精品解析：湖北武汉市第十一中学2027届高三上学期九月月考数学试题

武汉十一中2027届高三数学九月月考试卷 一、单选题（40分） 1. 若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 7. 若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 15 二、多选题（18分） 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10. 已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，直线的倾斜角为或 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 11. 某数学兴趣小组的同学在探究“双”函数的图象和性质时，发现该函数的图象是双曲线，且存在实数，使得对恒成立．据此，下面的结论成立的是（ ） A. 实数的最大值为 B. 该双曲线的离心率为 C. 该双曲线的一个顶点是 D. 该双曲线的焦距为 三、填空题（15分） 12. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为__________. 13. 已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为______． 14. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点．若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为________． 四、解答题(77分) 15. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． （1）求抛物线的方程； （2）求△的面积． 16. 已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，， （1）若，中点的纵坐标为，求直线的方程； （2）若弦长，求的值. 17. 已知曲线，D为直线上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点； （2）若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形的面积． 18. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 19. 已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知． （1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； （3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉十一中2027届高三数学九月月考试卷 一、单选题（40分） 1. 若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线及双曲线的焦点，再由给定条件求出椭圆方程. 【详解】抛物线的焦点为，双曲线的焦点为， 依题意，椭圆过点，其焦点为， 则，所以所求椭圆方程为. 2. 若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件， 故选：D. 3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 4. 已知动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 【答案】A 【解析】 【分析】化简成,再根据点到点的距离与点到直线的距离公式分析几何意义求解即可. 【详解】,表示点到的距离等于到直线 的距离,因为在直线,故的轨迹为过且与直线垂直的直线上. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据距离公式分析轨迹问题的方法等,属于基础题型. 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内切圆的性质以及椭圆的定义，即可求出本题答案. 【详解】设，内切圆半径为， ，即， 所以，即， 又，. 故选：B. 6. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 7. 若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得的中点与的中点重合，设此点为，则，求出当面积最大时的长，结合此时列出不等式，解出，得出答案. 【详解】因为，则的中点与的中点重合，设此点为， 则 当，即，时，取最大值， 令，，， , 由,得， 由，得， . 故选：C． 8. 已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆、双曲线的定义，确定，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论． 【详解】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上 由双曲线的定义①， 由椭圆的定义②， 又，即，所以，即， 故③， ①②得④， 将④代入③得， ， 当且仅当，即时取等号； 故选：C 二、多选题（18分） 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 10. 已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，直线的倾斜角为或 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到. 【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为， 由抛物线定义得，A正确； B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线，联立，得， 设，由于，则 由韦达定理得， 故，解得， 故直线的斜率为，倾斜角不为或，B错误； C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点， 由抛物线定义得，故， 要想求得的最小值，则过点作垂直于直线于点， 故的最小值为，最小值为，C错误； D选项，由题意得，由于，故， ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11. 某数学兴趣小组的同学在探究“双”函数的图象和性质时，发现该函数的图象是双曲线，且存在实数，使得对恒成立．据此，下面的结论成立的是（ ） A. 实数的最大值为 B. 该双曲线的离心率为 C. 该双曲线的一个顶点是 D. 该双曲线的焦距为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分离参数，结合二次函数性质可得参数范围，即可得双曲线渐近线，进而可得双曲线的几何性质，判断各选项. 【详解】 由，恒成立，即，则， 又当时，，所以，A选项正确； 双曲线的一条渐近线为，倾斜角为， 另一条渐近线为， 则两条渐近线的夹角为， 设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为， 则， 则双曲线离心率，B选项正确； 双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角分线， 即倾斜角为，即， 联立，解得，或， 所以双曲线的顶点为，，C选项错误； 则，即， 则，即焦距为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题（15分） 12. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点在抛物线上求出抛物线的标准方程，进而可求准线方程. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，所以抛物线的方程为，即， 所以，则，所以抛物线的准线方程为， 故答案为: . 13. 已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的定义求解、的长，再结合余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式求解即可. 【详解】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得 所以，， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 故， 因此的面积为， 解得． 故答案为：. 14. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点．若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明双曲线焦点三角形内切圆圆心与对应顶点坐标的关系，再利用正切的和角公式及同角三角函数基本关系计算的正弦，利用正弦定理即可求出结果. 【详解】先补充一个结论：在双曲线中，点是右支上一点，则焦点三角形的内切圆圆心在过右顶点且与轴垂直的直线上，即． 证明：如图所示，不妨设的内切圆圆心为，对应切点依次，右顶点A， 根据切线长定理知：， 由双曲线定义可知， 又，则重合，即内切圆圆心C的横坐标为. 下面解决本题：如图，设内切圆圆心为，连接，记，， 由点的横坐标为3可得，又4，可得， 则，， 则． 于是，则，则， 设外接圆的半径为，则． 故答案为： 四、解答题(77分) 15. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． （1）求抛物线的方程； （2）求△的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式结合的横坐标可求解出的值，由此可求抛物线的方程； （2）先求解出，再计算出到的距离，结合三角形面积公式可求结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 16. 已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，， （1）若，中点的纵坐标为，求直线的方程； （2）若弦长，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立椭圆方程并根据纵坐标可得，求出直线的方程； （2）利用弦长公式计算求得直线的方程，可得. 【小问1详解】 根据题意可设直线的方程为， 设的中点为，如下图所示： 联立，整理可得， 易知，解得或， 且，由，中点的纵坐标为，可得， 解得或（舍）， 因此直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可得； 又弦长，可得， 整理可得， 解得，即，满足题意， 因此直线的方程为，即， 可得. 17. 已知曲线，D为直线上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点； （2）若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形的面积． 【答案】（1）设，， 设切线的方程为， 代入抛物线方程，得，整理得， 所以，化简得， 所以，所以，解得， 所以切线的斜率为，所以切线的方程为， 又切线过点，所以， 整理得点满足， 同理可得点满足， 所以直线的方程为，所以直线过定点 （2）四边形的面积为3或 【解析】 【分析】（1）设，，设切线的方程为，联立方程求得点，点满足的方程，进而可得直线的方程，可求直线AB过定点； （2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得，设分别为点到直线的距离，利用求得面积，进而根据切点为线段AB的中点，求得，可求得四边形的面积． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）得直线的方程为， 由，得， 所以， 设分别为点到直线的距离， 则，， 所以四边形的面积为 ， 设为的中点，则， 由于，又与向量共线， 所以，解得或， 当时，；当时，. 所以四边形的面积为3或. 18. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程. （2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围. 【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：. （2）[方法一]：通式通法 设，，， 所以直线，由题设可得且. 由可得，故， 因为，故，故. 又，由可得， 同理， 由可得， 所以， 整理得到， 故， 令，则且， 故， 故即， 解得或或. 故直线在轴上的截距的范围为或或. [方法二]：利用焦点弦性质 设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且． 由得，所以． 因为， ，． 由得． 同理． 由得． 因为， 所以即． 故． 令，则． 所以，解得或或． 故直线在x轴上的截距的范围为． [方法三]【最优解】： 设， 由三点共线得，即． 所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为． 设直线的方程为， 则． 所以． 故（其中）． 所以． 因此直线在x轴上的截距为． 【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标. 方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 19. 已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知． （1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； （3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 【答案】（1）是 （2） （3） 法—：由（2）可得，则椭圆方程为， 由题意：设且， 则，则直线：，则， 则直线，则， 若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，∴设则，且, ∴，， 则，解得， 所以得定点． 法二：椭圆方程：，设， 则， 所以，， 若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上， ∴设，则，又，， 所以， ∵，解得， 所以得定点. 【解析】 【分析】（1）设，计算，根据二次函数的性质得到答案； （2）由（1）的方法判断，可得时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负是否满足条件得出的取值范围； （3）法一：设，则，计算直线方程得到，，根据得到答案.法二：设，计算直线方程得到，，再根据得到答案. 【小问1详解】 由题意得椭圆方程为，所以， 设，则 ， 二次函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减， 所以时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点， ∴椭圆是“圆椭圆”； 【小问2详解】 因为椭圆方程为，，设，， 则，， 由题意得，当且仅当时，函数值达到最大， ①当开口向上时，满足（与矛盾，舍去）； ②当开口向下时，满足， 综上可得的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：处理定点问题的三个常用策略： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点； （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点； （3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $