第51讲 专题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动（专项训练）（北京专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

第51讲 专题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动（专项训练） 模拟·基础演练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B B C B D A D D D 题号 12 13 14 17 18 21 22 23 24 25 答案 B BD AB D BC C CD AD B ACD 15．解:（1）粒子射入磁场后的运动轨迹如图所示 根据几何关系有： 洛伦兹力充当向心力有 解得 （2）图中圆心角为，粒子周期 则 （3）洛伦兹力对粒子的冲量等于粒子的动量变化量：从射入到射出，粒子速度方向改变了，则 方向平行于PQ，从Q指向P。 16． 解:（1）设粒子做圆周运动的半径为，则 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）设粒子做匀速圆周运动的周期为，从P点运动至M点过程中，粒子在磁场中转过的角度为，则 根据 （3）设粒子运动至N点时速度的方向与x轴正方向的夹角为，如图所示 由几何关系可知 x方向动量变化为 y方向动量变化为 可得 所以，动量变化量的大小为mv，方向沿y轴负方向。 19．解:（1）由洛伦兹力提供向心力 代入比荷，速率，得轨道半径 粒子做圆周运动的周期为​ 粒子运动时间，为圆心角，圆心角越大时间越长。最大圆心角对应的弦长最长，轨迹与相切，如图轨迹2 所示 由几何关系可得，则 轨迹圆心角为 因此最长时间 （2）在轨迹2与轨迹3之间的粒子都从边射出，由几何关系可得，则 则轨迹2与轨迹3的粒子初速度夹角为 占比为 20．解:（1）速率为2v0的粒子在磁场中运动的轨迹如答图所示 设该粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系有 解得R=4L 又由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）粒子仅在磁场中运动时向上方偏转，由左手定则知粒子带正电。 加上匀强电场后，根据平衡条件，有 解得，方向沿ad方向。 （3）设速度大小为v的粒子恰好从c点离开矩形区域，如图所示 由类平抛运动，有 竖直方向 联立解得 由分析易知的粒子将从bc边离开 的粒子将从dc边(含c点)离开 速度为3v0的粒子在电场中运动的时间最短 的粒子在电场中运动的时间最长且相等，由 可得 因此粒子在矩形区域内运动的最长时间与最短时间之比 26．解:（1）粒子从P点沿半径方向射入I区，偏转后从K点离开I区，根据左手定则可知，四指指向与粒子运动方向相反，则带电粒子带负电。设带电粒子所带电量为-q，粒子在I区做匀速圆周运动的半径为r，作出粒子运动轨迹如图（a）所示 根据几何关系有 粒子在I区做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）带电粒子在II区做减速直线运动，根据动能定理有 结合上述解得 （3）带电粒子在III区运动，设轨迹半径为r1，III区磁场磁感应强度大小Bx，则有 结合上述解得 作出粒子运动轨迹，如图（b）所示 设粒子在b圆面上N1射入III区，在N2点离开III区，令∠N1ON2=θ，在I区内运动k1次，III区内运动k2次后，回到P点，则有（k1、k2均为正整数，且有，） 可知，粒子运动轨迹有三种可能性。情况i： 当k1=1，k2=1时，时，带电粒子在III区运动后，沿PO方向直接进入II区时，运动轨迹如图（c）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况ii： 当k1=2，k2=1时，，带电粒子在III区运动后，进入II区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，运动轨迹如如图（d）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况iii： 当k1=3，k2=2时，，带电粒子两次进入III区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，轨迹如图（e）所示 根据几何关系有r1=2R 结合上述解得 27． 解:（1）由题可知粒子速度方向对准A点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）如图所示，由几何规律可知，圆形磁场边界，出射速度与磁场区域半径的夹角等于入射速度与磁场区域半径的夹角 入射时 解得 （3）设粒子从O点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过x轴时所在位置离O点距离为x，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准A点时，刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限，所以粒子在x轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从O点入射时，y方向速度越大，偏转位移x越大，由于初始粒子沿y轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，也即距离x轴的粒子均能从小孔通过，其中距离x轴0.5R时，也即的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （4）由（3）可知，k越大，x越小，对此分为如下三种情况： （i）当从O点沿y轴正向入射时（x最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近A点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在P点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离x大于小孔右边界，故粒子所占比例为 重难·创新演练 1．C 2．AD 3．解:（1）小球B与A发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒有， 联立解得， （2）碰后A进入匀强磁场中做匀速圆周运动，则有 解得 则A做匀速圆周运动的直径为，故作出A做匀速圆周运动的轨迹，如图所示 根据几何关系，可得 则围成的面积 4．解:（1）如图 根据 可得 由几何关系可知 可得 （2）如图 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2，磁感应强度为B＇，由几何关系可知 解得 根据且 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 粒子在两个磁场中运动的总时间 粒子在两磁场中间的无磁场区域做匀速直线运动，则其位移大小为 该过程运动的时间为 粒子从C点运动到E点的时间 （3）设粒子沿CN方向进入磁场的速度大小为v，此时速度与CE方向成θ角，粒子做匀速圆周运动的半径为R3，如图 根据对称性和几何关系可知 化简可知 即 解得 又由 联立解得其中 5．解:（1）粒子以最小速度进入第四象限的最远点在x轴上的截距为直径，由于，A点的横坐标为，则C点的横坐标为 故A点的坐标为（，0） （2）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过A点，如图所示，需满足 由此可知，通过A点的粒子的竖直分速度为 由于通过A点的粒子的速度满足 与y轴正方向的夹角满足 故到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围是 （3）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过C点，同理可得 可得 因此通过点的粒子的速度满足 与轴正方向的夹角满足，故 两粒子相遇，必有（其中、取，，） 即 由于是第一次相遇，则取最小的自然数，取， 因此粒子第一次在轴上相遇的位置： 由于粒子在两磁场中的运动具有周期性，且粒子做圆周运动的周期均为，因此从、两点出发运动时间最短的粒子最快到达相遇点。 由分析知，粒子相遇时的时间 其中， 代入，可得到，到达第一次相遇位置的粒子，满足 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 由此可知，当时相遇的时间最短，即，的粒子最先相遇； 因此，粒子第一次在轴上相遇的时刻为 即相遇时刻 真题·实战演练 题号 1 2 3 4 答案 D C BD AD 5．解：（1）根据洛伦兹力提供向心力有 可得 根据几何关系可得 联立可得 根据左手定则可知磁感应强度方向垂直纸面向里。 （2）根据结合可得 电子从S点第一次到达P点转过的圆心角为，电子从S点第一次到达P点所用的时间 联立可得 6．解：（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第51讲 专题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1 知识点2 带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 3 知识点3 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 3 模拟·基础演练 4 题型01 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 4 题型02 带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 20 题型03 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 26 重难·创新演练 39 真题·实战演练 49 巩固·知识解构 知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.粒子轨迹圆心、半径、运动时间的确定 基本思路 图例 说明 圆心的确定 与速度方向垂直的直线过圆心 P、M点速度垂线交点 弦的垂直平分线过圆心 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 某点的速度垂线与切点法线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法:例:（左图） R=或由R2=L2+（R-d）2求得R= 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 （1）t=T （2）t= （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ （2）偏转角φ与弦切角α的关系:φ<180°时，φ=2α;φ>180°时，φ=360°-2α 2.几种常见磁场边界运动分析 种类 图形 特点 直线边界 进出磁场具有对称性 平行边界 存在临界条件 圆形边界 径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，粒子沿圆形磁场半径方向射入，必沿径向射出，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。 等角进出：粒子不沿圆形磁场半径方向射入，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也一定为θ，如图2所示 点入平出（磁发散）：粒子从同一点射入磁场，且粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，射出方向平行，如图3所示。 平入点出（磁聚焦）：粒子以相互平行的速度射入磁场，且粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则从同一点射出，如图4所示 三角形边界 由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图所示。解答该类问题的关键是出射点的判断，其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置 知识点2 带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 解决带电粒子在磁场中的临界、极值问题的关键 1.通常以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2.寻找临界点常用的结论 （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 （2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 （3）当速度v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。 （4）在圆形匀强磁场中，若运动轨迹圆半径大于区域圆半径，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大（所有的弦中直径最长）。 3.数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”和“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”和“二次方程的判别式”等求极值。 知识点3 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解的形成原因一般包含4个方面： 类型 图例 分析 带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向时，必须考虑由于磁感应强度方向的不确定而形成的多解。 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 粒子速度不确定 有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的不确定而形成的多解 运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子在有界匀强磁场中的运动、带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题、带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 ⏳题型01 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．（2026·北京房山·二模）如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．粒子b的动能最大 C．粒子c在磁场中运动的时间最短 D．粒子c在磁场中运动时受到的向心力最大 2．（2026·北京十九中）如图所示，一个带电粒子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，不计带电粒子所受重力，由此推断该带电粒子（ ） A．运动轨迹半径为 B．电荷量与质量的比值为 C．穿越磁场的时间为 D．带负电且在磁场中动能一直增大 3．（2026·北京海淀·二模）边界MN上方区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子a、b垂直于磁场方向（同时垂直于磁场边界）从O点射入，它们的部分运动轨迹如图所示。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．若两粒子射入时的初速度相同，则粒子a先回到磁场边界 C．若两粒子射入时的初动量相同，则粒子b先回到磁场边界 D．若两粒子射入时的初动能相同，则粒子b先回到磁场边界 4．（2026·北京东城）如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从PQ边的中点以相同的初速度垂直于PQ边射入磁场，它们在磁场中的运动轨迹分别如图中三条弧线所示。不计粒子所受重力，则（　　） A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子b的比荷（荷质比）比粒子c的小 C．粒子b在磁场中的加速度最大 D．粒子c在磁场中运动的时间最长 5．（2025·北京丰台·二模）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点射入，从N点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在N点速率小于在M点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从N点下方射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长 6．（2025·北京海淀·一模）如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为、大小为v的速度垂直磁场射入。不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子（　　） A．在磁场中运动轨迹的半径不同 B．在磁场中运动的时间不同 C．射出磁场时的速度方向不同 D．射出位置到射入位置的距离不同 7．（2025·北京顺义）如图所示，一个带电粒子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ = 30°，不计带电粒子所受重力，由此推断该带电粒子（　　） A．运动轨迹半径为 B．带负电且在磁场中动能一直增大 C．穿越磁场的时间为 D．电荷量与质量的比值为 8．（2026·北京十九中）如图所示，圆形匀强磁场区域圆心为O，半径为R，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场，从Q点射出，PO与OQ成角，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ） A．若射入速度变大，粒子在磁场中的运动时间变短 B．带电粒子在磁场中的运动时间等于 C．若射入速度变大，粒子运动的半径变小 D．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R 9．（2026·北京景山中学）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a B．粒子质量为 C．管道内的等效电流为nq D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnq 10．（2026·北京清华附中）如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的轨迹长度为 D．若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为 11．（2025·北京西城·二模）如图所示，圆形匀强磁场区域的圆心为O，半径为R，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场，从Q点射出，PO与OQ成60°角，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R B．带电粒子在磁场中的运动时间等于 C．若射入速度变大，粒子运动的半径变小 D．若射入速度变大，粒子在磁场中的运动时间变短 12．（2026·北京东直门中学）如图所示，速度不同的同种带电粒子a，b（重力不计）沿半径AO方向进入一圆形匀强磁场区域，a，b两粒子的运动轨迹分别为和，则下列说法中正确的是（　　） A．a，b两粒子均带正电 B．a粒子在磁场中的运动时间比b粒子长 C．a粒子的速度比b粒子的速度大 D．两粒子离开磁场时的速度反向延长线不一定都过圆心O 13．（2026·北京海淀）（多选）自由电子激光器是把电子束的能量转换成相干辐射的激光器，其核心部件是扭摆磁铁。如图所示，扭摆磁铁由沿y方向周期性交错排列的对、宽度均为的永磁体组成（）。电子经加速后，从坐标原点射入平面，在周期性磁场力作用下，电子几乎沿轴方向前进，同时在方向上做小幅摆动，并向外辐射出电磁波。电子运动情况相同时，可以辐射出相位相同的电磁波。已知磁场沿轴方向的分量随的变化关系为，电子的质量为、电荷量为。仅考虑对电子的作用，忽略电子质量和速率的变化。下列说法正确的是（　　） A．在到范围内，电子做匀速圆周运动 B．电子运动过程中，若经过点（0，a，0），则一定会经过点（0，2a，0） C．电子穿过扭摆磁铁的时间为 D．沿方向相距为的两点处运动情况相同的电子，辐射出的电磁波相位相同 14．（2026·北京延庆）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为。在内圆上点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（　　） A．外圆半径等于 B．c粒子的速度大小为 C．b、c粒子返回点所用的最短时间之比为 D．a粒子返回点所用的最短时间为 15．（2026·北京人大附中）如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ为30°的方向从MN边界上的A点射入磁场中，并从PQ边界上的C点射出磁场，AC连线（图中未画出）垂直于PQ。求： (1)粒子射入磁场的速度大小v； (2)粒子在磁场中运动的时间t； (3)洛伦兹力对粒子的冲量I。 16．（2026·北京海淀）如图所示，在区域存在垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从x轴上的P点以与x轴正方向成30°的速度v垂直磁场射入，经过y轴上的M点时，速度垂直于y轴，最终从x轴上的N点（图中未画出）射出磁场。已知OP=a。不计粒子所受重力。求： (1)磁场的磁感应强度大小B。 (2)粒子从P点运动到M点所用的时间t。 (3)粒子从P点运动到N点的过程中，其动量变化量的大小∆p及方向。 ⏳题型02 带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 17．如图所示，直角三角形中，，其区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，点处的粒子源向磁场区域内各个方向发射速度大小为的带正电的粒子，粒子的质量为、带电量为，不考虑粒子的重力和相互间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．边上各处均有粒子射出 B．边上有粒子射出的区域离点的最大距离为 C．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．垂直于边发射的粒子在磁场中运动的时间最长 18．（多选）如图所示，半径为的圆形区域内有磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，和是边界圆的两条互相垂直的直径。为半径上的点，且。为磁场边界上的点，。从点沿方向射入大量电子，电子的质量为，电荷量大小为，电子的速率范围从到足够大。沿半径放置长为的挡板，挡板厚度不计，电子打到挡板上时即被挡板吸收。已知，不计电子重力，则关于从弧段离开磁场区域的电子，在磁场中运动的最短时间和最长时间，下列说法正确的是（　　） A．最短时间大于 B．最短时间小于 C．最长时间小于 D．最长时间大于 19．如图所示，长方形区域内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，长为3.2L，ad长为，边中点有一粒子源，沿纸面向磁场内各方向均匀发射速率相同的带正电粒子，已知带电粒子的比荷为，发射速率为，粒子重力不计，忽略粒子间的静电力。已知，，求： (1)粒子在磁场中运动的最长时间； (2)从ad边射出的粒子占粒子总量的百分比（保留3位有效数字）。 20．如图所示，矩形区域内充满垂直该区域向里的匀强磁场，其中，。ad边的中点S处有一可视为质点的粒子源，在该区域内沿ab方向持续发射出质量均为m、电荷量均为q、速率范围为的所有带电粒子，其中速率为的粒子恰好从b点射出磁场。若在该区域内叠加一平行于该区域且范围足够大的匀强电场（未画出），则速率为的粒子恰好做匀速直线运动。不计粒子重力、粒子间的相互作用及碰撞。 (1)求匀强磁场的磁感应强度大小B。 (2)求匀强电场的电场强度E。 (3)若保留电场、撤去磁场，其他条件不变，求粒子在该区域内运动的最长时间与最短时间之比。 ⏳题型03 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 21．（2025·北京人大附中朝阳学校）如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图。螺线管内存在磁感应强度为B，方向平行于管轴的匀强磁场，电子枪可以射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小，电子电荷量为e、质量为m，电子间的相互作用和电子的重力不计。 这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点。下列说法错误的是（　　）。 A．电子在磁场中运动的时间可能为 B．荧光屏到电子入射点的距离可能为 C．若将电子入射速度变为，这些电子不一定能汇聚在P点 D．若将电子入射速度变为2v，这些电子不一定能汇聚在P点 22．（多选）如图甲所示，、为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为，两板中央各有一个小孔、且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在时垂直于板从小孔射入磁场，已知正离子质量为，带电荷量为，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计离子所受重力，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小等于 B．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 C．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 D．若正离子能从孔垂直于板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为时所用时间最短 23．（多选）如图所示，在边界的右侧和边界的上方有一垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度大小为。足够长，距离为，且，、、、共面。在点有一粒子源，点到、的距离均为。打开粒子源发射装置，能够沿纸面向各个方向均匀发射质量为，电荷量为的带正电粒子，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．从边射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从边射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达边的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．能够打在和边上的所有粒子在磁场中运动最长路径与最短路径之比为 24．如图所示是半径为的薄壁圆筒的横截面，在其一条直径两端分别开有两个小孔和，处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为的匀强磁场中。质量为、电荷量为的粒子，从小孔以一定初速度与连线成角入射，最终从孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 C．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 D．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 25．（多选）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 26．如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向外的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)判断粒子的电性并求出其比荷； (2)求a、b之间的电势差Uab； (3)若粒子第三次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 27．（2026·浙江嘉兴·一模）如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度大小； (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第（3）问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 重难·创新演练 设题创新：结合教材知识运用(T1、T2、T3、T4、T5) 1．▶新情境◀如图所示，平面直角坐标系中，一个半径为、弧长略小于半圆的圆弧形挡板关于轴对称放置，其圆心位于原点。以为上边界、为下边界、圆弧形挡板为右边界，左边界无穷远的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为。其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子，从处以某一初速度沿轴正向射出，恰好从处进入磁场Ⅱ，之后与挡板仅发生一次碰撞，碰后速度大小变为原来的、方向与碰前相反，最后经过处回到磁场Ⅰ。不计粒子重力及碰撞时间，整个过程粒子电量保持不变，下列说法正确的是（ ） A．粒子初速度的大小为 B．两个磁场磁感应强度大小关系为 C．粒子第二次离开磁场I的位置坐标为 D．粒子从处至处的时间为 2．▶新考法◀（多选）如图所示，质量为、电荷量为的粒子从静止开始经加速电压加速后，从三维直角坐标系的原点处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为、方向沿轴正方向。已知加速电压调节范围为，其中轴上距离点1.5处有一长为的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．当粒子沿轴正方向射入磁场时，调节，板上有粒子击中的长度为 B．当，粒子从点射入平面的区域，速度方向在均匀变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50% C．当时刻，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，粒子与轴距离最大时的时间为 D．当，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，则经过时粒子的坐标为 3．▶新角度◀光滑水平面上有一直角坐标系，在第一象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。一个带负电的绝缘小球A位于轴上的点，小球质量为，电荷量大小为点坐标为；质量为的不带电小球B以与轴正方向成45度角的速度与A发生弹性正碰，碰后A进入磁场，求： (1)碰后A球的速度大小； (2)A球从点进入磁场到出磁场过程中的轨迹与坐标轴围成的面积S。 4．▶新情境◀如图所示，等边△CDE的边长为a，F、G、H是其各边的中点。调整空间中的磁场分布，利用质量均为m、电荷量均为+q的带电粒子，按如下过程进行了三次实验： 第一次，△FGH内充满磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，其他区域无磁场。一个带电粒子以某一速度从C点沿CG方向发射并进入磁场，一段时间后沿∠CED的角平分线方向从E点离开。 第二次，△CFH和△HGE内充满完全相同的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小未知、方向垂直纸面向外，其他区域无磁场。一个带电粒子以与第一次实验中相同的速度从C点沿CG方向进入磁场，一段时间后仍沿∠CED的角平分线方向从E点离开。 第三次，四边形FDGH内（不含边界）充满磁感应强度大小为2B、垂直纸面向外的匀强磁场，其他区域无磁场。大量带电粒子从C点以不同的速度平行于平面CDE发射，所有进入磁场的粒子最终都从E点离开。 不考虑粒子间的碰撞及相互作用，粒子重力不计。求： (1)第一次实验时，粒子的速度大小； (2)第二次实验时，粒子从C点运动到E点所用的时间； (3)第三次实验时，能进入磁场的粒子从C点发射时速度方向与CE边的夹角θ和发射速度大小v之间需满足的关系式。 5．▶新角度◀平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 真题·实战演练 高频考点：带电粒子在直线边界磁场、平行边界磁场、圆形边界磁场中的运动；带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 1．（2024·湖北·高考）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 2．（2026·河南·高考）如图，间距为的两虚线、间存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，虚线上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子在纸面内垂直于虚线从点射入磁场，一段时间后又从点射出磁场。已知该粒子在下方磁场中运动的圆轨迹半径为，不计重力，则上、下磁场的磁感应强度大小之比为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃·高考）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（ ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 4．（2024·河北·高考）（多选）如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（ ） A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45° D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60° 5．（2026·云南·高考）洛伦兹力演示仪示意图如图甲所示，玻璃泡处于励磁线圈产生的磁场中。玻璃泡内有一垂直磁场的竖直圆面，图乙为其放大示意图，其圆心为O、半径为R、最高点为P，区域内的磁场视为匀强磁场。电子枪将电子从O点正下方0.8R处的S点，以速度v水平向左射出，电子在圆面内运动一段时间后到达P点。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子之间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)电子从S点第一次到达P点所用的时间。 6．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第51讲 专题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1 知识点2 带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 3 知识点3 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 3 模拟·基础演练 4 题型01 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 4 题型02 带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 20 题型03 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 26 重难·创新演练 39 真题·实战演练 49 巩固·知识解构 知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.粒子轨迹圆心、半径、运动时间的确定 基本思路 图例 说明 圆心的确定 与速度方向垂直的直线过圆心 P、M点速度垂线交点 弦的垂直平分线过圆心 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 某点的速度垂线与切点法线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法:例:（左图） R=或由R2=L2+（R-d）2求得R= 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 （1）t=T （2）t= （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ （2）偏转角φ与弦切角α的关系:φ<180°时，φ=2α;φ>180°时，φ=360°-2α 2.几种常见磁场边界运动分析 种类 图形 特点 直线边界 进出磁场具有对称性 平行边界 存在临界条件 圆形边界 径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，粒子沿圆形磁场半径方向射入，必沿径向射出，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。 等角进出：粒子不沿圆形磁场半径方向射入，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也一定为θ，如图2所示 点入平出（磁发散）：粒子从同一点射入磁场，且粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，射出方向平行，如图3所示。 平入点出（磁聚焦）：粒子以相互平行的速度射入磁场，且粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则从同一点射出，如图4所示 三角形边界 由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图所示。解答该类问题的关键是出射点的判断，其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置 知识点2 带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 解决带电粒子在磁场中的临界、极值问题的关键 1.通常以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2.寻找临界点常用的结论 （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 （2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 （3）当速度v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。 （4）在圆形匀强磁场中，若运动轨迹圆半径大于区域圆半径，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大（所有的弦中直径最长）。 3.数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”和“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”和“二次方程的判别式”等求极值。 知识点3 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解的形成原因一般包含4个方面： 类型 图例 分析 带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向时，必须考虑由于磁感应强度方向的不确定而形成的多解。 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 粒子速度不确定 有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的不确定而形成的多解 运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子在有界匀强磁场中的运动、带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题、带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 ⏳题型01 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．（2026·北京房山·二模）如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．粒子b的动能最大 C．粒子c在磁场中运动的时间最短 D．粒子c在磁场中运动时受到的向心力最大 【答案】B 【解析】A．根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里，粒子初速度向上。粒子向左偏转，说明其受到的洛伦兹力向左，可知粒子带正电，故A错误； B．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由可得轨道半径。由于三个粒子的质量和电荷量大小相等，所在磁场相同，由图可知，粒子的轨迹半径最大，则粒子的速度最大，根据动能公式可知，粒子的动能最大，故B正确； C．根据粒子在磁场中运动的周期，可知三个粒子运动周期相同。粒子在磁场中运动时间，其中为轨迹对应的圆心角。由图可知，粒子完成了半个圆周运动，其余两粒子、均未完成半个圆周就射出边界，因此粒子在磁场中运动的时间最长，故C错误； D．粒子在磁场中运动时受到的向心力即为洛伦兹力，由对B选项的分析可知，粒子的轨迹半径最小，说明其速度最小，因此粒子在磁场中运动时受到的向心力最小，故D错误。故选B。 2．（2026·北京十九中）如图所示，一个带电粒子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，不计带电粒子所受重力，由此推断该带电粒子（ ） A．运动轨迹半径为 B．电荷量与质量的比值为 C．穿越磁场的时间为 D．带负电且在磁场中动能一直增大 【答案】B 【解析】A．带电粒子垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，画出运动轨迹，如图所示 设粒子的轨迹半径为r，由几何知识得 解得，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力有 解得，故B正确； C．穿越磁场的时间为，故C错误； D．根据左手定则可知，粒子带负电；带电粒子受到的洛伦兹力方向与运动方向始终垂直，所以洛伦兹力不做功，不能改变粒子的动能，故D错误。故选B。 3．（2026·北京海淀·二模）边界MN上方区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子a、b垂直于磁场方向（同时垂直于磁场边界）从O点射入，它们的部分运动轨迹如图所示。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．若两粒子射入时的初速度相同，则粒子a先回到磁场边界 C．若两粒子射入时的初动量相同，则粒子b先回到磁场边界 D．若两粒子射入时的初动能相同，则粒子b先回到磁场边界 【答案】B 【解析】A．根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里，粒子初速度向上。粒子向左偏转，受到的洛伦兹力向左，可知粒子带正电；粒子向右偏转，受到的洛伦兹力向右，可知粒子带负电，故A错误； B．粒子垂直射入并在边界射出匀强磁场，均做半个圆周的运动，由图可知轨道半径。若初速度相同，根据在磁场中运动时间可知，即粒子先回到磁场边界，故B正确； C．若两粒子初动量相同，由和可知，两粒子电荷量大小。粒子在磁场中运动时间 ，由于两粒子的质量关系未知，无法比较运动时间的长短，故C错误； D．若两粒子初动能相同，则粒子在磁场中运动时间，由于两粒子的质量关系未知，无法比较运动时间的长短，故D错误。故选B。 4．（2026·北京东城）如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从PQ边的中点以相同的初速度垂直于PQ边射入磁场，它们在磁场中的运动轨迹分别如图中三条弧线所示。不计粒子所受重力，则（　　） A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子b的比荷（荷质比）比粒子c的小 C．粒子b在磁场中的加速度最大 D．粒子c在磁场中运动的时间最长 【答案】B 【解析】A．由左手定则可知a带正电，b带负电，故A错误； B．粒子在磁场中的运动时洛伦兹力提供向心力 解得 由图可知，同时它们的速率相同，则，故B正确； C．由于，同时它们的速率相同，根据向心加速度公式可知，粒子c在磁场中的加速度最大，故C错误； D．粒子在磁场中运动时间等于弧长除以速率，即 设PQ=4d由图可知， 虽然b的时间无法确定，但可以确定粒子c在磁场中运动的时间不是最长的，故D错误。故选B。 5．（2025·北京丰台·二模）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点射入，从N点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在N点速率小于在M点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从N点下方射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长 【答案】C 【解析】A．粒子向右偏转，洛伦兹力方向整体向右，根据左手定则可知，四指指向与粒子速度方向相反，可知，粒子带负电，故A错误； B．洛伦兹力不做功，根据动能定理可知，粒子的速率不变，即粒子在N点的速率等于在M点的速率，故B错误； C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若增大磁感应强度，则轨道半径减小，可知，粒子可能从N点下方射出，故C正确； D．结合上述可知，若增大入射速率，则轨道半径增大，粒子将从N点上方射出，对应圆弧的圆心角减小，根据， 解得 粒子在磁场中运动的时间 圆心角减小，运动时间减小，可知，若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短，故D错误。故选C。 6．（2025·北京海淀·一模）如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为、大小为v的速度垂直磁场射入。不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子（　　） A．在磁场中运动轨迹的半径不同 B．在磁场中运动的时间不同 C．射出磁场时的速度方向不同 D．射出位置到射入位置的距离不同 【答案】B 【解析】AC．由 可得 故两粒子在磁场中运动轨迹的半径相同。如图所示正电荷粒子的运动轨迹为大圆弧，负电荷粒子的运动轨迹为小圆弧 射出磁场时的速度方向相同，故AC错误； B．粒子在磁场中运动周期 若粒子带负电荷，在磁场中运动的时间 若粒子带正电荷，在磁场中运动的时间 故两粒子在磁场中运动的时间不同，故B正确； D．由几何关系可知，两粒子射出位置到射入位置的距离相同，大小等于 故D错误。故选B。 7．（2025·北京顺义）如图所示，一个带电粒子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ = 30°，不计带电粒子所受重力，由此推断该带电粒子（　　） A．运动轨迹半径为 B．带负电且在磁场中动能一直增大 C．穿越磁场的时间为 D．电荷量与质量的比值为 【答案】D 【解析】A．带电粒子垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，画出运动轨迹，如图所示 设粒子的轨迹半径为r，由几何知识得 解得 故A错误； B．带电粒子受到的洛伦兹力方向与运动方向始终垂直，所以洛伦兹力不做功，不能改变粒子的动能，故B错误； C．穿越磁场的时间为 故C错误； D．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 故D正确。故选D。 8．（2026·北京十九中）如图所示，圆形匀强磁场区域圆心为O，半径为R，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场，从Q点射出，PO与OQ成角，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ） A．若射入速度变大，粒子在磁场中的运动时间变短 B．带电粒子在磁场中的运动时间等于 C．若射入速度变大，粒子运动的半径变小 D．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R 【答案】A 【解析】A．粒子以某一速度从点沿磁场区域的半径方向射入，根据对称性和几何关系可知，其出射速度方向一定沿另一半径方向向外，设入射点和出射点所在半径夹角为，粒子运动轨迹的圆心角为，由几何知识有，，若射入速度变大，根据可知，粒子运动的半径变大，则变大，偏转角变小；根据且周期保持不变，可知粒子在磁场中的运动时间变短，故A正确； B．，则粒子轨迹的圆心角 带电粒子在磁场中的运动时间，故B错误； C．根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式可知，若射入速度变大，粒子运动的半径变大，故C错误； D．根据几何关系可得，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径，故D错误。故选A。 9．（2026·北京景山中学）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a B．粒子质量为 C．管道内的等效电流为nq D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnq 【答案】D 【解析】A．由图可知，粒子在磁场中运动的圆弧半径为，故A正确，不符合题意； B．粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有 其中 解得，故B正确，不符合题意； C．管道内的等效电流为，故C正确，不符合题意； D．粒子束对管道的平均作用力大小等于等效电流受的安培力，则有，故D错误，符合题意。故选D。 10．（2026·北京清华附中）如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的轨迹长度为 D．若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为 【答案】D 【解析】A．根据左手定则判断可知，粒子带正电，故A错误； B．粒子轨迹如图 几何关系可知粒子轨迹圆半径 根据 联立解得 故B错误； C．粒子在磁场中运动的轨迹长度为 联立解得 故C错误； D．当PQ为圆形磁场直径时，圆形磁场面积最小，几何关系可知PQ长为r，则最小面积为 故D正确。故选D。 11．（2025·北京西城·二模）如图所示，圆形匀强磁场区域的圆心为O，半径为R，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场，从Q点射出，PO与OQ成60°角，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R B．带电粒子在磁场中的运动时间等于 C．若射入速度变大，粒子运动的半径变小 D．若射入速度变大，粒子在磁场中的运动时间变短 【答案】D 【解析】AB．粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得粒子轨迹半径为 根据洛伦兹力提供向心力，有 粒子运动周期为 联立可得 带电粒子在磁场中的运动时间为 故AB错误； C．根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 可知射入速度变大，粒子运动的半径变大，故C错误； D．粒子在磁场中的运动周期 粒子在磁场中的运动时间 如果只增大粒子的入射速度v，周期不变。根据可知如果只增大粒子的入射速度v，则偏转半径变大，由几何关系可知偏转角变小，则粒子在磁场中的运动时间变短，故D正确。故选D。 12．（2026·北京东直门中学）如图所示，速度不同的同种带电粒子a，b（重力不计）沿半径AO方向进入一圆形匀强磁场区域，a，b两粒子的运动轨迹分别为和，则下列说法中正确的是（　　） A．a，b两粒子均带正电 B．a粒子在磁场中的运动时间比b粒子长 C．a粒子的速度比b粒子的速度大 D．两粒子离开磁场时的速度反向延长线不一定都过圆心O 【答案】B 【解析】A．由图可知，粒子进入磁场时所受的洛伦兹力向下，由左手定则可知，a、b两粒子均带负电，故A错误； C．由洛伦兹力提供向心力有 解得 对于同种粒子进入同一磁场中，半径越大，速度越大，由图可知a粒子运动半径小，则a粒子的速度比b粒子的速度小，故C错误； B．由公式 可知，对于同种粒子以不同速度进入同一磁场中，周期相同，则粒子在磁场中的运动时间 由图可知，a粒子运动轨迹所对圆心角较大，则a粒子在磁场中的运动时间比b粒子长，故B正确； D．两粒子沿半径方向飞入，则两粒子离开磁场时的速度反向延长线一定都过圆心O，故D错误。故选B。 13．（2026·北京海淀）（多选）自由电子激光器是把电子束的能量转换成相干辐射的激光器，其核心部件是扭摆磁铁。如图所示，扭摆磁铁由沿y方向周期性交错排列的对、宽度均为的永磁体组成（）。电子经加速后，从坐标原点射入平面，在周期性磁场力作用下，电子几乎沿轴方向前进，同时在方向上做小幅摆动，并向外辐射出电磁波。电子运动情况相同时，可以辐射出相位相同的电磁波。已知磁场沿轴方向的分量随的变化关系为，电子的质量为、电荷量为。仅考虑对电子的作用，忽略电子质量和速率的变化。下列说法正确的是（　　） A．在到范围内，电子做匀速圆周运动 B．电子运动过程中，若经过点（0，a，0），则一定会经过点（0，2a，0） C．电子穿过扭摆磁铁的时间为 D．沿方向相距为的两点处运动情况相同的电子，辐射出的电磁波相位相同 【答案】BD 【解析】A．由得，由于是的函数，随增大而变化，故不断变化，因此电子做非匀速圆周运动，故A错误； B．电子运动过程中，磁场不做功，速度不变，则从点（0，0，0）到点（0，a，0）的加速度大小变化和从点（0，a，0）到点（0，2a，0）的加速度大小变化相同；电子的运动具有对称性，从点（0，0，0）到点（0，a，0）电子的运动轨迹与从点（0，a，0）到点（0，2a，0）轨迹对称，但分居两侧，故B正确； C．由于是的函数，随增大而变化，且电子在每一对永磁体组成的磁场区域中的运动不是完整的匀速圆周运动，电子穿过扭摆磁铁的时间不等于，故C错误； D．由磁场可知沿轴方向磁场的变化周期为，和两个电子沿方向的间距相同，在同一时刻，它们在磁场中运动情况相同，因此辐射出的电磁波相位相同，故D正确。故选BD。 14．（2026·北京延庆）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为。在内圆上点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（　　） A．外圆半径等于 B．c粒子的速度大小为 C．b、c粒子返回点所用的最短时间之比为 D．a粒子返回点所用的最短时间为 【答案】AB 【解析】A．由可得粒子在磁场中做圆周运动的半径。对于a粒子，其速度大小，则其轨迹半径 a粒子从点沿径向（即背离圆心的方向）射入，其轨迹圆心位于过点且垂直于的直线上（即内圆的切线）， 且距离点为由几何关系可知，圆心到轨迹圆心的距离为 a粒子在磁场中运动的轨迹距圆心的最大距离为 由于粒子恰好到达磁场外边界，故外圆半径等于，故A正确； B．由图可知，磁场方向垂直纸面向里。c粒子的速度方向为顺时针方向，根据左手定则可知，c粒子在点受到的洛伦兹力方向沿径向向外 其轨迹圆心位于的延长线上，其轨迹距圆心的最大距离为 由于c粒子也恰好到达外边界，则有，解得 由可得，故B正确； C．同理，b粒子的速度方向为逆时针方向，受到的洛伦兹力方向沿径向向内，其轨迹圆心位于连线上。要使其到达外边界，必须有，其轨迹距圆心的最大距离为 由，解得 经分析可知，b、c粒子的轨迹圆均只在点与内圆相切，其余部分均在磁场中，即它们在磁场中均做完整的圆周运动，返回点所用的最短时间均为一个周期，所以时间之比为1：1，故C错误； D．根据A轨迹图可知,其最短时间，故D错误。故选AB。 15．（2026·北京人大附中）如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ为30°的方向从MN边界上的A点射入磁场中，并从PQ边界上的C点射出磁场，AC连线（图中未画出）垂直于PQ。求： (1)粒子射入磁场的速度大小v； (2)粒子在磁场中运动的时间t； (3)洛伦兹力对粒子的冲量I。 【答案】(1) (2) (3)，方向平行于PQ，从Q指向P 【解析】（1）粒子射入磁场后的运动轨迹如图所示 根据几何关系有： 洛伦兹力充当向心力有 解得 （2）图中圆心角为，粒子周期 则 （3）洛伦兹力对粒子的冲量等于粒子的动量变化量：从射入到射出，粒子速度方向改变了，则 方向平行于PQ，从Q指向P。 16．（2026·北京海淀）如图所示，在区域存在垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从x轴上的P点以与x轴正方向成30°的速度v垂直磁场射入，经过y轴上的M点时，速度垂直于y轴，最终从x轴上的N点（图中未画出）射出磁场。已知OP=a。不计粒子所受重力。求： (1)磁场的磁感应强度大小B。 (2)粒子从P点运动到M点所用的时间t。 (3)粒子从P点运动到N点的过程中，其动量变化量的大小∆p及方向。 【答案】(1) (2) (3)大小为mv，方向沿y轴负方向 【解析】（1）设粒子做圆周运动的半径为，则 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）设粒子做匀速圆周运动的周期为，从P点运动至M点过程中，粒子在磁场中转过的角度为，则 根据 （3）设粒子运动至N点时速度的方向与x轴正方向的夹角为，如图所示 由几何关系可知 x方向动量变化为 y方向动量变化为 可得 所以，动量变化量的大小为mv，方向沿y轴负方向。 ⏳题型02 带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 17．如图所示，直角三角形中，，其区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，点处的粒子源向磁场区域内各个方向发射速度大小为的带正电的粒子，粒子的质量为、带电量为，不考虑粒子的重力和相互间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．边上各处均有粒子射出 B．边上有粒子射出的区域离点的最大距离为 C．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．垂直于边发射的粒子在磁场中运动的时间最长 【答案】D 【解析】A．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得，如图甲所示 当粒子轨迹与ab边相切时，由ac边出射的粒子距离c点最远，但fa段无粒子射出，故A错误； B．如图乙所示，粒子从c点沿cb方向射出时，粒子由边上点射出，由几何关系可知，此时圆心角为，cd与ab垂直，此时d点距离a点最远 则ab边上有粒子射出的区域离a点的最大距离为，故B错误； C．由于cd与ab垂直，轨迹圆的弦长最短，对应的圆心角最小，所用时间最短，则最短时间为，故C错误； D．如图甲所示，当粒子垂直于ab边发射时，粒子与ab边相切于e点，从边上点射出时，此时对应的轨迹最长，圆心角最大，所用时间最长，D正确。故选D。 18．（多选）如图所示，半径为的圆形区域内有磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，和是边界圆的两条互相垂直的直径。为半径上的点，且。为磁场边界上的点，。从点沿方向射入大量电子，电子的质量为，电荷量大小为，电子的速率范围从到足够大。沿半径放置长为的挡板，挡板厚度不计，电子打到挡板上时即被挡板吸收。已知，不计电子重力，则关于从弧段离开磁场区域的电子，在磁场中运动的最短时间和最长时间，下列说法正确的是（　　） A．最短时间大于 B．最短时间小于 C．最长时间小于 D．最长时间大于 【答案】BC 【解析】由题，点坐标为，电子从水平向右射入，带负电，受洛伦兹力竖直向下，做顺时针圆周运动，圆心在正下方，即 若粒子刚好打到挡板，则 故粒子从弧段离开磁场区域，轨迹半径满足 设粒子轨迹圆心角为，当半径越小时，越大，运动时间 法一：解析解法 求轨迹圆心角： 设出射点为，两圆心连线长度 解得 在两圆中弦为公共弦，连心线垂直平分公共弦，设垂足为 ， 故 又 解得半弦长 在轨迹圆中，弦所对劣弧圆心角满足 所以 而粒子轨迹对应圆心角为 求时间：当时，， 故 所以 当时，， 故 所以 综上 故选BC。 法二：近似解法 若粒子可从打出，则圆心到的距离有 解得 由几何关系此时圆心角为，则时间 当电子速率足够小时，轨道半径足够小，轨迹圆与磁场圆公共弦可近似看作过点的磁场圆切线（见放大图），则轨迹圆最大圆心角不会超过，，则时间 综上；故选BC。 19．如图所示，长方形区域内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，长为3.2L，ad长为，边中点有一粒子源，沿纸面向磁场内各方向均匀发射速率相同的带正电粒子，已知带电粒子的比荷为，发射速率为，粒子重力不计，忽略粒子间的静电力。已知，，求： (1)粒子在磁场中运动的最长时间； (2)从ad边射出的粒子占粒子总量的百分比（保留3位有效数字）。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由洛伦兹力提供向心力 代入比荷，速率，得轨道半径 粒子做圆周运动的周期为​ 粒子运动时间，为圆心角，圆心角越大时间越长。最大圆心角对应的弦长最长，轨迹与相切，如图轨迹2 所示 由几何关系可得，则 轨迹圆心角为 因此最长时间 （2）在轨迹2与轨迹3之间的粒子都从边射出，由几何关系可得，则 则轨迹2与轨迹3的粒子初速度夹角为 占比为 20．如图所示，矩形区域内充满垂直该区域向里的匀强磁场，其中，。ad边的中点S处有一可视为质点的粒子源，在该区域内沿ab方向持续发射出质量均为m、电荷量均为q、速率范围为的所有带电粒子，其中速率为的粒子恰好从b点射出磁场。若在该区域内叠加一平行于该区域且范围足够大的匀强电场（未画出），则速率为的粒子恰好做匀速直线运动。不计粒子重力、粒子间的相互作用及碰撞。 (1)求匀强磁场的磁感应强度大小B。 (2)求匀强电场的电场强度E。 (3)若保留电场、撤去磁场，其他条件不变，求粒子在该区域内运动的最长时间与最短时间之比。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）速率为2v0的粒子在磁场中运动的轨迹如答图所示 设该粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系有 解得R=4L 又由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）粒子仅在磁场中运动时向上方偏转，由左手定则知粒子带正电。 加上匀强电场后，根据平衡条件，有 解得，方向沿ad方向。 （3）设速度大小为v的粒子恰好从c点离开矩形区域，如图所示 由类平抛运动，有 竖直方向 联立解得 由分析易知的粒子将从bc边离开 的粒子将从dc边(含c点)离开 速度为3v0的粒子在电场中运动的时间最短 的粒子在电场中运动的时间最长且相等，由 可得 因此粒子在矩形区域内运动的最长时间与最短时间之比 ⏳题型03 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 21．（2025·北京人大附中朝阳学校）如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图。螺线管内存在磁感应强度为B，方向平行于管轴的匀强磁场，电子枪可以射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小，电子电荷量为e、质量为m，电子间的相互作用和电子的重力不计。 这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点。下列说法错误的是（　　）。 A．电子在磁场中运动的时间可能为 B．荧光屏到电子入射点的距离可能为 C．若将电子入射速度变为，这些电子不一定能汇聚在P点 D．若将电子入射速度变为2v，这些电子不一定能汇聚在P点 【答案】C 【解析】由题图可知，螺线管内磁场方向水平向右，将粒子速度沿水平方向、竖直方向正交分解，则粒子水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀速圆周运动，粒子螺旋式前进，设螺线管长为L，若这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点，则需满足 （n=1，2，3…）T为粒子竖直方向做圆周运动的周期，又因为 解得周期为 联立可得（n=1，2，3…） 因为电子速度v与磁场方向的夹角非常小，所以 可见，粒子的速度只要满足（n=1，2，3…） 即粒子的运动时间为粒子做圆周运动周期的整数倍，粒子就可以汇聚到P点。 A．由上述分析可知，若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达P点，则运动的时间可能为，故A正确，不符合题意； B．若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达P点，则 故B正确，不符合题意； C．由上述分析可知当粒子速度为v时，（n=1，2，3…） 故当粒子速度为时，（=2，4，6…） 即粒子的运动时间仍然为粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子一定能汇聚在P点，故C错误，符合题意； D．当粒子速度为时，（=，1，…） 即粒子的运动时间不是总等于粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子不一定能汇聚在P点，故D正确，不符合题意。故选C。 22．（多选）如图甲所示，、为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为，两板中央各有一个小孔、且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在时垂直于板从小孔射入磁场，已知正离子质量为，带电荷量为，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计离子所受重力，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小等于 B．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 C．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 D．若正离子能从孔垂直于板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为时所用时间最短 【答案】CD 【解析】A．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力 做匀速圆周运动的周期 联立两式得磁感应强度 选项A错误； BCD．要使正离子从N板O′孔射出磁场，v0的方向应如图所示 结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是一个周期时，运动的时间最短，所以 tmin=T0 此时离子做匀速圆周运动的半径为； 两板之间正离子运动n个周期，即nT0，则 联立上式可得，正离子的速度 当n=1时 当n=2时 选项B错误，CD正确。故选CD。 23．（多选）如图所示，在边界的右侧和边界的上方有一垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度大小为。足够长，距离为，且，、、、共面。在点有一粒子源，点到、的距离均为。打开粒子源发射装置，能够沿纸面向各个方向均匀发射质量为，电荷量为的带正电粒子，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．从边射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从边射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达边的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．能够打在和边上的所有粒子在磁场中运动最长路径与最短路径之比为 【答案】AD 【解析】A．如图所示，当速度方向与夹角为，粒子恰好经过点，当速度方向与夹角满足，粒子到达边，所以从边出磁场的粒子数为总数的，故A正确； B．如图所示，从边出磁场的粒子数需要满足，则占粒子总数为，故B错误； C．如图所示，当射入点与边上的点的连线与边垂直时，此粒子在磁场中运动时间最短，运动时间 故C错误； D．如图所示，当转过圆心角为时路径最长，转过圆心角为时路径最短，故D正确。 故选AD。 24．如图所示是半径为的薄壁圆筒的横截面，在其一条直径两端分别开有两个小孔和，处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为的匀强磁场中。质量为、电荷量为的粒子，从小孔以一定初速度与连线成角入射，最终从孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 C．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 D．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 【答案】B 【解析】A．若，粒子无碰撞直接从到，是圆筒直径，长度，速度与弦的夹角为，弦长 解得 由， ，故A错误； BCD． 如果粒子与筒壁发生一次碰撞，可能存在两种情况如上图，其中 左图中，由正弦定理； 右图中，由正弦定理； 根据的表达式，当时，有两个大于零的半径解和，而当时，只有一个大于零的半径解。 所以当，速度只有一个解 当，速度有两个解和，故B正确，CD错误。故选B。 25．（多选）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 【答案】ACD 【解析】A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意画出粒子的运动轨迹，如图甲所示 根据 解得 由几何关系可知 则有，故A正确； B．由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间 由于 解得，故B错误； CD．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如图丙所示 由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得，故C、D正确。故选ACD。 26．如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向外的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)判断粒子的电性并求出其比荷； (2)求a、b之间的电势差Uab； (3)若粒子第三次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 【答案】(1)负电， (2) (3)，， 【解析】（1）粒子从P点沿半径方向射入I区，偏转后从K点离开I区，根据左手定则可知，四指指向与粒子运动方向相反，则带电粒子带负电。设带电粒子所带电量为-q，粒子在I区做匀速圆周运动的半径为r，作出粒子运动轨迹如图（a）所示 根据几何关系有 粒子在I区做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）带电粒子在II区做减速直线运动，根据动能定理有 结合上述解得 （3）带电粒子在III区运动，设轨迹半径为r1，III区磁场磁感应强度大小Bx，则有 结合上述解得 作出粒子运动轨迹，如图（b）所示 设粒子在b圆面上N1射入III区，在N2点离开III区，令∠N1ON2=θ，在I区内运动k1次，III区内运动k2次后，回到P点，则有（k1、k2均为正整数，且有，） 可知，粒子运动轨迹有三种可能性。情况i： 当k1=1，k2=1时，时，带电粒子在III区运动后，沿PO方向直接进入II区时，运动轨迹如图（c）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况ii： 当k1=2，k2=1时，，带电粒子在III区运动后，进入II区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，运动轨迹如如图（d）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况iii： 当k1=3，k2=2时，，带电粒子两次进入III区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，轨迹如图（e）所示 根据几何关系有r1=2R 结合上述解得 27．（2026·浙江嘉兴·一模）如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度大小； (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第（3）问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，比例为0；当时，比例为；当时，比例为 【解析】（1）由题可知粒子速度方向对准A点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）如图所示，由几何规律可知，圆形磁场边界，出射速度与磁场区域半径的夹角等于入射速度与磁场区域半径的夹角 入射时 解得 （3）设粒子从O点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过x轴时所在位置离O点距离为x，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准A点时，刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限，所以粒子在x轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从O点入射时，y方向速度越大，偏转位移x越大，由于初始粒子沿y轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，也即距离x轴的粒子均能从小孔通过，其中距离x轴0.5R时，也即的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （4）由（3）可知，k越大，x越小，对此分为如下三种情况： （i）当从O点沿y轴正向入射时（x最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近A点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在P点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离x大于小孔右边界，故粒子所占比例为 重难·创新演练 设题创新：结合教材知识运用(T1、T2、T3、T4、T5) 1．▶新情境◀如图所示，平面直角坐标系中，一个半径为、弧长略小于半圆的圆弧形挡板关于轴对称放置，其圆心位于原点。以为上边界、为下边界、圆弧形挡板为右边界，左边界无穷远的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为。其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子，从处以某一初速度沿轴正向射出，恰好从处进入磁场Ⅱ，之后与挡板仅发生一次碰撞，碰后速度大小变为原来的、方向与碰前相反，最后经过处回到磁场Ⅰ。不计粒子重力及碰撞时间，整个过程粒子电量保持不变，下列说法正确的是（ ） A．粒子初速度的大小为 B．两个磁场磁感应强度大小关系为 C．粒子第二次离开磁场I的位置坐标为 D．粒子从处至处的时间为 【答案】C 【解析】A．粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，恰好从处进入磁场Ⅱ，由几何关系可知半径为，根据 可得 解得粒子初速度的大小为，故A错误； B．如图所示 根据 可得 碰后速度大小变为原来的，可设碰前的半径为，碰后的半径为，根据几何关系可得 可得， 即 可得两个磁场磁感应强度大小关系为，故B错误； C．如图所示，根据 可得 可得粒子第二次离开磁场I的位置坐标为，故C正确； D．在磁场中，周期 在磁场中，周期 粒子从处至处的时间为，故D错误。故选C。 2．▶新考法◀（多选）如图所示，质量为、电荷量为的粒子从静止开始经加速电压加速后，从三维直角坐标系的原点处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为、方向沿轴正方向。已知加速电压调节范围为，其中轴上距离点1.5处有一长为的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．当粒子沿轴正方向射入磁场时，调节，板上有粒子击中的长度为 B．当，粒子从点射入平面的区域，速度方向在均匀变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50% C．当时刻，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，粒子与轴距离最大时的时间为 D．当，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，则经过时粒子的坐标为 【答案】AD 【解析】A．粒子经加速电压后，由动能定理可知 速度 代入磁场中半径公式 可求得粒子的轨迹半径与电压的关系，当时，半径 时，半径 时，半径 当粒子沿轴正方向射入磁场时，粒子在平面偏转半个圆周打在轴上，当加速电压为时粒子打中板上位置最远，为，因此打中板长度为，故A正确； B．当、粒子射向平面，恰好打在板上的临界情况如图所示 由几何关系可知 则击中吸收板的粒子占粒子总数的比例为，故B错误； C．当，粒子射向平面，速度方向与轴正方向夹时，粒子的运动轨迹如下图所示 将速度分解为沿轴方向的和沿轴方向的，则粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，故当粒子运动圆周运动半周期的奇数倍时粒子离轴最远，由可知，粒子与轴距离最大时的时间为，故C错误； D．当，粒子速度方向与平面和坐标轴夹角均为时，初速度大小为 将其分解为轴方向分速度 和平面分速度 粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，则经过时粒子的坐标为，故D正确。故选AD。 3．▶新角度◀光滑水平面上有一直角坐标系，在第一象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。一个带负电的绝缘小球A位于轴上的点，小球质量为，电荷量大小为点坐标为；质量为的不带电小球B以与轴正方向成45度角的速度与A发生弹性正碰，碰后A进入磁场，求： (1)碰后A球的速度大小； (2)A球从点进入磁场到出磁场过程中的轨迹与坐标轴围成的面积S。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）小球B与A发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒有， 联立解得， （2）碰后A进入匀强磁场中做匀速圆周运动，则有 解得 则A做匀速圆周运动的直径为，故作出A做匀速圆周运动的轨迹，如图所示 根据几何关系，可得 则围成的面积 4．▶新情境◀如图所示，等边△CDE的边长为a，F、G、H是其各边的中点。调整空间中的磁场分布，利用质量均为m、电荷量均为+q的带电粒子，按如下过程进行了三次实验： 第一次，△FGH内充满磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，其他区域无磁场。一个带电粒子以某一速度从C点沿CG方向发射并进入磁场，一段时间后沿∠CED的角平分线方向从E点离开。 第二次，△CFH和△HGE内充满完全相同的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小未知、方向垂直纸面向外，其他区域无磁场。一个带电粒子以与第一次实验中相同的速度从C点沿CG方向进入磁场，一段时间后仍沿∠CED的角平分线方向从E点离开。 第三次，四边形FDGH内（不含边界）充满磁感应强度大小为2B、垂直纸面向外的匀强磁场，其他区域无磁场。大量带电粒子从C点以不同的速度平行于平面CDE发射，所有进入磁场的粒子最终都从E点离开。 不考虑粒子间的碰撞及相互作用，粒子重力不计。求： (1)第一次实验时，粒子的速度大小； (2)第二次实验时，粒子从C点运动到E点所用的时间； (3)第三次实验时，能进入磁场的粒子从C点发射时速度方向与CE边的夹角θ和发射速度大小v之间需满足的关系式。 【答案】(1) (2) (3)，其中 【解析】（1）如图 根据 可得 由几何关系可知 可得 （2）如图 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2，磁感应强度为B＇，由几何关系可知 解得 根据且 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 粒子在两个磁场中运动的总时间 粒子在两磁场中间的无磁场区域做匀速直线运动，则其位移大小为 该过程运动的时间为 粒子从C点运动到E点的时间 （3）设粒子沿CN方向进入磁场的速度大小为v，此时速度与CE方向成θ角，粒子做匀速圆周运动的半径为R3，如图 根据对称性和几何关系可知 化简可知 即 解得 又由 联立解得其中 5．▶新角度◀平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 【答案】(1)（，0） (2) (3)，， 【解析】（1）粒子以最小速度进入第四象限的最远点在x轴上的截距为直径，由于，A点的横坐标为，则C点的横坐标为 故A点的坐标为（，0） （2）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过A点，如图所示，需满足 由此可知，通过A点的粒子的竖直分速度为 由于通过A点的粒子的速度满足 与y轴正方向的夹角满足 故到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围是 （3）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过C点，同理可得 可得 因此通过点的粒子的速度满足 与轴正方向的夹角满足，故 两粒子相遇，必有（其中、取，，） 即 由于是第一次相遇，则取最小的自然数，取， 因此粒子第一次在轴上相遇的位置： 由于粒子在两磁场中的运动具有周期性，且粒子做圆周运动的周期均为，因此从、两点出发运动时间最短的粒子最快到达相遇点。 由分析知，粒子相遇时的时间 其中， 代入，可得到，到达第一次相遇位置的粒子，满足 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 由此可知，当时相遇的时间最短，即，的粒子最先相遇； 因此，粒子第一次在轴上相遇的时刻为 即相遇时刻 真题·实战演练 高频考点：带电粒子在直线边界磁场、平行边界磁场、圆形边界磁场中的运动；带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 1．（2024·湖北·高考）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 【答案】D 【解析】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故AB错误； C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图 则最短时间有 故C错误； D．粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示 设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力有 可得 故D正确。故选D。 2．（2026·河南·高考）如图，间距为的两虚线、间存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，虚线上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子在纸面内垂直于虚线从点射入磁场，一段时间后又从点射出磁场。已知该粒子在下方磁场中运动的圆轨迹半径为，不计重力，则上、下磁场的磁感应强度大小之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据运动的对称性，可得粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示 带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，有 整理得磁感应强度 由于粒子的不变，因此磁感应强度，即 由几何关系，可知与相似，则 由勾股定理得 且 联立解得；故选C。 3．（2025·甘肃·高考）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（ ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【答案】BD 【解析】由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点， 根据a粒子的速度大小为 可得 设外圆半径等于,由几何关系得 则 A错误； B．由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间 a粒子做匀速圆周运动的周期 在磁场中运动的时间 匀速直线运动的时间 故a粒子返回A点所用的最短时间为 B正确； C．由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，C错误； D．由几何关系得 洛伦兹力提供向心力有 联立解得 D正确。故选BD。 4．（2024·河北·高考）（多选）如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（ ） A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45° D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60° 【答案】AD 【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在正方形abcd区域中做匀速直线运动，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，在正方形abcd区域中的运动轨迹必平行于AC的连线，可知粒子必经过cd边，进入正方形abcd区域前后的两段圆弧轨迹的半径相等，并且圆心角均为45°，据此作出粒子可能的两个运动轨迹如图所示 粒子的运动轨迹均关于直线BD对称，粒子必从C点垂直于BC射出，故A正确； C．若粒子经cd边垂直BC射出，粒子运动轨迹如图所示 设粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为，则图中两段圆弧轨迹的圆心角与的关系为 设两正方形的对应边之间的距离为，为保证粒子穿过ad边，需满足 且有 联立解得 为保证粒子穿过cd边，需满足 为保证从BC边射出，需满足 联立解得 可得粒子经cd边垂直BC射出，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角范围是 故C错误； BD．粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时，若粒子从bc边穿过，粒子运动轨迹如图3所示。设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，则ΔL=r−rcos60∘=0.5r 设粒子从bc运动到BC轨迹的圆心角为θ，则 解得θ=30∘ 即粒子垂直BC射出。 若粒子从cd边穿过，粒子运动轨迹如图4所示，显然此时粒子从cd运动到BC轨迹的圆心角大于30°，故粒子一定不会垂直BC射出，故B错误。 根据上述分析可知，若粒子经bc边垂直BC射出，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角一定为60°。故D正确。故选AD。 5．（2026·云南·高考）洛伦兹力演示仪示意图如图甲所示，玻璃泡处于励磁线圈产生的磁场中。玻璃泡内有一垂直磁场的竖直圆面，图乙为其放大示意图，其圆心为O、半径为R、最高点为P，区域内的磁场视为匀强磁场。电子枪将电子从O点正下方0.8R处的S点，以速度v水平向左射出，电子在圆面内运动一段时间后到达P点。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子之间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)电子从S点第一次到达P点所用的时间。 【答案】(1)，垂直纸面向里 (2) 【解析】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 可得 根据几何关系可得 联立可得 根据左手定则可知磁感应强度方向垂直纸面向里。 （2）根据结合可得 电子从S点第一次到达P点转过的圆心角为，电子从S点第一次到达P点所用的时间 联立可得 6．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $