精品解析：湖北枣阳市第一中学2026-2027学年高三上学期9月学情诊断测评数学试卷

2027届高三年级九月学情诊断测评 数学学科试卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，共40分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 4. 已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则x，y，z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间单调递增 C. 是奇函数 D. 在上的值域为 10. 已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围是 11. 已知，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知函数，则的定义域是________；的最小值是_______. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 14. 已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是______；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式，并求使成立的的取值范围； （2）若将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，设函数，求在上的值域． 16. 已知数列满足，且对任意，都有． （1）求数列的通项； （2）设，若，求满足条件的最大整数． 17. 记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． （1）若为的角平分线，，，求的面积； （2）若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 18. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为11，求实数的值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三年级九月学情诊断测评 数学学科试卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，共40分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，从而求得对应点所在象限. 【详解】，对应点，在第一象限. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助指数函数的单调性与绝对值的性质可得集合，借助对数函数定义域计算可得集合，即可得，再利用交集定义即可得解. 【详解】由题意知， ，故， 所以． 故选：A． 3. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式． 【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 4. 已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知模长等式平方求得与的数量积关系，再计算目标两向量的数量积为0，即可判断夹角为直角. 【详解】已知，则，展开得，整理得. . 由于不共线，因此夹角为. 5. 已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将乙中的分式不等式化为二次不等式求解，再由必要不充分条件得到集合的包含关系，结合数轴求参数范围即可. 【详解】甲：，设此范围对应集合； 由， 则乙：， 设此范围对应集合， 若甲是乙的必要不充分条件，则，其中必不成立； 则，所以. 故选：A. 6. 已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用累加法，结合等比数列前项和公式分析即可. 【详解】当时，由， 则， ， ， ， ， ， 累加得：， 即， 因为，所以 ， 当时，满足题意，故数列的通项公式为：. 7. 已知，，，则x，y，z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导判断单调性可比较，利用中间值可判断最小. 【详解】构造函数，由换底公式，， 所以， 再令，， 当时，，单调递增， 所以当时，，即在有， 所以在上单调递减， 又，， 由对数函数的单调性得，， 所以，所以. 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间单调递增 C. 是奇函数 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用最小正周期公式即可判断A；求出的单调递增区间，因为是单调递增区间的子区间，可判断B；求出的解析式，根据奇函数的概念即可判断C；当，，求出函数在的值域，再求的值域即可判断D. 【详解】对于A，最小正周期，故A正确； 对于B，令，解得， 所以函数的单调递增区间为 令，所以函数在上单调递增， 又， 所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C，， 令，， 和不恒相等，故函数不是奇函数，故C错误； 对于D，当，， 根据函数的周期性，函数在上值域即为在上的值域， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以在上的值域为， 即在上的值域为， 所以函数在上的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，令得； B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性； C选项，赋值得到； D选项，根据C选项，由求得，，变形得到，结合在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，令得，∴，A正确； B选项，任选，且，中，令，得， 因为当时，，又，所以， 故， 所以在定义域上单调递增，B正确； C选项，中，令得， 故， 故，C错误； D选项，因为，所以，中，令得， ∵，∴， 由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确. 故选：ABD 11. 已知，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数的运算法则化简可得到，再令 ，经计算可得到，通过代换化简可判断选项A，B，C，对于D利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由对数的运算法则可得：， 所以：， 所以：， 令 ， ，则 ， ，且 ， 得：，即：， 令 （因为 )，则：，， 由于 ，得：， 解得：， 又因为，故 . 于是：. 选项 A：假设A选项正确， 即：，代入得：，由 得：， 即，，而，当时，，两者不相等，故A错误； 选项 B：，，由 ， ， 所以 ，故 B 正确； 选项 C：由，，得： 计算：， ， ， 所以，故 C 正确； 选项 D：令 ，则 ，， 由基本不等式得：. 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为.故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知函数，则的定义域是________；的最小值是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，化简，令，得到，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得 令， 因为，当且仅当时，即时，即时取等号， 所以，所以，所以函数的最小值为. 故答案为：；. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构建函数，易得函数为奇函数，分析的单调性，由此可解不等式. 【详解】因为对，，且，都有，即， 即. 令， 所以对，，且， 所以，所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 所以对，， 且， 所以函数为定义在上的奇函数. 所以函数在上单调递增. 又，所以，所以. 所以当时，； 当时，. 因此不等式的解集为. 14. 已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是______；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由函数有四个零点得到函数与的图形有四个交点，由图可知，由四个零点从左至右为，得到和，从中计算出的值及，解出，代入，利用对勾函数求解即可得解. 【详解】函数有四个零点， 表示与有四个交点，由图可知， ， ， ，， ，，， 在单调递增， 所以. 故答案为：，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式，并求使成立的的取值范围； （2）若将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，设函数，求在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示得到解析式，再由两角和的正弦公式化简，根据函数的对称性求出，即可得到函数解析式，最后由正弦函数的性质解不等式即可； （2）首先求出解析式，即可得到解析式，利用三角恒等变换公式化简，最后由余弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意可得， 又函数的图象关于直线对称，所以， 解得，，，， 令，即，即，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 将的图象先向左平移个单位得到， 将所有点的横坐标变为原来的2倍得到， 即， 又，所以 ， 因为，所以，所以， 所以，所以在上的值域为. 16. 已知数列满足，且对任意，都有． （1）求数列的通项； （2）设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算性质化简递推式得到数列相邻两项比值，通过累乘法求出通项，再验证的情况得到数列的通项公式； （2）先对裂项相消求出前项和，再解关于的不等式，结合正整数条件求出的最大值. 【小问1详解】 当时，， 可得， 所以， 则， 当时，符合上式， 故，． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 则，解得，又因为，所以的最大值为． 17. 记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． （1）若为的角平分线，，，求的面积； （2）若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线将三角形面积分割为两个小三角形面积之和，建立与的关系，再结合余弦定理建立方程组消去，解出后直接代入面积公式即可； （2）利用中线向量公式将表示为的函数，结合余弦定理和正弦定理消去，转化为关于角的三角函数；再由锐角三角形条件确定角的范围，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 因为是的角平分线，所以． 因为，所以． 因为， 所以，化简得． 又因为，由余弦定理得，所以． 所以，解得． 所以的面积为． 【小问2详解】 由余弦定理，得，即． 因为为边的中线，所以． 所以． 由正弦定理，得， 所以． 所以 ． 因为为锐角三角形，， 所以，解得． 所以． 所以． 所以，即． 18. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为11，求实数的值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值. （2）利用换元法，结合函数的单调性、二次函数的性质来求得的值. （3）根据复合函数的单调性、恒成立、存在性等知识来求得的取值范围. 【小问1详解】 因为是上的奇函数，所以， 即，整理得， 所以，， 所以，检验可知符合题意， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，，所以． 令，因为函数在区间上单调递增，所以， 则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，， 解得． 当，即时，， 解得，无解． 综上所述，实数的值为． 【小问3详解】 由题知， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，有最小值． 由（2）知当时，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递减， 所以函数在时单调递减，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 判断函数奇偶性时，依据奇函数或偶函数的定义，通过等式变形求出参数值，注意要进行检验. 解决函数恒成立和存在性问题时，常将其转化为函数最值问题，对于复合函数单调性的判断，根据内外层函数 “同增异减” 的原则进行分析. 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即得函数的零点情况. 【小问1详解】 当时，函数， 又，则. 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，的定义域为， 显然恒成立， ①若，则，此时在上单调递减； ②若，令，解得. 当时，，当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 若，由（2）知，至多有一个零点； 若，由（2）知，当时，取得最小值为. 设，则， 故在上单调递增，又. （i）当时，，故此时没有两个零点； （ii）当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则 故，即，又易知 则，即 因此在上也有一个零点. 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $