重庆市第七中学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

**基本信息** 结合新能源汽车保有量统计等时代情境，覆盖函数、向量、三角函数等核心知识，考查数据意识、逻辑推理与运算能力，适配高三月考综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、函数性质|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3/18|命题逻辑、数学文化（《数书九章》）|多选项区分思维严谨性| |填空题|3/15|向量运算、函数零点|简洁考查关键能力| |解答题|5/77|统计（相关系数、概率分布）、三角函数、导数综合|结合现实数据，综合考查模型构建与逻辑推理|

高2026届高三上期 2025-2026学年度 数学试题解析版 （满分150分，考试时间120分钟） 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：由得，所以， ，所以  ，故选C  2.已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】已知，，设与的夹角为，由，解得，则与的夹角．故选：B 3.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意，，∴， 解得：．故选：A. 4.若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C【详解】因为的解集为，故且为方程的解. 故，故，故不等式即为，故，故， 故不等式的解集为，故选：C 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． ，则在上单调递增，由0，可得，即．因为在上单调递增，所以，解得，故不等式的解集为．故选：D. 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由，故， 所以，而，则. 故选：C 7．已知点在函数（且，）的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴.若在区间内单调，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意得，，得，得，又因为在区间内单调，所以，得，得.所以.又因为，所以或3. 当时，，得，又，所以，此时直线的函数的图象的一条对称轴，且在区间内单调.所以.当时，，得，又，所以，此时，所以直线不是函数的图象的一条对称轴.所以，.故选：A 8．在中，已知为线段上的点，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 【答案】C【详解】， 解得 .解得. 则， 当且仅当，即时，等号成立.故选：C. 二、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9．下列命题中，真命题的是（   ） A．若，则 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】BD 选项A：当时，，故A错误；选项B：命题“”的否定是“”，故B正确；对于选项C：当，此时，则充分性成立，若，则，则必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得，解得，因此扇形的弧长为，D正确； 故选BD综上，选项所述为真命题．故选：． 10．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有周长为的满足．则下列错误的是（  ） A．的面积为 B．在中角 C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【详解】由题意结合正弦定理可得：，设， 周长为，即，，，，. 由题中公式得，故A正确；由余弦定理得：，而，则，故B错误； 设的外接圆半径为，由正弦定理得，解得，故C错误； 设的内切圆半径为r，则的面积，解得，故D错误.故选：BCD. 11．已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若在上单调递减且，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，如图，过B点作x轴垂线，垂足为C，因， 则，设函数最小正周期为，所以，故 又，则，解得：，故A正确； 对于B，因，则，又由图可得，且点在减区间图象上，所以，因，则. 则，令，则，或，， 则，或，，则当时，，故B正确； 对于C，由B分析，， ， ， ， 则， 又由A可知函数最小正周期为，， 则 ，故C错误； 对于D，如右： 故选：ABD. 三、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知平面向量，若，则实数 . 【答案】7 【详解】因为平面向量，所以，又因为，所以，则实数.故答案为：7. 13． 函数（且），若，则 ． 【答案】4. 【详解】， ，，. 故答案为：4. 14．已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当且时，，， 当且时，；当时，． 故在，上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 时，；时， 由解析式可知，为奇函数．画出图象大致如下： 令得，设， 得关于的方程（*） 恒成立，设（*）式有两个不等实根，， 当，时，即，满足题意， 当或，满足题意， 方法一： 令，则或， 故或， 综上，实数的取值范围是． 方法二： （*）式化为，令， 易知在，上单调递增， 且，，， 其图象大致如图： 当或时，满足或， 综上，实数的取值范围是． 四、 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，,则， 由，得或；时，得， 所以函数的增区间为和，减区间为 所以的极大值为，极小值为． ……6分 （2）， 在区间上单调递增，即为在上恒成立， ①当时，，当时，； ②当时，由，可得或， 这与矛盾，不可取． 综合①②可知，的取值范围是．……13分 16．（15分）已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 【详解】（1）， ， ，， 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得， 所以．……4分 令． 则， 所以的单调递增区间为．……8分 （2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象． 令，，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象（如图）可得，或， 所以的取值范围是.……15分 17．（15分）2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 保有量 0.12 0.50 1.09 1.60 2.61 3.81 4.92 7.84 13.10 20.41 并计算得:. (1)根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)； (2)现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率； (3)某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主数的分布列及数学期望. 附:相关系数：. 【答案】(1)0.89 (2)0.7 (3)分布列见详解，1 【分析】（1）直接根据公式计算即可； （2）利用全概率公式即可求解； （3）设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为，分别计算出其概率，然后列出分布列，由公式算出数学期望. 【详解】（1）由， 则.……6分 （2）设“第1辆购买新能源汽车”，“第1辆购买非新能源汽车”， “第2辆购买新能源汽车”， ， 由全概率公式得，， 所以苏同学第2辆购买新能源汽车的概率为.……10分 （3）设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为， ， ， 则被选到新能源汽车车主的分布列为， 0 1 2 3 所以.……15分 18．（17分）在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值； （3）点是边上一点，且满足，求的值. 【详解】解析：（1）因为,由正弦定理可得：.所以, 由于在中，, 所以,化简得：, 由于，则不为0，则 由于，所以……5分 （2）由（1）及已知，得，即，因此即； 于是当且仅当b=c时取等； 所以面积的最小值为……11分 （3）由于,则, 在中，由正弦定理可得： 在中，由正弦定理可得： 所以,由于满足， 所以， 由于在中，, 所以,即， 所以，所以, 由于，则， 所以则或,解得或， 当时，，所以， 当时，,不满足. 综上，.……17分 19．（17分）已知函数. (1)若，求函数在上的最值； (2)若，对，求证：； (3)若是函数的极小值点，求的取值范围. 【详解】（1）若， 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 而， 故在上的最小值为，最大值为.……5分 （2）法一：若， 令， 则， 令，则， 令，则， 则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 所以当时，，即. 法二：若， 故在上单调递增，所以当时，，即. 令， 则， 故在上单调递增，所以， 即当时，，即.……11分 （3）由题意得，，. 当时，不妨设， 因为，故在上恒成立，单调递增. 又，所以当时，； 当时，. 又，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 故是函数的极小值点. 当时，不妨设，故存在，使得， 且当时，，故在上单调递减， 故当时，， 故在上单调递减，故不是函数的极小值点. 综上，实数的取值范围为.……17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高三上期 2025-2026学年度 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合，，则(  ) A. B. C. D. 2.已知向量，满足，，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 3.若，则（  ） A． B． C． D． 4.若不等式的解集为，则不等式的解集为（  ） A． B．或 C． D．或 5．已知函数，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 7．已知点在函数（且，）的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴.若在区间内单调，则（ ） A． B． C． D． 8．在中，已知为线段上的点，且，则的最小值为（  ） A． B．4 C．3 D． 二、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9．下列命题中，真命题的是（  ） A．若，则 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 10．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.在中，角的对边分别为，其周长为，且满足．则下列错误的是（  ） A．的面积为 B．在中角 C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为 11．已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，则下列结论正确的是（  ） A． B．若，则 C． D．若在上单调递减且，则的最大值为 三、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知平面向量，，若，则实数 ． 13． 函数（且），若，则 ． 14．已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是 ． 四、 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 17．（15分）2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 保有量 0.12 0.50 1.09 1.60 2.61 3.81 4.92 7.84 13.10 20.41 并计算得:. （1）根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)； （2）现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率； （3）某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主数的分布列及数学期望. 附:相关系数：. 18．（17分）在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求； （2）设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值； （3）点是边上一点，且满足，求的值. 19．（17分）已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）若，对，求证：； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $