第41讲 专题：带电粒子在电场中运动的综合问题（专项训练）（北京专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以交变电场运动、等效法、力电综合为核心，构建“知识解构-题型演练-创新实战”三级训练体系，提炼分段研究、等效转换、多观点分析等方法，逻辑递进培养科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识解构|3知识点|交变电场分段研究、等效重力场构建、力电综合三观点（动力学/能量/动量）|从运动类型分析到模型转换再到综合应用，层层递进| |基础演练|3题型19题|交变电场周期性对称性应用、等效最高点/最低点判断、力电综合能量守恒|题型与方法一一对应，覆盖核心考法| |重难创新|5题新考法|结合新物理模型（如交变电压矩形框、等量电荷中垂线）|拓展方法迁移场景，培养质疑创新能力| |真题实战|6题高考题|对接高频考点（力电综合、等效法）|强化应试技巧，提升科学论证能力|

第41讲 专题：带电粒子在电场中运动的综合问题（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 1 知识点2 “等效法”在电场中的应用 1 知识点3 电场中的力电综合问题 2 模拟·基础演练 2 题型01 带电粒子在交变电场中的运动 3 题型02 “等效法”在电场中的应用 8 题型03 电场中的力电综合问题 14 重难·创新演练 21 真题·实战演练 27 巩固·知识解构 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 1.交变电场中常见的运动类型及分析思路 运动类型 分析思路 粒子做单方向直线运动 整段或分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式求解 粒子做往返的直线运动 一般分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理、动量定理等求解 粒子做偏转运动 一般根据交变电场特点分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解 2.两个运动特征 分析带电粒子的受力特点和运动规律，抓住粒子的运动具体周期性和空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的边界条件。 知识点2 “等效法”在电场中的应用 1.等效重力法 将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g'=为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向为等效“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。 2.“等效重力场”中圆周运动的等效“最高点”与“最低点”的确定方法 图中虚线圆周所示带电物体在“等效重力场”中做圆周运动的轨迹，过其圆心作“等效重力”的作用线： （1）沿着“等效重力”的反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效“最高点”。 （2）沿着“等效重力”的方向延长交于圆周上的那个点即为等效“最低点”。 知识点3 电场中的力电综合问题 电场中的力、电综合问题，是指带电物体受到重力、电场力等共同作用下的运动问题，解决该类问题，在正确受力分析的基础上，要正确建立带电物体在电场中的运动模型，并且与力学中的运动模型进行类比，根据其运动特点灵活应用动力学观点、能量观点和动量观点等多角度进行分析与研究。 1.动力学的观点：对于带电物体在匀强电场中做直线运动的问题，可以综合运用牛顿运动定律和运动学公式解题。 2.能量的观点：对于带电物体在电场中的运动过程涉及能量问题时，可以应用动能定理、功能关系、能量守恒定律等灵活解题。 3.动量的观点：对于带电物体在电场中的运动过程涉及动量问题时，可以应用动量定理、动量守恒定律等灵活解题。 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子在交变电场中的直线运动、带电粒子在交变电场中的偏转、“等效法”在电场中的应用、电场中的力电综合问题…… ⏳题型01 带电粒子在交变电场中的运动 1．（2026·北京第二十中学）如图甲所示，两平行金属板A、B竖直放置，两板间的电压UAB随时间变化的规律如图乙所示。t=0时刻，将一个带电量为q（q>0）、质量为m的粒子从A、B两板正中间的P点由静止释放，粒子在运动过程中恰好不与金属板相碰。已知两板所加电压的大小为U、周期为T，忽略粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．A、B两板间的距离为 B．若在时刻释放粒子，粒子将与B板相碰 C．若在时刻释放粒子，粒子恰好不与B板相碰 D．若在时刻释放粒子，粒子将在两板间做往复直线运动 【答案】A 【解析】A．若在0时刻释放带电粒子，带电粒子的v-t图像如图所示 可知时刻恰不与B板相碰，有 解得板间距离，故A正确； B．若时刻释放粒子，粒子将始终向A板做单向的直线运动，将与A板相碰，故B错误； C．若时刻释放粒子，由A项分析可知，粒子恰好不与A板相碰，故C错误； D．若时刻释放粒子，粒子将始终向B板做单向的直线运动，直至碰到B板，故D错误。 故选A。 2．（2025·北师大附中）如图（a）所示，平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的变化电压，重力可忽略的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在时刻释放该粒子，粒子先向A板运动，再向B板运动…，最终打在A板上。则可能属于的时间段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】粒子带正电，由于粒子先向A板运动，表明粒子在时刻释放时，所受电场力方向向左，电场方向向左，则有 表明一定在之间某一时刻，由于粒子最终打在A板上，则粒子在一个周期之内的总位移方向向左，根据运动的对称性可知，粒子释放开始向左做匀加速直线运动维持的时间一定大于，则有；故选C。 3．（2026·北京十一学校）（多选）平行金属板与交变电源连接，板间电压波形如图所示，一带电粒子质量为，电量，在时刻从板附近由静止释放，不计重力，设平行金属板间距离为，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能始终在板间运动，无法到达板 B．若粒子在时刻到达板（），则粒子到达板的速度大小为 C．若，粒子到达板的速度为零 D．若，为正整数，粒子到达板的速度最大 【答案】BCD 【解析】A．带正电粒子，内，，电场方向，加速度大小，方向向； 内，，电场方向，加速度大小仍为，方向反向。 则粒子先加速半个周期，后减速半个周期，由对称可知，一个周期末速度刚好减为0。 粒子速度方向始终向不会反向，一直向运动，只要时间足够，一定可以到达板，故A错误； B．若，粒子全程在电压为的电场中运动，从到电势差为，由动能定理 得，故B正确； C．粒子的位移 代入和，得 即时粒子走了一半距离，剩下在做匀减速运动，由对称可得粒子到达板速度为零，故C正确； D．粒子速度最大的情况是刚好在加速阶段结束到达板，即运动时间，为非负整数。此时总位移 代入 整理得，该式符合题意，故D正确。故选BCD。 4．（2026·北京实验学校）（多选）如图甲所示，直线加速器由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。某时刻位于序号为0的金属圆板中心的粒子由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1，粒子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速。已知电压的绝对值为，周期为，粒子的比荷为，粒子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计，只考虑静电力的作用。则（　　） A．粒子在金属圆筒内做匀加速直线运动 B．粒子在各个金属圆筒内运动的时间均为 C．粒子刚进入第8个圆筒时的速度大小为 D．第8个圆筒的长度为 【答案】BC 【解析】A．由于金属圆筒处于静电平衡状态，圆筒内部场强为零，则电子在金属圆筒中做匀速直线运动，故A错误； B．因为电子从金属圆筒出来后要继续做加速运动，所以电子在金属圆筒中的运动时间应该为交变电源周期的一半，即，故B正确； C．由动能定理得 可得粒子刚进入第8个圆筒时的速度大小为 故C正确； D．因为电子在圆筒中做匀速直线运动，所以第8个圆筒长度为 故D错误。故选BC。 5．（2026·北京顺义牛栏山第一中学）如图甲，在两平行金属板A、B间加一如图乙所示的交变电压，有一粒子源从平行板左边界中点处沿垂直电场方向连续发射速度大小m/s的电子。时刻进入电场的电子恰好在时刻到达A板右边缘。已知电子的质量kg，电荷量C，图乙中V、s，不计电子之间的相互作用力及其所受的重力。下列说法正确的是（　　） A．平行金属板的板长为6cm B．金属板A、B间的距离为9cm C．时刻进入电场的电子到达电场右边界的速度最大 D．时刻进入电场的电子到达电场右边界时距A板的距离为2.25cm 【答案】B 【解析】A．电子进入电场后，在电场力作用下做类平抛运动，电子在水平方向做匀速直线运动，故有cm，故A错误； B．设两极板间的距离为d，据题意有， 解得cm，故B正确； C．电子在竖直方向做周期性运动，匀加速和匀减速运动的时间相等，加速度也相同，所以到达电场右边界时速度的变化量为零，因此电子到达电场右边界时的速度大小等于进入电场时初速度大小，与何时进入电场无关，故C错误； D．时刻进入的电子，在前半周期内竖直方向的位移向上，大小为 在后半周期内竖直方向的位移向下，大小为 则知，即竖直方向的位移为0，所以电子到达电场右边界时距A板距离为cm，故D错误。故选B。 6．（2026·北京顺义）如图甲所示，多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于金属圆板（序号为0）中央的一个电子，在圆板和圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。圆筒不同长度的设计，使电子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速。经过n次加速，进入电场强度为E方向竖直向下的匀强电场，最后从该匀强电场右边缘射出。已知电子的质量为m、电子电荷量为e、电压的绝对值为、周期为T，竖直向下电场的极板长度为s，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。求： (1)电子进入圆筒1时的速度大小； (2)第n个圆筒的长度L； (3)电子在竖直向下的匀强电场中竖直方向的位移大小y。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）电压的绝对值为，电子进入圆筒1时有 可得进入圆筒1时的速度大小 （2）设电子进入第n个圆筒后的速度为，由动能定理可知 可得 为了达到同步加速，电子在圆筒中做匀速直线运动，运动的时间均为，第n个金属圆筒的长度 可得 （3）竖直向下电场的极板长度为s，水平方向有 竖直方向有 联立可得 ⏳题型02 “等效法”在电场中的应用 7．（2026·北京第八十中学）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为、电荷量为的小球，系在一根长为的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕点做圆周运动。为圆周的水平直径，为竖直直径。已知重力加速度为，电场强度。下列说法正确的是（   ） A．若小球在竖直平面内绕点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕点做圆周运动，则小球在点动能最大 C．若将小球在点由静止开始释放，它将沿直线运动到点 D．若将小球在点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能沿半圆到达点 【答案】C 【解析】A．小球受到的重力和电场力的合力F，即 可将F视为等效重力，当F恰好提供小球做圆周运动的向心力时，它运动有最小速度，则有 解得，故A错误； B．当小球在等效重力最低点时动能最大，由于重力与电场力等大，可知等效重力方向与竖直方向夹角为，故等效重力最低点在BC的中点，故B错误； C．由于AC连线与竖直方向夹角为，可知等效重力方向与AC共线且从A指向C，故若将小球在A点由静止开始释放，它将沿直线运动到C点，故C正确； D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，由对称性可知小球再次回到AB水平面所用时间为 该段时间内小球水平位移 其中 联立解得，故小球刚好运动到B点，可绘制出运动图示如下 但它不是沿半圆ADB到达B点，故D错误。故选C。 8．（2026·北京北大附中）长为L的轻质绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为的小球（可视为质点），如图所示，在空间施加沿水平方向的匀强电场（图中未画出），小球静止在A点，此时细线与竖直方向夹角，已知，，电场的范围足够大，重力加速度为g。 (1)求匀强电场的电场强度大小E； (2)保持细线始终张紧，将小球从A点拉起至与O点处于同一水平高度的B点，求A、B两点间的电势差U； (3)将小球由B点静止释放求小球运动至A点时速度的大小v。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）小球静止在A点时受力平衡,如图所示 根据平衡条件 解得 （2）根据（1）可知匀强电场方向水平向左，A、B两点沿电场线方向距离 根据电势差与场强的关系 解得 （3）小球从B点运动至A点的过程中根据动能定理 解得 9．（2026·北京顺义九中）如图所示，水平绝缘轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R=0.40m。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度。现有一电荷量，质量m=0.10kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，释放点P到B点的距离x=2.5m，已知带电体与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.50,，重力加速度。求： (1)带电体运动到圆形轨道最低点B时的速度大小； (2)带电体运动到圆形轨道的圆心等高处点D时的动能大小； (3)带电体经过最高点C点时对轨道的压力。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）带电体从P运动到B的过程中，根据动能定理可得 代入数据解得，带电体运动到圆形轨道最低点B时的速度大小 （2）带电体从B点运动到圆形轨道的点D时，由动能定理可得 代入数据解得，带电体在D点时的动能大小为 （3）设带电体运动到C点的速度为，从B到C，由动能定理可得 解得 在C点对带电体受力分析，设轨道对带电体的支持力为，由牛顿第二定律可得 代入数据解得 根据牛顿第三定律可知，带电体运动到圆形轨道的最高点C时，对轨道的压力大小为。 10．（2026·北京首师大附中）如图所示，在水平向右的匀强电场中，长为的绝缘细线一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量为的小球（可视为点电荷）。将小球拉至与点等高的点，保持细线绷紧并静止释放，小球运动到与竖直方向夹角的点时速度变为零。已知、，空气阻力可忽略，重力加速度为。求： (1)、两点间的电势差； (2)场强的大小； (3)小球通过点时，细线的拉力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）从A点到P点，对小球，根据动能定理有 解得 因为 联立解得 （2）根据 联立以上可得 联立解得 （3）题意可知小球通过P点时速度为0，则沿绳方向有 联立解得绳子拉力大小 11．（2026·北京房山·二模）如图所示，一质量为m、电荷量为+q的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。小球静止时位于图中的Q点。若将该装置放在水平方向匀强电场中，小球静止于图中的P点，此时细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)判断电场方向，计算该匀强电场的电场强度的大小E。 (2)若规定Q点位置电势为零，求P点电势φ。 (3)若带电小球从Q点由静止释放，求小球再次到达P点时的速度的大小。 【答案】(1)电场方向水平向左， (2) (3) 【解析】（1）小球带正电，静止时偏在竖直方向左侧，电场力与电场方向同向，因此电场方向水平向左。 对P点小球受力平衡：竖直方向 水平方向 联立解得 （2）P、Q沿电场方向的距离 沿电场方向电势降低，因此电势差满足 已知，代入 得 （3）从Q到P由动能定理 代入数值化简 解得 12．（2026·北京通州·摸底）如图所示，在水平方向的匀强电场中，一质量为m、带电量为的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。小球静止时，细线与竖直方向的夹角，位于图中的P点。已知重力加速度为g，，。 (1)求该匀强电场的电场强度E的大小和方向； (2)若规定虚线位置电势为零，求P点电势的大小； (3)若带电小球从最低位置由静止释放，求小球再次到达P点时的速度v的大小。 【答案】(1)，方向向左 (2) (3) 【解析】（1）小球静止时，受力分析如图所示 根据平衡条件有 解得 小球带正电，则电场与电场力方向相同，电场方向向左。 （2）沿电场线方向电势逐渐降低，规定虚线位置电势为零，求P点电势的大小为 （3）根据动能定理有 解得 ⏳题型03 电场中的力电综合问题 13．（2026·北京海淀教师进修学校附属实验学校）（多选）如图甲所示，虚线表示竖直平面内的匀强电场中的等势面，等势面与水平面平行。电量为、质量为的带电小球以一定初速度水平向右抛出，以抛出点为坐标原点沿竖直向下方向建立轴，运动过程中小球的动能和机械能随坐标的变化关系如图乙中图线、所示，图中为已知量，重力加速度为，不计空气阻力。则下列说法错误的是（　　） A．小球初速度大小 B．小球加速度大小为 C．小球抛出时重力势能为 D．电场强度大小为 【答案】ABC 【解析】A．小球初动能为 解得初速度大小，故A错误，符合题意； D．根据动能定理得 根据功能关系得 联立可得 解得电场强度大小为，故D正确，不符合题意； B．根据牛顿第二定律有 解得小球加速度大小为，故B错误，符合题意； C．初始状态 可得小球抛出时重力势能为，故C错误，符合题意。 本题选错误的，故选ABC。 14．（2026·北京顺义一中）如图所示，在竖直平面内一个带正电的小球质量为m，所带的电荷量为q，用一根长为L且不可伸长的绝缘轻细线系在一匀强电场中的O点，匀强电场的方向水平向右，分布的区域足够大，现将带正电小球从O点右方由水平位置A点无初速度释放，小球到达最低点B时速度恰好为零，不计空气阻力。已知：，重力加速度为g。 (1)问小球带正电还是负电？ (2)求匀强电场的电场强度E的大小； (3)若小球从O点的左方由水平位置C点无初速度释放，则小球到达最低点B所用的时间t是多少？ 【答案】(1)正电 (2) (3) 【解析】（1）根据动能定理，小球从A点运动到B点的过程中，电场力做负功，小球受力方向向右，故小球带正电。 （2）以小球为研究对象，由A到B的过程，由动能定理，得 解得 （3）小球由C点释放后，将做匀加速直线运动，到B点时的速度为，小球做匀加速直线运动的加速度为a ，根据平行四边形定则和牛顿第二定律，有 解得 根据几何关系和匀变速直线运动的速度与位移的关系，得 解得 根据匀变速直线运动速度与时间的关系，得 15．（2026·北京第二十中学）如图所示，为竖直平面内的绝缘轨道，段为足够长的水平轨道，且与滑块间的动摩擦因数段为半径的光滑半圆轨道，段与段轨道相切于点，整个轨道处于竖直向下的匀强电场中，电场强度大小。一带电滑块甲从距点处以速度沿水平轨道向右运动，与静止在点不带电的滑块乙发生正碰。已知甲、乙的质量均为、甲所带的电荷量，取重力加速度大小，甲、乙均可视为质点，甲、乙碰撞后平分电荷。 (1)求甲在与乙碰前受到的支持力大小； (2)甲、乙碰后粘在一起，通过分析说明二者能否到达点。若能到达点，求通过点后二者的落点离点的距离；若不能到达点，二者将做何种运动，求二者到达、间的位置离点的距离。 (3)若将电场方向改为竖直向上，甲、乙碰后仍粘在一起，二者能否到达点？若能到达点，求通过点后二者的落点离点的距离；若不能到达点，二者将做何种运动？ 【答案】(1)25N (2)能到达D点，通过点后二者的落点离点的距离2.4m (3)不能到达点，在处速度减为0，接着再沿圆弧运动至B点，然后向左匀减速运动，最后静止。 【解析】（1）甲运动到B点的过程中有 解得v1=10m/s 在B点碰前，则对甲 解得FN=25N （2）甲、乙碰后粘在一起，则有mv1=2mv2 解得v2=5m/s 若甲乙整体恰好过D点，则有 解得v′D=2m/s 甲乙整体从B点到D点，根据动能定理有 解得vD=3m/s＞v′D 甲乙整体能通过D点，之后做平抛运动，有x=vDt， 其中 解得x=2.4m （3）若将电场方向改为竖直向上，甲运动到B点的过程中有 解得v3=8m/s 甲、乙碰后粘在一起，则有mv3=2mv4 解得v4=4m/s 甲乙整体从B点到速度减为0，根据动能定理有 解得 可见甲乙整体不能到达D点，在处速度减为0，接着再沿圆弧运动至B点，由于摩擦力做负功，整体向左匀减速运动，最后静止。 16．（2026·北师大二附中）如图所示，水平绝缘光滑轨道的端与处于竖直平面内的四分之一圆弧形粗糙绝缘轨道平滑连接，圆弧的半径，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度，现有一个质量的带电体（可视为质点）放在水平轨道上点处，两点距离，由于受到电场力的作用带电体由静止开始运动，当运动到圆弧形轨道的端时，速度恰好为零，已知带电体所带电荷量，取，求： (1)带电体在水平轨道运动的加速度大小及运动到端时的速度的大小； (2)带电体运动到圆弧形轨道的端时对圆弧轨道的压力大小； (3)物体从到过程中摩擦力做的功。 【答案】(1)加速度大小为，运动到端时的速度的大小为 (2)带电体运动到圆弧形轨道的端时对圆弧轨道的压力大小 (3)物体从到过程中摩擦力做的功为 【解析】（1）在AB段运动时，带电体只受到电场力的作用，物体做匀变速直线运动。 根据牛顿第二定律有 根据匀变速直线运动位移与速度公式 解得 （2）带电体在B点进入圆弧形轨道，在B点竖直方向受重力mg与支持力N的作用。 根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，带电体在B点对圆弧轨道的压力大小 （3）从B点到C点运动过程中，根据动能定理有 解得 17．（2026·北京十一学校·月考）如图所示，长为的绝缘细线一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量绝对值为的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在点，此时细线与竖直方向成37°角。已知重力加速度为，，。 (1)判断小球的带电性质，并求该匀强电场的电场强度的大小； (2)若将小球向左拉起至与O点处于同一水平高度且细绳刚好张紧，将小球由静止释放，小球运动到最低点时，求： ①该过程中系统电势能的变化量； ②最低点处小球对细线的拉力的大小。 【答案】(1)负电， (2)①电势能的增加量为；② 【解析】（1）小球在A点处于静止状态，其受力情况如下图所示： 根据平衡条件可判断电场力水平向左与电场线方向相反，所以小球带负电；根据共点力平衡条件有 解得该匀强电场的电场强度的大小为 （2）①小球从点运动到最低点的过程中，电场力对其做的功为 所以该过程中系统电势能的增加量为 ②对小球从点运动到最低点的过程中列动能定理方程有 解得小球运动到最低点时的速度为 在最低点对小球列向心力方程有 解得此时细线对小球的拉力为 则根据牛顿第三定律可知最低点处小球对细线的拉力大小为 18．（2026·北京五十五中）如图所示，长为的轻质绝缘细线上端固定在点，下端拴一带电小球，小球质量为，所带电荷量为。系统处于水平向右的匀强电场中，小球静止在点时，细线与竖直方向的夹角为。现将小球拉至与点等高的点，由静止释放。重力加速度为，求： (1)电场强度大小； (2)小球运动到最低点时的动能 (3)小球运动到点时，细绳对小球拉力的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）对带电小球受力分析，如图所示 小球在A点受力平衡，则， 解得 （2）根据动能定理 （3）到点时，根据牛顿第二定律， 解得 19．（2026·北京东直门中学）如图，一根长的绝缘细线，上端固定于O点，下端系一个质量的带电小球，将整个装置放入一范围足够大的匀强电场当中，电场强度大小为，方向为水平向右，已知：当细线偏离竖直方向时，小球处于平衡状态，重力加速度g取，，。求：（结果可用根式表示） (1)小球带何种电荷，所带电荷量为多少； (2)若将小球拉至最低点C无初速度释放，当小球运动到B点时的速度大小； (3)若小球从最低点C以水平向右的初速度出发，为多大时小球恰能在竖直平面上做完整的圆周运动？ 【答案】(1)正电， (2) (3) 【解析】（1）以小球为对象，根据平衡条件可知，电场力水平向右，与电场强度方向相同，则小球带正电；根据受力平衡可得 解得 （2）小球从点运动到点过程中，根据动能定理得 解得 （3）如图所示 由题意可知小球恰好能做完整圆周运动时，对点受力分析可知 解得 小球从点运动到点过程中，由动能定理得 解得 重难·创新演练 设题创新：结合物理模型(T1、T2、T3、T4、T5) 1．▶新角度◀（2025·北京海淀·二模）如图所示，实线是竖直面内以O点为圆心的圆，和是圆的两条相互垂直的直径，在竖直面内存在由Q点指向P点的匀强电场。从O点在竖直面内向各个方向以大小相同的初速度发射电荷量和质量完全相同的带正电小球，通过圆上各点的小球中，经过N点的小球速度最大。不计空气阻力及小球间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．沿方向发射的小球可以沿方向做直线运动 B．沿方向发射的小球不会沿方向做直线运动 C．通过圆上P、Q两点的小球机械能相等 D．通过圆上M、N两点的小球机械能相等 【答案】D 【解析】AB．对小球受力分析可知，小球受到重力和电场力，根据力的合成定则可知，其合力不可能沿OP方向，可能沿ON方向，因此沿方向发射的小球不可能沿方向做直线运动，沿方向发射的小球可能沿方向做直线运动，AB错误； C．从Q到P的过程中，电场力做整个，电势能减小，动能增大，故P点的机械能大于Q点的机械能，C错误； D．由题可知，M、N位于同一等势面上，电场力不做功，只有重力做功，机械能守恒，D正确。故选D。 2．▶新考法◀如图甲，长4L、宽2L的光滑刚性绝缘矩形框内存在如图乙所示的交变电压，左边框上a点开有一小孔。时，质量m、电荷量Q的带电粒子（不计重力）以初速度v（未知）从a点水平射入，然后与上边框碰撞于b点。假设每次碰撞，粒子平行于边框的速度分量不变，垂直于边框的速度分量仅反向，电荷量不变。其中a、b均为中点，m、Q、T、L均为已知量，则（　　） A．粒子带正电 B．若粒子时刻到达b点，那么粒子有可能与下边框垂直碰撞 C．若粒子时刻到达b点，那么粒子无法从a点射出 D．粒子时刻到达b点时的电场强度为粒子时刻到达b点时电场强度的4倍 【答案】D 【解析】A．根据题意可知，t=0时刻粒子往上做类平抛运动，所受电场力向上；此时上边框为高电势，电场竖直向下，粒子的受力方向与电场方向相反，故粒子带负电，故A错误； B．时刻到达b点的粒子，因电场力此时向下，故做斜下抛运动，其速度水平分量不可能为0，故不会与下边框垂直碰撞，故B错误； C．根据题意可知，时刻粒子在b点的碰后速度与碰前速度关于上边框对称，结合受力可知其运动轨迹具有对称性。故粒子最终将从a点水平向左飞出，故C错误； D．根据类平抛运动的规律有 解得 因为时间之比为1∶2，故电场强度之比为4∶1，故D正确。故选D。 3．▶新考法◀（多选）如图，当平行板电容器间的电压为时，一带电小球静止在板间中间位置A点；当两极板间的电压改为时，小球经过时间，从A点由静止运动到上极板下方的B点。两极板间的电场可视为匀强电场，忽略空气阻力。小球0时刻从A点静止开始运动，要求运动过程中不会撞到两极板，以下为两极板间所加电压U随时间t周期性变化的图像，可以满足要求的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】A．当电压为时小球静止，可得平衡关系 即 以竖直向上为正方向，当，合力 加速度，方向竖直向上； 由题意，小球从经运动到上极板附近，因此到上下极板的距离均不超过 当，电场反向，电场力竖直向下，总合力竖直向下，有 加速度（大小，方向竖直向下）； 当，电场力竖直向上，总合力竖直向上，有 加速度（方向竖直向上）； 加，加速度，方向竖直向上，小球位移 时刻速度 加，，到时总位移 时刻速度 运动中最大向上位移为，不会撞到上极板。 再加，时刻总位移回到，速度减为0，后续运动图像如图所示，一直向下运动，最终一定撞到下极板，故A错误； B． 运动图像如图所示，结合A分析可知运动中最大向上或向下位移大小为，不会撞到两极板，故B正确； C． 运动图像如图所示，小球一直向上运动，一定会撞到上极板，故C错误； D． 运动图像如图所示，结合A分析可知运动中最大竖直向上或向下位移大小为，不会撞到两极板，故D正确。故选BD。 4．▶新角度◀长度为L的轻绳（不可伸长）一端固定在光滑绝缘水平桌面上的O点，另一端连接带电荷量为−q的小球（置于桌面上）。整个空间存在电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场，虚线PQ过O点且与电场方向平行。将小球拉至桌面上的A点，使轻绳伸直且与PQ间的夹角为45°，现由静止释放小球，下列说法正确的是（　　） A．小球绕O点做半径为L的圆周运动 B．一段时间后，小球将再次回到A点 C．小球速度再次为0时，轻绳与PQ所夹的角度为90° D．小球第一次经过虚线PQ时的动能为 【答案】C 【解析】AB．由静止释放小球，小球受到水平向左的电场力，小球向左做匀加速直线运动，直到轻绳再次伸直时，小球开始做圆周运动，由于轻绳伸直时小球的动能有损失，所以小球将不能回到A点，故AB错误； C．小球向左做匀加速运动，根据运动学规律可得 根据牛顿第二定律可得 联立解得 之后小球做圆周运动，设小球速度为零时轻绳与PQ所夹的角度为θ，根据动能定理可得 联立解得θ=90°，故C正确； D．小球从开始做圆周运动到第一次经过虚线PQ时，根据动能定理可得 联立解得，故D错误。故选C。 5．▶新角度◀（2026·北京朝阳·二模）如图所示，两带等量正电荷的小球分别固定在M、N两点，O点为其连线中点，A'和A、B'和B分别为竖直中垂线上对称的点。现将另一质量为m、电荷量为q的小球从O点由静止释放，小球经过A、B两点时的加速度大小均为2g。已知O、A、B三点的电势分别为φO、φA和φB。O、A两点间距为h1，O、B两点间距为h2。小球均可视为质点。重力加速度为g。不计空气阻力。若该小球从B'点以某一初动能竖直下落，则（　　） A．小球从B'点运动到A'点的过程中所受静电力逐渐增大 B．小球从B'点运动到A'点的过程中速度先减小后增大 C．若小球能从B'点运动到O点，其初动能至少大于 D．小球从B'点运动到O点的过程中机械能的变化量为 【答案】C 【解析】A．等量正电荷中垂线的电场特点：O点（连线中点）场强为0，沿中垂线向两侧，场强先增大后减小，方向为沿中垂线背离O点；结合题意分析得小球带正电，对称点场强大小相等，且、处 解得、处 处电场力向上，大小也为 从到（向O靠近），场强先增大后减小（因为处场强大小均为，中间场强更大），因此静电力先增大后减小，不是逐渐增大，故A错误； B．从到过程中，电场力一直向上，且（起点、终点，中间） 合力一直向上，速度方向向下，因此小球一直做减速运动，不是先减小后增大，故B错误； C．小球从到O过程中，点是速度最小点：点以上合力向上（减速），点到O合力向下（加速），因此只要小球能到达点，就能运动到O点。对过程，刚好到达时末动能为0，由动能定理可得 整理得最小初动能)，因此初动能至少大于该值，故C正确； D．机械能变化量等于除重力外其他力做功，即等于电场力做功，故D错误。故选C。 真题·实战演练 高频考点：电场中的力电综合问题、“等效法”在电场中的应用、带电粒子在交变电场中的运动 1．（2025·黑龙江&吉林·高考）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得A点弹簧伸长量为，B点和C点弹簧压缩量为，即三个位置弹簧弹性势能相等，则由A到B过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加， 同理B到C过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小， 由A到C全过程则有 因此；故选C。 2．（2024·浙江·高考）如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球从A到C的过程中电势能减少 B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动 C．可求出小球运动到B点时的加速度 D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN 【答案】C 【解析】A．根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，则小球从A到C的过程电势增加，电势能增加，故A错误； B．当场强满足 时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B错误； C．根据动能定理 可求出小球到B点时的速度vB，根据 可得小球的向心加速度，再根据牛顿第二定律 可得小球的切向加速度，再根据矢量合成可得B点的加速度为 故C正确； D．小球在D点受到竖直向下的重力、竖直向上的匀强电场的电场力、平行MN方向的等量异种点电荷的电场力和圆环的作用力，圆环的作用力一个分力与等量异种点电荷的电场力平衡，其与MN平行，而另一分力提供向心力，方向指向圆心，故小球在D点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D错误。故选C。 3．（2026·重庆·高考）（多选）如图所示，xOy平面内充满沿y轴正方向的匀强电场，原点O处的粒子源以不同的初速度沿x轴发射多个比荷为k的带正电粒子。将粒子在电场中运动速率相同的位置连接起来，得到一条平滑闭合曲线。图中曲线a、b对应的速率分别为v、，直线与a、b交于M、N两点。若a与y轴交于点，不考虑粒子重力及粒子间相互作用，则（     ） A．电场强度的大小为 B．M、N两点间的电势差为 C．经过a最右端的粒子初速度大小为 D．粒子从O到M所用时间与从O到N所用时间之比为 【答案】AB 【解析】A．带正电粒子从O点沿x轴发射，做类平抛运动：x方向匀速，y方向匀加速，其中加速度 由动能定理，对末速率为的粒子有： 曲线a对应末速率，过点，该点粒子初速度，代入动能定理得 结合比荷，解得，故A正确； B．M点在上且属于曲线a，联立和 得 代入速率关系 得 因此 同理N点属于曲线b（末速率），得 匀强电场沿y方向，电势差 得，故B正确； C．曲线a对应 经过a最右端时 整理可得 解得，故C错误； D．由得 代入、，可得，故D错误。故选AB。 4．（2024·河北·高考）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为 （2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得 A到B过程根据动能定理得 联立解得 5．（2025·江西·高考）精密条纹相机通过将时域信号转换成空间信息可实现超短激光脉冲持续时间的测量，其简化原理如图所示。某个待测激光脉冲的持续时间为，经过狭缝和聚焦透镜入射至真空条纹管的光电阴极中心。由于光电效应，产生与输入激光脉冲持续时间相同的电子脉冲。电子脉冲先后经加速和偏转等过程打到荧光屏上。阳极与光电阴极间的加速电压为，距离为。偏转极板间距和长度分别为和，其左端与阳极的距离为，右端与荧光屏的距离为。光电效应产生电子的初速度忽略不计，电子不会打到偏转极板上。电子质量为m，电荷量为e，不考虑电场力和相对论效应，以及电子之间相互作用。所有元件的中心在同一条直线上，并以荧光屏中心O为原点、竖直方向为y轴建立坐标系。（普朗克常量，光速） (1)现有多碱、和三种常用的光电阴极材料，它们的逸出功分别约为。若要使波长范围为的入射激光都能打出光电子，请通过定量分析确定应选用哪种光电阴极材料。 (2)当偏转极板间电压U为常数时，求电子打在荧光屏上的位置。 (3)真实情况下，偏转极板间电压U与时间t的关系为（和k为大于零的常数），其零时刻与激光脉冲刚入射至光电阴极的时刻相同。 ①求最后进入偏转极板间的电子离开偏转极板时y方向速度的大小： ②若小且，此时可忽略不同时刻电子在偏转极板间y方向位移的差别，求电子脉冲在荧光屏上的空间宽度与激光脉冲持续时间的关系。 【答案】(1)多碱 (2) (3)①；② 【解析】（1）根据题意，设入射激光波长为，则对应的光子能量为 可得波长范围为的入射激光的能量范围为 要使入射激光都能打出光电子，则所有入射激光的能量应大于光电阴极材料的逸出功，所以应选择多碱光电阴极材料。 （2）电子在光电阴极与阳极之间做匀加速直线运动，设电子在此过程中的加速度大小为，运动时间为，离开阳极时的速度大小为，则有，， 电子在离开阳极到偏转极板左端的过程中做匀速直线运动，设运动时间为，则 当偏转电压为常数时，电子在偏转极板内水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动。设方向的加速度大小为，在偏转极板内运动时间为，离开偏转极板时方向速度为，偏转位移为，则，，， 设电子离开偏转极板至打到荧光屏上的时间为，在此时间内电子在y方向的位移为，则， 设电子离荧光屏中心的距离为y，则 联立解得 （3）当偏转极板间电压时，电子在偏转极板内y方向做加速度线性增加的变加速直线运动。 ①在时刻，最后的电子进入偏转极板间，此时极板间的电压为，设电子在偏转极板内运动时y方向的加速度为，离开偏转极板时y方向的速度为，则 则图像，如图所示 由上述分析，结合图像可得 联立小问2分析可得 ②在时刻，最前面的电子进入偏转极板间，此时极板间的电压为。同理可得，该电子离开偏转极板时方向的速度，则有 设电子脉冲打在荧光屏上的空间宽度为，电子从离开偏转极板至打到荧光屏上的时间为，则， 联立解得 6．（2026·广东·高考）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【解析】（1）当小球刚好到金属板时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 （2）小球从金属板到金属板过程，根据动能定理 小球第一次碰撞前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 （3）如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第41讲 专题：带电粒子在电场中运动的综合问题（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 1 知识点2 “等效法”在电场中的应用 1 知识点3 电场中的力电综合问题 2 模拟·基础演练 2 题型01 带电粒子在交变电场中的运动 3 题型02 “等效法”在电场中的应用 8 题型03 电场中的力电综合问题 14 重难·创新演练 21 真题·实战演练 27 巩固·知识解构 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 1.交变电场中常见的运动类型及分析思路 运动类型 分析思路 粒子做单方向直线运动 整段或分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式求解 粒子做往返的直线运动 一般分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理、动量定理等求解 粒子做偏转运动 一般根据交变电场特点分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解 2.两个运动特征 分析带电粒子的受力特点和运动规律，抓住粒子的运动具体周期性和空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的边界条件。 知识点2 “等效法”在电场中的应用 1.等效重力法 将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g'=为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向为等效“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。 2.“等效重力场”中圆周运动的等效“最高点”与“最低点”的确定方法 图中虚线圆周所示带电物体在“等效重力场”中做圆周运动的轨迹，过其圆心作“等效重力”的作用线： （1）沿着“等效重力”的反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效“最高点”。 （2）沿着“等效重力”的方向延长交于圆周上的那个点即为等效“最低点”。 知识点3 电场中的力电综合问题 电场中的力、电综合问题，是指带电物体受到重力、电场力等共同作用下的运动问题，解决该类问题，在正确受力分析的基础上，要正确建立带电物体在电场中的运动模型，并且与力学中的运动模型进行类比，根据其运动特点灵活应用动力学观点、能量观点和动量观点等多角度进行分析与研究。 1.动力学的观点：对于带电物体在匀强电场中做直线运动的问题，可以综合运用牛顿运动定律和运动学公式解题。 2.能量的观点：对于带电物体在电场中的运动过程涉及能量问题时，可以应用动能定理、功能关系、能量守恒定律等灵活解题。 3.动量的观点：对于带电物体在电场中的运动过程涉及动量问题时，可以应用动量定理、动量守恒定律等灵活解题。 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子在交变电场中的直线运动、带电粒子在交变电场中的偏转、“等效法”在电场中的应用、电场中的力电综合问题…… ⏳题型01 带电粒子在交变电场中的运动 1．（2026·北京第二十中学）如图甲所示，两平行金属板A、B竖直放置，两板间的电压UAB随时间变化的规律如图乙所示。t=0时刻，将一个带电量为q（q>0）、质量为m的粒子从A、B两板正中间的P点由静止释放，粒子在运动过程中恰好不与金属板相碰。已知两板所加电压的大小为U、周期为T，忽略粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．A、B两板间的距离为 B．若在时刻释放粒子，粒子将与B板相碰 C．若在时刻释放粒子，粒子恰好不与B板相碰 D．若在时刻释放粒子，粒子将在两板间做往复直线运动 2．（2025·北师大附中）如图（a）所示，平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的变化电压，重力可忽略的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在时刻释放该粒子，粒子先向A板运动，再向B板运动…，最终打在A板上。则可能属于的时间段是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·北京十一学校）（多选）平行金属板与交变电源连接，板间电压波形如图所示，一带电粒子质量为，电量，在时刻从板附近由静止释放，不计重力，设平行金属板间距离为，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能始终在板间运动，无法到达板 B．若粒子在时刻到达板（），则粒子到达板的速度大小为 C．若，粒子到达板的速度为零 D．若，为正整数，粒子到达板的速度最大 4．（2026·北京实验学校）（多选）如图甲所示，直线加速器由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。某时刻位于序号为0的金属圆板中心的粒子由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1，粒子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速。已知电压的绝对值为，周期为，粒子的比荷为，粒子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计，只考虑静电力的作用。则（　　） A．粒子在金属圆筒内做匀加速直线运动 B．粒子在各个金属圆筒内运动的时间均为 C．粒子刚进入第8个圆筒时的速度大小为 D．第8个圆筒的长度为 5．（2026·北京顺义牛栏山第一中学）如图甲，在两平行金属板A、B间加一如图乙所示的交变电压，有一粒子源从平行板左边界中点处沿垂直电场方向连续发射速度大小m/s的电子。时刻进入电场的电子恰好在时刻到达A板右边缘。已知电子的质量kg，电荷量C，图乙中V、s，不计电子之间的相互作用力及其所受的重力。下列说法正确的是（　　） A．平行金属板的板长为6cm B．金属板A、B间的距离为9cm C．时刻进入电场的电子到达电场右边界的速度最大 D．时刻进入电场的电子到达电场右边界时距A板的距离为2.25cm 6．（2026·北京顺义）如图甲所示，多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于金属圆板（序号为0）中央的一个电子，在圆板和圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。圆筒不同长度的设计，使电子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速。经过n次加速，进入电场强度为E方向竖直向下的匀强电场，最后从该匀强电场右边缘射出。已知电子的质量为m、电子电荷量为e、电压的绝对值为、周期为T，竖直向下电场的极板长度为s，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。求： (1)电子进入圆筒1时的速度大小； (2)第n个圆筒的长度L； (3)电子在竖直向下的匀强电场中竖直方向的位移大小y。 ⏳题型02 “等效法”在电场中的应用 7．（2026·北京第八十中学）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为、电荷量为的小球，系在一根长为的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕点做圆周运动。为圆周的水平直径，为竖直直径。已知重力加速度为，电场强度。下列说法正确的是（   ） A．若小球在竖直平面内绕点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕点做圆周运动，则小球在点动能最大 C．若将小球在点由静止开始释放，它将沿直线运动到点 D．若将小球在点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能沿半圆到达点 8．（2026·北京北大附中）长为L的轻质绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为的小球（可视为质点），如图所示，在空间施加沿水平方向的匀强电场（图中未画出），小球静止在A点，此时细线与竖直方向夹角，已知，，电场的范围足够大，重力加速度为g。 (1)求匀强电场的电场强度大小E； (2)保持细线始终张紧，将小球从A点拉起至与O点处于同一水平高度的B点，求A、B两点间的电势差U； (3)将小球由B点静止释放求小球运动至A点时速度的大小v。 9．（2026·北京顺义九中）如图所示，水平绝缘轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R=0.40m。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度。现有一电荷量，质量m=0.10kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，释放点P到B点的距离x=2.5m，已知带电体与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.50,，重力加速度。求： (1)带电体运动到圆形轨道最低点B时的速度大小； (2)带电体运动到圆形轨道的圆心等高处点D时的动能大小； (3)带电体经过最高点C点时对轨道的压力。 10．（2026·北京首师大附中）如图所示，在水平向右的匀强电场中，长为的绝缘细线一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量为的小球（可视为点电荷）。将小球拉至与点等高的点，保持细线绷紧并静止释放，小球运动到与竖直方向夹角的点时速度变为零。已知、，空气阻力可忽略，重力加速度为。求： (1)、两点间的电势差； (2)场强的大小； (3)小球通过点时，细线的拉力大小。 11．（2026·北京房山·二模）如图所示，一质量为m、电荷量为+q的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。小球静止时位于图中的Q点。若将该装置放在水平方向匀强电场中，小球静止于图中的P点，此时细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)判断电场方向，计算该匀强电场的电场强度的大小E。 (2)若规定Q点位置电势为零，求P点电势φ。 (3)若带电小球从Q点由静止释放，求小球再次到达P点时的速度的大小。 12．（2026·北京通州·摸底）如图所示，在水平方向的匀强电场中，一质量为m、带电量为的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。小球静止时，细线与竖直方向的夹角，位于图中的P点。已知重力加速度为g，，。 (1)求该匀强电场的电场强度E的大小和方向； (2)若规定虚线位置电势为零，求P点电势的大小； (3)若带电小球从最低位置由静止释放，求小球再次到达P点时的速度v的大小。 ⏳题型03 电场中的力电综合问题 13．（2026·北京海淀教师进修学校附属实验学校）（多选）如图甲所示，虚线表示竖直平面内的匀强电场中的等势面，等势面与水平面平行。电量为、质量为的带电小球以一定初速度水平向右抛出，以抛出点为坐标原点沿竖直向下方向建立轴，运动过程中小球的动能和机械能随坐标的变化关系如图乙中图线、所示，图中为已知量，重力加速度为，不计空气阻力。则下列说法错误的是（　　） A．小球初速度大小 B．小球加速度大小为 C．小球抛出时重力势能为 D．电场强度大小为 14．（2026·北京顺义一中）如图所示，在竖直平面内一个带正电的小球质量为m，所带的电荷量为q，用一根长为L且不可伸长的绝缘轻细线系在一匀强电场中的O点，匀强电场的方向水平向右，分布的区域足够大，现将带正电小球从O点右方由水平位置A点无初速度释放，小球到达最低点B时速度恰好为零，不计空气阻力。已知：，重力加速度为g。 (1)问小球带正电还是负电？ (2)求匀强电场的电场强度E的大小； (3)若小球从O点的左方由水平位置C点无初速度释放，则小球到达最低点B所用的时间t是多少？ 15．（2026·北京第二十中学）如图所示，为竖直平面内的绝缘轨道，段为足够长的水平轨道，且与滑块间的动摩擦因数段为半径的光滑半圆轨道，段与段轨道相切于点，整个轨道处于竖直向下的匀强电场中，电场强度大小。一带电滑块甲从距点处以速度沿水平轨道向右运动，与静止在点不带电的滑块乙发生正碰。已知甲、乙的质量均为、甲所带的电荷量，取重力加速度大小，甲、乙均可视为质点，甲、乙碰撞后平分电荷。 (1)求甲在与乙碰前受到的支持力大小； (2)甲、乙碰后粘在一起，通过分析说明二者能否到达点。若能到达点，求通过点后二者的落点离点的距离；若不能到达点，二者将做何种运动，求二者到达、间的位置离点的距离。 (3)若将电场方向改为竖直向上，甲、乙碰后仍粘在一起，二者能否到达点？若能到达点，求通过点后二者的落点离点的距离；若不能到达点，二者将做何种运动？ 16．（2026·北师大二附中）如图所示，水平绝缘光滑轨道的端与处于竖直平面内的四分之一圆弧形粗糙绝缘轨道平滑连接，圆弧的半径，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度，现有一个质量的带电体（可视为质点）放在水平轨道上点处，两点距离，由于受到电场力的作用带电体由静止开始运动，当运动到圆弧形轨道的端时，速度恰好为零，已知带电体所带电荷量，取，求： (1)带电体在水平轨道运动的加速度大小及运动到端时的速度的大小； (2)带电体运动到圆弧形轨道的端时对圆弧轨道的压力大小； (3)物体从到过程中摩擦力做的功。 17．（2026·北京十一学校·月考）如图所示，长为的绝缘细线一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量绝对值为的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在点，此时细线与竖直方向成37°角。已知重力加速度为，，。 (1)判断小球的带电性质，并求该匀强电场的电场强度的大小； (2)若将小球向左拉起至与O点处于同一水平高度且细绳刚好张紧，将小球由静止释放，小球运动到最低点时，求： ①该过程中系统电势能的变化量； ②最低点处小球对细线的拉力的大小。 18．（2026·北京五十五中）如图所示，长为的轻质绝缘细线上端固定在点，下端拴一带电小球，小球质量为，所带电荷量为。系统处于水平向右的匀强电场中，小球静止在点时，细线与竖直方向的夹角为。现将小球拉至与点等高的点，由静止释放。重力加速度为，求： (1)电场强度大小； (2)小球运动到最低点时的动能 (3)小球运动到点时，细绳对小球拉力的大小。 19．（2026·北京东直门中学）如图，一根长的绝缘细线，上端固定于O点，下端系一个质量的带电小球，将整个装置放入一范围足够大的匀强电场当中，电场强度大小为，方向为水平向右，已知：当细线偏离竖直方向时，小球处于平衡状态，重力加速度g取，，。求：（结果可用根式表示） (1)小球带何种电荷，所带电荷量为多少； (2)若将小球拉至最低点C无初速度释放，当小球运动到B点时的速度大小； (3)若小球从最低点C以水平向右的初速度出发，为多大时小球恰能在竖直平面上做完整的圆周运动？ 重难·创新演练 设题创新：结合物理模型(T1、T2、T3、T4、T5) 1．▶新角度◀（2025·北京海淀·二模）如图所示，实线是竖直面内以O点为圆心的圆，和是圆的两条相互垂直的直径，在竖直面内存在由Q点指向P点的匀强电场。从O点在竖直面内向各个方向以大小相同的初速度发射电荷量和质量完全相同的带正电小球，通过圆上各点的小球中，经过N点的小球速度最大。不计空气阻力及小球间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．沿方向发射的小球可以沿方向做直线运动 B．沿方向发射的小球不会沿方向做直线运动 C．通过圆上P、Q两点的小球机械能相等 D．通过圆上M、N两点的小球机械能相等 2．▶新考法◀如图甲，长4L、宽2L的光滑刚性绝缘矩形框内存在如图乙所示的交变电压，左边框上a点开有一小孔。时，质量m、电荷量Q的带电粒子（不计重力）以初速度v（未知）从a点水平射入，然后与上边框碰撞于b点。假设每次碰撞，粒子平行于边框的速度分量不变，垂直于边框的速度分量仅反向，电荷量不变。其中a、b均为中点，m、Q、T、L均为已知量，则（　　） A．粒子带正电 B．若粒子时刻到达b点，那么粒子有可能与下边框垂直碰撞 C．若粒子时刻到达b点，那么粒子无法从a点射出 D．粒子时刻到达b点时的电场强度为粒子时刻到达b点时电场强度的4倍 3．▶新考法◀（多选）如图，当平行板电容器间的电压为时，一带电小球静止在板间中间位置A点；当两极板间的电压改为时，小球经过时间，从A点由静止运动到上极板下方的B点。两极板间的电场可视为匀强电场，忽略空气阻力。小球0时刻从A点静止开始运动，要求运动过程中不会撞到两极板，以下为两极板间所加电压U随时间t周期性变化的图像，可以满足要求的有（　　） A． B． C． D． 4．▶新角度◀长度为L的轻绳（不可伸长）一端固定在光滑绝缘水平桌面上的O点，另一端连接带电荷量为−q的小球（置于桌面上）。整个空间存在电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场，虚线PQ过O点且与电场方向平行。将小球拉至桌面上的A点，使轻绳伸直且与PQ间的夹角为45°，现由静止释放小球，下列说法正确的是（　　） A．小球绕O点做半径为L的圆周运动 B．一段时间后，小球将再次回到A点 C．小球速度再次为0时，轻绳与PQ所夹的角度为90° D．小球第一次经过虚线PQ时的动能为 5．▶新角度◀（2026·北京朝阳·二模）如图所示，两带等量正电荷的小球分别固定在M、N两点，O点为其连线中点，A'和A、B'和B分别为竖直中垂线上对称的点。现将另一质量为m、电荷量为q的小球从O点由静止释放，小球经过A、B两点时的加速度大小均为2g。已知O、A、B三点的电势分别为φO、φA和φB。O、A两点间距为h1，O、B两点间距为h2。小球均可视为质点。重力加速度为g。不计空气阻力。若该小球从B'点以某一初动能竖直下落，则（　　） A．小球从B'点运动到A'点的过程中所受静电力逐渐增大 B．小球从B'点运动到A'点的过程中速度先减小后增大 C．若小球能从B'点运动到O点，其初动能至少大于 D．小球从B'点运动到O点的过程中机械能的变化量为 真题·实战演练 高频考点：电场中的力电综合问题、“等效法”在电场中的应用、带电粒子在交变电场中的运动 1．（2025·黑龙江&吉林·高考）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·高考）如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球从A到C的过程中电势能减少 B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动 C．可求出小球运动到B点时的加速度 D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN 3．（2026·重庆·高考）（多选）如图所示，xOy平面内充满沿y轴正方向的匀强电场，原点O处的粒子源以不同的初速度沿x轴发射多个比荷为k的带正电粒子。将粒子在电场中运动速率相同的位置连接起来，得到一条平滑闭合曲线。图中曲线a、b对应的速率分别为v、，直线与a、b交于M、N两点。若a与y轴交于点，不考虑粒子重力及粒子间相互作用，则（     ） A．电场强度的大小为 B．M、N两点间的电势差为 C．经过a最右端的粒子初速度大小为 D．粒子从O到M所用时间与从O到N所用时间之比为 4．（2024·河北·高考）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 5．（2025·江西·高考）精密条纹相机通过将时域信号转换成空间信息可实现超短激光脉冲持续时间的测量，其简化原理如图所示。某个待测激光脉冲的持续时间为，经过狭缝和聚焦透镜入射至真空条纹管的光电阴极中心。由于光电效应，产生与输入激光脉冲持续时间相同的电子脉冲。电子脉冲先后经加速和偏转等过程打到荧光屏上。阳极与光电阴极间的加速电压为，距离为。偏转极板间距和长度分别为和，其左端与阳极的距离为，右端与荧光屏的距离为。光电效应产生电子的初速度忽略不计，电子不会打到偏转极板上。电子质量为m，电荷量为e，不考虑电场力和相对论效应，以及电子之间相互作用。所有元件的中心在同一条直线上，并以荧光屏中心O为原点、竖直方向为y轴建立坐标系。（普朗克常量，光速） (1)现有多碱、和三种常用的光电阴极材料，它们的逸出功分别约为。若要使波长范围为的入射激光都能打出光电子，请通过定量分析确定应选用哪种光电阴极材料。 (2)当偏转极板间电压U为常数时，求电子打在荧光屏上的位置。 (3)真实情况下，偏转极板间电压U与时间t的关系为（和k为大于零的常数），其零时刻与激光脉冲刚入射至光电阴极的时刻相同。 ①求最后进入偏转极板间的电子离开偏转极板时y方向速度的大小： ②若小且，此时可忽略不同时刻电子在偏转极板间y方向位移的差别，求电子脉冲在荧光屏上的空间宽度与激光脉冲持续时间的关系。 6．（2026·广东·高考）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第41讲 专题：带电粒子在电场中运动的综合问题（专项训练） 模拟·基础演练 题号 1 2 3 4 5 7 13 答案 A C BCD BC B C ABC 6.解：（1）电压的绝对值为，电子进入圆筒1时有 可得进入圆筒1时的速度大小 （2）设电子进入第n个圆筒后的速度为，由动能定理可知 可得 为了达到同步加速，电子在圆筒中做匀速直线运动，运动的时间均为，第n个金属圆筒的长度 可得 （3）竖直向下电场的极板长度为s，水平方向有 竖直方向有 联立可得 8.解：（1）小球静止在A点时受力平衡,如图所示 根据平衡条件 解得 （2）根据（1）可知匀强电场方向水平向左，A、B两点沿电场线方向距离 根据电势差与场强的关系 解得 （3）小球从B点运动至A点的过程中根据动能定理 解得 9.解：（1）带电体从P运动到B的过程中，根据动能定理可得 代入数据解得，带电体运动到圆形轨道最低点B时的速度大小 （2）带电体从B点运动到圆形轨道的点D时，由动能定理可得 代入数据解得，带电体在D点时的动能大小为 （3）设带电体运动到C点的速度为，从B到C，由动能定理可得 解得 在C点对带电体受力分析，设轨道对带电体的支持力为，由牛顿第二定律可得 代入数据解得 根据牛顿第三定律可知，带电体运动到圆形轨道的最高点C时，对轨道的压力大小为。 10.解：（1）从A点到P点，对小球，根据动能定理有 解得 因为 联立解得 （2）根据 联立以上可得 联立解得 （3）题意可知小球通过P点时速度为0，则沿绳方向有 联立解得绳子拉力大小 11.解：（1）小球带正电，静止时偏在竖直方向左侧，电场力与电场方向同向，因此电场方向水平向左。 对P点小球受力平衡：竖直方向 水平方向 联立解得 （2）P、Q沿电场方向的距离 沿电场方向电势降低，因此电势差满足 已知，代入 得 （3）从Q到P由动能定理 代入数值化简 解得 12.解：（1）小球静止时，受力分析如图所示 根据平衡条件有 解得 小球带正电，则电场与电场力方向相同，电场方向向左。 （2）沿电场线方向电势逐渐降低，规定虚线位置电势为零，求P点电势的大小为 （3）根据动能定理有 解得 14.解：（1）根据动能定理，小球从A点运动到B点的过程中，电场力做负功，小球受力方向向右，故小球带正电。 （2）以小球为研究对象，由A到B的过程，由动能定理，得 解得 （3）小球由C点释放后，将做匀加速直线运动，到B点时的速度为，小球做匀加速直线运动的加速度为a ，根据平行四边形定则和牛顿第二定律，有 解得 根据几何关系和匀变速直线运动的速度与位移的关系，得 解得 根据匀变速直线运动速度与时间的关系，得 15.解：（1）甲运动到B点的过程中有 解得v1=10m/s 在B点碰前，则对甲 解得FN=25N （2）甲、乙碰后粘在一起，则有mv1=2mv2 解得v2=5m/s 若甲乙整体恰好过D点，则有 解得v′D=2m/s 甲乙整体从B点到D点，根据动能定理有 解得vD=3m/s＞v′D 甲乙整体能通过D点，之后做平抛运动，有x=vDt， 其中 解得x=2.4m （3）若将电场方向改为竖直向上，甲运动到B点的过程中有 解得v3=8m/s 甲、乙碰后粘在一起，则有mv3=2mv4 解得v4=4m/s 甲乙整体从B点到速度减为0，根据动能定理有 解得 可见甲乙整体不能到达D点，在处速度减为0，接着再沿圆弧运动至B点，由于摩擦力做负功，整体向左匀减速运动，最后静止。 16.解：（1）在AB段运动时，带电体只受到电场力的作用，物体做匀变速直线运动。 根据牛顿第二定律有 根据匀变速直线运动位移与速度公式 解得 （2）带电体在B点进入圆弧形轨道，在B点竖直方向受重力mg与支持力N的作用。 根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，带电体在B点对圆弧轨道的压力大小 （3）从B点到C点运动过程中，根据动能定理有 解得 17.解：（1）小球在A点处于静止状态，其受力情况如下图所示： 根据平衡条件可判断电场力水平向左与电场线方向相反，所以小球带负电；根据共点力平衡条件有 解得该匀强电场的电场强度的大小为 （2）①小球从点运动到最低点的过程中，电场力对其做的功为 所以该过程中系统电势能的增加量为 ②对小球从点运动到最低点的过程中列动能定理方程有 解得小球运动到最低点时的速度为 在最低点对小球列向心力方程有 解得此时细线对小球的拉力为 则根据牛顿第三定律可知最低点处小球对细线的拉力大小为 18.解：（1）对带电小球受力分析，如图所示 小球在A点受力平衡，则， 解得 （2）根据动能定理 （3）到点时，根据牛顿第二定律， 解得 19.解：（1）以小球为对象，根据平衡条件可知，电场力水平向右，与电场强度方向相同，则小球带正电；根据受力平衡可得 解得 （2）小球从点运动到点过程中，根据动能定理得 解得 （3）如图所示 由题意可知小球恰好能做完整圆周运动时，对点受力分析可知 解得 小球从点运动到点过程中，由动能定理得 解得 重难·创新演练 题号 1 2 3 4 5 答案 D D BD C C 真题·实战演练 题号 1 2 3 答案 C C AB 4.解：（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为 （2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得 A到B过程根据动能定理得 联立解得 5.解：（1）根据题意，设入射激光波长为，则对应的光子能量为 可得波长范围为的入射激光的能量范围为 要使入射激光都能打出光电子，则所有入射激光的能量应大于光电阴极材料的逸出功，所以应选择多碱光电阴极材料。 （2）电子在光电阴极与阳极之间做匀加速直线运动，设电子在此过程中的加速度大小为，运动时间为，离开阳极时的速度大小为，则有，， 电子在离开阳极到偏转极板左端的过程中做匀速直线运动，设运动时间为，则 当偏转电压为常数时，电子在偏转极板内水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动。设方向的加速度大小为，在偏转极板内运动时间为，离开偏转极板时方向速度为，偏转位移为，则，，， 设电子离开偏转极板至打到荧光屏上的时间为，在此时间内电子在y方向的位移为，则， 设电子离荧光屏中心的距离为y，则 联立解得 （3）当偏转极板间电压时，电子在偏转极板内y方向做加速度线性增加的变加速直线运动。 ①在时刻，最后的电子进入偏转极板间，此时极板间的电压为，设电子在偏转极板内运动时y方向的加速度为，离开偏转极板时y方向的速度为，则 则图像，如图所示 由上述分析，结合图像可得 联立小问2分析可得 ②在时刻，最前面的电子进入偏转极板间，此时极板间的电压为。同理可得，该电子离开偏转极板时方向的速度，则有 设电子脉冲打在荧光屏上的空间宽度为，电子从离开偏转极板至打到荧光屏上的时间为，则， 联立解得 6.解：（1）当小球刚好到金属板时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 （2）小球从金属板到金属板过程，根据动能定理 小球第一次碰撞前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 （3）如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $