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，则______，？______； （2）在图（3）中按图（1）示例完成（1）的计算； （3）图（4）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，求出运算结果（用含的式子表示）． 8．（25-26学年七上·福建泉州第五中学·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达1，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题正确的是　　　　　　．（填序号） ①当时，； ②当时，则经过2025次运算后，得到的运算结果是2 ③若，则只能是4； ④若，则的值可能有两种情况． 9．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）解方程： （1）； （2）． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·福建厦门第一中学·期中）王师傅加工一批零件，前3天加工了36个，照这样的速度，完成全部任务需要再加工9天，这批零件一共有多少个？若这批零件一共有x个，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·福建福州延安中学·期中）据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知都是正整数，，且满足，则其中的值为（     ） a c m d b A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）一件夹克衫先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，结果获利28元，如果设这件夹克衫的成本价是元，那么根据题意，所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·福建仙游现代中学·期中）如图，将这9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的积相等．则其中的值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  5．（25-26学年七上·福建龙岩实验学校·期中）如图是2025年1月的月历，其中“”型，“”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的值是　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·福建厦门外国语学校·期中）如图，点、都在数轴上，为原点，且，两点间的距离，A，B两点间的距离． （1）请直接写出点、表示的数，：　　　　　，：　　　　　． （2）若点以每秒2个单位长度的速度，点以每秒1个单位长度的速度，同时向左运动，则运动几秒后，两点间的距离？ （3）我们定义：对于数轴上从左到右的三点，如果中间的点与它右边的点的距离恰好是中间的点与它左边的点的距离的3倍，则称中间点是其它两个点的“友好点”．比如，在数轴上点D、O、E分别表示的数为-3、0、9，这三点满足，则称点是点和点的“友好点”． 若点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为秒．在运动的过程中，当点是点和点的“友好点”时，点和点之间的距离是一个定值．请你求出这个定值． 7．（25-26学年七上·福建师范大学附属中学·期中）将一些长为，宽为的长方形白纸，按照下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． 观察图形中的规律，解答下列问题： （1）将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是________； （2）设白纸有x张，则粘合后的总长度为：_______（用含x的代数式表示）； （3）你认为白纸粘合起来的总长度可能为吗？为什么？ 8．（25-26学年七上·福建师范大学附属中学·期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______；（注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______；（4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 9．（25-26学年七上·福建泉州第七中学·期中）如图，已知数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是20，动点、分别从、两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设运动时间为． （1）当时，点P对应的数是______，点Q对应的数是______； （2）当t为何值时，P、Q两点之间相距8个单位长度； （3）当时，若线段和线段同时以1个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 10．（25-26学年七上·福建厦门槟榔中学·期中）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． （1）请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； （2）数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是_____（填空，要化简结果） ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于650吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 11．（25-26学年七上·福建福州·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若分别表示其中的一个数，则的值为　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年七上·福建漳州第三中学·期中）根据以下素材，探索完成任务． 不同方案利润问题的探索 素材1 某校开展爱心义卖活动，小方和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计． 素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒；方案2：木板制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子；方案3：在方案2的基础上，每块图2的余料可以另制作1个小玩具． 素材4 义卖时的售价如标签所示：（所有手工制品全部售出） 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度_______； 任务2 不同分配方案利润相同的探索 当方案1与方案2利润相同时，求a的值； 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当a值为39时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 13．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为2000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八折优惠． （1）如果设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为______元，乙旅行社的费用为______元；（用含的代数式表示，并化简） （2）假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由． （3）如果计划在五月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为，则这七天的日期之和为______．（用含的代数式表示，并化简） （4）假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？ 14．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）一列慢车和一列快车分别从、两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出．相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，、两站相距　　　　　　千米． 15．（25-26学年七上·福建龙岩第二中学·期中）随着全球贸易的不断增长，传统的苏伊士运河、巴拿马运河等航道面临着日益严重的拥堵问题，通航效率降低．同时，这些航道途经的一些地区政治局势不稳定，给航运安全带来了巨大威胁．而北极航道作为连接北大西洋和北太平洋的新航线，可避开这些高风险区域，且能缩短航程．“雪龙号”是中国第一艘自主建造的极地科学考察破冰船，若破冰船在无冰区顺流速度为千米/时，水流速度为千米/时． （1）求破冰船在无冰区的逆流速度． （2）若破冰船在冰区顺流、逆流速度均会降低千米/时，请用含有字母的代数式分别表示破冰船在冰区的顺流速度和逆流速度． （3）若A、B两个极地港口相距千米（其中无冰区千米，冰区千米），当时，求破冰船从A到B（顺流）再返回A（逆流）的总时间． 16．（25-26学年七上·福建永春第一中学·期中）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是　　　　　　． 17．（25-26学年七上·福建永春第一中学·期中）如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，且． （1）填空：_______， _______； （2）若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，已知点C为数轴上一动点，且满足，求出点C表示的数； （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在点A与原点之间，且存在正整数k，使得（n为正整数且是一个定值），求k和m的值． 18．（25-26学年七上·福建福州第一中学·期中）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，若的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数为“好数”．当三位自然数为“好数”时，交换的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数，规定，例如：当时，因为，所以384是“好数”，此时，则． （1）请判断：当时，___________“好数”（填“是”或“不是”），若是，请求出值；若不是，请说明理由； （2）已知一个三位自然数是“好数”，的各个数位上的数字和记为，若能被7整除，求所有满足条件的三位自然数． 19．（25-26学年七上·福建泉州一中等·期中）已知点在数轴上所表示的数分别为，且满足：． （1）填空：___________，___________； （2）①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，则玩具火车的长为___________个单位长度； ②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要44年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，112岁了！”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？ （3）在（2）①的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 20．（25-26学年七上·福建莆田荔城区莆田第四中学·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数． （1）        ，          ，            ． （2）是数轴上任意一个有理数，则有最小值是        ，有最大值是          ，当取得最大值时相应的有理数的取值范围是            ． （3）如图3，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出的值． 21．（25-26学年七上·福建莆田第二十五中学·期中）阅读：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为 理解与实践： （1）数轴上点代表的数是，数轴上表示的点到点之间的距离是______用含的式子表示；可表示为点到表示数______的距离； （2）若，则______； （3）代数式的最小值是______； 拓展与延伸： （4）数轴上三个不重合的点，，，若，，三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”已知点代表的数是，点代表的数是，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 22．（25-26学年七上·福建福州延安中学·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知数轴上点、所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转180°得到点，此时数轴上点所表示的数为4，我们称点是点关于点的映射点； 记作：或； 操作二：如图3，已知点和线段，将点、绕同一点旋转180°，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点； 记作：；如：； （1）借助图1、图2、图3理解，直接填空：，；________； （2）若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） （3）点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点在运动过程中，线段的长度是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，点B与点D的距离为1时，求a的值． 23．（25-26学年七上·福建福州·期中）【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点在数轴上，如果，我们就可以认为点是点与点的“二倍和谐点”，此时点___________点与点的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点___________点与点的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，如果点是点与点的“二倍和谐点”，且点在点的右侧，请求出点表示的数； （3）已知，点是数轴的原点，点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点在线段上，满足，且点也随一起运动，点也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为秒．当点位于点右侧且点是点与点的“二倍和谐点”时，求点此时表示的数． 24．（25-26学年七上·福建福州第一中学·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题： 如图2：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数是最大的负整数，且满足． （1）___________，___________，___________； （2）若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，求点表示的数； （3）点开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 25．（25-26学年七上·福建漳州第一中学·期中）定义：对于数轴上一点和一个非零常数，若存在点，使得点到原点的距离是点到原点距离的倍，且两点在原点两侧，我们就称点是点的“倍对称点”．特别地，我们规定原点的“倍对称点”为原点．例如，数轴上表示的点的“倍对称点”为表示的点，表示的点的“倍对称点”为表示的点． 已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． （1）点的“倍对称点”表示的数是___________；点的“倍对称点”和点之间的距离是___________． （2）①点表示的数是___________（用含的代数式表示）． ②当为何值时，点的“倍对称点”到点的距离是个单位长度． （3）已知点为点的“倍对称点”，点为点的“倍对称点”，那么在点运动过程中，是否存在某个或的值，使得点到原点的距离恰好等于它到点的距离？若存在，求或的值；若不存在，请说明理由． 26．（25-26学年七上·福建泉州石狮石光中学·期中）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作． （1）______，______； （2）若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒6个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数； （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 27．（25-26学年七·福建厦门思明区松柏中学·期中）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．    （1）若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是            ； （2）若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； （3）在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值． 28．（25-26学年七上·福建永春第一中学·期中）（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，规定点与点之间的距离表示为，若点A，B所表示的数a，b满足，，则             ，             ； （2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以1个单位/的速度向正方向运动，同时线段以2个单位/的速度向负方向运动．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？ （3）如图2，、、三点在以为原点的数轴上，点在以为圆心，半径等于2的圆周上，且，点绕点以的速度顺时针旋转了时停止运动；同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转（当停止运动，也停止），问：点、开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程（3大考点） 考点01 从算式到方程 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．C 2．C 3．【答案】 【分析】 本题考查方程的解，利用方程的解是使方程成立来求未知数的值是解题的关键．将代入方程，得出一个关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：把代入方程， 得， 即，解得， 故答案为：． 考点02 解一元一次方程 1．D 2．A 3．【答案】4 【分析】 本题考查反比例，解一元一次方程．根据反比例是乘积为定值求解即可． 【详解】 解：∵A与B两个量成反比例关系， ∴， ∴． 故答案为：4． 4．【答案】7 【分析】 本题考查相反数的性质，掌握互为相反数的两个数和为0是解决问题的关键．根据相反数的性质列方程，直接求解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵和互为相反数， ∴， 解得：， 故答案为：7． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程”判断即可． 【详解】 解：由题意可得：且， 即且， ， 故答案为：． 6．【答案】（1）3，     （2）或     （3）和      【分析】 本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质． （1）找出表示的点与9表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案； （2）分点在小之间和点右侧两种情况解答； （3）先求出A，两点之间距离和连续对折5次后的段数，再求出每两条相邻折痕间的距离，即可解得答案． (1) 小问详解： 解：， ∴折痕与数轴的交点表示的数是：3； 因为两点间的距离为7， ∴这两点到表示数3的点的距离为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：3，； (2) 小问详解： 解：设点表示的数为， ， 点离点A较近，只有两种情况： ① 点在线段上时，， 解得：； ② 当点在点A的左边数轴上时，， 解得：， 故点表示的数是为：或； (3) 小问详解： 解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离， 最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：， 最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：． 答：最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为：和． 7．【答案】（1）2，4     （2） 解：根据（1）可得 ，如图所示， 计算结果为 2852 ；     （3）      【分析】 本题主要考查有理数的混合运算，代数式表示数，理解题目中表格方法计算有理数的乘法，掌握有理数的混合运算法则，用代数式表示数的方法是解题的关键． （1）根据有理数的乘法可得，由此即可求解； （2）根据表格计算有理数乘法运算方法计算即可； （3）根据题意，，令，可得，根据表格计算有理数乘法运算即可求解． (1) 小问详解： 解：根据图示， ， ， ， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设这个三位数是与两位数是， 根据题意，， 令， 如图所示， ， 故答案为：． 8．【答案】② ③ ④ 【分析】 本题主要考查了猜想与证明，准确分析是解题的关键． 根据冰雹猜想的规则，逐一验证每个命题的正确性。命题①中时而非，错误；命题②中经过次运算后结果为，正确；命题③中时只能是，正确；命题④中时有和两种情况，正确； 【详解】 对于命题①：当时，变换序列为，共步第一次到达，故，命题错误； 对于命题②：当时，变换进入循环，运算次后为，之后周期为，，余，对应循环中第个值为，故运算次后结果为，命题正确； 对于命题③：若，则第一步后必须为，第二步为，第一步前若为偶数则除以得，故为；若为奇数则，无整数解，故只能是，命题正确； 对于命题④：若，则步骤为，步骤为，步骤为，步骤为，步骤为，初始值若为偶数则除以得，故；若为奇数则，故，有两种情况，命题正确； 故答案为② ③ ④． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而解答即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而解答即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查解一元一次方程，关键是根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解答． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．C 2．B 3．A 4．A 5．【答案】5或1 【分析】 本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是列出表示式． 先分别表示出M与N的表示，再由，表示出由此可求． 【详解】 解：设“”型阴影覆盖的最小数字为， 则其他三个数字为， ∴， “”型阴影覆盖的最小数字为， ∴， ∵， ∴，可得， ∴的值是5或1． 故答案为：5或1 ． 6．【答案】（1）① 3    ②      （2）或     （3）      【分析】 本题考查了数轴上两点间距离，正确理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置和距离得出结果即可； （2）假设运动秒，利用绝对值表示点，两点间的距离，列出绝对值方程，求出时间即可； （3）假运动秒后，点位于，点位于，点位于，根据“友好点”的定义，列出方程，计算求解的值即可． (1) 小问详解： 解：由于点在数轴的右侧，，两点间的距离， 则点表示的数为3， 点在数轴的左侧，A，B两点间的距离， 则，即点B表示的数为， 故答案为：3，； (2) 小问详解： 解：设运动秒后两点相距3，则此时点的位置为，点的位置为， 根据题意得：， 整理得， 解得或； (3) 小问详解： 解：当点是点和点的“友好点”时，点在点和点之间，在右边， 根据题意得，运动秒后，点位于，点位于，点位于， 由于， 则， 解得， 因此． 答：的定值为． 7．【答案】（1）75     （2）     （3）白纸粘合起来的总长度不可能为．      【分析】 本题主要考查了列代数式，解一元一次方程等． （1）根据题意找出白纸张数跟纸条长度之间的关系，列式计算即可； （2）x张白纸粘合，需粘合次，重叠，所以总长可以表示出来； （3）根据题意列式得，解方程即可判断． (1) 小问详解： 解：将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是： ， 故答案为：75； (2) 小问详解： 解：根据题意和所给图形可得出： 粘合后的总长度为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：由题意得，， 解得，不是整数， ∴白纸粘合起来的总长度不可能为． 8．【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】 本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】 解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 9．【答案】（1），；     （2）或；     （3）存在秒或秒时，使得，秒时，为；秒时，为12．      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题，涉及两点间距离公式、绝对值方程的求解．熟练掌握数轴上点的运动规律、两点间距离公式以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据动点的起始位置和运动速度、时间，计算动点对应的数． （2）先表示出运动秒后、对应的数，再根据两点间距离公式列出方程求解． （3）先确定时、的位置，再分析线段运动后的、、、的位置，根据距离关系列方程求解，进而求出的距离． (1) 小问详解： 解：点从点（表示的数是）出发，速度是个单位长度/秒，运动时间秒， ∴点对应的数是． 点从点（表示的数是）出发，速度是个单位长度/秒，运动时间秒， ∴点对应的数是， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为． ∴． 当时，． 则或． 当时，，． 当时，，． 综上所述：当或时，P、Q两点之间相距8个单位长度； (3) 小问详解： 解：当时，点对应的数为，点对应的数为． 设线段运动的时间为秒，则，此时： 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ． ． 由，得． 分情况讨论： 当时，， 解得． 当时，，得，故此时不成立． 当时，， 解得． 当时，点对应的数为，点对应的数为，，此时秒． 当时，点对应的数为，点对应的数为，，此时秒．． 综上，存在秒或秒时，使得，秒时，为；秒时，为12． 10．【答案】（1） 如图：      （2）①； ② 不能，理由如下： 设十字框中最中间的一个数为， 由题意可得：， 解得：， ∵十字框内的数均为奇数，而得出的的数均为偶数， ∴十字框中的五个数字之和不能等于．      【分析】 本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，填入合适的数即可； （2）① 根据第1行中间的数是，第2行中间的数是，第3行中间的数是，第4行中间的数是，即可得解；② 设十字框中最中间的一个数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 由图可得：第1行中间的数是， 第2行中间的数是 第3行中间的数是， 第4行中间的数是， …， ∴位于第行的中间的数是； ② 略 11．【答案】 【分析】 此题考查了一元一次方程的应用，代数式求值，解题的关键是正确列出方程． 首先根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等分别列方程求出，然后代入求解即可． 【详解】 解：由题意得，， 解得，， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．【答案】任务1：5；任务2：42； 任务3： 应选方案3，理由如下： 选用方案可获得的总利润为（元）， 选用方案可获得的总利润为（元）， 选用方案可获得的总利润为（元）， ∵， ∴为了获得的利润最大，应选用方案． 【分析】 本题考查了有理数的混合运算的应用、一元一次方程的应用． 任务1：利用收纳盒的高度（长方形木板的长制成无盖长方体收纳盒底面的长）计算即可得解； 任务2：设用块长方形木板按图裁割，则用块长方形木板按图裁割，根据题意列出方程求解即可； 任务3：分别计算出各个方案的利润，比较即可得解． 【详解】 解：任务1：根据题意得：， 故收纳盒的高度为； 任务：设用块长方形木板按图裁割，则用块长方形木板按图裁割， 根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴方案可制成个有盖的长方体收纳盒， ∵方案1与方案2利润相同， ∴， 解得：； 任务：略 13．【答案】（1），；     （2）甲旅行社更优惠，理由： 将代入得，甲旅行社的费用（元）； 乙旅行社的费用（元） ∵元 ∴甲旅行社更优惠；     （3）     （4）他们可能于5月6号或15号或24号出发      【分析】 本题考查的是代数式，整式加减的应用，一元一次方程的应用． （1）由题意得，甲旅行社的费用；乙旅行社的费用，再对两个式子进行化简即可． （2）将代入（1）中的代数式，比较费用较少的比较优惠． （3）设最中间一天的日期为a，分别用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可． （4）根据前面求得七天的日期之和的求得最中间的那个日期，然后分别求得当为63的1倍，2倍，3倍时，日期分别是什么即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，甲旅行社的费用； 乙旅行社的费用． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设最中间一天的日期为a，则这七天分别为：，，，a，，，， ∴这七天的日期之和． (4) 小问详解： ① 设这七天的日期之和是63，则， 解得：， 所以，即6号出发； ② 设这七天的日期之和是63的2倍，即126，则， 解得：， 所以，即15号出发； ③ 设这七天的日期之和是63的3倍，即189，则， 解得：， 所以，即24号出发； 所以他们可能于5月6号或15号或24号出发． 14．【答案】558 【分析】 此题考查一元一次方程的应用，设快车速度为，慢车速度为，快车出发后到相遇的时间为t小时，根据相遇时快车和B站的距离与慢车和A站的距离的关系列方程，求出，再计算总距离 【详解】 解：设快车速度为，慢车速度为，快车出发后到相遇的时间为t小时， 相遇时，快车行驶距离为，慢车行驶总距离为， 由题意，， 化简得，解得， A、B两站距离为慢车行驶总距离与快车行驶距离之和，即， 故答案为：558 15．【答案】（1）千米/时     （2）顺流速度：千米/时，逆流速度：千米/时     （3）小时      【分析】 本题主要考查了用字母表示数，列代数式以及行程问题，熟练掌握速度之间的关系是解题的关键． （1）先求出静水速度，静水速度=顺流速度-水流速度，在求逆流速度即可，逆流速度=静水速度-水流速度． （2）找出数量关系，列出代数式即可． （3）将数值代入关系式，并用时间=路程速度公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：破冰船的静水速度：（千米/时）， 无冰区逆流速度：（千米/时）． (2) 小问详解： 解：冰区顺流速度：千米/时， 由（1）可知，无冰区逆流速度为千米/时， 冰区逆流速度：千米/时． (3) 小问详解： 解：当时， 在无冰区顺流所用时间为：（小时）； 在冰区顺流速度为：（千米/时），顺流所用时间：（小时）； 在无冰区逆流所用时间：（小时）； 在冰区逆流速度为：（千米/时），逆流所用时间：（小时）； 总时间：（小时）． 16．【答案】27 【分析】 根据题意可得关于x、y的方程，继而进行求解即可得答案． 【详解】 根据题意可得： 解得 ， ∴， 故答案为：27． 【点睛】 本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键． 17．【答案】（1），16     （2）点表示的数为9或37；     （3）当时，；当时，；当时，．      【分析】 本题主要考查了数轴，非负数的意义． （1）利用非负数的意义即可求得结论； （2）分三种情况讨论解答：① 点在点和点的之间，② 点在点的右侧；③ 点在点的左侧； （3）根据题意求得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，依据题意列出的式子，整理后使得的系数为0，再分类计算即可求得结论． (1) 小问详解： 解：， ，， 解得：，， 故答案为：，16； (2) 小问详解： 解：设点在数轴上表示的数为， ① 点在点和点的之间， ，，， ． 解得：； ② 点在点的右侧时， ，，， ． 解得：． ③ 点在点的左侧时，，不存在，此情况不合题意； 综上，点表示的数为9或37； (3) 小问详解： 解：由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的值始终是一个定值， ∴，即， ∵k是正整数， ∴， ∴， ∵n是正整数，为定值， ∴， ∴， ∵k是正整数， ∴k的值为1，2，3， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，当时，；当时，；当时，． 18．【答案】（1）是，     （2）263、321、584、642、963      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，一元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据“好数”的定义求解即可； （2）根据题意设，求得，由c的取值进行分类讨论即可求得t的所有取值． (1) 小问详解： 解：，个位数字为3，十位数字为6。 ∵， ∴是好数， 交换百位和十位数字得， ∴， 故答案为：是； (2) 小问详解： 解：根据题意设：（a、b、c为到的自然数）且， ∴， ∴， ∵， ∴c的取值只能为，，，； ∵能被7整除，即能被7整除， ∴当时，，，， 当时，，，， 当时，，，，，或，，， 当时，，，， ∴所有满足条件的三位自然数为：、、、、 19．【答案】（1），     （2）①5；②60岁     （3）时，是定值为15      【分析】 本题主要考查绝对值与平方的非负性，数轴上的动点问题，实际问题与一元一次方程的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想． （1）由非负性可求m，n的值； （2）① 由题意可得，即可求解；② 由题意列出方程组，即可求解； （3）用参数t分别表示出的长度，进而用参数t表示出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； 故答案为： (2) 小问详解： ① 由题意得：， ∴， ∴玩具火车的长为：5个单位长度， 故答案为：． ② 如图， 类似① ，借助数轴，可设奶奶和小明的年龄差为线段，则表示的数为，表示的数为， ． 奶奶和小明的年龄差为：，        奶奶现在的年龄是：岁． 答：奶奶现在的年龄是：岁． (3) 小问详解： 如图 设它们的运动时间为秒， 由① 知：A，，P，Q四点运动秒后在数轴上对应的数分别为 A：；：；P：；Q： 则，        ， ∵的值与它们的运动时间无关， ∴， 即当时，的值与它们的运动时间无关，为定值． 该定值为：． 20．【答案】（1），，     （2）；；     （3）的值为或      【分析】 （1）根据相反数的定义、有理数相关知识以及多项式的次数的定义，即可获得答案； （2）代数式表示点与的距离与点与点距离的和，进而得到当时，最小，求解即可；代数式表示点与的距离与点与点距离的差，然后分情况讨论，即可得到答案； （3）根据题意，秒后，点表示数是，点表示数是，点表示数是，首先求得当点与点重合时，，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． (1) 小问详解： 解： 是的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数， ，，， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 根据题意分情况可得： 当时，， 此时， 当时，， 当时，， 此时， 故当时，的值最小，最小值为； 代数式表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，， 当时，， 此时， 当时，， 所以有最大值是，当取得最大值时相应的有理数的取值范围是； 故答案为：；；； (3) 小问详解： 根据题意，秒后，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 当点与点重合时，根据题意，， 整理得，， 解得， 分两种情况讨论： ① 当时，，， ， 的值是一个定值， ， 解得； ② 当时，，， ∴， ∵的值是一个定值， ∴，解得． 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题主要考查了相反数、有理数分类、多项式的次数、数轴上两点间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题，一元一次方程的应用，整式的加减的应用，分类讨论是解答本题的关键． 21．【答案】（1），；     （2）或；     （3）     （4）或或或      【分析】 （1）根据绝对值的几何意义和距离表达式解答即可； （2）化简绝对值运算即可； （3）根据绝对值的几何意义分析出当在线段到中间时，的值最小，再化简绝对值运算即可； （4）设点表示的数为，分类讨论的位置，结合距离的运算方法列式运算即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：数轴上表示的点到点之间的距离是；可表示为点到表示数的距离； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 解得：或； 故答案为：或； (3) 小问详解： ∵表示到点和的距离， ∴当在线段到中间时，的值最小， ∴， 故答案为：； (4) 小问详解： 设点表示的数为， ① 当在左边时，，，由得：，解得； ② 当在，之间靠近时，，由得：，解得； ③ 当在，之间靠近时，，，由得，解得； ④ 当在右边时，，，由得，解得； 综上，点表示的数为或或或． 【点睛】 本题主要考查数轴上两点间的距离公式及绝对值的几何意义，通过分析距离关系解决代数式最值和“倍分点”问题，需分步骤运用绝对值定义，方程求解及分类讨论思想． 22．【答案】（1）；；     （2）     （3）①4；②或或或      【分析】 本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，解绝对值方程，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据，得出，根据A、B两点所表示的数分别是、，代入求值即可； （3）①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案； ②设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，，得出，根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，当点B在点A右侧时，得出点B表示的数为，当点B在点A左侧时，得出点B表示的数为，根据B、D两点之间距离刚好为1，得出或，解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：； ； 根据题意得：． 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：∵， ∴为的中点， ∵A、B两点所表示的数分别是、， 点表示的数为： ， 所以点C所表示的数； (3) 小问详解： 解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②设点D表示的数为d，点A表示的数为a， ∵点C表示的数是，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴当点B在点A右侧时，点B表示的数为，当点B在点A左侧时，点B表示的数为， ∵B、D两点之间距离刚好为1， ∴或， ∴或， 解得：或或或． 23．【答案】（1）不是，是；（2）点F表示的数是；（3）点此时所代表的数为或． 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题，数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识， 理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （2）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （3）根据“二倍和谐点”的定义点表示的数为，由题意得到点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是，则，结合点位于点右侧，即，，分①，②两种情况求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点B不是点A与点C的“二倍和谐点”， 点C是点A与点B的“二倍和谐点”， 故答案为：不是，是； （2）设点表示的数为，当点在点右侧，时， ， 解得：， ∴点F表示的数是； （3）设点表示的数为，， 则：， ∴， ∴点表示的数为， 由题意得：点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是， ∴， ∵点位于点右侧，即， ∴， 当时， ∴， ∴或， ∴． 当时， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， 当 时， ， 当时， ， ∴当点位于点右侧且点是点与点N的“二倍和谐点”时， 点此时所代表的数为或． 24．【答案】（1），，     （2）点P表示数或     （3） 解：改变，理由如下： ∵点和点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴， ， ∵点以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴， ∴，， 当，则，随着时间的变化而改变； 当，则，不随着时间的变化而改变； 答：的值改变．      【分析】 本题主要考查了数轴及两点间的距离、绝对值的意义，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据最大的负整数是，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （2）设点P表示数，表示出点到点的距离和点到点的距离，由题意列出等式求解即可； （3）分别表示出的表达式，再结合时间进行化解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，， ∵是最大的负整数， ∴； 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：设点P表示数，则点到点的距离等于，点到点的距离等于， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， 即或， 解得或， 则点P表示数或； (3) 小问详解： 略 25．【答案】（1），     （2）①；②或     （3）或      【分析】 （1）根据“k倍对称点”的定义，先确定点A的“1倍对称点”表示的数，再利用数轴上两点间距离公式计算其与点B的距离． （2）① 根据点的运动规律，用起始点表示的数加上运动速度乘以时间得到点M表示的数；② 先求出点M的“2倍对称点”表示的数，再根据两点间距离为6列方程求解． （3）先根据定义分别表示出点、点表示的数，再根据点到原点的距离等于到点的距离列方程，分情况讨论求解． (1) 小问详解： 解：∵点A表示的数为，根据“1倍对称点”的定义，点A的“1倍对称点”到原点的距离是，且与点A在原点的两侧， ∴点的“1倍对称点”表示的数是． ∵点B表示的数为， ∴点A的“1倍对称点”和点B之间的距离是． (2) 小问详解： 解：①∵点M从点A（表示的数为）出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒， ∴点M表示的数是． ②设点M的“2倍对称点”为点． 点M表示的数是，则点M到原点的距离为． ∵点是点M的“2倍对称点”，且、在原点两侧， ∴点表示的数为． ∵点到点A的距离是， ∴，即． 当时，，， 解得； 当时，，， 解得． ∴当为或时，点的“2倍对称点”到点的距离是6个单位长度； (3) 小问详解： 解：由题意可得点表示的数为． ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为； ∵与在原点两侧，的绝对值为， ∴的绝对值为， ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为， ∴点到原点的距离为，点到点的距离为． 由， 分情况讨论： 当时，两边同时除以，得． （无解）或，解得． 当时，即，解得，此时点在原点，点也在原点，点也在原点，点到原点的距离为，到点的距离也为，符合条件． 综上，或． 26．【答案】（1）；     （2）总路程，停在     （3）存在，，，，      【分析】 （1）根据非负数的意义分析即可； （2）根据题意，、、三点重合，则只需计算点的位置以及运动时间即可； （3）根据题意分情况讨论，根据情况建立一元一次方程解决问题． (1) 小问详解： ∵， ∴，， 故答案为；． (2) 小问详解： 当点到达点时，动点从原点出发， 到达点需要：（秒）， 此时点的位置为：， 设秒后停止运动， 则，解得， 此时点的位置在：， 即也停在点位置，对应的有理数为， 运动的时间为秒，速度为每秒个单位， ∴运动路程为：， 综上所述，行驶的总路程为，停留在． (3) 小问详解： 存在，的值为：，，，， 理由如下：∵（秒）， ∴秒后、后停止运动， ① 当、分别位于的两侧时，如图， 此时，表示的数为，表示的数为， ∴，解得； ② 当和重合时，即第一次相遇时，如图， 则，解得； ③ 当点从点返回时，则点表示的数为：， 若此时未到点，则，如图， 则，解得（不合题意，舍去）， ∴此时已经过点，，如图， 则，解得； ④ 当点、在点右侧重合时，即第二次相遇时，如图， ，解得，此时点、到达点，停止运动，符合题意； 综上所述，的值为：，，，． 【点睛】 本题考查了数轴和数轴上点的运动，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意，分类讨论，分类讨论要做到不重不漏． 27．【答案】（1）1     （2）或     （3）7或或或      【分析】 （1）设点C表示的数是，则，根据题意，得，代入计算即可． （2）设点C表示的数是，结合，则或，分别计算即可． （3）设点C表示的数是m，则，分类计算即可． (1) 小问详解： 解：设点C表示的数是， ∵点A表示的数是，点B表示的数是3，点C在线段上， ∴， ∵点C是点A关于B的“隔序点”，且 ， ∴， ∴， 解得， ∴点C表示的数是1， 故答案为：1． (2) 小问详解： 设点C表示的数是， ∵， ∴或， 当时， ∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． (3) 小问详解： 设点C表示的数是m，则， ∵k和b满足， 又：表示数轴上表示点的数到表示点的数的距离，以及到表示点3的数的距离之和， ∴当时，有最小值为， ∴当k取最小值时，b最大值时，此时：， 当点C是点B关于A“隔序点”时，，， ∴， 解得：或； 当点C是点A关于B“隔序点”时，，， ∴， 解得：或； 综上所述m的值为7或或或． 【点睛】 本题考查了新定义计算，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，最值的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 28．【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】 本题考查了绝对值与平方数的性质、数轴上的运动以及角度相关知识，解题关键在于利用相关性质建立等式或方程，并清晰分析运动过程与角度关系； （1）利用数轴张两点的距离计算即可得出答案； （2）对于线段的运动，通过分析它们的相对运动速度和初始距离来计算完全离开所需时间； （3）对于点的旋转和运动问题，需要分不同阶段，根据角度关系建立方程求解． 【详解】 （1）由图可知：， ， 解得； （2）由（1）知点A表示数为，点B表示数为6，点Q表示数为8， 线段长为， 运动到完全离开时间为； （3）点绕点O旋转用时， 点到点的距离为，用时为． ① 点与点P第一次重合时，即共线，如图， 则， 解得：； ② 当射线与射线第一次成一条直线时．如图， 则， 解得：； 当点与点P第二次重合时，即共线，如图， ， 解得：； 当射线与射线第二次成一条直线时．如图， 则， 解得：（舍去）； 综上所述，当运动时间为或或时，线段、在同一直线上． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $