重难点专训36 隐形磁场及拼接场（福建专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“模型分类-技巧提炼-层级演练”构建隐形磁场及拼接场突破体系，通过口诀化方法与递进式训练培养科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |研判·模型总结|2大模型|隐形磁场“四步定位法”（见真做垂直等口诀）、拼接场“阶段分析法”（受力-运动-规律三步骤）|从单一隐形磁场（圆心确定、半径计算）到复合拼接场（电场-磁场组合），形成“个体运动-场域转换-综合应用”的逻辑链| |模拟·基础演练|15题|结合速度偏转角、位移角等物理量的定量计算|覆盖磁场最小半径、平抛+圆周等基础模型，强化运动与相互作用观念| |重难·创新演练|15题|质谱仪、回旋加速器等情境化问题的迁移应用|通过多场域组合（如辐向电场+磁场）提升科学探究与质疑创新能力|

重难点专训36 隐形磁场及拼接场 目 录 研判·模型总结 1 模拟·基础演练 4 重难·创新演练 11 研判·模型总结 一、隐形磁场模型 技巧总结 Ⅰ标志：隐形磁场+假速度 Ⅱ步骤： ①真速度做垂直必过圆心 ②真假速度延长线做夹角的角平分线（必过） ③交点即圆心，对两速度做垂线，垂足即为初末位置（两假速度也适用） 如图所示： 口诀：见真做垂直，真假两延长，交点做平分，垂足即初末. Ⅲ:圆形磁场最小半径、面积 初末位置做连线，求出长度，此长即为直径. 注意：含拼接场主要求拼接点的速度（大小与方向） 平抛+圆周 速度偏转角 位移角 加速方向位移，匀速方向位移，为与匀速方向的夹角. Ⅳ：两假速度 ①两假速度延长线夹角做角平分线. ②任选一点为圆心，往两延长线做垂线，规定垂线长为（一定已知） ③求解. 二、拼接磁场模型 技巧总结 Ⅰ：带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现． 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段． 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示． 第3步：用规律 Ⅱ：磁场与磁场的组合模型 模型：磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系． Ⅲ：先电场后磁场模型 模型：1.带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图. 2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图. Ⅳ：先磁场后电场模型 模型：(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)． (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)． 模拟·基础演练 1．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度；磁场右边是宽度、场强、方向向左的匀强电场。一带电粒子电荷量，质量，以的速度沿垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出。不计粒子重力，求： (1)大致画出带电粒子的运动轨迹； (2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径； (3)带电粒子飞出电场时的动能。 2．（多选）现在带电粒子设备常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图所示，两竖直平行金属板AB间存在水平向右的匀强电场，水平金属板C、D间存在竖直向上的匀强电场，CD右侧存在范围足够大、垂直于纸面向外的匀强磁场，在磁场中沿C、D的中心轴线方向放置足够长的粒子收集板P。一群质量为m、电荷量大小为q的带正电粒子由静止开始，经A、B之间的电场（电势差为）加速后，沿C、D的中心轴线方向进入偏转电场（电势差为），调节的大小，使带电粒子均从金属板C的右边缘射出电场，再经磁场偏转后，所有粒子均能打在收集板P上。已知CD两板间距为d，板长为，匀强磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（     ） A．加速电压的最小值为 B．调节、的大小，应使 C．收集板P上所有位置均会收集到粒子 D．带电粒子在磁场中运动的时间可能为 3．如图所示，位于真空室内的平面直角坐标系，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为，第四象限在平行于x轴的条形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为。从y轴正半轴上处的M点有带正电的粒子以速度垂直于y轴射入电场，经x轴上的P点进入磁场；已知粒子的比荷为，不计粒子的重力。求： (1)的长度d； (2)粒子经过P点的速度v的大小和方向； (3)若粒子能够再次穿过x轴，求磁场区域的最小宽度。 4．如图所示，直角坐标系xOy的第一象限有竖直向下的匀强电场，场强，第四象限有垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，第三象限有垂直纸面向里、磁感应强度未知的匀强磁场。一比荷为的带正电粒子，从点以的速度沿轴正方向射入电场，经点进入第四象限，再经轴上的点（图中未画出）进入第三象限，不计重力，，，。求： (1)粒子从点P到点的时间； (2)要使粒子能进入第二象限，应满足的条件。 5．利用电、磁场控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在垂直于平面向外的匀强磁场，第三象限存在沿轴正方向的匀强电场，点坐标为，质量为、带电量为的带电粒子从点以速度沿轴正方向飞入电场，从轴上的点离开电场时速度方向与轴正方向成角，经过第二象限后又进入磁场，最终从轴上的点垂直于轴射出磁场，不计粒子重力，求： (1)点的坐标和电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小和磁场中的运动时间。 6．（多选）如图所示，A和B为竖直放置的平行金属板，两极板的中间分别有一小孔，两小孔的连线与两金属板垂直，两金属板AB间的电压为，B板右侧有两水平放置的金属板C和D，两金属板CD间的电压为。甲图中竖直虚线EF的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，乙图中水平虚线MN的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，虚线MN与金属板D处于同一水平面。离子源产生带正电的粒子，粒子的电量为q，质量为m，无初速度的进入A极板的小孔，经电场加速和偏转后进入磁场，不计粒子的重力。下列说法正确的是（    ） A．图甲中增大，粒子在虚线EF上的入射点和出射点的距离会增大 B．图甲中增大，粒子在虚线EF上的入射点和出射点的距离会增大 C．图乙中增大，粒子在虚线MN上的入射点和出射点的距离会增大 D．图乙中增大，粒子在虚线MN上的入射点和出射点的距离会增大 7．如图所示，坐标系中，轴的上方存在半径为的垂直纸面向里的匀强磁场，圆形磁场圆心在轴上，最低点与坐标原点相切，轴左侧的竖直虚线与圆形磁场相切于点，虚线的左侧存在水平向左的匀强电场1．x轴的下侧存在水平向右的匀强电场2，电场1、2的电场强度大小相等。电场2中处有足够大的荧光屏。某电子1从坐标处静止释放，进入磁场中时速度大小为，从坐标原点进入电场2．另一电子2从坐标处静止释放，最终打到荧光屏上。电子比荷为，不计电子间的相互作用。求： (1)匀强电场的场强大小； (2)磁感应强度的大小； (3)电子2打到屏上的位置（坐标）。 8．在现代电子装备中，常通过电场和磁场对带电粒子运动轨迹实施精准控制。如图所示，平面直角坐标系Oxy的第一象限内，MN间的虚线与y轴之间存在沿x轴负向的匀强电场；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场I，磁感应强度大小为B，第四象限内直线上方与x轴正半轴之间（包含x轴）存在沿y轴负向的匀强电场。直线下方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。将若干质量均为m、电荷量均为的粒子从虚线MN上由静止释放，粒子经过第一、二象限的电场和磁场后，均从O点进入第四象限。磁场中有一长直收集板（未画出），所有粒子在返回电场前均垂直到达该板并被吸收。已知两电场的电场强度大小分别为、，M点坐标为，N点横坐标，不计粒子重力。求： (1)粒子经过O点的最大速度； (2)虚线MN的曲线方程； (3)从N点释放的粒子进入磁场时的位置坐标； (4)收集板所在位置的直线方程。 9．利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，在xOy平面的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，P点位于x轴负半轴上，在OP处放有一挡板，其长度为l，厚度不计。在第三和第四象限区域内，以坐标原点O为圆心，半径为l的半圆形区域外存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为q的正粒子以速度垂直于y轴的方向从y轴上的N点进入第二象限，且。已知场强大小，，，不计粒子重力。（仅m、q、l、为已知量） (1)要使该粒子离开第二象限时不打在挡板OP上，求磁场Ⅰ磁感应强度的取值范围； (2)若，粒子进入第三象限后，经过半圆形磁场边界时速度方向与磁场边界线垂直，求该粒子第一次进入第四象限时与坐标原点O的距离。 10．如图所示，MN、PQ为竖直平行极板，两极板间电场强度为E，间距为d。极板PQ右侧有矩形匀强磁场区域PQFE。对角线QE左侧的磁场垂直纸面向外，右侧的磁场垂直纸面向里，，两磁场的磁感应强度均为B。在MN板中点释放初速度为零，电荷量为q，质量为m的带正电的粒子（不计粒子受到的重力），粒子在电场力的作用下加速，从PQ板的中点处小孔进入磁场，经磁场PQE偏转后刚好能垂直经过QE，已知，。求： (1)粒子在电场中运动的时间t； (2)磁场区域PQFE的面积S； (3)粒子离开磁场时到F点的距离l。 11．如图所示，一半径为r的圆与x轴相切于原点O，圆内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切于P点，其右侧的第Ⅰ象限内存在沿方向的匀强电场。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子沿着方向从原点O射入磁场，粒子从P点离开磁场时速度方向沿方向，进入电场后，经电场偏转到达x轴上坐标为的点，不计粒子的重力。求： (1)粒子射入磁场时的速度大小。 (2)电场强度的大小E。 (3)若仅使从O点射入的带电粒子初速度方向与轴方向成30°角，求粒子从O点出发经磁场、电场偏转到达x轴所用的时间。 12．利用电、磁场来控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，水平线与竖直线交于点，将空间分成四个区域。在竖直线的左边存在磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，在竖直线的右边存在沿水平向左的匀强电场。某时刻一个带正电粒子从水平线上的点以初速度水平向左射出，带电粒子第一次到达竖直线上时，速度方向与竖直向上方向成角，之后带电粒子在电场中运动，并垂直通过水平线上的点。已知、两点之间的距离为，带电粒子所受重力忽略不计。（计算结果可带根号）求： (1)带电粒子的电荷量和质量的比值； (2)竖直线的右边匀强电场的电场强度大小。 13．某质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成，工作原理图如图所示。加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E，磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。粒子源中有大量电荷量相同而质量不同的粒子，从A处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着进入磁分析器，最终打在胶片PQ上。已知粒子重力可忽略不计，则（　　） A．若粒子能顺利到达P点 B．从P点进入磁场的粒子动量一定相等 C．粒子的比荷越大打到胶片上的距离P点越远 D．打到胶片上粒子运动总时间相同 14．如图甲所示的平行金属极板M、N之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场，取垂直纸面向外为磁场正方向，磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图乙所示，取垂直极板向上为电场正方向，电场强度E随时间t周期性变化的规律如图丙所示。t＝0.5t0时，一不计重力、带正电的粒子从极板左端以速度v沿板间中线平行极板射入板间，最终平行于极板中线射出，已知粒子在t＝1.5t0时速度为零，且整个运动过程中始终未与两极板接触，则下列说法错误的是（     ） A．粒子可能在2.5t0时刻射出极板 B．极板间距不小于 C．极板长度为（n＝1，2，3…） D． 15．如图所示为磁聚焦法测量电子比荷的原理图。在阳极、阴极之间加上电压后，阴极不断地有电子（初速度忽略不计）射出，加速运动并从阳极的小孔射出进入平行板电容器，电容器两极板间加有交变电场，使不同时刻通过的电子发生不同程度的偏转；电容器和荧光屏之间存在着水平向右的均匀磁场，电容器右端和荧光屏间的距离为，平行板电容器的板长为，电子经过磁场后打在荧光屏上。若磁场的磁感应强度从零开始缓慢增大到时，荧光屏上的光点的亮度最大（这时荧光屏上的亮斑最小），则电子经过电容器和磁场区域的时间之比和电子的比荷分别为（　　） A．； B．； C．； D．； 重难·创新演练 16．质谱仪如图，虚线AD上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，C，D间有一荧光屏。离子源产生a、b两种电荷量相同的离子，无初速度进入加速电场，经同一电压加速后，垂直进入磁场，a离子恰好打在荧光屏C点，b离子恰好打在D点，离子重力不计，则（　　） A．a、b离子均带负电 B．a、b离子在磁场中的运动时间相等 C．b离子质量比a离子的大 D．b离子在磁场中的运动速度比a的大 17．如图为洛伦兹力演示仪示意图。电子枪发出的电子经电场加速后形成电子束，玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能显示电子的径迹，励磁线圈能够产生垂直纸面向里的匀强磁场。下列说法正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变大 B．仅增大励磁线圈中的电流，电子运动的周期将变大 C．仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变大 D．仅升高电子枪加速电场的电压，电子运动的周期将变大 18．（多选）如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的点电荷，从原点以初速度v0射入第一象限内的电磁场区域，在0<y<y0，0<x<x0（x0、y0为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（E值有多种可能），可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则下列说法中错误的是（     ） A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足E= B．粒子从NP中点射入磁场时速度为 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 19．（多选）如图所示，用洛伦兹力演示仪研究带电粒子在匀强磁场中的运动，虚线表示电极K释放出来的电子束的运动轨迹。在施加磁场之前，电子经加速后沿直线运动，电子束的运动轨迹如图甲所示；施加磁场后电子束的运动轨迹如图乙所示；再调节演示仪可得到图丙所示的电子束运动轨迹，下列说法正确的是（     ） A．施加的磁场方向为垂直纸面向外 B．在图乙基础上仅提高电子的加速电压，可得到图丙所示电子束的运动轨迹 C．在图乙基础上仅增大磁感应强度，可得到图丙所示电子束的运动轨迹 D．图乙与图丙中电子运动一周的时间可能不相等 20．（多选）如图所示为某电子设备中部分结构在竖直面内的简化模型，O处的电子源不断释放无初速度的电子，电子经加速电场加速后获得不同的速度（加速电压U可调），从竖直板中点处的小孔D垂直进入直角的收集区域，已知水平板的长度为，。区域存在垂直纸面的匀强磁场（方向未画出），其磁感应强度大小为。电子打到、上时均被板完全吸收。电子的质量为m、电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用，下列说法中正确的是（     ） A．区域内匀强磁场的方向垂直纸面向里 B．打到板上的电子在磁场中运动的时间均为 C．打到板上的电子，加速电压U的取值范围为 D．若打在板上与A点距离为a的电子与板作用的时间为，则该电子与板在竖直方向上的作用力大小为 21．（多选）如图所示，比荷为的粒子从静止开始，经加速电场加速后进入辐向的电场进行第一次筛选，在辐向电场中粒子做半径为的匀速圆周运动，经过无场区从小孔处垂直边界进入垂直纸面向外的匀强磁场中进行第二次筛选，在与距离为小孔垂直边界射出并被收集。已知静电分析器和磁分析器界面均为四分之一圆弧，以下叙述正确的是（　　） A．静电分析器的电势低于的电势 B．被收集的带电粒子一定带负电 C．电场强度与磁感应强度的比值关系为 D．若增大，为保证不变，则被收集粒子的比荷比原来大 22．（多选）如图所示，在平面直角坐标系内，第一象限中存在沿轴正方向的匀强电场，第四象限中以为直径的半圆形区域内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。一质量为、带电荷量为的电子从轴上纵坐标处的点以速度垂直于轴射入电场，经轴上横坐标处的点进入磁场，最后沿垂直于轴的方向射出磁场，不计电子重力。下列说法正确的是（　　） A．电子进入磁场时的速度方向与轴正方向夹角为 B．电场强度大小为 C．电子在磁场中运动的轨迹半径为 D．电子从进入电场到离开磁场经历的总时间为 23．（多选）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，半径为的圆形磁场区域Ⅱ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、D三点在同一直线上。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为、磁感应强度大小为，区域Ⅱ中磁感应强度大小为，它们在区域Ⅱ中运动的时间为，速度偏转角为，半径为，且，若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为，速度偏转角为，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为，则 B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为，则 C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则 D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则 24．（多选）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。则下列说法正确的是（   ） A．粒子带负电 B．磁感应强度的大小为 C．电场强度的大小 D．若粒子从a点以竖直向下发射，粒子第一次经过电、磁场分界线到第三次经过电磁场分界线经历的时间为 25．（多选）如图所示，在坐标平面的内有匀强电场区域I和匀强磁场区域II，区域I以抛物线（值未知）为边界，电场强度为，沿轴负方向。区域II在第四象限，磁场垂直坐标平面向外。位于区域I左侧的线性质子源，可将速度大小为的质子流沿轴正方向射入区域I内。所有质子经匀强电场偏转后均能从坐标原点进入区域II。除场区外其他区域均为真空，不考虑场区边界效应和质子的重力，下列说法正确的是（     ） A． B． C．质子从不同的位置离开区域II D．所有质子从同一点离开区域II 26．跑道式回旋加速器的工作原理如图所示，真空中存在两个足够宽的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里，竖向虚线为磁场边界，两边界相距为L。P、Q、K为磁场边界上的三个点，Q、K的竖直高度。在两个磁场区域的底部存在一个匀强电场（两条横向虚线之间的区域宽度忽略不计），电场强度为E，方向水平向右。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从P点静止释放经电场加速后，从Q点进入区域Ⅱ的磁场，此后，多次经过磁场偏转和电场加速后，粒子从K点飞出。不计带电粒子的重力，忽略电、磁场的边界效应。求： (1)第一次加速后粒子在磁场中的运动半径。 (2)粒子从P点飘出到从K点射出整个过程中，在电场中加速运动的次数n。 (3)粒子从P点飘出到从K点射出的总时间t。 27．如图所示：在xOy平面第一象限内存在相邻的匀强电场区域和匀强磁场区域，两场区域宽度均为d，匀强电场沿y轴负方向，电场强度的大小为，而磁场方向垂直纸面向里，一带正电粒子从y轴上的A点以速度v0沿垂直电场方向进入电场，在电场力的作用下发生偏转，然后从C点离开电场进入磁场，当粒子从磁场的右边界D点（C、D两点图中未标出）穿出磁场时速度方向与进入电场A点时的速度方向一致，（带电粒子重力不计）求： (1)粒子在电场中运动的时间； (2)粒子在电场中的加速度大小； (3)粒子飞出电场时的速度大小及速度与x轴方向的夹角； (4)求粒子在磁场中运动的半径； (5)求匀强磁场的磁感应强度大小； (6)粒子从进入电场到出磁场运动的总时间。 28．如图所示，在直角坐标系内，有一函数方程为的虚线。一质量为，电荷量为的粒子从原点沿轴正方向以初速度射出，为使该粒子能到达点（，），可通过在虚线上方或下方的整个空间内加适当的“场”来实现。忽略粒子的重力。 (1)若仅在虚线上方加垂直于纸面的匀强磁场，使该粒子能沿轴正方向到达点。求： ①所加磁场的方向及磁感应强度大小； ②粒子从原点运动到点的时间。 (2)若在虚线上方加垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小，为使该粒子到达点，在虚线下方加平行于轴的匀强电场，求电场强度的大小。 29．图甲所示的CT扫描机，其部分工作原理如图乙所示：M、N之间是加速电场，虚线框内存在垂直纸面的匀强磁场；电子从静止开始经加速电场后，垂直进入偏转磁场，最后打在靶上的P点。已知加速电压为U，磁场的宽度为d，电子的质量为m、电荷量为e，电子离开磁场时的速度偏转角为θ=45°。求： (1)电子离开电场时的速度大小； (2)磁感应强度的大小和方向； (3)电子在偏转磁场中运动的时间。 30．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内的区域内存在垂直于纸面的匀强磁场或与y轴平行的匀强电场，其中区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小未知），区域存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场（磁感应强度大小未知），区域存在初始方向沿y轴正方向的匀强电场，粒子每离开电场一次，电场的方向就反向一次，电场强度大小不变。一质量为m、电荷量为的带电粒子从点以初速度沿y轴正方向射出，在左侧匀强磁场偏转后，速度方向改变了143°，然后第一次进入电场，经电场偏转后，沿与电场右边界垂直的方向射出电场进入右侧匀强磁场。不计重力，已知，。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求粒子第一次射出电场位置的纵坐标； (3)为了使粒子最终能从点射出场区，求磁感应强度大小的可能值。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训36 隐形磁场及拼接场 目 录 研判·模型总结 1 模拟·基础演练 4 重难·创新演练 26 研判·模型总结 一、隐形磁场模型 技巧总结 Ⅰ标志：隐形磁场+假速度 Ⅱ步骤： ①真速度做垂直必过圆心 ②真假速度延长线做夹角的角平分线（必过） ③交点即圆心，对两速度做垂线，垂足即为初末位置（两假速度也适用） 如图所示： 口诀：见真做垂直，真假两延长，交点做平分，垂足即初末. Ⅲ:圆形磁场最小半径、面积 初末位置做连线，求出长度，此长即为直径. 注意：含拼接场主要求拼接点的速度（大小与方向） 平抛+圆周 速度偏转角 位移角 加速方向位移，匀速方向位移，为与匀速方向的夹角. Ⅳ：两假速度 ①两假速度延长线夹角做角平分线. ②任选一点为圆心，往两延长线做垂线，规定垂线长为（一定已知） ③求解. 二、拼接磁场模型 技巧总结 Ⅰ：带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现． 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段． 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示． 第3步：用规律 Ⅱ：磁场与磁场的组合模型 模型：磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系． Ⅲ：先电场后磁场模型 模型：1.带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图. 2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图. Ⅳ：先磁场后电场模型 模型：(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)． (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)． 模拟·基础演练 1．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度；磁场右边是宽度、场强、方向向左的匀强电场。一带电粒子电荷量，质量，以的速度沿垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出。不计粒子重力，求： (1)大致画出带电粒子的运动轨迹； (2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径； (3)带电粒子飞出电场时的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）磁场方向垂直纸面向里，负电荷所受洛伦兹力初始方向向下，故粒子在磁场中沿向下弯曲的圆弧运动。粒子进入电场后所受电场力方向向右，沿竖直方向的速度分量不变，沿水平方向的速度增大，轨迹逐渐向右弯曲。 （2）洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，进入电场后所受电场力方向向右，电场力做正功。 由动能定理得 代入数据得 2．（多选）现在带电粒子设备常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图所示，两竖直平行金属板AB间存在水平向右的匀强电场，水平金属板C、D间存在竖直向上的匀强电场，CD右侧存在范围足够大、垂直于纸面向外的匀强磁场，在磁场中沿C、D的中心轴线方向放置足够长的粒子收集板P。一群质量为m、电荷量大小为q的带正电粒子由静止开始，经A、B之间的电场（电势差为）加速后，沿C、D的中心轴线方向进入偏转电场（电势差为），调节的大小，使带电粒子均从金属板C的右边缘射出电场，再经磁场偏转后，所有粒子均能打在收集板P上。已知CD两板间距为d，板长为，匀强磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（     ） A．加速电压的最小值为 B．调节、的大小，应使 C．收集板P上所有位置均会收集到粒子 D．带电粒子在磁场中运动的时间可能为 【答案】AD 【详解】AC．设带电粒子进入磁场时速度方向与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 可得 进入磁场时的速度大小为 当加速电压最小时，带电粒子的运动轨迹恰好与收集板相切，切点左侧收集不到粒子，设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得，故A正确，C错误； B．设带电粒子经加速电场加速后的速度为，根据动能定理得 在偏转电场中做类平抛运动，水平方向有 垂直于金属板方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得，故B错误； D．带电粒子在磁场中做圆周运动的周期 带电粒子的运动轨迹恰好与收集板相切时，此时运动轨迹对应的圆心角最大，为，此时在磁场中运动的时间最长，为 当半径无限大时，带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为，在磁场中运动的最短时间 带电粒子在磁场中的运动时间范围为，所以带电粒子在磁场中运动的时间可能为，故D正确。 故选AD。 3．如图所示，位于真空室内的平面直角坐标系，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为，第四象限在平行于x轴的条形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为。从y轴正半轴上处的M点有带正电的粒子以速度垂直于y轴射入电场，经x轴上的P点进入磁场；已知粒子的比荷为，不计粒子的重力。求： (1)的长度d； (2)粒子经过P点的速度v的大小和方向； (3)若粒子能够再次穿过x轴，求磁场区域的最小宽度。 【答案】(1) (2)；粒子在P点的速度与x轴正方向成45°角 (3) 【详解】（1）粒子在第一象限中做类平抛运动，沿y轴方向有， 由牛顿第二定律得 代入数据解得 则的长度， 代入数据解得 （2）粒子运动到P点时，沿y轴方向的分速度为 粒子速度大小， 代入数据解得 设速度方向与x轴正方向成角，则有， 解得故粒子在P点的速度与x轴正方向成45°角 （3）若粒子能够再次穿过x轴，磁场区域最窄时，轨迹与相切，如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 代入数据解得 几何关系可得 代入数据解得 则磁场区域的最小宽度 4．如图所示，直角坐标系xOy的第一象限有竖直向下的匀强电场，场强，第四象限有垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，第三象限有垂直纸面向里、磁感应强度未知的匀强磁场。一比荷为的带正电粒子，从点以的速度沿轴正方向射入电场，经点进入第四象限，再经轴上的点（图中未画出）进入第三象限，不计重力，，，。求： (1)粒子从点P到点的时间； (2)要使粒子能进入第二象限，应满足的条件。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子从P到Q有， 解得 粒子从P到Q，由动能定理得 解得 设粒子经过点的速度方向与x轴的夹角为，则 解得 粒子在第四象限做匀速圆周运动 解得 过点Q作速度方向的垂线，交y轴于N，如图 由几何知识可知 则粒子在第四象限做匀速圆周运动半个周期，M点与N点重合，粒子从点到点的时间 故粒子从点P到点的时间 （2）粒子在第三象限做匀速圆周运动恰好与y轴相切，如图 由几何知识可知 设粒子在第三象限做匀速圆周运动的半径为，则 解得 由 解得 要使粒子能进入第二象限，应满足的条件为 5．利用电、磁场控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在垂直于平面向外的匀强磁场，第三象限存在沿轴正方向的匀强电场，点坐标为，质量为、带电量为的带电粒子从点以速度沿轴正方向飞入电场，从轴上的点离开电场时速度方向与轴正方向成角，经过第二象限后又进入磁场，最终从轴上的点垂直于轴射出磁场，不计粒子重力，求： (1)点的坐标和电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小和磁场中的运动时间。 【答案】(1)（-2L，0）， (2)， 【详解】（1）根据题意，粒子在第三象限电场中做类平抛运动，进入第二象限后做匀速直线运动，进入第一象限磁场后做匀速圆周运动。 粒子在电场中运动时，竖直方向满足 水平方向满足x=v0t 由于出电场时速度方向与x轴夹角为45°，有 解得x=2L。 因此S点的横坐标为xs=-（4L-x）=-2L，即S点坐标为（-2L，0）。 由上述分析可知，粒子在电场中的加速度 结合Eq=ma，解得电场强度 （2）根据几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的半径，进入磁场时的速度 由洛伦兹力提供向心力 解得磁感应强度 粒子在磁场中转过的角度为 则时间为 6．（多选）如图所示，A和B为竖直放置的平行金属板，两极板的中间分别有一小孔，两小孔的连线与两金属板垂直，两金属板AB间的电压为，B板右侧有两水平放置的金属板C和D，两金属板CD间的电压为。甲图中竖直虚线EF的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，乙图中水平虚线MN的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，虚线MN与金属板D处于同一水平面。离子源产生带正电的粒子，粒子的电量为q，质量为m，无初速度的进入A极板的小孔，经电场加速和偏转后进入磁场，不计粒子的重力。下列说法正确的是（    ） A．图甲中增大，粒子在虚线EF上的入射点和出射点的距离会增大 B．图甲中增大，粒子在虚线EF上的入射点和出射点的距离会增大 C．图乙中增大，粒子在虚线MN上的入射点和出射点的距离会增大 D．图乙中增大，粒子在虚线MN上的入射点和出射点的距离会增大 【答案】AD 【详解】AB．图甲中粒子的运动轨迹如左图所示，入射点和出射点的距离为 可知入射点和出射点的距离与有关，增大，距离增大，故A正确，B错误； C．图乙中粒子的运动轨迹如右图所示，入射点和出射点的距离为 增大，增大，减小，入射点和出射点的距离减小，故C错误； D．增大，增大，入射点和出射点的距离增大，故D正确。 故选AD。 7．如图所示，坐标系中，轴的上方存在半径为的垂直纸面向里的匀强磁场，圆形磁场圆心在轴上，最低点与坐标原点相切，轴左侧的竖直虚线与圆形磁场相切于点，虚线的左侧存在水平向左的匀强电场1．x轴的下侧存在水平向右的匀强电场2，电场1、2的电场强度大小相等。电场2中处有足够大的荧光屏。某电子1从坐标处静止释放，进入磁场中时速度大小为，从坐标原点进入电场2．另一电子2从坐标处静止释放，最终打到荧光屏上。电子比荷为，不计电子间的相互作用。求： (1)匀强电场的场强大小； (2)磁感应强度的大小； (3)电子2打到屏上的位置（坐标）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，对电子1有，电场力大小，， 则由动能定理有 代入数据解得 （2）由（1）可知，电子1在进入磁场，且速度方向沿轴正方向，根据题意又有其离开磁场时的坐标为，根据几何学分析可得其圆周运动的圆心为，则其圆周运动半径 圆周运动过程中，洛伦兹力提供向心力，则有 由题意又有 代入数据解得 （3）根据题意，对电子2有，电场力大小，， 则易得其离开电场时的速度大小，坐标为 之后电子2做匀速直线运动，直至进入磁场，根据几何学知识易得其进入磁场的坐标为 圆周运动过程中，洛伦兹力提供向心力，则有 代入数据解得 于是电子1和电子2会发生磁聚焦现象，因此电子2离开磁场时的坐标为，且速度 根据几何学知识可求得速度的方向指向右下，与轴的夹角 将其速度在坐标系下进行分解可得， 则在轴方向上有，在轴方向上有 根据电场力公式及牛顿第二定律易得 代入数据解得 因此电子2打到屏上的位置为 8．在现代电子装备中，常通过电场和磁场对带电粒子运动轨迹实施精准控制。如图所示，平面直角坐标系Oxy的第一象限内，MN间的虚线与y轴之间存在沿x轴负向的匀强电场；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场I，磁感应强度大小为B，第四象限内直线上方与x轴正半轴之间（包含x轴）存在沿y轴负向的匀强电场。直线下方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。将若干质量均为m、电荷量均为的粒子从虚线MN上由静止释放，粒子经过第一、二象限的电场和磁场后，均从O点进入第四象限。磁场中有一长直收集板（未画出），所有粒子在返回电场前均垂直到达该板并被吸收。已知两电场的电场强度大小分别为、，M点坐标为，N点横坐标，不计粒子重力。求： (1)粒子经过O点的最大速度； (2)虚线MN的曲线方程； (3)从N点释放的粒子进入磁场时的位置坐标； (4)收集板所在位置的直线方程。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设粒子从虚线上的任一点由静止释放，到达轴时速度大小为。电场力做功，由动能定理得 粒子以水平向左的速度进入磁场Ⅰ，所受洛伦兹力方向向下。粒子从入射点运动到点，入射点和点为圆轨迹一条竖直直径的两端，故轨迹半径满足 由洛伦兹力提供向心力得，结合上述半径关系可得 虚线上点的纵坐标最大，故粒子从点释放时经过点的速度最大，最大速度为 （2）沿用小问1中同一粒子在磁场Ⅰ内的推导，且和均未改变。将题给代入小问1的动能定理方程，并结合此前速度与的关系，整理得 因此虚线的轨迹方程为 由端点和可得取值范围为 （3）将点横坐标代入虚线的轨迹方程，得 沿用小问1已推导的速度关系，且磁场Ⅰ的条件不变，点释放的粒子经过点时速度大小为 粒子从点沿轴正方向进入电场。沿轴负方向应用牛顿第二定律，有，代入题给场强可得 粒子从轴运动到电场与磁场Ⅱ的分界线，沿轴负方向的位移满足 解得 水平方向做匀速直线运动，故到达分界线时坐标为 所以粒子进入磁场Ⅱ时的位置坐标为。 （4）仍设粒子在虚线上的释放点纵坐标为。沿用小问1的推导，粒子从点进入第四象限时的水平速度为 电场及分界线位置不变，故由小问3的推导可知粒子在电场中的运动时间仍为。粒子进入磁场Ⅱ的位置为 粒子进入磁场Ⅱ时，水平速度大小和竖直速度大小分别为和。 设此时速度方向与轴正方向的夹角为，则和。在磁场Ⅱ中，洛伦兹力提供向心力，有 由此解得轨迹半径 圆心相对点的水平向左距离为 圆心相对点的竖直向下距离为 因此圆心坐标满足和。 粒子到达收集板时速度沿圆轨迹的切线方向。由于所有粒子均垂直到达收集板，碰板处的半径均沿收集板方向，故收集板就是各圆轨迹的圆心轨迹。下图表示粒子在磁场Ⅱ中的圆心、轨迹与收集板的几何关系。 消去，得收集板所在直线的方程为 9．利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，在xOy平面的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，P点位于x轴负半轴上，在OP处放有一挡板，其长度为l，厚度不计。在第三和第四象限区域内，以坐标原点O为圆心，半径为l的半圆形区域外存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为q的正粒子以速度垂直于y轴的方向从y轴上的N点进入第二象限，且。已知场强大小，，，不计粒子重力。（仅m、q、l、为已知量） (1)要使该粒子离开第二象限时不打在挡板OP上，求磁场Ⅰ磁感应强度的取值范围； (2)若，粒子进入第三象限后，经过半圆形磁场边界时速度方向与磁场边界线垂直，求该粒子第一次进入第四象限时与坐标原点O的距离。 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）若粒子打在线段上，则 由洛伦兹力提供向心力 得 若粒子刚好打到点，由几何关系得 得 若不打在挡板上，则 由 得 故的取值范围为或 （2）粒子运动轨迹如图： 由 得 由几何关系得 得 三角形中 得速度所在直线与轴的夹角 则粒子在第一位象限做斜抛运动，在方向上，由牛顿第二定律 由运动学公式 得 在方向上， 故该粒子第一次进入第四象限时与坐标原点O的距离为 10．如图所示，MN、PQ为竖直平行极板，两极板间电场强度为E，间距为d。极板PQ右侧有矩形匀强磁场区域PQFE。对角线QE左侧的磁场垂直纸面向外，右侧的磁场垂直纸面向里，，两磁场的磁感应强度均为B。在MN板中点释放初速度为零，电荷量为q，质量为m的带正电的粒子（不计粒子受到的重力），粒子在电场力的作用下加速，从PQ板的中点处小孔进入磁场，经磁场PQE偏转后刚好能垂直经过QE，已知，。求： (1)粒子在电场中运动的时间t； (2)磁场区域PQFE的面积S； (3)粒子离开磁场时到F点的距离l。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有 由牛顿第二定律有 联立解得 （2）设粒子进入磁场时的速度大小为v0，则 由于粒子进入磁场时的速度方向垂直PQ，经磁场PQE偏转后刚好能垂直经过QE，可知粒子在磁场PQE中的运动轨迹的圆心为Q，如图示 由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 由题意知，由几何关系有 磁场区域PQFE的面积 解得 （3）设粒子离开磁场的位置为G点，由几何关系有， 由余弦定理有 联立解得 11．如图所示，一半径为r的圆与x轴相切于原点O，圆内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切于P点，其右侧的第Ⅰ象限内存在沿方向的匀强电场。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子沿着方向从原点O射入磁场，粒子从P点离开磁场时速度方向沿方向，进入电场后，经电场偏转到达x轴上坐标为的点，不计粒子的重力。求： (1)粒子射入磁场时的速度大小。 (2)电场强度的大小E。 (3)若仅使从O点射入的带电粒子初速度方向与轴方向成30°角，求粒子从O点出发经磁场、电场偏转到达x轴所用的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子沿 方向由点射入，洛伦兹力提供向心力，粒子从圆形磁场右端 点沿 方向射出，由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为。 由 得 （2）粒子进入电场时速度沿 方向，水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为初速度为零、加速度大小为 的匀加速直线运动。 由 点到达 ，水平方向有 ，竖直方向有 将 代入，得， （3）若速度大小仍为 ，粒子在磁场中圆周运动半径仍为 。 设粒子轨迹圆圆心为 ，圆形磁场圆心为 ，第二次交边界点为 ，进入电场左边界点为 。 由 可知四边形为菱形，粒子离开磁场时速度沿方向，轨迹对应圆心角为。 磁场中圆周运动周期为 ，故磁场内运动时间 从 到匀速直线运动，水平距离为，时间 在电场中竖直位移大小为 ，由 得 故总时间 12．利用电、磁场来控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，水平线与竖直线交于点，将空间分成四个区域。在竖直线的左边存在磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，在竖直线的右边存在沿水平向左的匀强电场。某时刻一个带正电粒子从水平线上的点以初速度水平向左射出，带电粒子第一次到达竖直线上时，速度方向与竖直向上方向成角，之后带电粒子在电场中运动，并垂直通过水平线上的点。已知、两点之间的距离为，带电粒子所受重力忽略不计。（计算结果可带根号）求： (1)带电粒子的电荷量和质量的比值； (2)竖直线的右边匀强电场的电场强度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，带正电荷的粒子的运动轨迹如图所示 设正电荷在磁场中运动的轨道半径为，由图可得 解得 正电荷在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得正电荷的比荷为 （2）设正电荷到达点时的速度大小为，粒子在电场中竖直方向不受力，做匀速直线运动，故到达点时的速度（竖直方向）等于进入电场时的竖直分速度，有 设正电荷进入电场后经过时间运动到点，则有 由几何知识结合匀变速曲线运动可得 解得 又 正电荷从第一次经过竖直线CD到运动至点的过程中，根据动能定理有 联立解得 13．某质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成，工作原理图如图所示。加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E，磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。粒子源中有大量电荷量相同而质量不同的粒子，从A处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着进入磁分析器，最终打在胶片PQ上。已知粒子重力可忽略不计，则（　　） A．若粒子能顺利到达P点 B．从P点进入磁场的粒子动量一定相等 C．粒子的比荷越大打到胶片上的距离P点越远 D．打到胶片上粒子运动总时间相同 【答案】A 【详解】A．粒子在加速电场中加速，根据动能定理有 解得 粒子在静电分析器中偏转，根据牛顿第二定律有 联立解得，故A正确； B．从P点进入磁场的粒子动量为 粒子的电荷量相同，但质量不同，所以动量不相等，故B错误； C．粒子在磁分析器中，根据牛顿第二定律有 解得 故粒子打到胶片上的点与P点的距离为 可知比荷越小，越大，故C错误； D．设加速电场两板间的距离为，则粒子在加速电场中有 解得 粒子在静电分析器中做匀速圆周运动，偏转个周期后进入磁场，则运动的时间为 粒子进入磁场偏转半个周期后打在PQ上面，则运动的时间为 故打到胶片上粒子运动总时间为 因粒子的质量不相同，故打到胶片上粒子运动总时间也不相同，故D错误。 故选A。 14．如图甲所示的平行金属极板M、N之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场，取垂直纸面向外为磁场正方向，磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图乙所示，取垂直极板向上为电场正方向，电场强度E随时间t周期性变化的规律如图丙所示。t＝0.5t0时，一不计重力、带正电的粒子从极板左端以速度v沿板间中线平行极板射入板间，最终平行于极板中线射出，已知粒子在t＝1.5t0时速度为零，且整个运动过程中始终未与两极板接触，则下列说法错误的是（     ） A．粒子可能在2.5t0时刻射出极板 B．极板间距不小于 C．极板长度为（n＝1，2，3…） D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且转了周，在内，粒子在电场中向下做减速运动到速度为零，在内，粒子在电场中向上做加速运动到速度为v，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，转了周，粒子回到极板中线，速度平行于极板中线，接下来粒子周期性地重复以上运动，粒子在一个运动周期内的轨迹如图所示 A．粒子一个运动周期为 故粒子射出极板的时刻可能为 当时，故A正确，不符合题意； B．粒子在磁场中，设粒子的轨迹半径为r，则有 解得 粒子在电场向下减速的位移为 故极板间距应满足，故B正确，不符合题意； C．极板长度可能为，故C错误，符合题意； D．粒子在磁场中，有 解得 粒子在电场中，有 解得 可得，故D正确，不符合题意； 本题选择错误选项，故选C。 15．如图所示为磁聚焦法测量电子比荷的原理图。在阳极、阴极之间加上电压后，阴极不断地有电子（初速度忽略不计）射出，加速运动并从阳极的小孔射出进入平行板电容器，电容器两极板间加有交变电场，使不同时刻通过的电子发生不同程度的偏转；电容器和荧光屏之间存在着水平向右的均匀磁场，电容器右端和荧光屏间的距离为，平行板电容器的板长为，电子经过磁场后打在荧光屏上。若磁场的磁感应强度从零开始缓慢增大到时，荧光屏上的光点的亮度最大（这时荧光屏上的亮斑最小），则电子经过电容器和磁场区域的时间之比和电子的比荷分别为（　　） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【详解】因为电子在电场和磁场中沿水平方向做匀速直线运动，所以时间之比为 电子在电场中加速 电子在磁场中运动的轨迹为螺旋线，水平速度均相同，圆周运动的周期也相同，磁场的磁感应强度从零开始缓慢增大到时，电子刚好在磁场中运动一个周期，荧光屏上的光斑的亮度最大，则应满足 联立解得，故选B。 重难·创新演练 16．质谱仪如图，虚线AD上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，C，D间有一荧光屏。离子源产生a、b两种电荷量相同的离子，无初速度进入加速电场，经同一电压加速后，垂直进入磁场，a离子恰好打在荧光屏C点，b离子恰好打在D点，离子重力不计，则（　　） A．a、b离子均带负电 B．a、b离子在磁场中的运动时间相等 C．b离子质量比a离子的大 D．b离子在磁场中的运动速度比a的大 【答案】C 【详解】A．由于离子进入磁场中向右偏转，即离子受到向右的洛伦兹力，根据左手定则可知，两离子均带正电，故A错误； C．设离子进入磁场的速度为v，在电场中有 在磁场中 联立解得 由图可知 两离子电荷量相同，所以a离子质量比b离子的小，故C正确； B．在磁场中运动的时间均为半个周期，即 由于a离子的质量小于b离子的质量，故a离子在磁场中运动的时间较短，故B错误； D．离子在磁场中的运动的速度为 a离子的质量小，则a离子的速度大，故D错误。 故选C。 17．如图为洛伦兹力演示仪示意图。电子枪发出的电子经电场加速后形成电子束，玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能显示电子的径迹，励磁线圈能够产生垂直纸面向里的匀强磁场。下列说法正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变大 B．仅增大励磁线圈中的电流，电子运动的周期将变大 C．仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变大 D．仅升高电子枪加速电场的电压，电子运动的周期将变大 【答案】C 【详解】AC．由题意可得， 可得 仅增大励磁线圈中的电流，磁感应强度B变大，则运动径迹的半径变小；仅升高电子枪加速电场的电压U，运动径迹的半径变大，故A错误，C正确； BD．由， 可得电子的周期为 电子周期与电子枪加速电场的电压无关，且仅增大励磁线圈中的电流，电子运动的周期将变小，故BD错误。 故选C。 18．（多选）如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的点电荷，从原点以初速度v0射入第一象限内的电磁场区域，在0<y<y0，0<x<x0（x0、y0为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（E值有多种可能），可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则下列说法中错误的是（     ） A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足E= B．粒子从NP中点射入磁场时速度为 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 【答案】BC 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，若粒子从NP中点射入磁场，则， 解得，故A正确，不符合题意； B．粒子从NP中点射出时，有 速度，故B错误，符合题意； C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，轨迹如图 则 粒子从电场中射出时的速度 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则 则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为 解得，故C错误，符合题意； D．当粒子在磁场中有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N点进入磁场，此时竖直最大速度， 出离电场的最大速度 由 可得最大半径，故D正确，不符合题意。 故选BC。 19．（多选）如图所示，用洛伦兹力演示仪研究带电粒子在匀强磁场中的运动，虚线表示电极K释放出来的电子束的运动轨迹。在施加磁场之前，电子经加速后沿直线运动，电子束的运动轨迹如图甲所示；施加磁场后电子束的运动轨迹如图乙所示；再调节演示仪可得到图丙所示的电子束运动轨迹，下列说法正确的是（     ） A．施加的磁场方向为垂直纸面向外 B．在图乙基础上仅提高电子的加速电压，可得到图丙所示电子束的运动轨迹 C．在图乙基础上仅增大磁感应强度，可得到图丙所示电子束的运动轨迹 D．图乙与图丙中电子运动一周的时间可能不相等 【答案】CD 【详解】A．由图甲可知，电子经加速后向左运动，由图乙可知，电子向左飞出后做顺时针方向的圆周运动，则根据左手定则，可判断磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误； BC．电子在加速电场中加速，由动能定理有 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有 由周期和线速度的关系有 联立可得， 可知在图乙的基础上仅增大加速电压U，粒子运动半径增大；仅增大磁感应强度，粒子运动半径减小，而由图乙到图丙，电子的运动半径减小，故B错误，C正确； D．由可知，电子在磁场中运动的周期与U无关，与B有关。若仅改变电压，图乙与图丙中电子运动一周的时间相等；若仅改变磁感应强度，图乙与图丙中电子运动一周的时间不相等，故D正确。 故选CD。 20．（多选）如图所示为某电子设备中部分结构在竖直面内的简化模型，O处的电子源不断释放无初速度的电子，电子经加速电场加速后获得不同的速度（加速电压U可调），从竖直板中点处的小孔D垂直进入直角的收集区域，已知水平板的长度为，。区域存在垂直纸面的匀强磁场（方向未画出），其磁感应强度大小为。电子打到、上时均被板完全吸收。电子的质量为m、电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用，下列说法中正确的是（     ） A．区域内匀强磁场的方向垂直纸面向里 B．打到板上的电子在磁场中运动的时间均为 C．打到板上的电子，加速电压U的取值范围为 D．若打在板上与A点距离为a的电子与板作用的时间为，则该电子与板在竖直方向上的作用力大小为 【答案】ABD 【详解】A．电子从D点水平向右进入磁场，若要能向下方偏转打到AB板，电子受到的洛伦兹力需向下。根据左手定则（电子带负电，四指指向速度反方向），可判断磁场方向应为垂直纸面向里，故A正确； B． 电子在磁场中做圆周运动的周期为 ​。打到AD板上的电子，运动轨迹为完整的半圆，运动时间均为半个周期：​，与速度无关，故B正确； C．电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 可得​，电场中加速过程，根据动能定理 联立可得 电子刚好打到A点时，轨迹直径为，即 对应最小加速电压 电子轨迹刚好与BC边相切时，由几何关系可知，即最大允许半径​ 对应最大加速电压 综上，加速电压U的取值范围为，故C错误； D．设打在AB板上与A点距离为a的电子在磁场中的轨迹半径为，由几何关系知 可得 根据洛伦兹力提供向心力 可得电子在磁场中的速度 电子打到AB板上时速度在竖直方向上的分量 对电子竖直方向应用动量定理 代入得 ​，根据牛顿第三定律，电子对板的竖直方向作用力大小等于该值，故D正确。 故选 ABD。 21．（多选）如图所示，比荷为的粒子从静止开始，经加速电场加速后进入辐向的电场进行第一次筛选，在辐向电场中粒子做半径为的匀速圆周运动，经过无场区从小孔处垂直边界进入垂直纸面向外的匀强磁场中进行第二次筛选，在与距离为小孔垂直边界射出并被收集。已知静电分析器和磁分析器界面均为四分之一圆弧，以下叙述正确的是（　　） A．静电分析器的电势低于的电势 B．被收集的带电粒子一定带负电 C．电场强度与磁感应强度的比值关系为 D．若增大，为保证不变，则被收集粒子的比荷比原来大 【答案】AD 【详解】AB．磁场垂直纸面向外，粒子在磁场中从到的偏转方向可由左手定则判断。磁感线穿入手心，四指指向正电荷运动方向，大拇指指向受力方向。图中粒子向右偏转，结合轨迹可知粒子带正电；粒子在静电分析器中做匀速圆周运动，向心力由电场力提供。正电荷受力向内，故电场方向由指向。沿电场线方向电势降低，所以，即电势低于，故A正确，B错误； C．加速电场中 得 静电分析器中电场力提供向心力 得 磁场中轨道半径，由 得 故，故C错误； D．由，粒子从射出要求不变。若不变，增大，则必须增大，故D正确。 故选AD。 22．（多选）如图所示，在平面直角坐标系内，第一象限中存在沿轴正方向的匀强电场，第四象限中以为直径的半圆形区域内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。一质量为、带电荷量为的电子从轴上纵坐标处的点以速度垂直于轴射入电场，经轴上横坐标处的点进入磁场，最后沿垂直于轴的方向射出磁场，不计电子重力。下列说法正确的是（　　） A．电子进入磁场时的速度方向与轴正方向夹角为 B．电场强度大小为 C．电子在磁场中运动的轨迹半径为 D．电子从进入电场到离开磁场经历的总时间为 【答案】BD 【详解】AB．取轴正方向为正。电子在电场中受电场力方向沿轴负方向，故其加速度方向沿轴负方向。由牛顿第二定律得 电子在方向做匀速运动，运动时间为 由沿轴方向的匀变速直线运动规律得 联立解得 电子到达点时，其沿轴方向的速度为 故电子进入磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为，故A错误，B正确； CD．电子进入磁场时的速率为 由洛伦兹力提供向心力得 解得 电子在磁场中受力指向左下方，圆心位于点左下方。由射出方向水平可知，电子在磁场中转过的圆心角为，运动时间为，故C错误，D正确。 故选BD。 23．（多选）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，半径为的圆形磁场区域Ⅱ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、D三点在同一直线上。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为、磁感应强度大小为，区域Ⅱ中磁感应强度大小为，它们在区域Ⅱ中运动的时间为，速度偏转角为，半径为，且，若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为，速度偏转角为，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为，则 B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为，则 C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则 D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则 【答案】BD 【详解】粒子在区域Ⅰ中做直线运动，电场力与洛伦兹力平衡 解得，只有满足该速度的粒子才能进入区域Ⅱ。 粒子进入区域Ⅱ后，洛伦兹力提供向心力 解得 周期，运动时间，已知圆半径，结合几何关系，圆心角 A．仅将区域Ⅰ中磁感应强度变为，则，区域Ⅱ中半径 圆心角，半径变小，轨迹偏折更明显，周期不变，故，故A错误； B．仅将区域Ⅰ中电场强度变为，则，区域Ⅱ中半径 圆心角，半径变大，轨迹偏折更平缓，即，故B正确； C．仅将区域Ⅱ中磁感应强度变为，则周期，半径 圆心角，运动时间，故C错误； D．仅将区域Ⅱ中磁感应强度变为，则周期，半径 圆心角，运动时间，而，则，故D正确。 故选BD。 24．（多选）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。则下列说法正确的是（   ） A．粒子带负电 B．磁感应强度的大小为 C．电场强度的大小 D．若粒子从a点以竖直向下发射，粒子第一次经过电、磁场分界线到第三次经过电磁场分界线经历的时间为 【答案】BD 【详解】A．粒子在磁场中向下偏转，所以粒子带正电，故A错误； B．根据题意，粒子的运动轨迹如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 解得，故B正确； C．带电粒子在电场中做斜抛运动，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间为 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 联立解得，故C错误； D．若粒子从a点以竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为，粒子在磁场中运动的半径仍为2h，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角 根据C选项，粒子在电场中的运动时间为 带电粒子在磁场中的运动时间为 则有，故D正确。 故选BD。 25．（多选）如图所示，在坐标平面的内有匀强电场区域I和匀强磁场区域II，区域I以抛物线（值未知）为边界，电场强度为，沿轴负方向。区域II在第四象限，磁场垂直坐标平面向外。位于区域I左侧的线性质子源，可将速度大小为的质子流沿轴正方向射入区域I内。所有质子经匀强电场偏转后均能从坐标原点进入区域II。除场区外其他区域均为真空，不考虑场区边界效应和质子的重力，下列说法正确的是（     ） A． B． C．质子从不同的位置离开区域II D．所有质子从同一点离开区域II 【答案】AD 【详解】AB．质子在区域I中做类平抛运动。设质子射入点的横坐标大小为（即坐标为），纵坐标为。水平方向做匀速直线运动，有 竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 位移 联立解得 已知区域I边界方程为 对比系数可知，故A正确，B错误。 CD．质子到达原点O时，设速度大小为，方向与x轴正方向夹角为。水平分速度，则 质子进入区域II后，由左手定则可知洛伦兹力指向左下方，质子做顺时针匀速圆周运动。洛伦兹力提供向心力，有 解得轨道半径 由几何关系可知，质子从y轴负半轴离开磁场区域，离开点与原点O的距离为 代入数据得 该距离为定值，与质子的入射位置无关，即所有质子从同一点离开区域II，故C错误，D正确。 故选AD。 26．跑道式回旋加速器的工作原理如图所示，真空中存在两个足够宽的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里，竖向虚线为磁场边界，两边界相距为L。P、Q、K为磁场边界上的三个点，Q、K的竖直高度。在两个磁场区域的底部存在一个匀强电场（两条横向虚线之间的区域宽度忽略不计），电场强度为E，方向水平向右。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从P点静止释放经电场加速后，从Q点进入区域Ⅱ的磁场，此后，多次经过磁场偏转和电场加速后，粒子从K点飞出。不计带电粒子的重力，忽略电、磁场的边界效应。求： (1)第一次加速后粒子在磁场中的运动半径。 (2)粒子从P点飘出到从K点射出整个过程中，在电场中加速运动的次数n。 (3)粒子从P点飘出到从K点射出的总时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中加速时只受电场力，由动能定理 解得 在磁场中做匀速圆周运动，由 解得 （2）粒子在电场中加速n次，有 n次加速后进入磁场，则 粒子运动的最大半径为=4L 联立解得 （3）粒子在加速电场中的加速度 在加速电场中运动的路程为 得到粒子在电场中运动的时间 粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 粒子由II区域进入I区域匀速运动的时间为 粒子运动的总时间 27．如图所示：在xOy平面第一象限内存在相邻的匀强电场区域和匀强磁场区域，两场区域宽度均为d，匀强电场沿y轴负方向，电场强度的大小为，而磁场方向垂直纸面向里，一带正电粒子从y轴上的A点以速度v0沿垂直电场方向进入电场，在电场力的作用下发生偏转，然后从C点离开电场进入磁场，当粒子从磁场的右边界D点（C、D两点图中未标出）穿出磁场时速度方向与进入电场A点时的速度方向一致，（带电粒子重力不计）求： (1)粒子在电场中运动的时间； (2)粒子在电场中的加速度大小； (3)粒子飞出电场时的速度大小及速度与x轴方向的夹角； (4)求粒子在磁场中运动的半径； (5)求匀强磁场的磁感应强度大小； (6)粒子从进入电场到出磁场运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3)， (4) (5) (6) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，可知在水平方向做匀速直线运动，则有 解得 （2）粒子在电场中运动，只受电场力作用，根据牛顿第二定律有 又电场强度的大小为 联立解得 （3）粒子飞出电场时竖直方向的速度大小为 故粒子飞出电场时的速度大小 设速度与x轴方向的夹角为，则有 解得 （4）粒子进入磁场后，做匀速圆周运动，则作出粒子在磁场中运动轨迹，如图所示 根据几何关系可得 （5）粒子在磁场做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （6）粒子在磁场中的周期为 根据几何关系，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为 则粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间 粒子从进入电场到出磁场运动的总时间 28．如图所示，在直角坐标系内，有一函数方程为的虚线。一质量为，电荷量为的粒子从原点沿轴正方向以初速度射出，为使该粒子能到达点（，），可通过在虚线上方或下方的整个空间内加适当的“场”来实现。忽略粒子的重力。 (1)若仅在虚线上方加垂直于纸面的匀强磁场，使该粒子能沿轴正方向到达点。求： ①所加磁场的方向及磁感应强度大小； ②粒子从原点运动到点的时间。 (2)若在虚线上方加垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小，为使该粒子到达点，在虚线下方加平行于轴的匀强电场，求电场强度的大小。 【答案】(1)①磁场方向垂直于纸面向外，；② (2) 【详解】（1）①题意可知正电粒子起初向右偏转，若所加磁感应强度为磁场，左手定则可知方向垂直于纸面向外，由于该磁场为单直线边界磁场，因此粒子进、出磁场时速度方向与虚线夹角均为，即出磁场时粒子速度方向沿x轴正方向，故粒子轨迹如图 几何关系 根据 联立解得 ②粒子在磁场中扫过的圆心角为，则粒子在磁场中运动时间 粒子出磁场后做匀速直线运动，则匀速运动时间 粒子从原点运动到点的时间 （2）若在虚线上方加垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小，则粒子在磁场中的轨迹圆半径 由于该磁场为单直线边界磁场，因此出磁场时粒子速度方向沿x轴正方向，由于粒子要达到P点，因此在虚线下方需加平行于轴且向上的匀强电场，粒子轨迹如图 粒子进入电场后做类抛体运动，则有， 联立解得 29．图甲所示的CT扫描机，其部分工作原理如图乙所示：M、N之间是加速电场，虚线框内存在垂直纸面的匀强磁场；电子从静止开始经加速电场后，垂直进入偏转磁场，最后打在靶上的P点。已知加速电压为U，磁场的宽度为d，电子的质量为m、电荷量为e，电子离开磁场时的速度偏转角为θ=45°。求： (1)电子离开电场时的速度大小； (2)磁感应强度的大小和方向； (3)电子在偏转磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2)，磁感应强度方向垂直纸面向里 (3) 【详解】（1）电子加速过程，由动能定理−0        解得 （2）电子轨迹如图 由几何关系sin       电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有       联立解得    根据图乙可知，电子进磁场时受到的洛伦兹力方向向下，根据左手定则可知，磁感应强度方向垂直纸面向里。 （3）电子在匀强磁场中做匀速圆周运动周期               电子在偏转磁场中运动的时间       联立解得 30．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内的区域内存在垂直于纸面的匀强磁场或与y轴平行的匀强电场，其中区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小未知），区域存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场（磁感应强度大小未知），区域存在初始方向沿y轴正方向的匀强电场，粒子每离开电场一次，电场的方向就反向一次，电场强度大小不变。一质量为m、电荷量为的带电粒子从点以初速度沿y轴正方向射出，在左侧匀强磁场偏转后，速度方向改变了143°，然后第一次进入电场，经电场偏转后，沿与电场右边界垂直的方向射出电场进入右侧匀强磁场。不计重力，已知，。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求粒子第一次射出电场位置的纵坐标； (3)为了使粒子最终能从点射出场区，求磁感应强度大小的可能值。 【答案】(1) (2) (3)，， 【详解】（1）粒子在第一象限左侧匀强磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为，由题意可知粒子离开磁场时速度方向改变了，即粒子在磁场中运动的圆心角为，根据几何关系可知粒子出磁场时的横坐标为 由于粒子离开磁场后第一次进入电场，故其出磁场的横坐标必定为2L，则有 解得 根据牛顿第二定律有 解得 （2）粒子第一次离开磁场进入电场时，其位置纵坐标为 解得 粒子离开磁场时速度在轴和轴的分量分别为和 粒子进入电场后沿轴正方向做匀速直线运动，设电场宽度为，在电场中运动的时间为，分别有， 粒子沿与电场右边界垂直的方向射出电场，此时方向速度减小为零，粒子沿轴正方向做匀减速直线运动，设出电场位置的纵坐标为，则有 联立解得 （3）粒子进入右侧匀强磁场时速度大小为 设在右侧磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有 粒子在右侧磁场中偏转半圈后再次进入电场，由于电场方向反向，粒子在电场中的运动与第一次进入电场时对称，两次穿过电场的过程中纵坐标共减少 粒子在右侧磁场中纵坐标增加，射出电场时再次进入左侧磁场。设粒子第次重新进入左侧磁场时的纵坐标为，根据位置关系有 解得 粒子每次在左侧磁场中做圆周运动时，由几何关系可知其圆心在入射点上方处，轨迹最低点在入射点下方处，为保证粒子不从轴边界射出，需满足 解得 粒子在左侧磁场中完成一次大圆弧偏转后再次回到电场，由几何关系可知纵坐标增加量为 此后粒子的运动具有周期性，每完成一次完整周期纵坐标的增加量为 解得 要使粒子最终从点射出场区，由几何关系可知该点必为粒子在左侧磁场中圆周运动轨迹的最高点，对应的圆心纵坐标为，设粒子在第次重新进入左侧磁场时满足此条件，此时入射点的纵坐标为 根据周期性关系有 联立解得 结合的条件可知只能取、、。 当时，联立解得 当时，联立解得 当时，联立解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训36 隐形磁场及拼接场 参考答案 题号 2 6 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 AD AD A C B C C BC CD ABD 题号 21 22 23 24 25 答案 AD BD BD BD AD 模拟·基础演练 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）磁场方向垂直纸面向里，负电荷所受洛伦兹力初始方向向下，故粒子在磁场中沿向下弯曲的圆弧运动。粒子进入电场后所受电场力方向向右，沿竖直方向的速度分量不变，沿水平方向的速度增大，轨迹逐渐向右弯曲。 （2）洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，进入电场后所受电场力方向向右，电场力做正功。 由动能定理得 代入数据得 2．AD 【详解】AC．设带电粒子进入磁场时速度方向与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 可得 进入磁场时的速度大小为 当加速电压最小时，带电粒子的运动轨迹恰好与收集板相切，切点左侧收集不到粒子，设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得，故A正确，C错误； B．设带电粒子经加速电场加速后的速度为，根据动能定理得 在偏转电场中做类平抛运动，水平方向有 垂直于金属板方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得，故B错误； D．带电粒子在磁场中做圆周运动的周期 带电粒子的运动轨迹恰好与收集板相切时，此时运动轨迹对应的圆心角最大，为，此时在磁场中运动的时间最长，为 当半径无限大时，带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为，在磁场中运动的最短时间 带电粒子在磁场中的运动时间范围为，所以带电粒子在磁场中运动的时间可能为，故D正确。 故选AD。 3．(1) (2)；粒子在P点的速度与x轴正方向成45°角 (3) 【详解】（1）粒子在第一象限中做类平抛运动，沿y轴方向有， 由牛顿第二定律得 代入数据解得 则的长度， 代入数据解得 （2）粒子运动到P点时，沿y轴方向的分速度为 粒子速度大小， 代入数据解得 设速度方向与x轴正方向成角，则有， 解得故粒子在P点的速度与x轴正方向成45°角 （3）若粒子能够再次穿过x轴，磁场区域最窄时，轨迹与相切，如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 代入数据解得 几何关系可得 代入数据解得 则磁场区域的最小宽度 4．(1) (2) 【详解】（1）粒子从P到Q有， 解得 粒子从P到Q，由动能定理得 解得 设粒子经过点的速度方向与x轴的夹角为，则 解得 粒子在第四象限做匀速圆周运动 解得 过点Q作速度方向的垂线，交y轴于N，如图 由几何知识可知 则粒子在第四象限做匀速圆周运动半个周期，M点与N点重合，粒子从点到点的时间 故粒子从点P到点的时间 （2）粒子在第三象限做匀速圆周运动恰好与y轴相切，如图 由几何知识可知 设粒子在第三象限做匀速圆周运动的半径为，则 解得 由 解得 要使粒子能进入第二象限，应满足的条件为 5．(1)（-2L，0）， (2)， 【详解】（1）根据题意，粒子在第三象限电场中做类平抛运动，进入第二象限后做匀速直线运动，进入第一象限磁场后做匀速圆周运动。 粒子在电场中运动时，竖直方向满足 水平方向满足x=v0t 由于出电场时速度方向与x轴夹角为45°，有 解得x=2L。 因此S点的横坐标为xs=-（4L-x）=-2L，即S点坐标为（-2L，0）。 由上述分析可知，粒子在电场中的加速度 结合Eq=ma，解得电场强度 （2）根据几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的半径，进入磁场时的速度 由洛伦兹力提供向心力 解得磁感应强度 粒子在磁场中转过的角度为 则时间为 6．AD 【详解】AB．图甲中粒子的运动轨迹如左图所示，入射点和出射点的距离为 可知入射点和出射点的距离与有关，增大，距离增大，故A正确，B错误； C．图乙中粒子的运动轨迹如右图所示，入射点和出射点的距离为 增大，增大，减小，入射点和出射点的距离减小，故C错误； D．增大，增大，入射点和出射点的距离增大，故D正确。 故选AD。 7．(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，对电子1有，电场力大小，， 则由动能定理有 代入数据解得 （2）由（1）可知，电子1在进入磁场，且速度方向沿轴正方向，根据题意又有其离开磁场时的坐标为，根据几何学分析可得其圆周运动的圆心为，则其圆周运动半径 圆周运动过程中，洛伦兹力提供向心力，则有 由题意又有 代入数据解得 （3）根据题意，对电子2有，电场力大小，， 则易得其离开电场时的速度大小，坐标为 之后电子2做匀速直线运动，直至进入磁场，根据几何学知识易得其进入磁场的坐标为 圆周运动过程中，洛伦兹力提供向心力，则有 代入数据解得 于是电子1和电子2会发生磁聚焦现象，因此电子2离开磁场时的坐标为，且速度 根据几何学知识可求得速度的方向指向右下，与轴的夹角 将其速度在坐标系下进行分解可得， 则在轴方向上有，在轴方向上有 根据电场力公式及牛顿第二定律易得 代入数据解得 因此电子2打到屏上的位置为 8．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设粒子从虚线上的任一点由静止释放，到达轴时速度大小为。电场力做功，由动能定理得 粒子以水平向左的速度进入磁场Ⅰ，所受洛伦兹力方向向下。粒子从入射点运动到点，入射点和点为圆轨迹一条竖直直径的两端，故轨迹半径满足 由洛伦兹力提供向心力得，结合上述半径关系可得 虚线上点的纵坐标最大，故粒子从点释放时经过点的速度最大，最大速度为 （2）沿用小问1中同一粒子在磁场Ⅰ内的推导，且和均未改变。将题给代入小问1的动能定理方程，并结合此前速度与的关系，整理得 因此虚线的轨迹方程为 由端点和可得取值范围为 （3）将点横坐标代入虚线的轨迹方程，得 沿用小问1已推导的速度关系，且磁场Ⅰ的条件不变，点释放的粒子经过点时速度大小为 粒子从点沿轴正方向进入电场。沿轴负方向应用牛顿第二定律，有，代入题给场强可得 粒子从轴运动到电场与磁场Ⅱ的分界线，沿轴负方向的位移满足 解得 水平方向做匀速直线运动，故到达分界线时坐标为 所以粒子进入磁场Ⅱ时的位置坐标为。 （4）仍设粒子在虚线上的释放点纵坐标为。沿用小问1的推导，粒子从点进入第四象限时的水平速度为 电场及分界线位置不变，故由小问3的推导可知粒子在电场中的运动时间仍为。粒子进入磁场Ⅱ的位置为 粒子进入磁场Ⅱ时，水平速度大小和竖直速度大小分别为和。 设此时速度方向与轴正方向的夹角为，则和。在磁场Ⅱ中，洛伦兹力提供向心力，有 由此解得轨迹半径 圆心相对点的水平向左距离为 圆心相对点的竖直向下距离为 因此圆心坐标满足和。 粒子到达收集板时速度沿圆轨迹的切线方向。由于所有粒子均垂直到达收集板，碰板处的半径均沿收集板方向，故收集板就是各圆轨迹的圆心轨迹。下图表示粒子在磁场Ⅱ中的圆心、轨迹与收集板的几何关系。 消去，得收集板所在直线的方程为 9．(1)或 (2) 【详解】（1）若粒子打在线段上，则 由洛伦兹力提供向心力 得 若粒子刚好打到点，由几何关系得 得 若不打在挡板上，则 由 得 故的取值范围为或 （2）粒子运动轨迹如图： 由 得 由几何关系得 得 三角形中 得速度所在直线与轴的夹角 则粒子在第一位象限做斜抛运动，在方向上，由牛顿第二定律 由运动学公式 得 在方向上， 故该粒子第一次进入第四象限时与坐标原点O的距离为 10．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有 由牛顿第二定律有 联立解得 （2）设粒子进入磁场时的速度大小为v0，则 由于粒子进入磁场时的速度方向垂直PQ，经磁场PQE偏转后刚好能垂直经过QE，可知粒子在磁场PQE中的运动轨迹的圆心为Q，如图示 由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 由题意知，由几何关系有 磁场区域PQFE的面积 解得 （3）设粒子离开磁场的位置为G点，由几何关系有， 由余弦定理有 联立解得 11．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子沿 方向由点射入，洛伦兹力提供向心力，粒子从圆形磁场右端 点沿 方向射出，由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为。 由 得 （2）粒子进入电场时速度沿 方向，水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为初速度为零、加速度大小为 的匀加速直线运动。 由 点到达 ，水平方向有 ，竖直方向有 将 代入，得， （3）若速度大小仍为 ，粒子在磁场中圆周运动半径仍为 。 设粒子轨迹圆圆心为 ，圆形磁场圆心为 ，第二次交边界点为 ，进入电场左边界点为 。 由 可知四边形为菱形，粒子离开磁场时速度沿方向，轨迹对应圆心角为。 磁场中圆周运动周期为 ，故磁场内运动时间 从 到匀速直线运动，水平距离为，时间 在电场中竖直位移大小为 ，由 得 故总时间 12．(1) (2) 【详解】（1）根据题意，带正电荷的粒子的运动轨迹如图所示 设正电荷在磁场中运动的轨道半径为，由图可得 解得 正电荷在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得正电荷的比荷为 （2）设正电荷到达点时的速度大小为，粒子在电场中竖直方向不受力，做匀速直线运动，故到达点时的速度（竖直方向）等于进入电场时的竖直分速度，有 设正电荷进入电场后经过时间运动到点，则有 由几何知识结合匀变速曲线运动可得 解得 又 正电荷从第一次经过竖直线CD到运动至点的过程中，根据动能定理有 联立解得 13．A 【详解】A．粒子在加速电场中加速，根据动能定理有 解得 粒子在静电分析器中偏转，根据牛顿第二定律有 联立解得，故A正确； B．从P点进入磁场的粒子动量为 粒子的电荷量相同，但质量不同，所以动量不相等，故B错误； C．粒子在磁分析器中，根据牛顿第二定律有 解得 故粒子打到胶片上的点与P点的距离为 可知比荷越小，越大，故C错误； D．设加速电场两板间的距离为，则粒子在加速电场中有 解得 粒子在静电分析器中做匀速圆周运动，偏转个周期后进入磁场，则运动的时间为 粒子进入磁场偏转半个周期后打在PQ上面，则运动的时间为 故打到胶片上粒子运动总时间为 因粒子的质量不相同，故打到胶片上粒子运动总时间也不相同，故D错误。 故选A。 14．C 【详解】根据题意可知，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且转了周，在内，粒子在电场中向下做减速运动到速度为零，在内，粒子在电场中向上做加速运动到速度为v，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，转了周，粒子回到极板中线，速度平行于极板中线，接下来粒子周期性地重复以上运动，粒子在一个运动周期内的轨迹如图所示 A．粒子一个运动周期为 故粒子射出极板的时刻可能为 当时，故A正确，不符合题意； B．粒子在磁场中，设粒子的轨迹半径为r，则有 解得 粒子在电场向下减速的位移为 故极板间距应满足，故B正确，不符合题意； C．极板长度可能为，故C错误，符合题意； D．粒子在磁场中，有 解得 粒子在电场中，有 解得 可得，故D正确，不符合题意； 本题选择错误选项，故选C。 15．B 【详解】因为电子在电场和磁场中沿水平方向做匀速直线运动，所以时间之比为 电子在电场中加速 电子在磁场中运动的轨迹为螺旋线，水平速度均相同，圆周运动的周期也相同，磁场的磁感应强度从零开始缓慢增大到时，电子刚好在磁场中运动一个周期，荧光屏上的光斑的亮度最大，则应满足 联立解得，故选B。 重难·创新演练 16．C 【详解】A．由于离子进入磁场中向右偏转，即离子受到向右的洛伦兹力，根据左手定则可知，两离子均带正电，故A错误； C．设离子进入磁场的速度为v，在电场中有 在磁场中 联立解得 由图可知 两离子电荷量相同，所以a离子质量比b离子的小，故C正确； B．在磁场中运动的时间均为半个周期，即 由于a离子的质量小于b离子的质量，故a离子在磁场中运动的时间较短，故B错误； D．离子在磁场中的运动的速度为 a离子的质量小，则a离子的速度大，故D错误。 故选C。 17．C 【详解】AC．由题意可得， 可得 仅增大励磁线圈中的电流，磁感应强度B变大，则运动径迹的半径变小；仅升高电子枪加速电场的电压U，运动径迹的半径变大，故A错误，C正确； BD．由， 可得电子的周期为 电子周期与电子枪加速电场的电压无关，且仅增大励磁线圈中的电流，电子运动的周期将变小，故BD错误。 故选C。 18．BC 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，若粒子从NP中点射入磁场，则， 解得，故A正确，不符合题意； B．粒子从NP中点射出时，有 速度，故B错误，符合题意； C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，轨迹如图 则 粒子从电场中射出时的速度 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则 则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为 解得，故C错误，符合题意； D．当粒子在磁场中有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N点进入磁场，此时竖直最大速度， 出离电场的最大速度 由 可得最大半径，故D正确，不符合题意。 故选BC。 19．CD 【详解】A．由图甲可知，电子经加速后向左运动，由图乙可知，电子向左飞出后做顺时针方向的圆周运动，则根据左手定则，可判断磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误； BC．电子在加速电场中加速，由动能定理有 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有 由周期和线速度的关系有 联立可得， 可知在图乙的基础上仅增大加速电压U，粒子运动半径增大；仅增大磁感应强度，粒子运动半径减小，而由图乙到图丙，电子的运动半径减小，故B错误，C正确； D．由可知，电子在磁场中运动的周期与U无关，与B有关。若仅改变电压，图乙与图丙中电子运动一周的时间相等；若仅改变磁感应强度，图乙与图丙中电子运动一周的时间不相等，故D正确。 故选CD。 20．ABD 【详解】A．电子从D点水平向右进入磁场，若要能向下方偏转打到AB板，电子受到的洛伦兹力需向下。根据左手定则（电子带负电，四指指向速度反方向），可判断磁场方向应为垂直纸面向里，故A正确； B． 电子在磁场中做圆周运动的周期为 ​。打到AD板上的电子，运动轨迹为完整的半圆，运动时间均为半个周期：​，与速度无关，故B正确； C．电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 可得​，电场中加速过程，根据动能定理 联立可得 电子刚好打到A点时，轨迹直径为，即 对应最小加速电压 电子轨迹刚好与BC边相切时，由几何关系可知，即最大允许半径​ 对应最大加速电压 综上，加速电压U的取值范围为，故C错误； D．设打在AB板上与A点距离为a的电子在磁场中的轨迹半径为，由几何关系知 可得 根据洛伦兹力提供向心力 可得电子在磁场中的速度 电子打到AB板上时速度在竖直方向上的分量 对电子竖直方向应用动量定理 代入得 ​，根据牛顿第三定律，电子对板的竖直方向作用力大小等于该值，故D正确。 故选 ABD。 21．AD 【详解】AB．磁场垂直纸面向外，粒子在磁场中从到的偏转方向可由左手定则判断。磁感线穿入手心，四指指向正电荷运动方向，大拇指指向受力方向。图中粒子向右偏转，结合轨迹可知粒子带正电；粒子在静电分析器中做匀速圆周运动，向心力由电场力提供。正电荷受力向内，故电场方向由指向。沿电场线方向电势降低，所以，即电势低于，故A正确，B错误； C．加速电场中 得 静电分析器中电场力提供向心力 得 磁场中轨道半径，由 得 故，故C错误； D．由，粒子从射出要求不变。若不变，增大，则必须增大，故D正确。 故选AD。 22．BD 【详解】AB．取轴正方向为正。电子在电场中受电场力方向沿轴负方向，故其加速度方向沿轴负方向。由牛顿第二定律得 电子在方向做匀速运动，运动时间为 由沿轴方向的匀变速直线运动规律得 联立解得 电子到达点时，其沿轴方向的速度为 故电子进入磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为，故A错误，B正确； CD．电子进入磁场时的速率为 由洛伦兹力提供向心力得 解得 电子在磁场中受力指向左下方，圆心位于点左下方。由射出方向水平可知，电子在磁场中转过的圆心角为，运动时间为，故C错误，D正确。 故选BD。 23．BD 【详解】粒子在区域Ⅰ中做直线运动，电场力与洛伦兹力平衡 解得，只有满足该速度的粒子才能进入区域Ⅱ。 粒子进入区域Ⅱ后，洛伦兹力提供向心力 解得 周期，运动时间，已知圆半径，结合几何关系，圆心角 A．仅将区域Ⅰ中磁感应强度变为，则，区域Ⅱ中半径 圆心角，半径变小，轨迹偏折更明显，周期不变，故，故A错误； B．仅将区域Ⅰ中电场强度变为，则，区域Ⅱ中半径 圆心角，半径变大，轨迹偏折更平缓，即，故B正确； C．仅将区域Ⅱ中磁感应强度变为，则周期，半径 圆心角，运动时间，故C错误； D．仅将区域Ⅱ中磁感应强度变为，则周期，半径 圆心角，运动时间，而，则，故D正确。 故选BD。 24．BD 【详解】A．粒子在磁场中向下偏转，所以粒子带正电，故A错误； B．根据题意，粒子的运动轨迹如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 解得，故B正确； C．带电粒子在电场中做斜抛运动，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间为 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 联立解得，故C错误； D．若粒子从a点以竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为，粒子在磁场中运动的半径仍为2h，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角 根据C选项，粒子在电场中的运动时间为 带电粒子在磁场中的运动时间为 则有，故D正确。 故选BD。 25．AD 【详解】AB．质子在区域I中做类平抛运动。设质子射入点的横坐标大小为（即坐标为），纵坐标为。水平方向做匀速直线运动，有 竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 位移 联立解得 已知区域I边界方程为 对比系数可知，故A正确，B错误。 CD．质子到达原点O时，设速度大小为，方向与x轴正方向夹角为。水平分速度，则 质子进入区域II后，由左手定则可知洛伦兹力指向左下方，质子做顺时针匀速圆周运动。洛伦兹力提供向心力，有 解得轨道半径 由几何关系可知，质子从y轴负半轴离开磁场区域，离开点与原点O的距离为 代入数据得 该距离为定值，与质子的入射位置无关，即所有质子从同一点离开区域II，故C错误，D正确。 故选AD。 26．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中加速时只受电场力，由动能定理 解得 在磁场中做匀速圆周运动，由 解得 （2）粒子在电场中加速n次，有 n次加速后进入磁场，则 粒子运动的最大半径为=4L 联立解得 （3）粒子在加速电场中的加速度 在加速电场中运动的路程为 得到粒子在电场中运动的时间 粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 粒子由II区域进入I区域匀速运动的时间为 粒子运动的总时间 27．(1) (2) (3)， (4) (5) (6) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，可知在水平方向做匀速直线运动，则有 解得 （2）粒子在电场中运动，只受电场力作用，根据牛顿第二定律有 又电场强度的大小为 联立解得 （3）粒子飞出电场时竖直方向的速度大小为 故粒子飞出电场时的速度大小 设速度与x轴方向的夹角为，则有 解得 （4）粒子进入磁场后，做匀速圆周运动，则作出粒子在磁场中运动轨迹，如图所示 根据几何关系可得 （5）粒子在磁场做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （6）粒子在磁场中的周期为 根据几何关系，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为 则粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间 粒子从进入电场到出磁场运动的总时间 28．(1)①磁场方向垂直于纸面向外，；② (2) 【详解】（1）①题意可知正电粒子起初向右偏转，若所加磁感应强度为磁场，左手定则可知方向垂直于纸面向外，由于该磁场为单直线边界磁场，因此粒子进、出磁场时速度方向与虚线夹角均为，即出磁场时粒子速度方向沿x轴正方向，故粒子轨迹如图 几何关系 根据 联立解得 ②粒子在磁场中扫过的圆心角为，则粒子在磁场中运动时间 粒子出磁场后做匀速直线运动，则匀速运动时间 粒子从原点运动到点的时间 （2）若在虚线上方加垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小，则粒子在磁场中的轨迹圆半径 由于该磁场为单直线边界磁场，因此出磁场时粒子速度方向沿x轴正方向，由于粒子要达到P点，因此在虚线下方需加平行于轴且向上的匀强电场，粒子轨迹如图 粒子进入电场后做类抛体运动，则有， 联立解得 29．(1) (2)，磁感应强度方向垂直纸面向里 (3) 【详解】（1）电子加速过程，由动能定理−0        解得 （2）电子轨迹如图 由几何关系sin       电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有       联立解得    根据图乙可知，电子进磁场时受到的洛伦兹力方向向下，根据左手定则可知，磁感应强度方向垂直纸面向里。 （3）电子在匀强磁场中做匀速圆周运动周期               电子在偏转磁场中运动的时间       联立解得 30．(1) (2) (3)，， 【详解】（1）粒子在第一象限左侧匀强磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为，由题意可知粒子离开磁场时速度方向改变了，即粒子在磁场中运动的圆心角为，根据几何关系可知粒子出磁场时的横坐标为 由于粒子离开磁场后第一次进入电场，故其出磁场的横坐标必定为2L，则有 解得 根据牛顿第二定律有 解得 （2）粒子第一次离开磁场进入电场时，其位置纵坐标为 解得 粒子离开磁场时速度在轴和轴的分量分别为和 粒子进入电场后沿轴正方向做匀速直线运动，设电场宽度为，在电场中运动的时间为，分别有， 粒子沿与电场右边界垂直的方向射出电场，此时方向速度减小为零，粒子沿轴正方向做匀减速直线运动，设出电场位置的纵坐标为，则有 联立解得 （3）粒子进入右侧匀强磁场时速度大小为 设在右侧磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有 粒子在右侧磁场中偏转半圈后再次进入电场，由于电场方向反向，粒子在电场中的运动与第一次进入电场时对称，两次穿过电场的过程中纵坐标共减少 粒子在右侧磁场中纵坐标增加，射出电场时再次进入左侧磁场。设粒子第次重新进入左侧磁场时的纵坐标为，根据位置关系有 解得 粒子每次在左侧磁场中做圆周运动时，由几何关系可知其圆心在入射点上方处，轨迹最低点在入射点下方处，为保证粒子不从轴边界射出，需满足 解得 粒子在左侧磁场中完成一次大圆弧偏转后再次回到电场，由几何关系可知纵坐标增加量为 此后粒子的运动具有周期性，每完成一次完整周期纵坐标的增加量为 解得 要使粒子最终从点射出场区，由几何关系可知该点必为粒子在左侧磁场中圆周运动轨迹的最高点，对应的圆心纵坐标为，设粒子在第次重新进入左侧磁场时满足此条件，此时入射点的纵坐标为 根据周期性关系有 联立解得 结合的条件可知只能取、、。 当时，联立解得 当时，联立解得 当时，联立解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $