湖北襄阳市枣阳市第一中学2025-2026学年高三上学期2月月考数学试题

枣阳一中2023级高三2月月考数学试题（参考答案） 1.【答案】C 【解析】解：由题意，，，则．故选：． 2.【答案】 【解析】， 所以，得． 3.【答案】 【解析】连接，交于点，连接， 由正方体的性质知，平面，因为平面，所以， 又，且，C、平面， 所以平面，所以即为直线和平面所成角， 在中，，因为，所以，即直线和平面所成角为．根据线面垂直的判定定理可证平面，从而知即为所求． 4.【答案】 【解析】数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列， 数据共个，中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为，由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即，得，解得. 5.【答案】 【解析】因为等比数列的首项为，公比为，所以， 所以， 要使，则需，解得，所以当时的最小值是． 由题和等差数列的通项公式求出，再由指数的运算和等差数列的求和公式求，再解不等式即可． 本题考查等比数列的通项公式，等差数列的最值求解． 6.【答案】 【解析】，， ，，． 7.【答案】 【解析】由且，得， 则， 故．因为， 又，故．因在上，设，由向量共线定理得， 结合，推导得，故，，则． 8.【答案】 【解析】根据题意，设切点为，进而求出的导数，可得切线的斜率，从而得出，再由切点也在切线方程上，并化简得出，从而得出，通过构造函数并利用导数研究函数的单调性和最值，从而可求出的最大值． 解：设直线与曲线相切于点，，， 可得切线的斜率为，则，即， 又切点也在直线上，则， ， ，设，， ，当时，，单调递增 当时，，单调递减．的最大值为，即的最大值为． 9.【答案】 【解析】：函数的最小正周期为；：函数的最小正周期为，且在区间上单调递增；：函数的最小正周期为，且在区间上单调递增； ：函数的最小正周期为，但在区间上不单调． 10.【答案】 【解析】：设随机变量服从正态分布， 若，则曲线关于对称，则，故A正确； ：甲、乙、丙、丁个人到个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去， 则不同的安排方法有种，故B错误； ：， 令，可得， 令，可得，即可得，即，故C正确； ：，两边取对数得到，故，的值分别是和，故D正确． 11.【答案】 【解析】双曲线：的焦点，，渐近线方程为，以为直径的圆与曲线及曲线的一条渐近线分别交于点，，得， 设，由，解得，． ，，又，则，， 由勾股定理得，即，曲线的离心率为，故A正确； ，，不妨令，则， 即，整理得，曲线的离心率为，故B正确； ，，则， 解得，曲线的离心率为，故C错误； ，，而，解得，， 又，即，曲线的离心率为，故D正确． 求出双曲线渐近线方程，由已知求出点的坐标，再结合双曲线定义，列式求出离心率． 12.【答案】 【解析】如图所示正四棱台中，是高，连接，设，垂足为， 显然 ， 所以该正四棱台的高为  ， 正四棱台的体积 ． 13.【答案】 【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式． 两轮活动猜对个成语，相当于事件“甲猜对个，乙猜对个”、事件“甲猜对个，乙猜对个”的和事件发生，根据独立事件概率求法． 解：设  分别表示甲两轮猜对个，个成语的事件，  分别表示乙两轮猜对个，个成语的事件根据独立事件的性质，可得， ，设“两轮活动星队猜对个成语”， 则  ，且  与  互斥，  与  ，  与  分别相互独立， 所以   ， 因此，“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率是  ． 14.【答案】 【解析】由题可知直线的斜率存在，故可设过点的直线的方程为， 即．联立抛物线方程，得：， 设，的横坐标为，，故由韦达定理得：，， 对于函数，其导数，在处切线斜率为，切线方程为，即，故抛物线在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为，联立两切线方程：， 解得交点的横坐标为，代入切线方程得纵坐标为． 因此，点坐标为．消去参数得的轨迹方程为，即． 圆的圆心为，半径．圆心到直线的距离， 直线与圆相离，故到圆的最小距离为圆心到直线距离减去圆半径：． 设为，，的横坐标为，与抛物线方程联立求出，利用导数求出抛物线在点和处的切线方程，联立两条切线方程求出的横坐标和纵坐标，消去参数得到的轨迹方程，再利用几何关系即可求解． 15.【答案】    【解析】解：由及正弦定理，得， 所以，所以， 因为，所以，即，又因为，所以； 因为平分，所以，即， 由面积相等得，解得，所以， 由余弦定理得，所以． 16.【答案】证明：，即， ，，，， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列； 解：由可得，则， 时，，满足；，， ， ， 当为奇数时，；当为偶数时，， 因为对任意正整数恒成立，，的取值范围为  17.【答案】证明：取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，如图，四边形为正方形，，， 、分别为、的中点，，， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面，平面，，、平面， 平面平面，平面平面，平面平面，， 为中点，为中点，四边形为正方形，，为的中点， 为的中点，，平面，平面，平面 四边形为正方形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，设点，其中， 则，， ，则，，， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，得， ，， 当且仅当时，等号成立，的最大值为； 当取到最大值时，，，则点， 设四棱锥的外接球球心为，由，得： ，解得，，， 四棱锥的外接球半径为， 四棱锥的外接球体积为． 取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，推导出平面平面，利用面面平行的性质得到，可得出为的中点，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理能证明平面； 推导出平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的最大值； 由题意得出，设外接球球心为，根据，结合空间中两点间的距离公式得出关于，，的方程组，解出这三个未知数的值，即可求出外接球的半径，结合球体体积公式能求出当取到最大值时，四棱锥的外接球体积． 18.【答案】解：由题意可得，解得，所以的方程为； 依题意画出图像：设直线的方程为， 因为点在第二象限，所以，即，设，， 联立直线与椭圆方程，得， 当时，， 则，， 因为点是的中点，所以，结合解得， 代入，解得舍去， 所以直线的方程为，即； 证明：根据题意画出图像为： 由中，可得，， 由题意可得，，且由可知， 直线的方程为，所以直线过定点． 19.【答案】解：，， 设，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值，极小值为： 无极大值； 函数，定义域为， “存在单调减区间”即存在使得， 即由于时，，两边除以该式不等号方向不变，得： 设， 故在时单调递减，所以，因此，实数的取值范围是； 即，整理得：， 设，则，记，则， 在上单调递增，因为，， 根据零点存在定理知，存在唯一，有，即， 且在上有在上有由知， 在上有在上有 即有在上单调递增，在上单调递减，  对于两边取对数得， 函数在上单调递增，有，即， ，即．于是有，即的范围是 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣阳一中2023级高三2月月考数学试题（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，集合，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意，，， 则． 故选：． 分别化简集合，，利用交集的定义求解． 本题考查集合的运算，属于基础题． 2.已知复数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， 所以， 得． 故选C． 3.在正方体中，直线和平面所成角为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：连接，交于点，连接， 由正方体的性质知，平面， 因为平面，所以， 又，且，C、平面， 所以平面， 所以即为直线和平面所成角， 在中，， 因为，所以，即直线和平面所成角为． 故选：． 连接，交于点，连接，根据线面垂直的判定定理可证平面，从而知即为所求，再由三角函数的知识，得解． 本题考查线面夹角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理，找到线面角是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题． 4.一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列， 数据共个，中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为， 由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即， 得， 解得， 故选A． 5.已知等比数列的首项为，公比为，数列的前项积为，则当时的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为等比数列的首项为，公比为， 所以， 所以， 要使，则需，解得， 所以当时的最小值是． 故选：． 由题和等差数列的通项公式求出，再由指数的运算和等差数列的求和公式求，再解不等式即可． 本题考查等比数列的通项公式，等差数列的最值求解，属于基础题． 6.若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了二倍角正弦、余弦、正切公式，属于中档题． 利用二倍角的正弦、余弦、正切公式化简即可． 【解答】 解：， ， ， ， ． 故选：． 7.在中，已知，，点在边上且若，则   (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由且，得， 则， 故． 因为， 又，故． 因在上，设，由向量共线定理得， 结合，推导得，故，， 则． 故选：． 8.若直线与曲线相切，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值，属于中档题． 根据题意，设切点为，进而求出的导数，可得切线的斜率，从而得出，再由切点也在切线方程上，并化简得出，从而得出，通过构造函数并利用导数研究函数的单调性和最值，从而可求出的最大值． 【解答】 解：设直线与曲线相切于点， ，， 可得切线的斜率为，则，即， 又切点也在直线上，则， ， ， 设，， ， 当时，，单调递增 当时，，单调递减． 的最大值为，即的最大值为． 故选B． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】解：：函数的最小正周期为，不符合题意； ：函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，符合题意； ：函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，符合题意； ：函数的最小正周期为，但在区间上不单调，不符合题意． 故选：． 根据三角函数的性质即可求解． 本题考查了三角函数的性质，属于基础题． 10.下列有关说法正确的是(    ) A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁个人到个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性回归方程，则，的值分别是和 【答案】ACD  【解析】解：对于：设随机变量服从正态分布， 若，则曲线关于对称，则，故A正确； 对于：甲、乙、丙、丁个人到个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去， 则不同的安排方法有种，故B错误； 对于：， 令，可得， 令，可得， 即可得， 即，故C正确； 对于：，两边取对数得到， 故，的值分别是和，故D正确． 故选：． 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与曲线及曲线的一条渐近线分别交于点，，则下列说法正确的是(    ) A. 当时，曲线的离心率为 B. 当时，曲线的离心率为 C. 当时，曲线的离心率为 D. 当时，曲线的离心率为 【答案】ABD  【解析】解：双曲线：的焦点，，渐近线方程为， 以为直径的圆与曲线及曲线的一条渐近线分别交于点，，得， 设，由，解得，． 对于，，又，则，， 由勾股定理得，即，曲线的离心率为，故A正确； 对于，，不妨令，则， 即，整理得，曲线的离心率为，故B正确； 对于，，则， 解得，曲线的离心率为，故C错误； 对于，，而， 解得，， 又，即， 曲线的离心率为，故D正确． 故选：． 求出双曲线渐近线方程，由已知求出点的坐标，再结合双曲线定义，逐项列式求出离心率并判断得解． 本题考查双曲线的定义与几何性质，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其体积为          。 【答案】  【解析】解：如图所示正四棱台中，   是高，连接   ，设   ，垂足为   ， 显然 ， 所以该正四棱台的高为  ， 正四棱台的体积  ． 故答案为： 13.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，属于中档题． 两轮活动猜对个成语，相当于事件“甲猜对个，乙猜对个”、事件“甲猜对个，乙猜对个”的和事件发生，根据独立事件概率求法，即可得解． 【解答】 解：设  分别表示甲两轮猜对个，个成语的事件，  分别表示乙两轮猜对个，个成语的事件 根据独立事件的性质，可得 ， ， 设“两轮活动星队猜对个成语”， 则  ，且  与  互斥，  与  ，  与  分别相互独立， 所以   ， 因此，“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率是  ． 故答案为： ． 14.过点的直线与抛物线：交于两点，，点，处的切线交于点，则点到圆的距离的最小值是        ． 【答案】  【解析】解：由题可知直线的斜率存在， 故可设过点的直线的方程为，即． 联立抛物线方程，得：， 设，的横坐标为，，故由韦达定理得：，， 对于函数，其导数，在处切线斜率为， 切线方程为，即， 故抛物线在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 联立两切线方程：， 解得交点的横坐标为， 代入切线方程得纵坐标为． 因此，点坐标为． 消去参数得的轨迹方程为，即． 圆的圆心为，半径． 圆心到直线的距离， 直线与圆相离， 故到圆的最小距离为圆心到直线距离减去圆半径：． 故答案为：． 设为，，的横坐标为，与抛物线方程联立求出，利用导数求出抛物线在点和处的切线方程， 联立两条切线方程求出的横坐标和纵坐标，消去参数得到的轨迹方程，再利用几何关系即可求解．． 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题． 四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角，，的对边分别为、，，且． 求； 若为边上一点，，，平分，求． 【答案】    【解析】解：由及正弦定理， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 即， 又因为，所以； 因为平分，所以，即， 由面积相等得， 解得，所以， 由余弦定理得，所以． 根据正弦定理即可求解； 根据余弦定理即可求解． 本题考查了解三角形，三角恒等变换，属于中档题． 16.本小题分 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，． 证明：是等差数列； 设，数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】证明：， 即， ， ，，， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列； 解：由可得，则， 时，，满足； ，， ， ， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 因为对任意正整数恒成立，， 的取值范围为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在上，点为的中点，且平面． 求证：平面； 若平面平面，且，，记平面与平面的夹角为． 求的最大值； 当取到最大值时，求四棱锥的外接球体积． 【答案】取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，如图， 四边形为正方形，，， 、分别为、的中点，，， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，，、平面， 平面平面， 平面平面，平面平面， ， 为中点，为中点， 四边形为正方形，，为的中点， 为的中点，， 平面，平面， 平面  ；  【解析】解：证明：取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，如图， 四边形为正方形，，， 、分别为、的中点，，， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，，、平面， 平面平面， 平面平面，平面平面， ， 为中点，为中点， 四边形为正方形，，为的中点， 为的中点，， 平面，平面， 平面． 四边形为正方形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 设点，其中， 则，， ，则， ，， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 则，取，得， ，， 当且仅当时，等号成立， 的最大值为； 当取到最大值时，，，则点， 设四棱锥的外接球球心为， 由，得： ， 解得，，， 四棱锥的外接球半径为， 四棱锥的外接球体积为． 取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，推导出平面平面，利用面面平行的性质得到，可得出为的中点，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理能证明平面； 推导出平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的最大值； 由题意得出，设外接球球心为，根据，结合空间中两点间的距离公式得出关于，，的方程组，解出这三个未知数的值，即可求出外接球的半径，结合球体体积公式能求出当取到最大值时，四棱锥的外接球体积． 本题考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质、中位线定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18.本小题分 已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点． 求的方程； 若是的中点，求直线的方程； 过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点． 【答案】解：由题意可得，解得， 所以的方程为； 依题意画出图像为： 设直线的方程为， 因为点在第二象限，所以，即， 设，， 联立直线与椭圆方程，得， 当时，， 则，， 因为点是的中点，所以，结合解得， 代入，解得舍去， 所以直线的方程为，即； 证明：根据题意画出图像为： 由中，可得，， 由题意可得，，且由可知， 直线的方程为 ， 所以直线过定点．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 设函数， 试求函数的极值 若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围 若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：， ， 设， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值， 极小值为： 无极大值； 函数，定义域为， “存在单调减区间”即存在使得， 即 由于时，，两边除以该式不等号方向不变，得： 设， 故在时单调递减，所以， 因此，实数的取值范围是； 即，整理得：， 设，则， 记，则， 在上单调递增， 因为，，根据零点存在定理知， 存在唯一，有，即， 且在上有在上有由知， 在上有在上有 即有在上单调递增，在上单调递减，   对于两边取对数得， 函数在上单调递增，有，即， ，即． 于是有，即的范围是  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣阳一中2023级高三2月月考数学试题（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，集合，则(    ) A. B. C. D. 2.已知复数，则(    ) A. B. C. D. 3.在正方体中，直线和平面所成角为(    ) A. B. C. D. 4.一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知等比数列的首项为，公比为，数列的前项积为，则当时的最小值是(    ) A. B. C. D. 6.若，则(    ) A. B. C. D. 7.在中，已知，，点在边上且若，则   (    ) A. B. C. D. 8.若直线与曲线相切，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是(    ) A. B. C. D. 10.下列有关说法正确的是(    ) A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁个人到个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性回归方程，则，的值分别是和 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与曲线及曲线的一条渐近线分别交于点，，则下列说法正确的是(    ) A. 当时，曲线的离心率为 B. 当时，曲线的离心率为 C. 当时，曲线的离心率为 D. 当时，曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其体积为          。 13.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为          ． 14.过点的直线与抛物线：交于两点，，点，处的切线交于点，则点到圆的距离的最小值是        ． 四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角，，的对边分别为、，，且． 求；若为边上一点，，，平分，求． 16.本小题分 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，． 证明：是等差数列； 设，数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在上，点为的中点，且平面． 求证：平面； 若平面平面，且，，记平面与平面的夹角为． 求的最大值； 当取到最大值时，求四棱锥的外接球体积． 18.本小题分 已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点． 求的方程；若是的中点，求直线的方程； 过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点． 19.本小题分 设函数， 试求函数的极值 若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围 若在上恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $