精品解析：江苏省南通市如东县2027届高三上学期第一次学情检测数学试题

2026~2027学年度高三第一次学情检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次函数不等式求得集合，再结合交集的运算即可求解. 【详解】解得，即集合， 所以. 2. 已知复数，（，），且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶次根式被开方数非负，结合定义域为的条件，将问题转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解参数范围. 【详解】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. 5. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 6. 某厂准备投资万元生产两种产品，据测算，投产后的年收益，产品是该产品投入值的，产品是该产品投入值开平方的倍．当年收益总和最大时，两种产品的投入值之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设变量表示两种产品的投入金额，建立总收益函数，通过换元转化为二次函数求最值，最终计算投入比值. 【详解】设投入产品的资金为万元，其中，则投入产品的资金为万元，总年收益为万元， 根据题意可得收益函数 ， 令，则，，代入上式得，配方得，  由于二次项系数，因此当时，取得最大值，此时，解得， 即产品投入万元，产品投入万元，因此两种产品的投入值之比为，故D正确. 7. 已知函数的最小值为0，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时，，，，， 因为是对，都有，所以， 同理时，，，， 对，有，， 当时，， 综上所述. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式范围计算化简比较大小，构造函数应用导函数得出函数单调性得出大小. 【详解】设，则，所以， 所以，所以，所以，所以； 设，又因为， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， ，， 所以，所以， 即，所以，所以； 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据完全平方公式和立方差公式，结合的条件判断代数式符号后依次计算验证即可. 【详解】已知，， 对于A，对平方得，由于，故，故A正确； 对于B，对平方得，由于，故，即，因此，故B错误； 对于C，由完全平方公式得，故C正确； 对于D，由于且，所以， 由立方差公式得，故D错误. 10. 狄利克雷（Dirichlet）是非常重视概念的数学家，提倡以概念代替直觉，他举出了著名的例子：函数，对于该函数，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的值域是 C. 是增函数 D. ， 【答案】AD 【解析】 【详解】A.若是有理数，则也是有理数，， 若是无理数，则也是无理数，， ∴，即是偶函数，A正确. B.的值域是，B错误. C.取，则，但是 ，即，不满足增函数定义，C错误. D.当时，则，即， 当时，则，， ∴对任意有理数，都有， 即任意有理数都是它的周期，D正确. 11. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项运用偶函数的性质，再进行变式；对于B选项先利用中心对称求出再代入解析式中求出k；对于C选项联立轴对称和中心对称从而推导出周期；对于D选项先计算出一个周期的函数值，再看求和取了几个周期. 【详解】对于A，由题可得，即，令， 则，故，因此，则A选项正确； 对于B，由题可得，则， 令，则，，因为，所以， 解得，故B选项错误. 对于C，已知，，则， 令，则，即， ，所以，故C选项正确； 对于D，已知时，，则， 因为，令，解得，又因， 所以函数的周期，， 所以， 故，因此D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果函数满足，则______． 【答案】 （或） 【解析】 【分析】令，可得，代入求值即可. 【详解】令，则，所以， 则 13. 已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标将切线条数转化为方程实根个数，构造函数求值域即可得到的取值范围. 【详解】设过原点的切线与曲线相切于点，， 对求导得，因此切线斜率， 切线方程为：  ， 将原点代入切线方程，得：  整理得， 由于过原点可作两条切线，故关于的方程有两个不同的实根。 构造函数，，求导得：  ，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此的最小值为， 又当时，；当时，，且， 因此当且仅当时，直线与的图象有两个不同交点，对应存在两条切线， 故的取值范围是. 14. 已知函数，则的值域是__________．若关于的方程有八个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】； . 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，再应用分类去绝对值得出函数及值域即可；令，求出的范围，得出关于的一元二次方程有两个实数根，再由一元二次方程根的分布得出实数的取值范围. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以为偶函数，所以当时，， 所以； 当时，，所以； 所以的值域是； 关于的方程有8个不同的实数根， 令，则， 故关于的一元二次方程有两个实数根，且这2个实数根大于0小于. 令， 则由，求得. 综上可得，的范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数在处有意义，求出的值； （2）将代入，根据不等式的性质及指数函数的单调性求解. 【小问1详解】 因为，所以的定义域为， 所以，即，解得，经验证符合； 【小问2详解】 由（1）可知， ， 因为，所以，所以，解得， 所以不等式的解集为. 16. 已知函数（，）是对数函数． （1）解方程； （2）对于任意的，，证明：． 【答案】（1） （2）证明：， ， 所以， 对任意，由基本不等式得 ，当且仅当时等号成立， 故 ， 又 在 上单调递增， 因此 ， 即 ，当且仅当 时等号成立，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数定义求得值，从而得函数，根据即可求解. （2）分别求出解析式，利用作差法即可求证. 【小问1详解】 由对数函数定义得 ， 整理得 ，解得 或 ， 又 ，故 ，即 ，定义域为 . 由 得： 解方程 得 或 ， 经检验 不符合定义域要求，舍去，故方程的解为 . 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为底面是矩形，由矩形对边平行的性质可得：， 又因为 平面，平面，所以平面. （2）由平面，平面，因此， 在底面矩形中，，，， ，， 因此，由勾股定理逆定理得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，因此. （3） 【解析】 【分析】 （1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）先把问题转化为证明平面，只需证明和，利用线面垂直的性质可证明，利用勾股定理逆定理可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用二面角的空间向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为原点，建立空间直角坐标系，使平行于的方向为轴，方向为轴，方向为轴， 结合可得各点坐标： ，，，, 由（2）知是平面的一个法向量； 设平面的法向量为,，， 令，，即，取得. 设二面角的平面角为，则  , 因此二面角的正弦值为： .​​ 18. 已知函数（），（）． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求的最大值； （3）对于函数，，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最高点”．对于函数和，若有最高点，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定的定义域为，对求导，根据导函数的符号与的取值关系分类讨论，判断的单调区间； （2）当时，写出的具体表达式并确定定义域，对求导，根据导函数的符号判断单调性，进而求得最大值； （3）先明确的最高点即存在最大值，先构造函数，通过分析的零点和符号，分情况讨论的最大值存在性，结合和的单调性，推导的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，恒成立，因此在上单调递增； 时，令得，令得， 因此在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时， ， ， 令结合得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 故时，取得最大值，. 【小问3详解】 “有最高点”等价于存在，使得对任意，. 当时，在上单调递增，时，无最高点，不符合要求； 当时，在处取最大值，且时； 同时恒成立， 需满足，解得， 故实数的取值范围是. 19. 已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：存在唯一的极大值点且； （3）设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）由上知，则， 设，则，令，即， 即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， ，且，且在单调递减， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， ，，且在单调递增， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， 综上，当时，，单调递增， 当时，， 单调递减， 所以是唯一的极大值点，且， 所以有，即， 将其代入到中得， 因为，所以，且， 两式相乘得， 两边同时加上得，即证. （3）不妨设，由上知极大值点所在的横坐标为， 因为在单调递增，在单调递减，所以， 要证，即证，即， 因为，所以， 又因为，且在上单调递增，故可证， 由于，问题等价于证明， 设，其中， 则， ，则， 其中，则， 因此， 因为，则， 当且仅当时等号成立， 由于，故等号不成立，所以，所以恒成立， 则在上单调递减， 因为，所以当时，， 代入，可得， 即， 即，整理得， 代入，即证. 【解析】 【分析】（1） 利用切点在曲线上与切点处导数值等于切线斜率这两个条件建立方程组，并结合参数为整数的条件解出未知数. （2） 通过二次求导分析一阶导数的单调性与零点，从而确认唯一极大值点的位置，接着利用极值点处导数为零的条件进行不等式的放缩与证明. （3）构造辅助函数，利用求导证明其单调性，从而将函数值的大小关系转化为两根之和的不等关系. 【小问1详解】 ，由题意得， 且，代入得， 因为，所以，显然时等式成立， 设，当时， 即在上单调递增，故是唯一正整数解，解得， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度高三第一次学情检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，（，），且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 6. 某厂准备投资万元生产两种产品，据测算，投产后的年收益，产品是该产品投入值的，产品是该产品投入值开平方的倍．当年收益总和最大时，两种产品的投入值之比是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小值为0，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 狄利克雷（Dirichlet）是非常重视概念的数学家，提倡以概念代替直觉，他举出了著名的例子：函数，对于该函数，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的值域是 C. 是增函数 D. ， 11. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果函数满足，则______． 13. 已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 14. 已知函数，则的值域是__________．若关于的方程有八个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）解不等式． 16. 已知函数（，）是对数函数． （1）解方程； （2）对于任意的，，证明：． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，求二面角的正弦值． 18. 已知函数（），（）． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求的最大值； （3）对于函数，，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最高点”．对于函数和，若有最高点，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：存在唯一的极大值点且； （3）设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $