专题3 二次函数的概念（重难点培优讲义）2026-2027年人教版九年级数学上册

专题3 二次函数的概念 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01参数分类讨论判定函数类别 题型02 根据二次函数的定义求参数 题型03 由二次函数的定义求字母的值 题型04 由二次函数的定义求字母的取值范围 题型05 判断函数关系 题型06 求二次函数的值 题型07 列二次函数关系式（销售利润） 题型08 列二次函数关系式（增长率） 题型09 列二次函数关系式（循环） 题型10 列二次函数关系式（几何图形） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1．二次函数 1.二次函数的定义 一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的 二次项系数 ；是函数解析式 一次项系数 ；是函数解析式的 常数项 。又是二次函数的 一般形式 。 2.判断二次函数 判断二次函数时，把二次函数化为 一般形式 ，右边一定要是 整式 ，最高次数是 2 且二次项系数 不等于0 。 3.表达式结构特征：等号左边是y,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式. ①当b=0时,二次函数为; ②当c=0时,二次函数为; ③当b=0,c=0时,二次函数为. 【针对训练】 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（、、为常数，）的整式函数，且最高次项次数为2． 【详解】解：选项A：中含有（即项），不是整式，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，，）的形式，是二次函数，故C符合题意； 选项D：展开为，最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 3．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 4．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景， 【针对训练】 1．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 3．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 4．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 典例精析 题型01参数分类讨论判定函数类别 【典例】已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 【变式】已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例】若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 【变式】___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 题型03 由二次函数的定义求字母的值 【典例】若是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 【变式】___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 题型04 由二次函数的定义求字母的取值范围 【典例】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【变式】已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 题型05 判断函数关系 【典例】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 【变式】某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】B 【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】由题意得， ∴y是x的一次函数。      ， ∴z是x的二次函数． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义并且正确的列出函数关系式是解题的关键． 题型06 求二次函数的值 【典例】若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 【变式】某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 题型07 列二次函数关系式（销售利润） 【典例】某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 【变式】某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设苹果单价提高x元，则销售量为千克，再根据销售额售价数量进行求解即可． 【详解】解：设苹果单价提高x元，则销售量为千克， 由题意得，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 题型08 列二次函数关系式（增长率） 【典例】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【变式】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 题型09 列二次函数关系式（循环） 【典例】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【变式】寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】握手（无向）：只算1次，总次数根据互发信息（有向）问题：A发B、B发A是2次，无需除以2，得出结论． 【详解】解：名同学每人给人发信息，总次数． 题型10 列二次函数关系式（几何图形） 【典例】用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 【变式】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 1．二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是， 故选：A． 2．下列函数不属于二次函数的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：对于A：，是二次函数，故本选项不符合题意； 对于B：，是二次函数，故本选项不符合题意； 对于C：，是一次函数，故本选项符合题意； 对于D：，是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 4．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 5．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【知识点】二次函数的识别、实际问题与反比例函数 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 6．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、正比例函数的定义、列二次函数关系式 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 7．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 8．若关于的函数是二次函数，则的取值范围为___________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是应用知识点解决问题； 根据二次函数的定义，二次项系数必须不为零． 【详解】解：函数 是二次函数， 需满足二次项系数，解得 ， 故答案为 ：． 9．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 10．已知是关于的二次函数． (1)求的值． (2)当时，的值为多少？ 【答案】(1)3 (2) 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案； （2）把代入二次函数即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得， 的值为； （2）解：当时，， 把代入可得． 11．明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道米宽的门，已知铁丝网总长是米．如图所示，设的长为米，矩形面积为平方米． (1)用含的代数式表示． (2)当菜园的面积是平方米时，求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】列二次函数关系式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数关系式，二次函数的应用； （1）根据题意先求得，进而根据矩形面积公式，即可求解； （2）当时，，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设的长为米，矩形面积为平方米， ∴，， （2）解：当时， 解得： 12．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式． 将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数． 【详解】解：∵， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 13．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且． 解方程得或． 又∵， ∴． ∴． 故选 ：A． 14．某超市月份的营业额为万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵第一季度的总营业额共万元， ∴， 即． 故选：D． 15．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 16．将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 17．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 18．已知y与成正比例关系，并且当时，，则当时，y的值为______． 【答案】-3 【知识点】正比例函数的定义、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，熟知正比例函数是解题的关键； 本题可先根据与成正比例关系设出函数表达式，再代入已知条件求出比例系数，最后将代入求出的值． 【详解】解：∵与成正比例关系， ∴设（为常数，）， 已知当时，，将其代入中， 可得：，即，解得 把代入中，得到， 当时，，则 故答案为：． 19．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 20．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 21．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 【答案】(1)； (2)元/件； 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式． （1）根据利润单件利润销售量，即可解决问题； （2）当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价． 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 22．已知块边长为的正方形草地．    (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少，再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则　　　　　（填“是“或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为， ①写出y与x之间的函数关系式， ②当时，求y的值． 【答案】(1)是； (2)①；②； 【知识点】列二次函数关系式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意结合面积公式列出关系式判断即可得到答案； （2）①根据正方形面积公式直接求解即可得到答案； ②将代入解析式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：变化后草地的一边长为，另一边长为， 则， ∴S是关于x的函数， 故答案为：是； （2）解：①由题意知，扩充后的草地的边长均为， 则， ∴y与x之间的函数关系式是； ②当时，； 【点睛】本题考查二次函数几何问题，解题的关键是根据面积公式列等式． 23．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 24．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 25．若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 26．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、列二次函数关系式 【分析】图（1）中只有一层，有个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有个，图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有，依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数． 【详解】解：经分析，可知：第一层的正方形个数为， 第二层的正方形个数为， 第三层的正方形个数为， …… 第n层的个数为：， 第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为： ， 即． 27．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 28．如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 29．在平面直角坐标系中，二次函数（常数）的图像经过坐标原点． (1)求的值； (2)若点与在二次函数（常数）的图像上，设．求的值． 【答案】(1) (2) 或或 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）把原点的坐标代入解析式即可求出的值； （2）把点与的坐标代入二次函数中，可得：或，从而可得：或或，分情况代入求值即可． 【详解】（1）解：二次函数（常数）的图像经过坐标原点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知二次函数的解析式为 点与在二次函数, 可得：， 可得：， 整理得：， 可得：， 或， 可得：， 整理得：， 当时， 可得：， 二次函数的图象过点， 可得：， 解得：或， 当时， 可得：； 当时， 可得：； 当时， 可得：； 综上所述，或或． 30．【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为6，点、分别在边、上（点不与、重合，点与、重合），且，点为边的中点，分别连接、，，五边形的面积为，求与之间的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、、，，点、分别在边、上，连接、，，设的长为，四边形的面积为． ①求与之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）根据四边形为正方形，边长为6，得出，结合，表示出，，根据点 G 为 边的中点，得出，根据五边形的面积求解即可． （2）①如图，过点P作，在菱形中，，，，，证明是等边三角形，得出，证明，得出，则，根据，得出，，，求出，即可求解． ②根据，，得出当时，最小，此时，点共线，结合四边形是菱形，得出，求出，代入①中解析式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，边长为6， ， ， ，， ∵点 G 为 边的中点， ， ， ， ， ∴五边形的面积 ． 即． （2）①如图，过点P作， 在菱形中，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， 即． ②∵， ∴， 则最小时，最小， 当时，最小，此时，点共线， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定以及函数解析式等知识，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 二次函数的概念 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01参数分类讨论判定函数类别 题型02 根据二次函数的定义求参数 题型03 由二次函数的定义求字母的值 题型04 由二次函数的定义求字母的取值范围 题型05 判断函数关系 题型06 求二次函数的值 题型07 列二次函数关系式（销售利润） 题型08 列二次函数关系式（增长率） 题型09 列二次函数关系式（循环） 题型10 列二次函数关系式（几何图形） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1．二次函数 1.二次函数的定义 一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的 二次项系数 ；是函数解析式 一次项系数 ；是函数解析式的 常数项 。又是二次函数的 一般形式 。 2.判断二次函数 判断二次函数时，把二次函数化为 一般形式 ，右边一定要是 整式 ，最高次数是 2 且二次项系数 不等于0 。 3.表达式结构特征：等号左边是y,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式. ①当b=0时,二次函数为; ②当c=0时,二次函数为; ③当b=0,c=0时,二次函数为. 【针对训练】 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景， 【针对训练】 1．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为__________________． 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 4．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 典例精析 题型01参数分类讨论判定函数类别 【典例】已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【变式】已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例】若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【变式】___________时，是关于的二次函数． 题型03 由二次函数的定义求字母的值 【典例】若是二次函数，则________． 【变式】___________时，是关于的二次函数． 题型04 由二次函数的定义求字母的取值范围 【典例】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式】已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 题型05 判断函数关系 【典例】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【变式】某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 题型06 求二次函数的值 【典例】若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【变式】某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 题型07 列二次函数关系式（销售利润） 【典例】某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式】某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 题型08 列二次函数关系式（增长率） 【典例】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 题型09 列二次函数关系式（循环） 【典例】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式】寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 题型10 列二次函数关系式（几何图形） 【典例】用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 1．二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 2．下列函数不属于二次函数的是（        ） A． B． C． D． 3．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 4．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 5．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 6．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 7．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 8．若关于的函数是二次函数，则的取值范围为___________． 9．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 10．已知是关于的二次函数． (1)求的值． (2)当时，的值为多少？ 11．明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道米宽的门，已知铁丝网总长是米．如图所示，设的长为米，矩形面积为平方米． (1)用含的代数式表示． (2)当菜园的面积是平方米时，求出的值． 12．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 13．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 14．某超市月份的营业额为万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 15．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 16．将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 17．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 18．已知y与成正比例关系，并且当时，，则当时，y的值为______． 19．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 20．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 21．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 22．已知块边长为的正方形草地．    (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少，再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则　　　　　（填“是“或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为， ①写出y与x之间的函数关系式， ②当时，求y的值． 23．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 25．若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 26．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 27．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 28．如果函数是关于x的二次函数，则________． 29．在平面直角坐标系中，二次函数（常数）的图像经过坐标原点． (1)求的值； (2)若点与在二次函数（常数）的图像上，设．求的值． 30．【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为6，点、分别在边、上（点不与、重合，点与、重合），且，点为边的中点，分别连接、，，五边形的面积为，求与之间的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、、，，点、分别在边、上，连接、，，设的长为，四边形的面积为． ①求与之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $