专题01 混合运算（计算专项讲义）数学北师大版三年级上册（新教材）

专题01 混合运算（计算专项讲义） 题型01 乘加、乘减混合运算 题型02 除加、除减混合运算 题型03 含小括号的混合运算 题型01 乘加、乘减混合运算 一、核心基础定义 乘加、乘减混合运算，指的是一个算式里同时包含乘法和加法，或者乘法和减法的两步混合运算，教材通过“小熊购物”的真实生活场景引入，主要用来解决“几个几多几”“几个几少几”的实际生活问题。 二、核心运算优先级规则 在不含括号的乘加、乘减混合算式中，运算优先级为：‌先算乘法，后算加法/减法‌。无论乘法在算式的前面还是后面，都要优先计算乘法部分，完全不受从左到右的同级运算习惯干扰。 三、脱式计算书写规范 乘加、乘减属于两步运算，教材要求必须用脱式（递等式）分步书写计算过程，规范要求如下： 等号统一写在算式的左下方，上下所有等号严格对齐。 先计算的部分直接写出结果，不参与当前计算的数字和运算符号要原样照抄，不能漏写。 每一步只计算一个运算，逐步简化直到算出最终结果，禁止一步同时算出两个运算的结果。 正确书写示例：4×6+12=24+12=36 四、配套验算方法 教材明确了两类标准化验算手段，能快速验证计算结果是否正确： 顺序重算：严格按照“先乘后加减”的运算顺序重新计算一遍，对比两次结果是否一致。 逆运算验证：乘加算式用最终的和减去乘法的积，验证结果是否等于加法部分的数；乘减算式用最终的差加上乘法的积，验证结果是否等于被减数。 五、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础乘法在前题型：乘法位于算式前侧的常规乘加、乘减计算，严格按先乘后加减的顺序分步计算，是单元考试的基础必考题。 易混淆乘法在后题型：加法/减法在前、乘法在后的算式，重点克服“从左到右”的惯性计算错误，牢记无论乘法位置在哪都要优先算乘法。 生活实际应用题：比如计算买多包饼干加一盒巧克力的总花费、看完若干天后故事书剩下的页数等场景，列综合算式直接用乘加/乘减规则计算，不需要额外添加括号。 运算顺序标注题型：在算式中需要优先计算的部分下面画横线，强化对优先级规则的理解。 定律辨析题型：判断给定算式的运算顺序是否正确，找出错误的计算步骤并改正。 六、高频易错点避坑 顺序颠倒：受之前同级运算“从左到右”的习惯干扰，忽略乘法的高优先级，错误先算加减法再算乘法，这是本部分最常见的错误。 书写漏项：脱式计算时漏写未参与运算的数字和符号，导致后续算式不完整，结果完全出错。 基础失误：表内乘法计算本身出错，后续加减步骤再正确，最终结果也完全错误。 步骤跳步：脱式计算时一步同时算出两个运算的结果，不符合分步书写的规范要求。 场景误解：解决“几个几多几”的应用题时，错误先算加法再算乘法，列出来的综合算式完全不符合实际逻辑。 【典例1】脱式计算。 17＋5×8    8×9−23    7×5−25 【专项训练1】直接写得数。                                                                                                                                                                                     【专项训练2】直接写得数。                               【专项训练3】计算。 6×9－38＝         6×8＋30＝         4×8－9＝ 【专项训练4】计算下列各题。 46×20＋18    26×28×5    17×40－210 【专项训练5】直接写出得数。 120＋40＝           32＋43＝            0＋155＝         4×9＋2＝ 78－24＝            184－0＝             9－9＝            2×7－3＝ 230＋140＝          650－320＝          42＋42＝          5×8＋12＝ 【专项训练6】仔细计算。 6×9＋4＝    8×8－3＝    2×6＋5＝ 【专项训练7】我是计算小能手。 9×3＝         7×8＝         5×9＝         4×7＝         6×3＝ 7×2＝         6＋9＝         8×3＝         1×1＝         8×2＝ 9×8＝         6×3＝         5×7＝         4＋4＝         4×8＝ 5×5＋7＝         5×8＋10＝         9×3－3＝         4×9＋9＝         6×2＋6＝ 【专项训练8】直接写出得数。 5＋6×7＝    3×5＋7＝    5×8＋9＝    3×6＋8＝ 9＋5×2＝    4×5＋9＝    9×9＋9＝    8×7＋2＝ 【专项训练9】直接写出得数。 9×8＋3＝    3×4＋5＝    4×5＋6＝ 8×8＋6＝    9×7－3＝    4×6－8＝ 7×6＋6＝    6×5－5＝    3×6＋9＝ 【专项训练10】想一想，算一算。 8×3＋3＝         7×4＋4＝          6×2－2＝ 8×3＋8＝         7×4＋7＝          6×2－6＝ 题型02 除加、除减混合运算 一、核心基础定义 除加、除减混合运算，指的是同一个算式中同时包含除法和加法，或者除法和减法的两步混合运算，主要用来解决“先求单一量，再求和/差”的实际生活问题，是整数四则混合运算体系中承上启下的重要模块。 二、核心运算优先级规则 在不含括号的除加、除减混合算式中，运算优先级为：‌先算除法，后算加法/减法‌。无论除法在算式的前面还是后面，都要优先计算除法部分，完全不受从左到右的同级运算习惯干扰。 三、算理底层逻辑 教材通过“买文具”的场景解释了规则的现实合理性：要计算“一个文具盒和一支钢笔的总价格”，如果钢笔是按盒售卖，必须先用除法算出单支钢笔的单价，才能和文具盒的价格相加求和，这个“先求单一量”的现实逻辑，就是“先算除法”的底层依据，不是人为的强制规定。 四、脱式计算书写规范 除加、除减属于两步运算，教材要求必须用脱式（递等式）分步书写计算过程，规范要求如下： 等号统一写在算式的左下方，上下所有等号严格对齐。 先计算的除法部分直接写出结果，不参与当前计算的数字和运算符号要原样照抄，不能漏写。 每一步只计算一个运算，逐步简化直到算出最终结果，禁止一步同时算出两个运算的结果。 五、两大核心数量关系模型 教材覆盖的所有应用题，都可以归为这两类标准化模型： ‌求和模型（除加）‌：先通过除法求出单一量（比如单个文具的单价），再和另一个直接给出的数量相加，求出总数量。典型场景：“1个订书机的价格 + 1支钢笔的价格”，钢笔单价需要用“整盒钢笔总价÷数量”先算出。 ‌求差模型（除减）‌：先通过除法求出单一量，再用大数减去这个单一量，求出两个量的差值。典型场景：“原价的文具单价 - 促销后单支钢笔的单价”，促销单价需要用除法先算出。 六、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础除法在前题型：除法位于算式前侧的常规除加、除减计算，严格按先除后加减的顺序分步计算，是单元考试的基础必考题。 易混淆除法在后题型：加法/减法在前、除法在后的算式，重点克服“从左到右”的惯性计算错误，牢记无论除法位置在哪都要优先算除法。 生活实际应用题：比如计算整盒水彩笔单支价格加一个文具盒的总花费、单支钢笔比原价便宜多少钱等场景，列综合算式直接用除加/除减规则计算，不需要额外添加括号。 运算顺序标注题型：在算式中需要优先计算的除法部分下面画横线，强化对优先级规则的理解。 错题改正题型：找出给定除加除减算式中运算顺序错误的步骤，重新按正确规则计算，巩固优先级规则的记忆。 七、高频易错点避坑 顺序颠倒：受之前同级运算“从左到右”的习惯干扰，忽略除法的高优先级，错误先算加减法再算除法，这是本部分最常见的错误。 书写漏项：脱式计算时漏写未参与运算的数字和符号，导致后续算式不完整，结果完全出错。 基础失误：表内除法计算本身出错，后续加减步骤再正确，最终结果也完全错误。 场景误解：解决“先求单价再求和”的应用题时，错误先算加法再算除法，列出来的综合算式完全不符合实际逻辑。 概念混淆：把除加除减的运算顺序和同级运算的从左到右规则搞混，遇到“24÷3×2”这类全乘除的同级算式，错误套用“先算除法”的规则硬套，运算顺序完全混乱。 【典例2】脱式计算。 45＋54÷9                60－28÷4     56＋7×4                    199－（23＋72） 【专项训练1】脱式计算。          【专项训练2】脱式计算。 27÷9＋49       12÷3×9        48÷（62－56） 【专项训练3】计算下列各题。 18＋36÷6            67−7×9            （26＋28）÷6 【专项训练4】脱式计算。 45－（36＋4）    30＋10÷5    （41－17）÷3 【专项训练5】脱式计算。                                  【专项训练6】脱式计算。 ①48＋8×5        ②68－（38－8） ③63÷9×6        ④35−25÷5 【专项训练7】脱式计算。 65－45÷5                    64÷（37－29） 【专项训练8】脱式计算。 45－18÷3                    （12＋24）÷9 【专项训练9】脱式计算。 76－（28＋39）        （49＋14）÷7          24÷（8÷2） 72－48÷8             300＋24÷8         9×9－15 【专项训练10】脱式计算 64－40÷8    35－（23－18）    29＋8÷4 题型03 含小括号的混合运算 一、核心基础定义 带有小括号的混合运算，指的是算式中包含小括号的两级混合运算，小括号的核心作用是‌强行改变原本的运算顺序‌，把原本需要后算的加减运算，提升优先级优先计算，主要用来解决“先求和/差，再求商/积”的实际生活问题。 二、核心运算优先级规则 在包含小括号的混合算式中，运算优先级为：‌必须先算小括号里面的所有运算，再算小括号外面的运算‌。小括号内部依然遵循“先乘除后加减”的基础规则，小括号外部再按常规的两级运算顺序计算。 三、算理底层逻辑 教材通过“过河”的场景解释了规则的现实合理性：男生29人、女生25人要坐船过河，每条大船限坐9人，要先算出总人数，才能用总人数除以每条船的限坐人数，算出需要的大船数量。如果不加小括号，算式29+25÷9就会先算除法，完全不符合“先求总人数”的现实逻辑，小括号就是用来明确指定“先算总人数”的运算顺序的。 四、脱式计算书写规范 带小括号的混合运算属于两步及以上运算，教材要求必须用脱式（递等式）分步书写计算过程，规范要求如下： 等号统一写在算式的左下方，上下所有等号严格对齐。 先计算小括号内部的部分，直接写出结果，不参与当前计算的数字、符号和括号要原样照抄，不能漏写。 每一步只计算一个运算，逐步简化直到算出最终结果，禁止一步同时算出两个运算的结果。 五、两大核心数量关系模型 教材覆盖的所有应用题，都可以归为这两类标准化模型： ‌先求和再均分模型‌：先通过加法算出总数量，再用除法把总数量按要求均分，求出每份的数量。典型场景：男女生总人数除以每条船的限坐人数，算出需要的船的总数量。 ‌先求差再均分模型‌：先通过减法算出剩余的数量，再用除法把剩余数量按要求均分，求出每份的数量。典型场景：用总钱数减去买书包花的钱，剩下的钱除以每本笔记本的单价，算出能买的笔记本数量。 六、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础常规计算题：包含小括号的除加、除减、乘加、乘减混合运算，严格按先算括号内的顺序分步计算，是单元考试的必考题。 添括号改顺序题型：给定数字和运算符号，通过添加小括号改变原本的运算顺序，得到指定的结果，锻炼逻辑推理能力。 生活实际应用题：比如计算过河需要的船数、剩余钱能买的文具数量、分组需要的组数等场景，必须列带小括号的综合算式，才能符合实际逻辑。 对错辨析题型：判断给定的带括号算式的运算顺序是否正确，找出错误的计算步骤并改正，巩固小括号的优先级规则。 列式选择题：根据应用题的场景，选出正确的带小括号的综合算式，区分“先算加减”和“先算乘除”的不同逻辑。 七、高频易错点避坑 顺序颠倒：受之前“先乘除后加减”的习惯干扰，忽略小括号的最高优先级，错误先算括号外的乘除，再算括号内的加减，这是本部分最常见的错误。 括号漏加：解决“先求和/差再乘除”的应用题时，列综合算式忘记给加减部分加小括号，导致运算顺序完全不符合题意，结果完全错误。 书写漏项：脱式计算时漏写小括号，导致后续算式的运算顺序完全改变，结果出错。 括号内跳步：小括号内部的运算没有按规则计算，直接跳过加减步骤，先算括号外的运算，导致中间结果出错。 概念误解：误以为小括号可以随便添加，忽略添加小括号的核心目的是匹配实际场景的运算逻辑，乱加括号反而让算式完全不符合题意。 【典例3】计算下面各题。 27＋8÷4    6×（35－26） 5×6－12    81÷（41－32） 【专项训练1】脱式计算。 38＋14－27                5×9＋26            （81－45）÷9            90－（28＋37） 【专项训练2】脱式计算。 50－（25＋19）    （15－7）×8    40÷（52－44） 【专项训练3】脱式计算。 100－24÷3        （25＋29）÷9        7×（27÷3） 【专项训练4】脱式计算。 （1）280－105－43    （2）9×（40－33）    （3）（100－72）÷4 【专项训练5】计算下列各题。 7×（40÷8）                        （343－289）÷9                        128＋9×7 【专项训练6】脱式计算。 （32＋16）÷6          72÷（24÷3） 【专项训练7】脱式计算。 （49＋14）÷9    108－6×8    2100÷（402－395）    1000－（254＋636） 【专项训练8】脱式计算。 88＋4×7＝      55÷（62－57）           8×（13－5） 【专项训练9】脱式计算。 452＋（574－360）    3×（82＋8）    （89－33）÷7 【专项训练10】脱式计算。 760－（275－60）                     学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 混合运算（计算专项讲义） 题型01 乘加、乘减混合运算 题型02 除加、除减混合运算 题型03 含小括号的混合运算 题型01 乘加、乘减混合运算 一、核心基础定义 乘加、乘减混合运算，指的是一个算式里同时包含乘法和加法，或者乘法和减法的两步混合运算，教材通过“小熊购物”的真实生活场景引入，主要用来解决“几个几多几”“几个几少几”的实际生活问题。 二、核心运算优先级规则 在不含括号的乘加、乘减混合算式中，运算优先级为：‌先算乘法，后算加法/减法‌。无论乘法在算式的前面还是后面，都要优先计算乘法部分，完全不受从左到右的同级运算习惯干扰。 三、脱式计算书写规范 乘加、乘减属于两步运算，教材要求必须用脱式（递等式）分步书写计算过程，规范要求如下： 等号统一写在算式的左下方，上下所有等号严格对齐。 先计算的部分直接写出结果，不参与当前计算的数字和运算符号要原样照抄，不能漏写。 每一步只计算一个运算，逐步简化直到算出最终结果，禁止一步同时算出两个运算的结果。 正确书写示例：4×6+12=24+12=36 四、配套验算方法 教材明确了两类标准化验算手段，能快速验证计算结果是否正确： 顺序重算：严格按照“先乘后加减”的运算顺序重新计算一遍，对比两次结果是否一致。 逆运算验证：乘加算式用最终的和减去乘法的积，验证结果是否等于加法部分的数；乘减算式用最终的差加上乘法的积，验证结果是否等于被减数。 五、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础乘法在前题型：乘法位于算式前侧的常规乘加、乘减计算，严格按先乘后加减的顺序分步计算，是单元考试的基础必考题。 易混淆乘法在后题型：加法/减法在前、乘法在后的算式，重点克服“从左到右”的惯性计算错误，牢记无论乘法位置在哪都要优先算乘法。 生活实际应用题：比如计算买多包饼干加一盒巧克力的总花费、看完若干天后故事书剩下的页数等场景，列综合算式直接用乘加/乘减规则计算，不需要额外添加括号。 运算顺序标注题型：在算式中需要优先计算的部分下面画横线，强化对优先级规则的理解。 定律辨析题型：判断给定算式的运算顺序是否正确，找出错误的计算步骤并改正。 六、高频易错点避坑 顺序颠倒：受之前同级运算“从左到右”的习惯干扰，忽略乘法的高优先级，错误先算加减法再算乘法，这是本部分最常见的错误。 书写漏项：脱式计算时漏写未参与运算的数字和符号，导致后续算式不完整，结果完全出错。 基础失误：表内乘法计算本身出错，后续加减步骤再正确，最终结果也完全错误。 步骤跳步：脱式计算时一步同时算出两个运算的结果，不符合分步书写的规范要求。 场景误解：解决“几个几多几”的应用题时，错误先算加法再算乘法，列出来的综合算式完全不符合实际逻辑。 【典例1】脱式计算。 17＋5×8    8×9−23    7×5−25 【答案】57；49；10 【分析】1．先算乘法，后算加法。 2．先算乘法，后算减法。 3．先算乘法，后算减法。 【详解】17＋5×8 ＝17＋40 ＝57 8×9−23 ＝72－23 ＝49 7×5−25 ＝35－25 ＝10 【专项训练1】直接写得数。                                                                                                                                                                                     【答案】 45；14；99；23； 64；42；18；72； 32；13；11；31； 37；37；14；60 【专项训练2】直接写得数。                               【答案】83；24；90； 60；24；78 【专项训练3】计算。 6×9－38＝         6×8＋30＝         4×8－9＝ 【答案】16；78；23 【分析】（1）先计算6×9，再算54－38； （2）先计算6×8，再算48＋30； （3）先计算4×8，再算32－9。 【详解】6×9－38 ＝54－38 ＝16 6×8＋30 ＝48＋30 ＝78 4×8－9 ＝32－9 ＝23 【专项训练4】计算下列各题。 46×20＋18    26×28×5    17×40－210 【答案】938；3640；470 【分析】（1）有加有乘的混合运算中，先算乘法再算加法； （2）连乘运算，能简算的简算，不能简算的按从左往右的顺序计算； （3）有乘有减的混合运算中，先算乘法再算减法。 【详解】46×20＋18 ＝920＋18 ＝938 26×28×5 ＝26×（28×5） ＝26×140 ＝3640 17×40－210 ＝680－210 ＝470 【专项训练5】直接写出得数。 120＋40＝           32＋43＝            0＋155＝         4×9＋2＝ 78－24＝            184－0＝             9－9＝            2×7－3＝ 230＋140＝          650－320＝          42＋42＝          5×8＋12＝ 【答案】160；75；155；38   54；184；0；11   370；330；84；52 【专项训练6】仔细计算。 6×9＋4＝    8×8－3＝    2×6＋5＝ 【答案】58；61；17 【专项训练7】我是计算小能手。 9×3＝         7×8＝         5×9＝         4×7＝         6×3＝ 7×2＝         6＋9＝         8×3＝         1×1＝         8×2＝ 9×8＝         6×3＝         5×7＝         4＋4＝         4×8＝ 5×5＋7＝         5×8＋10＝         9×3－3＝         4×9＋9＝         6×2＋6＝ 【答案】27；56；45；28；18； 14；15；24；1；16； 72；18；35；8；32； 32；50；24；45；18 【专项训练8】直接写出得数。 5＋6×7＝    3×5＋7＝    5×8＋9＝    3×6＋8＝ 9＋5×2＝    4×5＋9＝    9×9＋9＝    8×7＋2＝ 【答案】47；22；49；26 19；29；90；58 【专项训练9】直接写出得数。 9×8＋3＝    3×4＋5＝    4×5＋6＝ 8×8＋6＝    9×7－3＝    4×6－8＝ 7×6＋6＝    6×5－5＝    3×6＋9＝ 【答案】75；17；26 70；60；16 48；25；27 【专项训练10】想一想，算一算。 8×3＋3＝         7×4＋4＝          6×2－2＝ 8×3＋8＝         7×4＋7＝          6×2－6＝ 【答案】27；32；10 32；35；6 题型02 除加、除减混合运算 一、核心基础定义 除加、除减混合运算，指的是同一个算式中同时包含除法和加法，或者除法和减法的两步混合运算，主要用来解决“先求单一量，再求和/差”的实际生活问题，是整数四则混合运算体系中承上启下的重要模块。 二、核心运算优先级规则 在不含括号的除加、除减混合算式中，运算优先级为：‌先算除法，后算加法/减法‌。无论除法在算式的前面还是后面，都要优先计算除法部分，完全不受从左到右的同级运算习惯干扰。 三、算理底层逻辑 教材通过“买文具”的场景解释了规则的现实合理性：要计算“一个文具盒和一支钢笔的总价格”，如果钢笔是按盒售卖，必须先用除法算出单支钢笔的单价，才能和文具盒的价格相加求和，这个“先求单一量”的现实逻辑，就是“先算除法”的底层依据，不是人为的强制规定。 四、脱式计算书写规范 除加、除减属于两步运算，教材要求必须用脱式（递等式）分步书写计算过程，规范要求如下： 等号统一写在算式的左下方，上下所有等号严格对齐。 先计算的除法部分直接写出结果，不参与当前计算的数字和运算符号要原样照抄，不能漏写。 每一步只计算一个运算，逐步简化直到算出最终结果，禁止一步同时算出两个运算的结果。 五、两大核心数量关系模型 教材覆盖的所有应用题，都可以归为这两类标准化模型： ‌求和模型（除加）‌：先通过除法求出单一量（比如单个文具的单价），再和另一个直接给出的数量相加，求出总数量。典型场景：“1个订书机的价格 + 1支钢笔的价格”，钢笔单价需要用“整盒钢笔总价÷数量”先算出。 ‌求差模型（除减）‌：先通过除法求出单一量，再用大数减去这个单一量，求出两个量的差值。典型场景：“原价的文具单价 - 促销后单支钢笔的单价”，促销单价需要用除法先算出。 六、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础除法在前题型：除法位于算式前侧的常规除加、除减计算，严格按先除后加减的顺序分步计算，是单元考试的基础必考题。 易混淆除法在后题型：加法/减法在前、除法在后的算式，重点克服“从左到右”的惯性计算错误，牢记无论除法位置在哪都要优先算除法。 生活实际应用题：比如计算整盒水彩笔单支价格加一个文具盒的总花费、单支钢笔比原价便宜多少钱等场景，列综合算式直接用除加/除减规则计算，不需要额外添加括号。 运算顺序标注题型：在算式中需要优先计算的除法部分下面画横线，强化对优先级规则的理解。 错题改正题型：找出给定除加除减算式中运算顺序错误的步骤，重新按正确规则计算，巩固优先级规则的记忆。 七、高频易错点避坑 顺序颠倒：受之前同级运算“从左到右”的习惯干扰，忽略除法的高优先级，错误先算加减法再算除法，这是本部分最常见的错误。 书写漏项：脱式计算时漏写未参与运算的数字和符号，导致后续算式不完整，结果完全出错。 基础失误：表内除法计算本身出错，后续加减步骤再正确，最终结果也完全错误。 场景误解：解决“先求单价再求和”的应用题时，错误先算加法再算除法，列出来的综合算式完全不符合实际逻辑。 概念混淆：把除加除减的运算顺序和同级运算的从左到右规则搞混，遇到“24÷3×2”这类全乘除的同级算式，错误套用“先算除法”的规则硬套，运算顺序完全混乱。 【典例2】脱式计算。 45＋54÷9                60－28÷4     56＋7×4                    199－（23＋72） 【答案】51；53； 84；104 【分析】（1）先算除法，再算加法； （2）先算除法，再算减法； （3）先算乘法，再算加法； （4）先算小括号里的加法，再算小括号外的减法。 【详解】45＋54÷9 ＝45＋6 ＝51                 60－28÷4 ＝60－7 ＝53     56＋7×4 ＝56＋28 ＝84                     199－（23＋72） ＝199－95 ＝104 【专项训练1】脱式计算。          【答案】85；11；9 【分析】从左往右依次计算； 先计算除法，再计算减法； 先计算括号里面的减法，再计算括号外面的除法。 【详解】 ＝40＋45 ＝85 ＝19－8 ＝11 ＝54÷6 ＝9 【专项训练2】脱式计算。 27÷9＋49       12÷3×9        48÷（62－56） 【答案】52；36；8 【分析】（1）先算除法，再算加法。 （2）同级运算从左往右计算。 （3）先算括号里的减法，再算括号外的除法。 【详解】27÷9＋49 ＝3＋49 ＝52 12÷3×9 ＝4×9 ＝36 48÷（62－56） ＝48÷6 ＝8 【专项训练3】计算下列各题。 18＋36÷6            67−7×9            （26＋28）÷6 【答案】 24；4；9 【分析】先算除法，再算加法； 先算乘法，再算减法； 先算小括号的加法，再算括号外的除法。 【详解】18＋36÷6 ＝18＋6 ＝24 67−7×9 ＝67−63 ＝4 （26＋28）÷6 ＝54÷6 ＝9 【专项训练4】脱式计算。 45－（36＋4）    30＋10÷5    （41－17）÷3 【答案】 ；；； 【分析】第一个先算小括号里面的加法，再算小括号外面的减法； 第二个先算除法，再算加法； 第三个先算小括号里面的减法，再算小括号外面的除法； 【详解】 【专项训练5】脱式计算。                                  【答案】8；21；46 【分析】（1）先算小括号内的乘法，再算小括号外的除法； （2）先算除法，再算加法； （3）先算小括号内的减法，再算小括号外的减法。 【详解】48÷（2×3） ＝48÷6 ＝8 14＋49÷7 ＝14＋7 ＝21 90－（62－18） ＝90－44 ＝46 【专项训练6】脱式计算。 ①48＋8×5        ②68－（38－8） ③63÷9×6        ④35−25÷5 【答案】①88；②38 ③42；④30 【分析】①乘加混合运算，先算乘法再算加法； ②有小括号的运算，先算小括号里面的减法，再算括号外的减法； ③乘除混合运算，从左往右顺序运算； ④先算除法，再算减法。 【详解】①48＋8×5 ＝48＋40 ＝88 ②68－（38－8） ＝68－30 ＝38 ③63÷9×6 ＝7×6 ＝42 ④35－25÷5 ＝35－5 ＝30 【专项训练7】脱式计算。 65－45÷5                    64÷（37－29） 【答案】 56；76；8 【分析】先算除法，再算减法。 先算乘法，再算加法。 先算括号内的减法，再算括号外的除法。 【详解】65－45÷5 ＝65－9 ＝56 55＋7×3 ＝55＋21 ＝76 64÷（37－29） ＝64÷8 ＝8 【专项训练8】脱式计算。 45－18÷3                    （12＋24）÷9 【答案】39；4 【分析】（1）45－18÷3先计算除法，再计算减法； （2）（12＋24）÷9先计算加法，再计算除法。 【详解】45－18÷3 ＝45－6 ＝39 （12＋24）÷9 ＝36÷9 ＝4 【专项训练9】脱式计算。 76－（28＋39）        （49＋14）÷7          24÷（8÷2） 72－48÷8             300＋24÷8         9×9－15 【答案】9；9；6 66；303；66 【分析】（1）76－（28＋39）先计算小括号中的加法，再计算减法； （2）（49＋14）÷7先计算小括号中的加法，再计算除法； （3）24÷（8÷2）先计算小括号中的除法，再计算外面的除法； （4）72－48÷8先计算除法，再计算减法； （5）300＋24÷8先计算除法，再计算加法； （6）9×9－15先计算乘法，再计算减法； 【详解】（1）76－（28＋39） ＝76－67 ＝9 （2）（49＋14）÷7 ＝63÷7 ＝9 （3）24÷（8÷2） ＝24÷4 ＝6 （4）72－48÷8 ＝72－6 ＝66 （5）300＋24÷8 ＝300＋3 ＝303 （6）9×9－15 ＝81－15 ＝66 【专项训练10】脱式计算 64－40÷8    35－（23－18）    29＋8÷4 【答案】59；30；31 【分析】（1）先算除法，再算减法。 （2）先算小括号里面的减法，再算括号外面的减法。 （3）先算除法，再算加法。 【详解】64－40÷8 ＝64－5 ＝59 35－（23－18） ＝35－5 ＝30 29＋8÷4 ＝29＋2 ＝31 题型03 含小括号的混合运算 一、核心基础定义 带有小括号的混合运算，指的是算式中包含小括号的两级混合运算，小括号的核心作用是‌强行改变原本的运算顺序‌，把原本需要后算的加减运算，提升优先级优先计算，主要用来解决“先求和/差，再求商/积”的实际生活问题。 二、核心运算优先级规则 在包含小括号的混合算式中，运算优先级为：‌必须先算小括号里面的所有运算，再算小括号外面的运算‌。小括号内部依然遵循“先乘除后加减”的基础规则，小括号外部再按常规的两级运算顺序计算。 三、算理底层逻辑 教材通过“过河”的场景解释了规则的现实合理性：男生29人、女生25人要坐船过河，每条大船限坐9人，要先算出总人数，才能用总人数除以每条船的限坐人数，算出需要的大船数量。如果不加小括号，算式29+25÷9就会先算除法，完全不符合“先求总人数”的现实逻辑，小括号就是用来明确指定“先算总人数”的运算顺序的。 四、脱式计算书写规范 带小括号的混合运算属于两步及以上运算，教材要求必须用脱式（递等式）分步书写计算过程，规范要求如下： 等号统一写在算式的左下方，上下所有等号严格对齐。 先计算小括号内部的部分，直接写出结果，不参与当前计算的数字、符号和括号要原样照抄，不能漏写。 每一步只计算一个运算，逐步简化直到算出最终结果，禁止一步同时算出两个运算的结果。 五、两大核心数量关系模型 教材覆盖的所有应用题，都可以归为这两类标准化模型： ‌先求和再均分模型‌：先通过加法算出总数量，再用除法把总数量按要求均分，求出每份的数量。典型场景：男女生总人数除以每条船的限坐人数，算出需要的船的总数量。 ‌先求差再均分模型‌：先通过减法算出剩余的数量，再用除法把剩余数量按要求均分，求出每份的数量。典型场景：用总钱数减去买书包花的钱，剩下的钱除以每本笔记本的单价，算出能买的笔记本数量。 六、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础常规计算题：包含小括号的除加、除减、乘加、乘减混合运算，严格按先算括号内的顺序分步计算，是单元考试的必考题。 添括号改顺序题型：给定数字和运算符号，通过添加小括号改变原本的运算顺序，得到指定的结果，锻炼逻辑推理能力。 生活实际应用题：比如计算过河需要的船数、剩余钱能买的文具数量、分组需要的组数等场景，必须列带小括号的综合算式，才能符合实际逻辑。 对错辨析题型：判断给定的带括号算式的运算顺序是否正确，找出错误的计算步骤并改正，巩固小括号的优先级规则。 列式选择题：根据应用题的场景，选出正确的带小括号的综合算式，区分“先算加减”和“先算乘除”的不同逻辑。 七、高频易错点避坑 顺序颠倒：受之前“先乘除后加减”的习惯干扰，忽略小括号的最高优先级，错误先算括号外的乘除，再算括号内的加减，这是本部分最常见的错误。 括号漏加：解决“先求和/差再乘除”的应用题时，列综合算式忘记给加减部分加小括号，导致运算顺序完全不符合题意，结果完全错误。 书写漏项：脱式计算时漏写小括号，导致后续算式的运算顺序完全改变，结果出错。 括号内跳步：小括号内部的运算没有按规则计算，直接跳过加减步骤，先算括号外的运算，导致中间结果出错。 概念误解：误以为小括号可以随便添加，忽略添加小括号的核心目的是匹配实际场景的运算逻辑，乱加括号反而让算式完全不符合题意。 【典例3】计算下面各题。 27＋8÷4    6×（35－26） 5×6－12    81÷（41－32） 【答案】 29；54；18；9 【分析】先算除法，再算加法； 先算小括里面的减法，再算乘法； 先算乘法，再算减法； 先算小括里面的减法，再算除法。 【详解】27＋8÷4 ＝27＋2 ＝29        6×（35－26） ＝6×9 ＝54   5×6－12 ＝30－12 ＝18        81÷（41－32） ＝81÷9 ＝9 【专项训练1】脱式计算。 38＋14－27                5×9＋26            （81－45）÷9            90－（28＋37） 【答案】 25；71；4；25 【分析】（1）只有加减的同级运算，从左往右依次计算； （2）有乘法和加法的不同级运算，先算乘法后算加法； （3）带小括号的算式，先算小括号里面的减法，再算括号外的除法； （4）带小括号的算式，先算小括号里面的加法，再算括号外的减法。 【详解】38＋14−27 ＝52−27 ＝25 5×9＋26 ＝45＋26 ＝71 （81−45）÷9 ＝36÷9 ＝4 90−（28＋37） ＝90−65 ＝25 【专项训练2】脱式计算。 50－（25＋19）    （15－7）×8    40÷（52－44） 【答案】 6；64；5 【分析】第1题：先算加法，再算减法； 第2题：先算减法，再算乘法； 第3题：先算减法，再算除法。 【详解】50－（25＋19） ＝50－44 ＝6 （15－7）×8 ＝8×8 ＝64 40÷（52－44） ＝40÷8 ＝5 【专项训练3】脱式计算。 100－24÷3        （25＋29）÷9        7×（27÷3） 【答案】；； 【分析】脱式计算要遵守运算顺序：有括号先算括号里面的；没有括号先算乘除，后算加减；同级运算从左往右算。 【详解】100－24÷3 ＝100－8 ＝92 （25＋29）÷9 ＝54÷9 ＝6 7×（27÷3） ＝7×9 ＝63 【专项训练4】脱式计算。 （1）280－105－43    （2）9×（40－33）    （3）（100－72）÷4 【答案】 （1）132；（2）63；（3）7 【分析】（1）算式中只含有减法，属于同级运算，应按照从左往右的顺序依次计算； （2）算式中含有小括号，应先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法； （3）算式中含有小括号，应先算括号里面的减法，再算括号外面的除法。 【详解】（1）             （2）           （3）             【专项训练5】计算下列各题。 7×（40÷8）                        （343－289）÷9                        128＋9×7 【答案】35；6；191 【分析】先算除法，后算乘法； 先算减法，后算除法； 先算乘法，后算加法； 【详解】7×（40÷8） ＝7×5 ＝35 （343－289）÷9 ＝54÷9 ＝6 128＋9×7 ＝128＋63 ＝191 【专项训练6】脱式计算。 （32＋16）÷6          72÷（24÷3） 【答案】8；9 【分析】（32＋16）÷6 先算小括号里面的加法，再算小括号外面的除法； 72÷（24÷3）先算小括号里面的除法，再算小括号外面的除法。 【详解】（32＋16）÷6 ＝48÷6    ＝8 72÷（24÷3） ＝72÷8                        ＝9 【专项训练7】脱式计算。 （49＋14）÷9    108－6×8    2100÷（402－395）    1000－（254＋636） 【答案】7；60；300；110 【分析】结合混合运算顺序，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的算式。第一个算式先计算括号内的加法，再计算除法；第二个算式先计算乘法，再计算减法；第三个算式先计算括号内的减法，再计算除法；第四个算式先计算括号内的加法，再计算减法即可。 【详解】 【专项训练8】脱式计算。 88＋4×7＝      55÷（62－57）           8×（13－5） 【答案】116；11；64 【分析】四则混合运算顺序：算式里，只有加减法或只有乘除法，按照从左往右的顺序计算；既有加减法又有乘除法，先算乘除法，再算加减法；有括号的要先算括号里面的。 【详解】 【专项训练9】脱式计算。 452＋（574－360）    3×（82＋8）    （89－33）÷7 【答案】666；270；8； 【分析】计算452＋（574－360），先算括号里的减法，再算加法； 计算3×（82＋8），先算括号里的加法，再算乘法； 计算（89－33）÷7，先算括号里的减法，再算除法。 【详解】452＋（574－360） ＝452＋214 ＝666 3×（82＋8） ＝3×90 ＝270 （89－33）÷7 ＝56÷7 ＝8 【专项训练10】脱式计算。 760－（275－60）                     【答案】545；8；48 【分析】混合运算的运算顺序：如果只有加减法或只有乘除法，按照从左到右的顺序计算；如果既有加减法又有乘除法，要先算乘除法，再算加减法；如果有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的； 760－（275－60）先算括号里面的减法，再算括号外面的减法； （22＋42）÷8先算括号里面的加法，再算括号外面的除法； 2×（56－32）先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法。 【详解】760－（275－60） ＝760－215 ＝545 （22＋42）÷8 ＝64÷8 ＝8 2×（56－32） ＝2×24 ＝48 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $