广东东莞市第十三高级中学2026-2027学年高二上学期数学周测试卷（二）

广东东莞市第十三高级中学2026-2027学年高二上学期数学周测试卷（二）一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） 第5题图 第7题图 A． B． C． D． 6．要得到函数的图像，只需将函数的图像 A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 7．在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ） A． B． C． D． 8．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二、多选题 9．为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（   ） A．身高在A层次中的女生人数比男生多 B．身高在B层次中的人数最多 C．身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D．身高在E层次中的男生有3人 第9题图 第10题图 10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 11．空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（    ） A．若直线的方程为，则点在直线上 B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C．已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 三、填空题 12．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 13．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 14．已知函数的图象过，若有4个不同的正数满足，且（），则从这四个数中任意选出两个，它们的和不超过5的概率为______. 四、解答题 15．近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.    （1）求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； （2）在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ （3）在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 17．如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.    （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）求与的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，，平面平面. （1）求证：； （2）如图，且，求点M到平面PBC的距离；    （3）设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B C D A D BCD BC 题号 11 答案 BC 1．【详解】因为，，所以. 故选：A. 2．【详解】，故复数对应的点为，在第四象限，故选：D 4．【详解】因为，所以， 记直线与直线的夹角为，则.故选：B 6．【详解】因为 故只需要将 的图像向左平移个单位，故答案为D. 7．A 【详解】取的中点，连接，，    因为是的中点，，所以.故选：A 8．【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则此时连胜两盘的概率为，则；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，则记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为，则 则 ，即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D 9．BCD 【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人， 样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人，所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误； 对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多，所以样本中B层次身高人数最多，B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确. 故选：BCD 10．BC【详解】由题意，，因，故得，故的最小正周期为，故A错误；因图象在轴上的截距为，故① ，又函数图象过点，故② ，由 ② 可得，因，则，代入① ，可得， 此时，，故B正确； 对于C，由可得，因在上单调递增，则在区间上单调递增，故C正确； 对于D，记，因而，故D错误.故选：BC. 11．【详解】对于A，因为直线的方程为，则，所以点不在直线上，故A错误； 对于B，因为平面的方程，所以平面的法向量为，平面的方程为，所以平面的法向量为，所以，则这两平面所成角的正弦值为，所以B正确， 对于C，因为平面的方程为，即为，所以平面的法向量，且点在平面内，所以，设点到平面的距离为，则，所以C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的法向量；又平面的方程为，所以平面的法向量；设直线的方向向量为，则有，取，则，又因为平面的方程为， 所以平面的法向量为，设直线与平面的夹角为，则，所以，故D错误， 故选：BC. 12．【详解】因为，，可得， 又因为三点共线，可设，即，因为不共线，可得，解得，所以实数的值为.故答案为：. 13．【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又，所以结合图象可得，. 14． 【详解】∵函数的图象过，∴，即，∵，∴，∴，∴的周期为2，作出的函数图象如图所示： 由图象可知都是的对称轴，∵有4个不同的正数满足，且（），∴， ∴从4个数中任选2个，有共6种选法，其中和不超过5的选法共有4种，分别是，∴和不超过5的概率为. 15．【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1可得， 解得，高中生的平均数为，因为前三组的频率之和为，所以中位数在组，设中位数为，则，解得， 所以中位数为. （2）、、的频率之比为，共抽10名，则的学生中应抽取名. （3）由（2）可知，抽3人，设人分别为则抽取人，2人分别为， 设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生，总情况数有10种， 2名学生来自同一组学生的情况由4种，则. 16．【详解】（1）因为，所以，即， 解得，又，所以； （2）因为，所以，即①，又②， 将②代入①得，即，而，解得，所以， 故，即是直角三角形． 17．【详解】（1）设圆O的半径为r，在中，，，， 故，又，故，在中，由余弦定理得，所以，即； 圆锥中，底面，底面，故，又，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，则，，，，， ，，，设平面的一个法向量为， 有，即，解得，设直线与平面所成角为， 则.    18．【详解】（1）依题，解得 （2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件，则；；. 故. 19．【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴，又平面，平面，∴∥平面， 又平面，平面平面，∴； （2）取BC中点N，连接ON，则，∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ∴，，∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，于是，，，，设平面的一个法向量为，则，得，故可取，∴点M到平面PBC的距离为． （3）（3）存在，或，理由如下：存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为，∵，且平面ABCD为正方形，∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设，则，∴，解得．即，，设，，∴，，， 设平面AEC的一个法向量为，则，得， 取，设直线与平面AEC所成的角为， ∴， 化简得，∴或，∴当或时，直线与平面AEC所成角的正弦值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $