第15章《轴对称》单元自测卷- 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以轴对称知识为核心，融合体育图标、风筝制作等现实情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的分层问题设计，考查抽象能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、坐标对称、三角形内角计算|第1题结合体育图标考查轴对称判断，体现数学眼光| |填空题|6/18|对称轴性质、等腰三角形角度计算、尺规作图应用|第14题分类讨论等腰三角形顶角，培养推理意识| |解答题|9/72|垂直平分线应用、动态几何、综合探究|25题以等边三角形动点问题为载体，考查应用意识，24题分“感知-探究-解决”三层次，契合真题命题趋势|

第15章《轴对称》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人 的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是( ) A. 2.在平面直角坐标系中，点P(2,-3)关于x轴对称的点的坐标是() A.(2,3) B.(2,-3) c.(23) D.(-2-3) 3.一个三角形的两个内角的度数分别为50°和70°，这个三角形是( A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形 4.将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，BC为折痕，若∠I=44° 则∠DCB的度数为() A B D'E D A.48° B.58° C.68 D.78° 5.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADC=2∠B.若AC=5,BC=6,则△ACD的周长为 A.10 B.11 C.15 D.16 6.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,若ED=3cm,则 EC 的长为( A.6cm B.5cm C.3cm D.8cm 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F,若BF=AC, ∠CMD=25”,则ABE含 ”的度数为() D A.35° B.30° C.250 D.20° 8.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=8,SC=24,AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB 于点E,F.若D为BC边的中点，M为线段EF上的一个动点，则aCDM周长的最小值为 M D A.7 B.8 C.10 D.12 9.如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°， 则∠PAB=() A.60° B.70° C.75 D.80° 10.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=125°，∠D=∠B=90°，点M、N分别是CD,BC上两个 动点.当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠AWM的度数为() A.130° B.110° C.100° D.90° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知0C是对称轴，∠A=35°，∠BC0=30°，则 ∠AOC= 12.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边AC上一点，BC=BD=AD,则∠A的度数为 13.如图，在△ABC中，AB=AC,，∠BAC=38°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长 为半径画孤，分别交边BMBC于点队，公②分别以点，E为圆心，大于DE长为半径画孤， 两弧在∠ABC的内部相交于点F,作射线BF交AC于点G.则∠BGC的度数为 A G B 14.如图，已知点B是直线MN外一点，A是直线MN上一点，且∠BAN=20°，点P是直线MN 上一动点，当△ABP是等腰三角形时，它的顶角的度数为 B M 15.如图，等边三角形ABC中，D是AC延长线上的一点，点E在AB上，若AC=3,CD=1, DB=DE,则ME的长为 D E ⊙ 16.如图，在△ABC中，D为AB中点，DE L AB,∠ACE+∠BCE=I80,EF⊥BC交BC于F, AC=3.2,BC=4. 6,则BF的长为 B D 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(6分)如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上. (1)画出△ABC关于直线I对称的图形△4BC: (2)尺规作图：画出∠4B,CG的角平分线BD; (3)尺规作图：画出AB边上的垂直平分线EF. I8.(6分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，AD⊥BC,E是AC边上一点，过点B作 BF∥MC交D的荚长线于点F. (I)求证：△BFD≌△CED (2)若BF=2,AB=8时，求AE的长. 19.(6分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E.AC的垂直平 分线分别交AC、BC于点F、G,连接AE、AG. D G (1)△AEG的周长为12，求线段BC的长； (2)若∠BAC=115°，求∠EAG的度数. 20.(6分)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，连接CD,过点C作CE⊥BC,过点 A作BF∥CD,CE、EF交于点E,连接DF、BE,BE交CD于/ G 交于点 (1)求∠DCE的大小； (2)求证：aCEG是等边三角形 21.(8分)如图，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,过点C作CE⊥AB,垂足为E. AD=7,CE=4,AB=13△ADC 的面积为14. D B E (I)求证：AC是∠BAD的平分线； (2)若AB-AD=2BE,求证：CD=BC. 22.(8分)在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连接CF,DE⊥CF于E,连接 ADCF 交于点M. B D M E (I)求证：FE=CE: (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC; (3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF. 23.(8分)已知△ABC和△ADC均为等腰三角形，且AB=AC=AD, B 图1 图2 (1)如图1，若∠D=22°，∠BAC=26°，则∠DCB的度数为_； (2)如图2，当∠CBA=2∠ADC时， ①求证：AD∥CB; ②过点D作DE⊥CA,交CA的延长线于点E.若DE=I0cm,求点D到AB的距离。 24.(12分)【初步感知】 B E D D B 图① 图② 图③ (1)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是△ABC外一点，且AD⊥CD于点D.数学 活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作BE⊥CD,交DC的延长线于点E,可 以构造全等三角形，则CD与BE的数量关系是 【问题探究】 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E在边AB上，AD⊥CE于点D,若CD=2, DE=1 7,求ABCE的面积； 【问题解决】 (3)如图③，△ABC是某公园的一片玫瑰园，∠ABC=90°，AB=BC,为了进一步满足市民游玩 需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路CB的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直 角顶点，线段AD为直角边向左侧作Rt△ADE,AD=AE,在小路AB与EC的交点处修建游客 服务中心F,求小路DC与FB之间的数量关系.（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）· 25.(12分)如图，已知等边△ABC的边长为6cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出 发，沿三角形的边运动，点M的速度是lcm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次回到出发 点B点时，M、N同时停止运动.设运动时间为s. M 备用图1 备用图2 (1)当t= 时，运动停止，此时点M在」 (填“AC”或“BC”)边上； (2)求出点M和N重合时的位置； (3)当点M、N均在边BC上时，是否存在AM=AN的情况？若存在求出t;若不存在，说明 理由； (④)当MN与△ABC的某一边垂直时，直接写出1的值. 参考容案 一、选择题 1.D 解：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形. A.人物、车轮两侧形态不对称，无对称轴，不符合题意； B.人物身体左右倾斜，两侧无法重合，无对称轴，不符合题意； C.一手持拍、一手摆开，左右造型不同，无对称轴，不符合题意； D.存在竖直中线，左右两边完全对称，是轴对称图形，符合题意. 2.A 解：，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又：点尸的坐标为2-3 ,其横坐标为2，纵坐标为3,3的相反数为3， “点P3)关于轴对称的点的坐标为2) 3.A 解：：三角形内角和为180°，已知两个内角分别为50°和70° ∴.第三个内角的度数为180°-50°-70°=60° ∴.该三角形的三个内角分别为50°，60°，70°，三个角都小于90°，都是锐角，且三个角互不 相等 这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形. 4.C 解：.∠1=44° ∴.∠ABA=180°-∠1=136° 由折叠得， ∠ABc=∠BC-号360-∠AB)=12 .ABI∥CD ∴.∠DCB=180°-∠ABC=68°. 5.B 解：∠ADC是△ABD的外角， ∴.∠ADC=∠B+∠BAD. .∠ADC=2∠B, ∴∠B+∠BAD=2∠B, 即∠BAD=∠B, ∴AD=BD. .AC=5,BC=6 ∴.△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=5+6=11, 6.A ,DE是BC的垂直平分线， .EC=EB,∠EDB=90°， .∠B=30°，ED=3cm, .'EB=2ED=6cm, 即EC=6cm. 7.D 解：AD⊥BC,BE⊥AC, .∠ADB=∠ADC=∠AEF=90° ∴.∠CAD+∠C=90°∠EBC+∠C=90° ∴.∠EBC=∠CAD=25O ∠ADB=∠ADC=90° ∠EBC=∠CAD 在 和 中， BF=AC 3 BDF△ADC ∴.ABDF≌△ADC(AAS) ∴.BD=AD ∴.∠ABD=∠BAD=45° ∴.∠ABE=∠ABD-∠EBC=20° 8.C 解：连接AD,AM A M ,AB=AC,点D是BC边的中点，BC=8, ADLBC:BD=CD=18C=4 2 ·c=BCAD-×8xiD=24 2 解得AD=6, EF是线段AC的垂直平分线， .点C关于直线EF的对称点为点A, ∴.MA=MC, ,AD≤AM+MD,当点A、M、D共线时取等号， ∴.AD的长为CM+DM的最小值， ACDM的周长最小值为CM+DM+CD=D+)BC=6+x8=10. 2 2 9.B 解：在BC下方取一点D,使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC, .AD=AB=AC∠DAC=∠BAC-∠BAD=20° .∠ACD=∠ADC=80° AB=AC∠BAC=80° .∠ABC=∠ACB=50° .∠CDB=140° ·.∠PBC=10°∠PCB=30° .∠BPC=180°-10°-30°=140° ∴.∠CDB=∠CPB .·∠DCB=30°=∠PCB BC=CB :.△BDC≌aBPC(AAS) ∴.PC=DC .∠PCD=60° .△DPC 是等边三角形， ∴.PD=PC AD=AC,AP=AP :△APD2aAPC(SSS) ∠DAP=∠CAP=∠DAC=10° 2 ∴.∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70° 10.B 解：作点A关于BC的对称点'，关于CD的对称点A”,连接AA”,与BC、CD分别交于点N、 ，此时aAW 的周长最小， M BL C A ,点A关于BC的对称点是'，关于CD的对称点是A”, .AN=AN,AM=A"M,∠NAB=∠NA'B,∠MAD=∠MA"D, .∠ABC=∠ADC=90°， ∴.AB、A三点共线，ADA”三点共线， 在△AAA中，∠AAA=∠DAB=125°， .∠A'+∠A"=180°-∠AAA"=180°-125°=55°， .∠AWM是△AA'N的外角，∠AMN是△AAM的外角， .∠ANM=∠A'+∠NAB=2∠A',∠AMN=∠A"+∠MAD=2∠A", ∠AMN+∠ANM=2∠A"+2∠A'=2(∠A'+∠A")=2×55°=110° 二、填空题 11.115° 解：由轴对称性质得∠ACO=∠BCO=30°， :∠A=35°， .∠A0C=180°-∠A-∠AC0=180°-35°-30°=115° 12.36° 解：BD=BC=AD, ∠A=∠ABD∠C=∠BDC, 设∠A=∠ABD=x, :∠BDC是△MBD的一个外角， ∴.∠BDC=∠A+∠ABD=2x ∴.∠C=∠BDC=2x AB=AC .∠ABC=∠C=2x 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， 即x+2x+2x=180°， 解得x=36°， 即∠A=36°. 13.73.5 解：：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=38°， :∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC=7IP 2 由作图方法可知BG平分∠ABC, :∠CBG=∠ABC=35.50 2 ∴.∠BGC=180°-∠ACB-∠CBG=73.5° 14.140°或20°或160° 解：①BA=BP时，∠BAN=∠=20°，则∠ABR=180°-20°-20°=140°： ②当AB=AP时，∠BAB=20°或∠BAB=180°-20°=160°： ③当PB=PA时，∠BAN=∠ABP=20°，则∠APB=180°-20°-20°=140°， 综上：当△ABP是等腰三角形时，它的顶角的度数为140°或20°或160°. B M P A PPP N P 15.1 解：过D作DF⊥AB于F, DE =DB, .'EF=BF, △ABC是等边三角形， .∠A=60°，AB=AC=3, ∴.∠ADF=30°， .'AD=2AF, .AC=3,CD=1, .AD=4,AF=2, .BF=EF=3-2=1, .AE=AB-BF-EF =1. 16.3.9 连接AE, D是AB中点，DE⊥AB, .DE是AB的垂直平分线， ∴.AE=BE. 过E作EG⊥AC,交AC的延长线于G. B CG :∠ACE+∠ECG=180°，且∠ACE+∠BCE=180°， ∴.∠ECG=∠BCE, 即EC平分∠BCG. 又EF⊥BC,EG⊥AC, ∴.EG=EF,且∠G=∠EFC=90°. EC=EC 在RtAECG和RtECF中，'EG=EF, :RiECG≌RiECF(H ∴.CG=CF AE=BE 在Rt△AEG和RtBEF中，EG=EF, :R△AEG≌RtBEF(HL) ∴.AG=BF .AG=AC+CG=AC+CF=AC+(BC-BF) .BF=AC+BC-BF ∴.2BF=AC+BC, 代入AC=3.2,BC=4.6 得BF=32146-39 2 三、解答题 17.(1)如图，△4BG即为所求： (2)如上图，射线BD即为所求： (3)如上图，直线EF即为所求. 18.(1)证明：点D是BC的中点， .BD =CD :BF∥AC ∴.∠F=∠DEC,∠FBD=∠C .△BFD≌ACED(AAS) (2)解：：点D是BC的中点，AD⊥BC, ∴.AC=AB=8 由(1)得：△BFD≌△CED, ..CE=BF=2 ∴.AE=AC-CE=8-2=6 19.（I)解：，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E.AC的垂直平分线分别交 AC、BC于点 F、G ∴AE=BE,AG=CG, .△AEG的周长为12， ∴.AE+EG+AG=12, ∴.BE+EG+GC=12, 即BC=12; (2)解：.AE=BE,AG=CG, ∴.∠BAE=∠B,∠CAG=∠C, ,∠B+∠C+∠BAC=180°， .∴.∠B+∠C=180°-115°=65°， .∴.∠BAE+∠CAG=65°， .'∠BAE+∠EAG+∠CAG=∠BAC, ∠EAG=∠BAC-（∠BAE+∠CAG=115°-65°=50° 即∠EAG的度数为50°. 20.(1)解：△ABC是等边三角形，D为AB中点， :CD1AB.∠BD-号AC,∠ACB-60. .∠BCD=30° :CE⊥BC .∠BCE=90° ∴.∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60° (2)证明：：△ABC是等边三角形，D为AB中点， DAB,ZBCD=∠ACD=)∠ACB,ACB=BC=0P,MB金E 2 ∴.∠BCD=∠ACD=30° :CE⊥BC .∠BCE=90° ∴.∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30° .EF∥CD,∠ACD=30°， ∴.∠CAE=∠ACD=30°=∠ACE .AE=CE, 在△BAE和△BCE中， (BA=BC BE=BE AE=CE' ∴.△BAE≌△BCE(SSS) .∠CBE=∠ABE .∠ABC=60° .∠CBE=30° '∠BCD=30° ∴.∠BGC=180°-∠CBE-∠BCD=120° :∠CGE+∠BGC=180° ∴.∠CGE=60° .∠DCE=60° .∴.△CEG ∠CGE=∠DCE=60° 中， ..EG=CE :∠DCE=60°， ∴.△CEG 是等边三角形 21.(1)证明：如图1，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F, A E 图1 .△ADC的面积为14，AD=7, 2D.CF=14 CF=2x1428 =4 AD 7 .CE=4, ∴.CF=CE=4, 又，CE⊥AB,CF⊥AD,点C在∠BAD的内部， ∴.点C在∠BAD的平分线上， .AC是∠BAD的平分线； (2)证明：如图2，在AB上截取AH=AD=7,连接CH, D 图2 .AB=13, .BH=AB-AH=AB-AD=13-7=6. AB-AD=2BE, ∴.2BE=6, .BE=3, ∴.EH=BH-BE=6-3=3, ∴.EH=BE=3, .CE⊥AB,垂足为E, ∴.CE是线段BH的垂直平分线， ∴.HC=BC, 由(1)可知：AC是∠BAD的平分线， ∴.∠HAC=∠DAC, 在△HAC和△DAC中， (AH=AD ∠HAC=∠DAC AC=AC △HAC≌ADAC(SAS) .HC=CD, ∴.CD=BC. 22.(1)证明：.DF=CD,DE⊥CF, .FE=CE (2)证明：作DN⊥AC于点N B D N ∴.∠DNC=∠DBF=90° ∠AFD+∠ACD=180°，∠AFD+∠BFD=180° ∴.LBFD=LDCN DF=CD, ∴.a△DBF≌ADNC(AAS) :DB=DN :DN⊥AC∠B=90° ∴.AD平分∠BAC, ∴.∠DAB=∠DAC (3)解：作MP⊥AB于点P,作Mg⊥AC于点Q, B D M E .'AD平分∠BAC, ..MP=MO 1 AF.MP AF 1 AC.MO AC, 2 S.AMEFM 同理：S.AMC CM AF FM AC CM, △DBF≌ADNC(AAS) 由（2)知， :.BF=NC .AC=6BF ∴.AC=6NC ·AW=5WC,4N=5 AC6, :∠DAB=∠DAC,∠B=∠AND=90°，AD=AD ∴△ADB≌△ADN(AAS) .AN=AB=5NC,AF=AB-BF=5NC-NC=4NC :=4_2FM AC 6 3 CM, 设FM=2k,CM=3k 则CF=5k, ∴.FE=CE=2.5k ∴.ME=EF-FM=2.5k-2k=0.5k=1 ∴k=2 .MF=2k=4 23.（1)解：AC=AD,∠D=22°， .∠ACD=∠D=22°， AB=AC, ∴.∠B=∠ACB, .∠BAC=26°， .·∠B=∠ACB=180°-∠BAC=77°， 2 ∴.∠DCB=∠ACB-∠ACD=55° (2)①证明：·AC=AD, .∠ACD=∠ADC, AB=AC, ..∠CBA=∠ACB, .∠CBA=2∠ADC, ∴.∠ACB=2∠ADC, ∴.∠DCB=∠ACB-∠ACD=2∠ADC-∠ADC=∠ADC, ∴.AD∥CB」 ②解：如图，过点D作DF⊥AB于点F, B .AB=AC, ∴.∠CBA=∠ACB, 由(2)①已证：AD//CB, ∴.∠FAD=∠CBA,，∠EAD=∠ACB, ∴.∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAE, 又：DE⊥CA,DF⊥AB, .DF=DE(角平分线的性质定理)， .DE=10cm, .'DF=10cm, 即点D到AB的距离为lOcm. 24.(1)证明：.∠ACB=90°，AD⊥CD,BE⊥CD, ∴.∠D=∠E=∠ACB=90° ∴.∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴.∠CAD=∠BCE 又：AC=BC, ，△CDA≌△BEC(AAS) ∴.CD=BE (2)解：如图2：过B作BF⊥CE于F,则∠BFC=∠ADC=90°， F E 图② ∴.∠BCF+∠CBF=90°， ,∠ACB=90°， ..∠BCF+∠ACD=90°， .∠CBF=∠ACD, AC=BC, :△CDM2aBFC(AAS) .'BF =CD=2, ·CD=2, DE=15 7, ·CE=CD+DE=29 7, 229 六aBCE的面积为2CE:BF=)x29 2×7 7· (3)解：如图：过E作EH⊥AB于，则∠H=∠ABD=90°，即∠AEH+∠EAH=90°， H D B 图③ ,△ADE是等腰直角三角形， .∠DAE=90°，AD=AE ∴.∠BAD+∠EAH=90°， ∴.∠BAD=∠AEH, △BAD≌△HEA(AAS) .'AH =BD,EH =AB, ∴.AH+AB=BD+BC,即BH=DC, AB=BC, .EH=BC, .∠H=∠ABC=90°，∠EFH=∠CFB ,△EFH≌aCFB(AAS) ∴.BF=HF,即BH=BF+HF=2BF, ∴.DC=2BF. 25. (1)解：.等边△ABC的边长为6cm, .BA+AC+CB=18cm, ,点N的速度为2cms.当点N第一次回到出发点B点时， 18≥9 N第一次回到B点的时间为： 此时M运动的距离为1×9=9Cm,运动到BC边上， 故答案为9，BC; (2)解：设点M、N运动t秒后，M、N两点重合， t+6=21 解得：t=6, .当M、N运动6秒时，点N追上点M,即MW两点重合，此时M运动的距离为6Cm,运 动到C点， 故点M和N重合时的位置为C点； (3)解：存在，t=8时，点M、N均在边BC上时，AM=AN; 当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由(2)知6秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图， M A B AN=AM ∴.∠AMN=∠ANM .∴.∠AMC=∠ANB :△ACB 是等边三角形， ∴.∠C=∠B 在△ACM和△ABN中， :'LAMC=∠ANB∠C=∠BAC=AB ∴.△ACM≌△ABN(AAS) ∴.CM=BN ∴.t-6=18-2t 解得t=8,符合题意. (4)解：当点N在AB上运动时，如图， M N 若∠AMN=90°， .BN=2t AM=t .∴.AN=6-2t ∠A=60 ..2AM=AN 21=6-2t 条牌品 如图，若∠AWM=90°， M B 由2AN=AM得2(6-21)=1， 解对号 当6≤t≤9时，M,N两点都在BC上，此时不存在MN与△ABC的某一边垂直； 312 综上所述，当1为2或5S时，MN与AABC的某一边垂直；