广东省东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二上学期数学周测试卷（十）

2025-2026东莞市第十三高级中学高二上学期数学周测（十） 姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题 1．已知直线，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量.若，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．双曲线上一点到其一个焦点的距离等于8，求点P到其另一个焦点的距离（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 4．如图，已知三棱锥，为中点，为中点，则（    ） A． B． C． D． 5．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为 A．或2 B．或 C．2 D． 7．已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（   ） A．168 B．188 C．212 D．222 8．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(    ) A． B．圆关于直线对称 C．圆与y轴相切 D．的最大值为9． 10．已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 11．已知抛物线的焦点为F，点在C的内侧，点B是抛物线C上的一个动点，且的周长的最小值为，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则B点的坐标为或 C．若，则点P到y轴的距离为3 D． 三、填空题 12．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 13．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 14．已知双曲线的左、右焦点分别是点，点是右支上的一点，以为直径的圆交右支于另一点，若，则的离心率为 ． 四、解答题 15．已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为. (1)求的值； (2)求过点并与圆相切的切线方程. 16．如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)求平面和平面所成角的余弦值． (2) 试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 17．在公差的等差数列中，，，数列的前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 18．已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D C D D D ABD AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率可得直线的倾斜角. 【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率， 由正切函数的性质得. 故选：B. 2．D 【分析】由垂直关系得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论． 【详解】由，， 得，解得. 故选：D 3．B 【分析】先利用双曲线方程求，设 ，运用双曲线的定义，求得，得到结果. 【详解】由双曲线，得到 ， ， ； 由双曲线的定义，即， 所以或（舍去）. 故选：B. 4．D 【分析】利用向量的加法和减法运算化简即可. 【详解】因为为中点，所以， 因为为中点，所以， 则. 故选：D 5．C 【分析】利用基本量先计算公差和，进而得和，由解得的范围，进而求解. 【详解】设等差数列的公差为，又，所以， 由，所以，所以，所以，即①， 又因为，所以②， 由①②解得， 所以， 所以， 由有，即， 解得， 所以使成立的的最大值是， 故选：C. 6．D 【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=9，得到圆心坐标为（1，3），半径r=3， 若圆上恰有三点到直线的距离为2，则圆心到直线的距离为1，即，解得k= 故选D 7．D 【分析】设新数列的前90项包含原数列的前项，得到新数列到为止的总项数为，确定出新数列的前90项包含原数列的前项和78个1，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设新数列的前90项包含原数列的前项， 因为和之间插入k个1，所以在前插入的1的总数为， 则新数列到为止的前的总项数为， 当时，可得； 当时，可得， 所以新数列的前90项包含原数列的前项和78个1， 因为等差数列满足， 所以新数列的前90项和为. 故选：D. 8．D 【分析】建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量的运算求解即可． 【详解】以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 设，， 则， 则，， 则， 设直线与直线所成角为， 则， 当且仅当时取等号， 则直线与直线所成角的余弦值的最大值为， 故选：D． 9．ABD 【分析】对于选项A：首先根据已知条件写出圆的标准方程，然后化成圆的一般方程即可求解；对于选项B：判断圆心是否在直线上即可判断选项是否正确；对于选项C：利用圆心到轴的距离与半径的大小关系即可判断选项是否正确；对于选项D：利用圆上一点到定点的距离的最大值为圆心到定点的距离与半径之和即可求解. 【详解】由题意，以为圆心，4为半径的圆的标准方程为：， 化成圆的一般式为：，故A正确； 对于选项B：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确； 对于选项C：圆心到轴距离，则圆与y轴相交，故C错误； 对于选项D：的几何意义为圆上任意一点到点的距离， 从而 的最大值为圆心到点距离与半径之和， 故的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 10．AC 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 11．ACD 【分析】根据抛物线的性质、定义、准线方程、直线与抛物线的关系等知识逐项计算即可. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为. 由抛物线，得准线的方程为，则由抛物线的定义可知， 所以的周长为， 当且仅当三点共线，即点与点重合时取等号， 因为，， 所以，解得，故A正确. 设点的坐标为，且， ，解得， ，解得， 点的坐标是或，故B错误. 设点，则，解得， 又为线段的中点，则，所以点P到y轴的距离为，故C正确. 依题意，过点F的直线的斜率不为0，设过点F的直线方程为， 由消去x，得，显然， ，则， ，故D正确. 故选：ACD    12． 【分析】通过平方的方法，结合空间向量的运算求得正确答案. 【详解】因为为空间两两夹角都是的三个单位向量， 所以 . 故答案为： 13．9 【分析】根据等差数列的性质推出，，即可得解. 【详解】由，得， 又，所以，即， 所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正， 所以前9项和最小。即当取得最小值时，. 故答案为：9 14．/ 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解. 【详解】设，因为，则， 所以，， 又为直径，所以，在直角三角形中，由勾股定理可得： ， 解得， 即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 即. 故答案为：. 15．(1)或 (2)或 【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在，由点到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1）依题意可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 由勾股定理可知，代入化简得， 解得或. （2）圆，由知在圆外， ①当切线方程的斜率存在时，设方程为， 由圆心到切线的距离，即，可解得， 切线方程为， ②当过斜率不存在，易知直线与圆相切， 综合①②可知切线方程为或. 16．(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，得出为等边三角形，证得，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1） 解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （2）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 17．(1)，； (2). 【分析】（1）根据已知及等差数列的通项公式求基本量，即可得的通项公式，再由的关系求的通项公式； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）因为是等差数列，且，， 所以，联立，解得，， 由，得，解得，，故， 数列的前项和，， 当时，， 当时，上式成立，故； （2）由（1）知， ， ， ①②，得， 其中， 所以，得. 18．(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【详解】（1）依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $