专题25.3 实际问题与一元二次方程 （7大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，以“审设列解检答”通用步骤为基础，系统梳理传播分裂、平均增长率、数字计数、销售利润、几何面积等七大模型，构建从基础建模到综合应用（如动点、方案探究）的完整学习支架。 资料通过分层题型设计（基础必考、培优高频、压轴素养），结合生活实例（如销售利润、增长率问题）培养模型意识，几何问题中平移转化与动点分类讨论提升几何直观和推理能力，可行性探究用判别式判断培养逻辑思维。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固查漏。

专题25.3 实际问题与一元二次方程 知识点1：列一元二次方程解应用题通用步骤 　　1、六大核心步骤：审、设、列、解、检、答，是解决所有一元二次方程实际问题的通用流程。 　　2、步骤详细解读与注意事项 步骤 核心内容 关键注意事项 审 通读题干，梳理已知量、未知量，挖掘题干中隐藏的等量关系 重点抓取倍数、增减、面积、利润等关键语句定位等量关系 设 采用直接设元、间接设元、辅助设元三种方式设定未知数 含单位的未知数必须标注单位，优先简便设元方式 列 用含未知数的代数式表示相关量，根据等量关系列出一元二次方程 保证方程左右两边量纲统一、意义对等 解 选用合适方法求解一元二次方程，得到未知数的数值 常规题型可省略详细解方程步骤，直接写根 检 双重检验：检验数值是否为方程的根、是否符合实际情境 实际问题中通常仅有一个根符合题意，需舍去不合理根 答 结合题干问题，规范书写最终答案 遵循问什么答什么原则，完整标注单位 知识点2：传播与分裂问题 　　1、核心模型：单源头两轮传播问题，初始传染源数量为1，每轮每人平均传播人，两轮后总数量公式：。 　　2、拓展模型：初始传染源为个，两轮传播后总数量为，适用于病毒传播、信息转发、细胞分裂等情境。 　　3、等量关系：总数量=初始数量+第一轮新增数量+第二轮新增数量。 知识点3：平均增长（降低）率问题 　　1、通用公式：设初始量为，平均增长（降低）率为，变化次数为，最终量为。 　　增长率公式：；降低率公式：。 　　2、取值范围：增长率，降低率，超出范围的解一律舍去。 　　3、常见情境：产量增减、价格浮动、人数变化、销量涨跌等连续变化问题。 知识点4：数字与计数问题 　　1、多位数表示规则：两位数=十位数字+个位数字；三位数=百位数字十位数字+个位数字。 　　2、循环计数模型：单循环总次数公式，双循环总次数公式，适用于握手、比赛、互赠礼物等问题。 知识点5：商品销售利润问题 　　1、核心公式体系 　　单件利润=售价-进价；利润率=；总利润=单件利润×销售量。 　　2、动态销售规律：售价涨跌与销量反向变化，根据单价变动幅度表示对应销量，进而列方程求解利润最值、定价问题。 知识点6：几何图形面积与周长问题 　　1、常用图形公式：长方形面积，正方形面积，三角形面积，圆面积。 　　2、解题核心方法：平移转化法，将分散、不规则图形拼接为规则图形，简化边长、面积的代数式表达。 　　3、特殊模型：围墙围栏、通道留白、图形裁剪拼接等限定型几何问题，需结合边长取值范围检验解的合理性。 知识点7：可行性分析与动点问题 　　1、可行性判定方法：假设方案成立，构建一元二次方程，通过方程实数根的存在性（判别式）、根的实际意义判断方案是否可行。 　　2、动点问题核心：用运动时间表示动态线段长度，结合几何公式、勾股定理建立方程求解。 【基础必考题型】 【题型1】基础增长率建模问题 1.核心知识点 　　掌握平均增长率、降低率的通用公式，能识别连续两次增减变化的实际情境，准确区分初始量、终止量与变化次数。 　　理解增长率取值范围限制，初步掌握实际根的取舍规则。 2.解题方法技巧 　　先定位题干中初始数据、最终数据、变化次数，直接套用增长率公式列方程。 求解后优先舍去负数解、超范围解，结合生活实际验证剩余根的合理性。 【例题1】.（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 【变式题1-2】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降，六月份购买该种农产品与五月份购买该种农产品相比少花元． (1)求该农产品六月份的价格； (2)预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到元．求该种农产品七、八两个月价格的月平均增长率． 【变式题1-3】.（2026·陕西渭南·二模）某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为，经过2分钟反应时间后，总质量变为，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为，则可列方程为_____． 【题型2】基础传播分裂情境问题 1.核心知识点 　　掌握两轮传播、细胞分裂的数学模型，理解传播过程中数量递增规律，区分初始传染源与新增感染数量。 　　能结合生物、生活情境，将实际传播问题抽象为一元二次方程模型。 2.解题方法技巧 　　严格按照“初始数量+两轮新增数量=总数量”的等量关系列方程，避免公式套用错误。 传播人数、分裂个数为正整数，求解后需验证数值为正整数。 【例题2】.（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【变式题2-3】.（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【题型3】基础数字与数位问题 1.核心知识点 　　掌握两位数、三位数的代数式表示方法，理解数位数字与数值的换算关系。 　　能根据数位和、数位差、数值乘积等条件建立一元二次方程。 2.解题方法技巧 　　优先间接设元，设数位数字为未知数，避免直接设数导致计算复杂。 数位数字取值范围为0-9（首位不为0），据此快速筛选有效根。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【变式题3-1】.（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【变式题3-2】.（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型4】基础销售利润定价问题 1.核心知识点 　　熟练掌握利润、售价、进价、销量的关联公式，理解单价变动与销量反向变化的规律。 　　能结合商家盈利、顾客优惠双重条件筛选最优定价方案。 2.解题方法技巧 　　可采用直接设售价、间接设降价金额两种方式列方程，优先选择计算简便的设元方式。 结合题干限制条件（售价区间、优惠要求）对双根进行精准取舍。 【例题4】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【变式题4-1】.（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【变式题4-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【题型5】通道平移转化面积问题 1.核心知识点 　　掌握图形平移转化的数学思想，能将分散的通道、留白区域拼接为规则图形。 　　结合矩形面积公式，解决道路、边框、留白等复合型几何面积问题。 2.解题方法技巧 　　通过平移消除不规则空隙，统一用含未知数的式子表示拼接后图形的边长。 通道宽度、图形边长需符合实际场地尺寸，严格验证取值范围。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·山东潍坊·期末）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． (1)请用含的代数式表示横向通车道的长； (2)求该停车场的每个停车位的宽． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·山东东营·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润每下调1元，每月可多销售125平方米草莓，果园每月的承包费为2万元．    问题解决 (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)解决果园种植的预期利润问题．若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？（总利润=销售利润-承包费） 【变式题5-3】.（25-26八年级下·广西南宁·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为________；（用含的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【题型6】围墙隔断受限几何问题 1.核心知识点 　　掌握靠墙围栏、带隔断、带门洞的矩形建模方法，理解篱笆总长与边长的对应关系。 　　能结合墙长限制、隔断数量、门洞宽度等限定条件，求解几何参数。 2.解题方法技巧 　　精准统计参与围栏的边长数量，扣除门洞、墙体替代部分的长度。 优先检验边长是否超出墙长限制，舍去不符合场地条件的解。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·单元复习）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． (1)如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 【压轴素养题型】 【题型7】循环计数规律探究问题 1.核心知识点 　　掌握单循环、双循环问题的计算公式，理解握手、比赛、互赠礼品等场景的数量差异。 　　能结合规律探究情境，利用一元二次方程求解参与主体数量。 2.解题方法技巧 　　区分循环场景类型，精准选用对应公式，避免单双循环公式混淆。 参与人数、物体个数为正整数，据此筛选方程有效根。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【变式题7-1】.（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【题型8】几何动点动态求值问题 1.核心知识点 　　融合动点运动、勾股定理、图形面积知识，用运动时间表示动态线段长度。 　　通过分类讨论动点不同位置状态，建立一元二次方程求解动态参数。 2.解题方法技巧 　　明确动点运动范围、速度、方向，精准列出线段长度代数式。 根据动点上下、左右位置分类讨论，避免漏解，结合运动时间范围取舍根。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【变式题8-1】.（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【变式题8-2】.（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【题型9】方案可行性探究问题 1.核心知识点 　　利用一元二次方程判别式判断方案可行性，掌握“假设成立—建模求解—验证判定”的探究思路。 　　能结合实际情境，解释方程无解、有解对应的实际意义，培养逻辑推理素养。 2.解题方法技巧 　　先假设目标方案可行，构建一元二次方程，通过判别式正负判断实数根存在性。 方程无实根则方案不可行，有实根需进一步验证是否符合实际情境。 【例题9】.（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践 中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案? 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元? 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行，如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 2 160 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 2 160 【变式题9-1】.（25-26九年级上·广东深圳·期末）综合与实践 坪山是客家人聚居地，有舞麒麟的传统．这项已有300多年历史的客家民间传统文化，不仅传承着世代客家人“麒麟呈祥”的美好祝愿，而且在岁月的变迁中烙下了深深的坪山印记，成为深圳客家文化中的重要组成部分，并散发着民间传统艺术的流光溢彩．坪山文化馆为了推广舞麒麟文化，专门设计了文创产品——舞麒麟积木玩具，并在各商店销售． 如何设计商品销售方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批舞麒麟积木玩具，销售单价不低于140元，并且销售单价为整数． 素材2 该商店舞麒麟积木玩具的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当积木玩具的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每个积木玩具的进价． 任务2 探究商品售价 商场搞促销活动，为尽快扩大销售量，且积木玩具销售利润为3000元，则该日每个积木玩具的售价为多少元？ 设计方案 任务3 该商店决定日销售利润为3200元，请问方案是否可行，如可行，请你通过计算设计方案；如不可行，请说明理由． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店购进一批龙泉青瓷茶杯，进价为120元/只，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数，当茶杯的单价为140元/只时，日销售量为120只；当茶杯的单价为150元/只时，日销售量为100只． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）的函数关系式． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行？如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 【变式题9-3】.（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请求出小芳方案中的花园四周小路正确的宽度． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明． 易错点 1、忽略方程解的实际意义：求解方程后，未结合生活、几何情境舍去负数、小数、超范围的不合理根，直接双根作答，造成解题错误。 2、公式模型套用混淆：混淆增长率与降低率公式、单循环与双循环公式、传播问题基础模型，导致等量关系列写错误。 3、几何边长建模失误：围墙、隔断、通道问题中，错误统计边长数量，忽略门洞、墙长限制、平移后的边长变化，方程列写偏差。 4、销售问题数量关系混乱：混淆涨价、降价对应的销量变化规律，错用单件利润与总利润公式，导致利润方程错误。 重点 1、六大解题步骤规范应用：熟练掌握审、设、列、解、检、答完整流程，规范答题格式，重点掌握实际根的双重检验方法。 2、核心模型熟练掌握：精准掌握增长率、传播问题、销售利润、几何面积四大高频模型的公式与建模思路。 3、基础题型精准求解：能快速辨析题型，选用对应等量关系，准确列写并求解一元二次方程，完成基础应用题作答。 4、简单情境方案优化：能结合题干限制条件，对双根进行筛选，选取符合题意的最优解。 难点 1、复合型情境建模：跨学科、图表信息、多条件约束的综合题型，难以快速提炼核心等量关系，完成方程建模。 2、动态几何分类讨论：动点问题中，无法全面分析动点不同位置状态，容易出现漏解、错解，难以精准限定取值范围。 3、可行性探究逻辑推理：结合判别式判断方案可行性，无法将方程解的情况与实际问题精准对应，逻辑表述不规范。 4、创新题型知识迁移：面对新定义、跨情境、探究式题型，无法灵活迁移基础模型，难以拆解陌生问题转化为常规方程问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 2．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，如果盒子的容积是，那么原正方形铁皮的边长是（     ） A． B． C． D． 3．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 5．小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 6．冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 三、解答题 7．如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 8．一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 9．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 10．自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.3 实际问题与一元二次方程 知识点1：列一元二次方程解应用题通用步骤 　　1、六大核心步骤：审、设、列、解、检、答，是解决所有一元二次方程实际问题的通用流程。 　　2、步骤详细解读与注意事项 步骤 核心内容 关键注意事项 审 通读题干，梳理已知量、未知量，挖掘题干中隐藏的等量关系 重点抓取倍数、增减、面积、利润等关键语句定位等量关系 设 采用直接设元、间接设元、辅助设元三种方式设定未知数 含单位的未知数必须标注单位，优先简便设元方式 列 用含未知数的代数式表示相关量，根据等量关系列出一元二次方程 保证方程左右两边量纲统一、意义对等 解 选用合适方法求解一元二次方程，得到未知数的数值 常规题型可省略详细解方程步骤，直接写根 检 双重检验：检验数值是否为方程的根、是否符合实际情境 实际问题中通常仅有一个根符合题意，需舍去不合理根 答 结合题干问题，规范书写最终答案 遵循问什么答什么原则，完整标注单位 知识点2：传播与分裂问题 　　1、核心模型：单源头两轮传播问题，初始传染源数量为1，每轮每人平均传播人，两轮后总数量公式：。 　　2、拓展模型：初始传染源为个，两轮传播后总数量为，适用于病毒传播、信息转发、细胞分裂等情境。 　　3、等量关系：总数量=初始数量+第一轮新增数量+第二轮新增数量。 知识点3：平均增长（降低）率问题 　　1、通用公式：设初始量为，平均增长（降低）率为，变化次数为，最终量为。 　　增长率公式：；降低率公式：。 　　2、取值范围：增长率，降低率，超出范围的解一律舍去。 　　3、常见情境：产量增减、价格浮动、人数变化、销量涨跌等连续变化问题。 知识点4：数字与计数问题 　　1、多位数表示规则：两位数=十位数字+个位数字；三位数=百位数字十位数字+个位数字。 　　2、循环计数模型：单循环总次数公式，双循环总次数公式，适用于握手、比赛、互赠礼物等问题。 知识点5：商品销售利润问题 　　1、核心公式体系 　　单件利润=售价-进价；利润率=；总利润=单件利润×销售量。 　　2、动态销售规律：售价涨跌与销量反向变化，根据单价变动幅度表示对应销量，进而列方程求解利润最值、定价问题。 知识点6：几何图形面积与周长问题 　　1、常用图形公式：长方形面积，正方形面积，三角形面积，圆面积。 　　2、解题核心方法：平移转化法，将分散、不规则图形拼接为规则图形，简化边长、面积的代数式表达。 　　3、特殊模型：围墙围栏、通道留白、图形裁剪拼接等限定型几何问题，需结合边长取值范围检验解的合理性。 知识点7：可行性分析与动点问题 　　1、可行性判定方法：假设方案成立，构建一元二次方程，通过方程实数根的存在性（判别式）、根的实际意义判断方案是否可行。 　　2、动点问题核心：用运动时间表示动态线段长度，结合几何公式、勾股定理建立方程求解。 【基础必考题型】 【题型1】基础增长率建模问题 1.核心知识点 　　掌握平均增长率、降低率的通用公式，能识别连续两次增减变化的实际情境，准确区分初始量、终止量与变化次数。 　　理解增长率取值范围限制，初步掌握实际根的取舍规则。 2.解题方法技巧 　　先定位题干中初始数据、最终数据、变化次数，直接套用增长率公式列方程。 求解后优先舍去负数解、超范围解，结合生活实际验证剩余根的合理性。 【例题1】.（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏南通·期末）某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率为； (2)预计该商场7月份投入资金将达到万元 【分析】（1）先设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据4月份和6月份的投入资金列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根得到增长率； （2）利用增长率计算7月份的投入资金即可． 【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为x， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该商场投入资金的月平均增长率为； （2）解：由（1）得月平均增长率为， ∴7月份投入资金为：（万元）， 答：预计该商场7月份投入资金将达到万元． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降，六月份购买该种农产品与五月份购买该种农产品相比少花元． (1)求该农产品六月份的价格； (2)预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到元．求该种农产品七、八两个月价格的月平均增长率． 【答案】(1)元 (2) 【分析】（1）设该农产品六月份的价格为元，则五月份的价格为，根据题意得出，解方程求出的值即可得答案； （2）设这两个月该农产品价格的月平均增长率为，利用该农产品八月份的价格＝六月份的价格×，得出关于的一元二次方程，解方程取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该农产品六月份的价格为元， ∵六月份与五月份相比，价格下降， ∴五月份的价格为， ∵六月份购买该种农产品与五月份购买该种农产品相比少花元， ∴， 解得：， 答：该农产品六月份的价格为元． （2）解：设七、八两个月价格的平均增长率为， ∵六月份的价格为元，八月份价格达到元， ∴， 解得：，（舍去）， ∴七、八两个月价格的月平均增长率为． 【变式题1-3】.（2026·陕西渭南·二模）某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为，经过2分钟反应时间后，总质量变为，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】已知初始质量，平均减少率和变化后的质量，根据平均变化率的数量关系列方程即可． 【详解】解：初始质量为，每分钟减少的百分率为则分钟后反应物的质量为， 分钟后反应物的质量为， 已知分钟后反应物质量变为， 因此可列方程． 【题型2】基础传播分裂情境问题 1.核心知识点 　　掌握两轮传播、细胞分裂的数学模型，理解传播过程中数量递增规律，区分初始传染源与新增感染数量。 　　能结合生物、生活情境，将实际传播问题抽象为一元二次方程模型。 2.解题方法技巧 　　严格按照“初始数量+两轮新增数量=总数量”的等量关系列方程，避免公式套用错误。 传播人数、分裂个数为正整数，求解后需验证数值为正整数。 【例题2】.（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则这种植物每个支干长出的小分支个数是． 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【答案】 【分析】根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，初始有5个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为，第二轮传染后，总患病人数为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染6人． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【答案】125 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据两轮感染的总人数25即可列出方程求解，再计算三轮传染后的总感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 三轮传染后总感染人数为， 故答案为：125． 【题型3】基础数字与数位问题 1.核心知识点 　　掌握两位数、三位数的代数式表示方法，理解数位数字与数值的换算关系。 　　能根据数位和、数位差、数值乘积等条件建立一元二次方程。 2.解题方法技巧 　　优先间接设元，设数位数字为未知数，避免直接设数导致计算复杂。 数位数字取值范围为0-9（首位不为0），据此快速筛选有效根。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【答案】D 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意，得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，，原来的两位数为； 当时，，原来的两位数为； 答：原来的两位数为或． 【变式题3-2】.（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 【培优高频题型】 【题型4】基础销售利润定价问题 1.核心知识点 　　熟练掌握利润、售价、进价、销量的关联公式，理解单价变动与销量反向变化的规律。 　　能结合商家盈利、顾客优惠双重条件筛选最优定价方案。 2.解题方法技巧 　　可采用直接设售价、间接设降价金额两种方式列方程，优先选择计算简便的设元方式。 结合题干限制条件（售价区间、优惠要求）对双根进行精准取舍。 【例题4】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 【变式题4-1】.（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 【题型5】通道平移转化面积问题 1.核心知识点 　　掌握图形平移转化的数学思想，能将分散的通道、留白区域拼接为规则图形。 　　结合矩形面积公式，解决道路、边框、留白等复合型几何面积问题。 2.解题方法技巧 　　通过平移消除不规则空隙，统一用含未知数的式子表示拼接后图形的边长。 通道宽度、图形边长需符合实际场地尺寸，严格验证取值范围。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·山东潍坊·期末）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． (1)请用含的代数式表示横向通车道的长； (2)求该停车场的每个停车位的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据长比宽的2倍多表示出停车位的长，再结合图形中横向停车位的排列数量，加上通车道宽度相关的部分，得到横向通车道的长的表达式； （2）结合图形分别表示出整个停车场的长和宽，利用停车场面积为建立方程，并解方程，结合实际意义对根进行取舍，得到停车位的宽即可． 【详解】（1）解：∵每个停车位的宽为，且长比宽的2倍多， ∴停车位的长为， 观察图形可得横向通车道的长为4个停车位的宽与两个停车位长的和， ∴横向通车道的长为； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：，（舍去） 答：货运停车场的每个停车位的宽为． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·山东东营·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润每下调1元，每月可多销售125平方米草莓，果园每月的承包费为2万元．    问题解决 (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)解决果园种植的预期利润问题．若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？（总利润=销售利润-承包费） 【答案】(1)符合要求 (2)下调48元 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∵， ∴路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元， ， 整理得：． 解得：，， 又∵要让利于顾客， ∴． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·广西南宁·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为________；（用含的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) (2)右边宽为厘米 【详解】（1）解：右边宽与天头长的比为，右边宽为， 天头长为； （2）由题意可知：装裱后长为，装裱后宽为， （舍去），， 答：右边宽为厘米． 【题型6】围墙隔断受限几何问题 1.核心知识点 　　掌握靠墙围栏、带隔断、带门洞的矩形建模方法，理解篱笆总长与边长的对应关系。 　　能结合墙长限制、隔断数量、门洞宽度等限定条件，求解几何参数。 2.解题方法技巧 　　精准统计参与围栏的边长数量，扣除门洞、墙体替代部分的长度。 优先检验边长是否超出墙长限制，舍去不符合场地条件的解。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·单元复习）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． (1)如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】（1）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵墙的长为， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为； （2）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵由墙和一段篱笆构成， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为． 【压轴素养题型】 【题型7】循环计数规律探究问题 1.核心知识点 　　掌握单循环、双循环问题的计算公式，理解握手、比赛、互赠礼品等场景的数量差异。 　　能结合规律探究情境，利用一元二次方程求解参与主体数量。 2.解题方法技巧 　　区分循环场景类型，精准选用对应公式，避免单双循环公式混淆。 参与人数、物体个数为正整数，据此筛选方程有效根。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 【变式题7-1】.（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 【题型8】几何动点动态求值问题 1.核心知识点 　　融合动点运动、勾股定理、图形面积知识，用运动时间表示动态线段长度。 　　通过分类讨论动点不同位置状态，建立一元二次方程求解动态参数。 2.解题方法技巧 　　明确动点运动范围、速度、方向，精准列出线段长度代数式。 根据动点上下、左右位置分类讨论，避免漏解，结合运动时间范围取舍根。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 【变式题8-1】.（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【详解】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． 【题型9】方案可行性探究问题 1.核心知识点 　　利用一元二次方程判别式判断方案可行性，掌握“假设成立—建模求解—验证判定”的探究思路。 　　能结合实际情境，解释方程无解、有解对应的实际意义，培养逻辑推理素养。 2.解题方法技巧 　　先假设目标方案可行，构建一元二次方程，通过判别式正负判断实数根存在性。 方程无实根则方案不可行，有实根需进一步验证是否符合实际情境。 【例题9】.（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践 中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案? 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元? 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行，如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 【答案】任务1：每只龙泉青瓷茶杯的进价120元； 任务2：该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：方案可行，每售出一只茶杯就捐款2元，日捐款总额为160元． 填表如下： 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 2 160 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系列出方程和不等式是解题的关键． 任务1：先求出当时y的值，设每只龙泉青瓷茶杯的进价元，根据“当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元”列出一元一次方程，解方程即可； 任务2：根据“某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元”，列出一元二次方程，解方程取合适的值即可； 任务3：先求出当时y的值，再根据“日销售利润不低于3030元”列出关于的一元一次不等式，解不等式得的取值范围，取符合题意的值即可得方案． 【详解】解：任务1：当时，， 设每只龙泉青瓷茶杯的进价元， 根据题意得， 解得， 答：每只龙泉青瓷茶杯的进价120元； 任务2：根据题意得，，即， 整理方程得，， 解得或（不合题意舍去）， 答：该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：当时，， 根据题意得， 解得， 又∵且m为整数， ∴时满足条件， 当时，日捐款总额为（元）， 即方案可行，每售出一只茶杯就捐款2元，日捐款总额为160元． 填表如下： 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 2 160 【变式题9-1】.（25-26九年级上·广东深圳·期末）综合与实践 坪山是客家人聚居地，有舞麒麟的传统．这项已有300多年历史的客家民间传统文化，不仅传承着世代客家人“麒麟呈祥”的美好祝愿，而且在岁月的变迁中烙下了深深的坪山印记，成为深圳客家文化中的重要组成部分，并散发着民间传统艺术的流光溢彩．坪山文化馆为了推广舞麒麟文化，专门设计了文创产品——舞麒麟积木玩具，并在各商店销售． 如何设计商品销售方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批舞麒麟积木玩具，销售单价不低于140元，并且销售单价为整数． 素材2 该商店舞麒麟积木玩具的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当积木玩具的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每个积木玩具的进价． 任务2 探究商品售价 商场搞促销活动，为尽快扩大销售量，且积木玩具销售利润为3000元，则该日每个积木玩具的售价为多少元？ 设计方案 任务3 该商店决定日销售利润为3200元，请问方案是否可行，如可行，请你通过计算设计方案；如不可行，请说明理由． 【答案】任务1：每个积木玩具的进价120元； 任务2：每个积木玩具的售价为150元； 任务3：该商店日销售利润能达到3200元，理由如下： 当时， 解得， ∴当销售单价是160元时，商店日销售利润能达到3200元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）求出当时y的值，再根据利润等于每个积木玩具的利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）根据利润等于每个积木玩具的利润乘以销售量建立方程求解即可； （3）根据利润等于每个积木玩具的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】解：任务1：当时，， 设每只积木玩具的进价a元， 根据题意得， 解得， 答：每个积木玩具的进价120元． 任务2：由题意得， 整理得 解得，， ∵要尽快扩大销售， ， 答：每个积木玩具的售价为150元． 任务3：略 【变式题9-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店购进一批龙泉青瓷茶杯，进价为120元/只，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数，当茶杯的单价为140元/只时，日销售量为120只；当茶杯的单价为150元/只时，日销售量为100只． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）的函数关系式． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行？如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 【答案】任务一：； 任务二：150元； 任务三：可行，方案如下： 当时，， ， 所以：， 又且m为整数， 时满足条件， 当时，日捐款总额为（元）． 填表如下： 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系列出方程和不等式是解题的关键．任务1：根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可；任务2：根据“某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元”，列出一元二次方程，解方程取合适的值即可；任务3：先求出当时的值，再根据“日销售利润不低于3030元”，列出关于的一元一次不等式，解不等式得的取值范围，取符合题意的值即可得方案． 【详解】任务： 解：该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数， 设一次函数解析式为， 根据题意，将和代入， 得：，解得， ． 答：茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）的函数关系式为：． 任务： 解：由题意得，， ， 或（不符合题意，舍去）． 答：该日每只茶杯的售价为150元； 任务：略 【变式题9-3】.（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请求出小芳方案中的花园四周小路正确的宽度． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明． 【答案】(1)小芳的方案不符合条件，小芳方案中的花园四周小路正确的宽度为2米 (2) 花园的设计草图如下： 说明：取边长为的一边的中点为三角形的一个顶点，对边的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积为矩形的面积的一半． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，利用面积关系设计图案等内容，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出方程． （1）设小芳方案中的花园四周小路的宽度为x米，根据面积关系列出方程，然后求解即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，设计图案即可． 【详解】（1）解：小芳的方案不符合条件，小芳方案中的花园四周小路正确的宽度为2米．理由： 设小芳方案中的花园四周小路的宽度为x米，由题意得： ， ， 或不合题意，舍去， 小芳方案中的花园四周小路正确的宽度为2米； （2）略 易错点 1、忽略方程解的实际意义：求解方程后，未结合生活、几何情境舍去负数、小数、超范围的不合理根，直接双根作答，造成解题错误。 2、公式模型套用混淆：混淆增长率与降低率公式、单循环与双循环公式、传播问题基础模型，导致等量关系列写错误。 3、几何边长建模失误：围墙、隔断、通道问题中，错误统计边长数量，忽略门洞、墙长限制、平移后的边长变化，方程列写偏差。 4、销售问题数量关系混乱：混淆涨价、降价对应的销量变化规律，错用单件利润与总利润公式，导致利润方程错误。 重点 1、六大解题步骤规范应用：熟练掌握审、设、列、解、检、答完整流程，规范答题格式，重点掌握实际根的双重检验方法。 2、核心模型熟练掌握：精准掌握增长率、传播问题、销售利润、几何面积四大高频模型的公式与建模思路。 3、基础题型精准求解：能快速辨析题型，选用对应等量关系，准确列写并求解一元二次方程，完成基础应用题作答。 4、简单情境方案优化：能结合题干限制条件，对双根进行筛选，选取符合题意的最优解。 难点 1、复合型情境建模：跨学科、图表信息、多条件约束的综合题型，难以快速提炼核心等量关系，完成方程建模。 2、动态几何分类讨论：动点问题中，无法全面分析动点不同位置状态，容易出现漏解、错解，难以精准限定取值范围。 3、可行性探究逻辑推理：结合判别式判断方案可行性，无法将方程解的情况与实际问题精准对应，逻辑表述不规范。 4、创新题型知识迁移：面对新定义、跨情境、探究式题型，无法灵活迁移基础模型，难以拆解陌生问题转化为常规方程问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 2．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，如果盒子的容积是，那么原正方形铁皮的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原正方形铁皮的边长为，根据题意可得无盖盒子的高为，底面正方形的边长为，利用长方体容积公式建立方程即可求解． 【详解】解：设原正方形铁皮的边长为， ∵四角各剪去一个边长为的小正方形， ∴无盖盒子的高为，底面正方形的边长为， 根据盒子容积为，列方程得：， 两边同时除以得：， ∵边长为正数，， 开方得：， 解得：， 即原正方形铁皮边长为． 3．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设宽为步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项． 【详解】解：设宽为步，则长为步， ∵长方形田地的面积为864平方步， ∴可得方程． 二、填空题 4．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 【答案】24 【分析】设其中一条直角边为未知数，根据勾股定理列方程求出两条直角边的长度，再计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 5．小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 【答案】2 【分析】设这个数为x，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个数为x，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 即给出的答案是2． 6．冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【答案】或 【分析】根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患流感人数为1， ∴第一轮传染后，患流感人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴. 三、解答题 7．如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为 【分析】设出垂直住房墙一边长，再利用建造的围墙与门的总长为，用建造的围墙与门的总长减去两条垂直住房墙的边长，最后根据矩形面积公式列式求解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为， 由题意得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 8．一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 9．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 10．自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【答案】(1) (2)每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【分析】（1）设月平均增长率为，4月基数人，经过两个月增长到6月人，套用平均增长率公式：初始量增长率最终量，列一元二次方程求解，舍去负根． （2）单件利润原售价进价降价；总销量原销量降价增加的销量；总利润单件利润销量．列方程求出两个降价值，减少库存应使销量尽可能大，因此选更大的降价． 【详解】（1）解：设从4月到6月报名人数的月平均增长率为． 4月人数：人，经过、两个月增长，因此列方程： ， 两边同除以： ， ， ①若，得； ②若，得，增长率不能为负，舍去． 答：月平均增长率为． （2）解：设纪念品每件降价元． 单件利润：元； 月销售量：件； 总利润为元，列方程： ， 整理标准一元二次方程：， 解得：，． 要求尽量减少库存，即销量越大越好，降价越多销量越高： 降价2元：销量（件）； 降价8元：销量（件）， ，因此取． 答：每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $