第15章轴对称 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册《轴对称》单元卷，覆盖轴对称图形识别、等腰三角形性质等核心知识，通过新能源汽车图标、衣架设计等生活情境及动点问题，考查空间观念与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别（如新能源汽车图标）、等腰三角形三线合一|结合地域真题改编，注重基础概念辨析| |填空题|5/15|对称点坐标、线段垂直平分线性质|动态问题（如等边三角形运动时间）考查分类讨论| |解答题|8/75|尺规作图（路灯位置确定）、最短路径（将军饮马模型）、阅读材料探究边与角关系|突出几何直观与推理能力，体现数学应用意识|

第15章 轴对称 测试题 2026—2027学年 八年级数学上册 满分120分，考试时间120分钟 命题依据：人教版2024版（2026版）八年级上册第15章《轴对称》 一、选择题（1–10题，每题3分，共30分） 1．下列新能源汽车品牌图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2．（2026 改编·天津） 在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D。则下列结论中错误的是（　　） A．AD⊥BC　　B．BD=DC　　C．∠BAD=∠CAD　　D．AD=BD 3．（2026 四川眉山） 在△ABC中，分别以点A、B为圆心，大于½AB的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE交BC于点F，连接AF。若∠B=30°，∠C=50°，则∠BAF的度数为（　　） A．30°　　B．50°　　C．60°　　D．80° 4．（2026 改编·陕西） 在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE。若AC=12，BC=7，则△BCE的周长为（　　） A．17　　B．19　　C．21　　D．24 5．如图，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线a，b上，且a∥b，若∠α=40°，则∠β的大小为（ ） A. 95° B. 100° C.105° D. 110° 6．下列条件中，能判定△ABC为等边三角形的是（　　） A．有两个角相等　　B．有一个角为60°的等腰三角形 C．AB=AC　　D．有两边相等 7．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆（O为衣架的固定点）：如图②，若衣架收拢时，，则此时A，B两点之间的距离是（ ） 图① 图② A. B. C. D. 8．如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤：以为圆心，为半径画弧①； 步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤：连结，交的延长线于点． 下列叙述正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 9．如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10．如图，在等边三角形ABC中，AB=AC=BC=10cm，DC=4cm．如果点M、N都以3cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（11–15题，每题3分，共15分） 11．若点与关于y轴对称，则_____． 12．如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于．若，则_______． 13. 如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为______． 14．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中共有________个等腰三角形． 15．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ________． 三、解答题（16–23题，共75分） 16．（8分）在平面直角坐标系中，A（1，2）、B（3，1）、C（－2，－1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△； （2）写出△ABC关于x轴对称△的各顶点坐标（ ），（ ），（ ）； （3）求 △ABC的面积． 17．（8分）（2026 改编·福建） 已知△ABC为等边三角形，点D在边BC上，点E在边AC上，且BD=CE。求证：AD=BE。 18．（8分）如图，已知∠BAC=60°，∠B=80°，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于点E． （1）求∠BAD的度数； （2）若AB=10,BC=12,求△ABD的周长. 19．（9分）已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． （1）说明：BE=CF； （2）若AF=6，△ABC周长为20，求BC的长． 20．（8分）如图，校园有两条路和，在交叉口附近有两块宣传牌、，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你画出灯柱的位置（保留作图痕迹）． 21．（8分）一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个三角形其余两边的长是多少？ 小红是这样解的：底边长为．设腰长为． 则，解得． 所以这个三角形其余两边的长均为． 你认为小红的解法对吗？如果不对，请你给出正确的解法． 22．（11分） 课题学习——最短路径（将军饮马模型简化） 图 22　将军饮马：作 B 关于河岸 l 的对称点 B′，A→P→B 为最短路径 村庄A、B位于笔直河道l的同侧。要在河边l上建一个水泵站P，使输水管道总长PA+PB最短。 （1）用轴对称方法说明如何确定P的位置，并简要证明； （2）若A到l的距离为3 km，B到l的距离也为3 km，A、B在l上的垂足之间距离为8 km，且已知点B关于l的对称点B′与点A的距离AB′=10 km，则PA+PB的最小值为______ km； （3）若改为A、B在l的异侧，且AB=10 km，则水泵站P应建在______，此时PA+PB的最小值为______ km。 23．（15分）阅读下面材料并完成相应学习任务： 利用轴对称研究边与角之间的数量关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则． ∵（依据1） ∴ ∴． 这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小． 类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小． 如图2，在中，如果，那么可以将沿折叠，使点B与点C重合，则， ∴（依据2） 在中，（依据3） ∴，即． 归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系． 任务一：上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？ 依据1：___________； 依据2：___________； 依据3：___________． 任务二： （1）如图3，在中，若，请直接写出之间的等量关系___________； （2）如图4，中，于点D，．求证：． 答案与解析 1．【答案】B 【考查知识点】轴对称图形的识别（15.1）。 【解题步骤】沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。蔚来图标关于中间竖直直线左右对称，是轴对称图形；智己（斜线与圆点错位）、理想（斜切平行四边形）、零跑（不规则箭头）均找不到对称轴。 【易错说明】判断时不能只凭"大致对称"的直觉，要看折叠后能否完全重合；智己的斜线方向与圆点位置都破坏了对称性。 2．【答案】D 【考查知识点】等腰三角形"三线合一"（15.3）。 【解题步骤】AB=AC且AD平分顶角∠BAC，由三线合一得AD⊥BC、BD=DC、∠BAD=∠CAD，故A、B、C均正确；AD=BD只在∠B=45°等特殊情形下偶然成立，不恒成立，故选D。 【易错说明】"三线合一"针对的是等腰三角形底边上的高、中线与顶角平分线，不能随意推广到其他线段。 3．【答案】A 【考查知识点】线段垂直平分线的作法与性质（15.1）。 【解题步骤】由尺规作图可知直线DE是AB的垂直平分线，点F在DE上，所以FA=FB，△ABF为等腰三角形，∠BAF=∠ABF=∠B=30°（与∠C=50°无关）。 【易错说明】看到∠C=50°就往∠BAF中"凑"是常见错误；垂直平分线上的点与线段两端等距，从而构造出等腰三角形。 4．【答案】B 【考查知识点】线段垂直平分线的性质与周长转化（15.1）。 【解题步骤】点E在AB的垂直平分线上，所以EA=EB。△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=7+12=19。 【易错说明】周长转化时把EA=EB用反；关键是用EA替换BE，使CE+EA恰好拼成整条AC。 5．【答案】B 【考查知识点】平行线的性质与等边三角形的角度计算（15.3）。 【解题步骤】∠α是直线a与AB所成的角。∵∠BAC=60°，∴直线a与AC所成的角=∠α+∠BAC=40°+60°=100°。∵a∥b，由两直线平行、同位角相等，∠β=100°。 【易错说明】平行线之间"错开"的角要借助第三条边AC（或延长BC构造拐点）传递；注意∠β与直线b所夹的是哪一部分角。 6．【答案】B 【考查知识点】等边三角形的判定（15.3）。 【解题步骤】A：有两个角相等只能判定等腰三角形；C、D：两边相等或有一角为60°的普通三角形不一定等边；B：等腰三角形中有一个角是60°，无论它是顶角还是底角，三个角都是60°，必为等边三角形。 【易错说明】"有一个角是60°"必须搭配"等腰"才能判定等边三角形；漏掉等腰前提是高频错误。 7．【答案】B 【考查知识点】等边三角形的判定与性质（15.3）。 【解题步骤】衣架杆OA=OB=16cm，收拢时∠AOB=60°。由"两边相等且夹角为60°"可知△AOB是等边三角形，所以AB=OA=16cm。 【易错说明】勾股定理只适用于直角三角形，本题夹角是60°不是90°，应从等边三角形入手，别硬套勾股定理。 8．【答案】D 【考查知识点】尺规作图（等半径画弧）与线段垂直平分线的判定（15.1）。 【解题步骤】由作图步骤：CD=CB（弧①半径），AD=AB（弧②半径），即点A、C到线段BD两端距离相等，所以直线AC是BD的垂直平分线，垂足E为BD的中点，BE=DE。A、B、C均无法由已知条件推出。 【易错说明】到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，找到两个这样的点才能确定这条直线；据此可直接锁定中点结论。 9．【答案】D 【考查知识点】尺规作图痕迹的识别（垂直平分线与角平分线）及综合计算（15.1、15.3）。 【解题步骤】由痕迹可知：MN是BC的垂直平分线（E为BC中点，QE⊥BC），APQ平分∠BAC（交BC于F，两线交于Q）。∠B=180°−80°−70°=30°。A：∠BAQ=½∠BAC=40°，正确；B：Rt△BDE中∠B=30°，所以DE=½BD，正确；C：∠CAF=40°，∠AFC=180°−70°−40°=70°=∠C，所以AF=AC，正确；D：QF与BC所成的角=∠AFC=70°，而QE⊥BC，所以∠EQF=90°−70°=20°≠25°，错误。故选D。 【易错说明】先"翻译"作图痕迹（哪条是垂直平分线、哪条是角平分线），再逐项验证；∠EQF要用两条线的位置关系求出具体度数再比较。 10．【答案】D 【考查知识点】等边三角形中的动点问题与直角三角形的分类讨论（15.3）。 【解题步骤】设运动时间为t秒，则BN=3t，BM=10−3t，∠B=60°。①若∠BNM=90°，则BM是斜边，BN=½BM，即3t=½(10−3t)，解得t=10/9；②若∠BMN=90°，则BN是斜边，BM=½BN，即10−3t=½×3t，解得t=20/9。两个解都在运动时间范围（0≤t≤10/3）内，故t=10/9或20/9。 【易错说明】直角顶点位置不确定时必须分类讨论；求出的时间还要检验是否在运动范围内，超范围的解要舍去。 11．【答案】3 【考查知识点】关于y轴对称的点的坐标特征（15.2）。 【解题步骤】关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相等。所以a−2=−1，得a=1；b+1=3，得b=2。故a+b=3。 【易错说明】关于y轴对称是"横变号、纵不变"，不要与关于x轴对称（纵变号、横不变）混淆。 12．【答案】5 【考查知识点】线段垂直平分线的性质与直角三角形中30°角的性质（15.1、15.3）。 【解题步骤】DE垂直平分AB，所以DA=DB=10，∠DAB=∠B。∠B=90°−∠A=15°，所以∠DAB=15°，∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=∠DAB+∠B=30°。在Rt△ACD中，∠ADC=30°，所以AC=½AD=5cm。 【易错说明】先由垂直平分线构造等腰三角形转化角度，再抓住"30°角所对的直角边等于斜边的一半"，注意AC是对着30°角的直角边。 13．【答案】3 【考查知识点】轴对称的性质与周长转化（15.1）。 【解题步骤】P₁与P关于OA对称，OA是对称轴，M在OA上，所以MP₁=MP；同理NP₂=NP。因此P₁P₂=P₁M+MN+NP₂=PM+MN+PN=△PMN的周长=3cm。 【易错说明】对称轴上的点到两个对应点的距离相等；折线P₁—M—N—P₂恰好"拉直"为线段P₁P₂，周长即转化为P₁P₂的长。 14．【答案】5 【考查知识点】等腰三角形的判定与角平分线、分类计数（15.3）。 【解题步骤】AB=AC，∠A=36°，则∠ABC=∠C=(180°−36°)÷2=72°。BD平分∠ABC，则∠ABD=∠DBC=36°。共5个等腰三角形：①△ABC（AB=AC）；②△ABD（∠A=∠ABD=36°，AD=BD）；③△BCD（∠BDC=180°−36°−72°=72°=∠C，BD=BC）；④△BDE（BE=BC=BD，顶角∠DBE=36°，两底角均为72°）；⑤△ADE（∠AED=180°−72°=108°，∠ADE=180°−36°−108°=36°=∠A，AE=DE）。 【易错说明】计数时要按"从整体到局部"的顺序逐个三角形检验，防止遗漏△ADE或把△BDE与△BCD混淆；每个三角形都要用角度（或边）说明判定依据。 15．【答案】(1013，−1) 【考查知识点】平面直角坐标系中的变换规律（平移与轴对称）（15.2）。 【解题步骤】"0"变换：横坐标加1；"1"变换：纵坐标变为相反数。"0101……01"共2025次变换中，"0"出现在第1、3、5、…、2025次，共1013次；"1"出现在第2、4、…、2024次，共1012次。所以横坐标=0+1013=1013；纵坐标经过1012次关于x轴的对称，变换次数为偶数，恢复原值−1。故A₂₀₂₅(1013，−1)。 【易错说明】先数清两种变换各出现多少次，再看对称变换次数的奇偶；单次"1"变换会改变纵坐标符号，成对出现才复原。 16．【答案】（1）图略；（2）A₂(1，−2)，B₂(3，−1)，C₂(−2，1)；（3） 【考查知识点】画轴对称图形、对称点坐标与网格中求三角形面积（割补法）（15.2）。 【解题步骤】（1）分别作出A、B、C关于y轴的对称点A₁(−1，2)、B₁(−3，1)、C₁(2，−1)，顺次连接得△A₁B₁C₁。（2）关于x轴对称：横坐标不变、纵坐标变为相反数，得A₂(1，−2)、B₂(3，−1)、C₂(−2，1)。（3）割补法：以BC两端构造长5、宽3的长方形（面积15），减去三个直角三角形：×2×1=1、×5×2=5、×3×3=4.5，所以S=15−1−5−4.5=。 【易错说明】"关于谁对称，谁不变"：关于x轴对称纵变号，关于y轴对称横变号；割补法不要漏减或多减直角三角形。 17．【答案】证明见解析 【考查知识点】等边三角形的性质与全等三角形的判定（SAS）（15.3）。 【解题步骤】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°。在△ABD与△BCE中：AB=BC，∠ABD=∠BCE，BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD=BE。 【易错说明】对应关系是△ABD对△BCE，不要写成△ABE；用SAS时夹角必须是两组对应边的夹角。 18．【答案】（1）20°；（2）22 【考查知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的角度与周长转化（15.1、15.3）。 【解题步骤】（1）∠C=180°−∠BAC−∠B=40°。∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，∠DAC=∠C=40°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=60°−40°=20°。（2）∵DA=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10+12=22。 【易错说明】周长转化是把AD换成DC，而不是换成DE；DE是垂线段，不属于三角形的边，别混入周长。 19．【答案】（1）证明见解析；（2）8 【考查知识点】角平分线的性质、线段垂直平分线的性质与直角三角形全等（HL）（15.1）。 【解题步骤】（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵DG垂直平分BC，∴DB=DC。在Rt△DBE与Rt△DCF中：DB=DC，DE=DF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BE=CF。（2）连接AD，由△ADE≌△ADF（AD公共，DE=DF）得AE=AF=6。∵点E在AB上、点F在AC的延长线上，AB=AE+BE，AC=AF−CF，∴AB+AC=AE+AF=12。故BC=20−(AB+AC)=20−12=8。 【易错说明】垂足不一定都落在线段内部，本题F在AC延长线上，"一加一减"后BE与CF抵消，AB+AC=AE+AF；不画图确认位置关系容易卡住。 20．【答案】见解析（P为∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点） 【考查知识点】角平分线与线段垂直平分线的尺规作图及性质（15.1）。 【解题步骤】灯柱P需同时满足两个条件：①到两块宣传牌C、D一样远→P在线段CD的垂直平分线上；②到两条路OA、OB的距离一样远→P在∠AOB的平分线上。分别作出∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线，两线的交点即为P的位置（保留作图痕迹）。 【易错说明】"到角两边距离相等"用角平分线，"到两点距离相等"用垂直平分线，二者不能混用；作图必须保留痕迹。 21．【答案】其余两边长均为11cm；小红的解法不完整（结果碰巧正确） 【考查知识点】等腰三角形的分类讨论与三边关系检验（15.3）。 【解题步骤】小红只考虑了6cm是底边这一种情况，解答不完整。正确解法需分类讨论：①若6cm是底边，设腰长x cm，则2x+6=28，解得x=11，三边为11、11、6，∵11+6>11，能构成三角形，成立；②若6cm是腰，则另一腰也是6cm，底边=28−6−6=16，∵6+6=12<16，不能构成三角形，舍去。综上，其余两边长均为11cm。 【易错说明】"其中一边长为6"未指明是腰还是底，必须分类讨论；求出的三边一定要用三边关系检验，6、6、16这类情形最容易漏检。 22．【答案】（1）作B关于l的对称点B′，连接AB′交l于P；（2）10；（3）水泵站P应建在AB与l的交点处；10 【考查知识点】轴对称与最短路径问题（将军饮马模型）（课题学习）。 【解题步骤】（1）作点B关于河岸l的对称点B′，连接AB′交l于点P。证明：对l上任意一点P′，有P′B=P′B′，所以P′A+P′B=P′A+P′B′≥AB′，当A、P、B′三点共线（即P为AB′与l的交点）时取等号，此时PA+PB最小。（2）由（1），PA+PB的最小值=AB′=10 km。（3）A、B在l的异侧时，直接连接AB，线段AB与l的交点即为P，此时PA+PB=AB=10 km，为最小值。 【易错说明】同侧两点必须先作对称点转化为折线最小值，异侧直接连线；最小值是"对称后对应两点间的线段长"，注意题目给出的是AB′=10 km而非AB。 23．【答案】任务一：依据1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等角对等边；依据3：三角形两边的和大于第三边。任务二（1）AB=AC+CE；（2）证明见解析 【考查知识点】轴对称（折叠）的性质、三角形外角性质、等角对等边与三边关系的综合运用（15.1、15.3）。 【解题步骤】任务一：图1中∠ADE是△BDE的一个外角，∠ADE=∠B+∠DEB（依据1）；图2中由折叠得∠ABC=∠ECD=∠ECB，∴BE=CE（等角对等边，依据2）；△ACE中AE+EC>AC（依据3）。任务二（1）沿AE折叠使点C落在AB上的D处，则AD=AC、DE=CE；∠ADE=∠C=2∠B，而∠ADE=∠B+∠DEB（外角），∴∠DEB=∠B，BD=DE=CE，∴AB=AD+BD=AC+CE。（2）在BD上截取DE=DC，连接AE。∵AD⊥BC，∴∠ADE=∠ADC=90°；又AD=AD，DE=DC，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴AE=AC，∠AED=∠C=2∠B。∴∠AEB=180°−∠AED=180°−2∠B，△ABE中∠BAE=180°−∠B−(180°−2∠B)=∠B，∴BE=AE=AC，∴BD=BE+DE=AC+CD。 【易错说明】材料题要"先学后用"：把材料中"折叠＋外角性质/等角对等边/三边关系"的组合迁移到新图形；（2）的辅助线"在BD上截取DE=DC"是构造全等的关键，截取点的字母不要与图中已有字母重复。 第 16 页第 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