精品解析：江苏省盐城市滨海县明达中学2026-2027学年高三上学期第一次学情检测数学试题

高三年级第一次学情检测 数 学 试 卷 2026.9.17 命题：孙利 审核： 施海燕 时长： 120 分钟 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，给出以下不等式：①；②；③，则其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知向量不共线，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 幂函数在上是减函数，则实数值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 1 6. 设为奇函数且在内是减函数，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ） A. 30 B. 10 C. 9 D. 6 8. 有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题 9. 已知实数，满足，，则可能取的值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列四组函数，表示相同函数的一组是（　　） A. ，（） B. ， C. ， D. ， 11. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 三、填空题 12. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为_________ 13. 在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 14. 在数列中，，则的前n项和_________． 四、解答题 15. 已知数列满足，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求数列中的最小项. 16. 已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，，求的面积. 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程 （2）当时，证明： （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，，都有 恒成立，求符合条件的整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级第一次学情检测 数 学 试 卷 2026.9.17 命题：孙利 审核： 施海燕 时长： 120 分钟 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式性质求得集合，再由交集定义计算． 【详解】由已知，则． 故选：A． 2. 已知，给出以下不等式：①；②；③，则其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对于①：利用基本不等式证明；对于②，利用不等式的性质可证明，对于③：取特殊值否定结论. 【详解】对于①：因为，所以，所以，即.故①正确； 对于②：因为，所以，故②准确； 对于③：取满足，但是，，此时，所以不一定成立.故③错误. 故选：C 3. 已知向量不共线，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的共线的充要条件建立方程组，即可求出结果. 【详解】因为，且， 所以，即， 又向量不共线，得到， 消得到，解得或， 故选：B. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：A. 5. 幂函数在上是减函数，则实数值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，且可求出实数的值. 【详解】幂函数， ， 解得，或； 又时为减函数， 当时，，幂函数为，满足题意； 当时，，幂函数为，不满足题意； 综上，， 故选：A． 6. 设为奇函数且在内是减函数，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性和单调性作出图像，再求解即可； 【详解】因为为奇函数且在内是减函数，所以在上单调递减， 又，所以， 作出的大致图像 或，解得或， 所以的解集为， 故选：C. 7. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ） A. 30 B. 10 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案. 【详解】为正数的等比数列，则，可得， ∵， ∴， 又∵，则，可得， ∴，解得， 故. 故选：B. 8. 有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案. 【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误； 对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误. 综上，错误的是②③⑤，共3个. 故选：B. 二、多选题 9. 已知实数，满足，，则可能取的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令，根据，求得的值，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故选：BC. 10. 下列四组函数，表示相同函数的一组是（　　） A. ，（） B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相同函数的判断原则进行判断即可. 【详解】对于A，，（）的定义域相同，化简后对应关系相同，是相同函数； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，对应关系不同，不是相同函数； 对于C，的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是相同函数； 对于D，的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，化简后对应关系相同，不是相同函数. 故选：AC 11. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据各选项中向量的关系求得参数，再计算数量积、模、夹角．然后判断各选项． 【详解】A. 若与垂直，则，，正确； B. 若，则，，，正确； C. 若，，，正确； D. 若，，，D错误， 故选：ABC． 三、填空题 12. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可. 【详解】依题意，在区间上有解， 即在区间上有解， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得， 则实数的取值范围为. 故答案为： 13. 在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用两角和的正弦展开式得，由正弦定理得，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以 ， ， 所以， 则的面积为. 故答案为：8. 14. 在数列中，，则的前n项和_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，所以是首项为4，公差为2的等差数列，由此可求出，从而可得，进而可得，再利用裂项相消求和法求解即可 【详解】因为， 所以，， 所以是首项为4，公差为2的等差数列， 所以， 则， 所以． 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列满足，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求数列中的最小项. 【答案】（1）证明： 因为，, 所以是首项为1，公比为的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明； （2）由（1）求得后可得，利用作商的方法得出，从第2项开始递增，从而易得最小项． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）得，所以，则 当时，，；②当时，，，又，所以， 所以，即. 16. 已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 17. 冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【答案】（1） （2）当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元 【解析】 【分析】（1）分为分别求解即可； （2）分为两种情况，利用二次函数、基本不等式求解即可． 【小问1详解】 当时， 当时，， 所以． 【小问2详解】 当时，， ∴当时，取得最大值为500； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值580， 综上，当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，由余弦定理得到，结合，求出答案； （2）设得，设得到，表达出，由正弦定理得到，求出，，，故，由三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 在中，由正弦定理， 得，其中，2R为的外接圆直径， 所以，，， 代入， 得， 由正弦定理，得， 因为在中，， 所以. 【小问2详解】 设，由，得. 设，则，. 在中，， 在中，由正弦定理， 得，即， 整理得，，即， 变形得到，即， 因为，所以，解得. 所以，，所以， 所以的面积. 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程 （2）当时，证明： （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，，都有 恒成立，求符合条件的整数的最大值． 【答案】（1） （2）由题意得，函数的定义域为， ． 求导得， 当时，因为，所以， 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值），． 因为，所以 ，即． 当时，令， 则，令得． 在递减，在递增， 最小值． 因为，所以，， 故（当且仅当且时等号成立）． 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值） ． 综上，当时，． （3）2 【解析】 【分析】（1）求导计算切线斜率，进而求得切线方程；（2）求导并化简导函数，分析函数的符号，确定函数单调性，求得；（3）建立方程关系，变量代换，构造函数求最值. 【小问1详解】 当时，． ， 在点处，切线斜率， 由点斜式方程得切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得，函数的定义域为，． 求导得， 当时，因为，所以，: 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值），． 因为，所以 ，即． 当时，令， 则，令得． 在递减，在递增， 最小值． 因为，所以，， 故（当且仅当且时等号成立）． 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值） ． 综上，当时，． 【小问3详解】 不符合题意； 当时，在递减，在递增， ，，，，， 有两个零点， ，故， 则，，，单调递减， ，，，单调递增， ，，，单调递减， ，，，单调递增， 此时的极小值点为，且，． 两边取对数得，，， 令，则， 代入解得，， 于是， 设，求导得， 令， ， ，，单调递增， ，，单调递减， ，，， 所以在内存在唯一零点， 使得在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值． ， ，， 故整数的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $