广东省东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二上学期数学周测（九）

2025-2026东莞市第十三高级中学高二上学期数学周测（九） 一、单选题 1．已知为等比数列，且，则（    ） A．189 B．93 C．63 D．33 2．设等差数列的前n项和为若则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．等比数列的前m项和为4，前项和为12，则它的前项和是（    ） A．28 B．48 C．36 D．52 5．在数列中，是其前n项和，，（），则（    ） A． B．n C． D． 6．在等差数列中，且，则的最大值等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．已知，若3是与的等比中项，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．9 8．在等差数列中，，其前项和为，若，则＝(　　) A．2018 B．－2018 C．4036 D．－4036 二、多选题 9．已知数列，前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则一定也是等差数列 B．若为等比数列，则一定也是等比数列 C．若为等差数列，则一定成等差数列 D．若为等比数列，则一定成等比数列 10．已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 11．设等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列单调递减 D．对任意，有 三、填空题 12．已知数列的前项和为，且，则 . 13． 已知各项均为正数的等比数列，，，则 . 14．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多 块石板． 四、解答题 15．数列中，若，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 16．记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 17．已知等差数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)记，求的前项和. 18．已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求的前n项和 2025-2026东莞市第十三高级中学高二上学期数学周测（九）答案 一、单选题 1．已知为等比数列，且，则（    ） A．33 B．93 C．63 D．189 【分析】应用等比数列的前n项和公式计算求解. 【详解】因为为等比数列，且， 则. 故选：D 2．设等差数列的前n项和为若则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解． 【详解】等差数列的公差为， 因为 所以 解得 故选：B. 3．设数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出可得的公比为，进而可得的通项公式，即可求解. 【详解】因为，，所以，，可得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以， 所以， 故选：B. 4．等比数列的前m项和为4，前项和为12，则它的前项和是（    ） A．28 B．48 C．36 D．52 【答案】A 【分析】设等比数列的前项和为，由可解得结果. 【详解】设等比数列的前项和为， 则依题意有，则，且， 根据等比数列前项和的性质有，成等比数列， 所以，即， 解得. 故选：A. 5．在数列中，是其前n项和，，（），则（    ） A． B．n C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得是等差数列，由首项和公差，求出和，计算即可. 【详解】数列中，，，所以是首项为3公差为3的等差数列， 则，，. 故选：C 6．在等差数列中，且，则的最大值等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先由等差数列的求和公式，得到，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列中， 所以，即， 又， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，的最大值为4. 故选：A. 7．已知，若3是与的等比中项，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．9 【答案】A 【分析】根据等比中项的性质得，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】由题意得，即，所以，又，所以，，所以，当且仅当，即，时等号成立．故的最小值为． 故选：A 8．在等差数列中，，其前项和为，若，则＝(　　) A．2018 B．－2018 C．4036 D．－4036 【答案】C 【分析】先证明是等差数列，由此求得数列的首项和公差，由此求得的值，进而求得的值. 【详解】设等差数列的前项和为，则， 所以是等差数列．因为， 所以的公差为，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以.故选C. 【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 二、多选题 9．已知数列，前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则一定也是等差数列 B．若为等比数列，则一定也是等比数列 C．若为等差数列，则一定成等差数列 D．若为等比数列，则一定成等比数列 【答案】AC 【分析】根据等差数列与等比数列的定义及性质计算一一判定即可. 【详解】对于A、C项，若为等差数列，设其公差为， 则， 显然是以为首项，为公差的等差数列，是各项为的常数列，故A正确； 而， ， 即，故C正确； 对于B、D项，若为等比数列，设其公比为， 若，故B错误， 若，则，故D错误. 故选：AC 10．已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 【答案】AC 【分析】根据数列是正项等比数列，可得出，写出及，即可判断选项A、B、D；根据数列单调性的判断方法即可判断选项C. 【详解】由正项等比数列的公比为可得：，，. 因为 所以，解得 则. 故选项A 正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以，即， 故数列是递减数列，故选项C正确； 对于选项D，，故选项D错误. 故选：AC 11．设等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列单调递减 D．对任意，有 【答案】BCD 【分析】由已知根据等差数列前项和公式与等差中项得出，即可根据等差数列性质对选项一一验证. 【详解】， ，，故B正确； 而，故无法判断的正负，故A错误； ，数列单调递减，C正确； 当时，有最大值，即，D正确． 故选：BCD 三、填空题 12．已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【分析】借助与前项和为的关系计算即可得. 【详解】当时，， 则， 当时，，符合上式， 故. 故答案为：. 13．已知各项均为正数的等比数列，，，则 . 【答案】 【分析】利用等比中项的性质得出，，，再利用等比中项的性质可得出，即可计算出的值. 【详解】由等比中项的性质得出，，， 易知，、、成等比数列，则、、成等比数列， . 故答案为：. 【点睛】本题考查等比数列中项的计算，灵活利用等比中项的性质，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 14．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多 块石板． 【答案】1458 【分析】首先由条件可得第圈的石板为，且为等差数列，利用基本量求和，即可求解. 【详解】设第圈的石板为，由条件可知数列是等差数列，且上层的第一圈为，且，所以， 上层的石板数为，下层的石板数为. 所以下层比上层多块石板. 故答案为：1458 四、解答题 15．数列中，若，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用等比数列的定义证明数列为等比数列； （2）先求数列的通项公式，进而求得数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以数列是等比数列. （2）由（1）得：数列的首项为，公比为， 所以. 【点睛】本题考查等比数列的定义证明、等比数列通项公式的求法，考查基本量法和基本运算求解能力，属于容易题. 16．记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求解可得的通项公式；由等比数列可得，求解可得的通项公式； （2）利用分组求和法可求得. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为， 由，，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为， 因为，由得，解得， 所以，所以数列的通项公式为； （2）由（1）可知，， . 17．已知等差数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据等差数列前项和公式，求出数列公差，再由等差数列的通项公式即得； （2）由题可得，然后分类讨论结合等差数列求和公式即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ， 解得， 故； （2）由题可得， 当时，， 所以， 当时，， ， 所以，． 18．已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求的前n项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，两式相除可得数列的递推公式，然后由递推公式变形可证，再由是等差数列可得数列的通项公式； （2）由裂项相消法可得. 【详解】（1）当时，，得， 当时，有，， 相除得 整理为：， 即， ∴为等差数列，公差，首项为； 所以，整理为：. （2）， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $