4.2.1 课时1 二次函数y=ax2（a＞0）的图象和性质 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

4.2 二次函数的图象与性质 4.2.1 课时1 二次函数y=ax2（a＞0）的图象和性质 一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. 其中，x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 列表、描点、连线 2.通常怎样画一个函数的图象？ 1.二次函数是如何定义的？ 如何画一个二次函数的图象呢？它是什么图形？ 探究 画出二次函数 y = ax2 （a>0）的图象，并归纳图象的特征和性质 问题1：如何在平面直角坐标系中画二次函数y=x2的图象？ （1）列表：对于二次函数 y = x2， 其自变量 x 可以取任意实数. 因此，让 x 取 0 和一些互为相反数的数， 并且算出相应的函数值， 列成下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 （2）描点： 在平面直角坐标系中，以 x 取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标， 描出相应的点，如图所示. 3 6 9 y O -3 3 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　 A Α' B B' 思考：(1)点A与点Α'，点B与点B'，有什么关系？取更多的点试试，你能得出什么结论？ 图象关于y轴对称 (2)y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边所有点都具有这一特点吗？ 图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”. 3 6 9 y O -3 3 x （3）连线： 我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象，如图所示. y = x2 问题2：观察函数 y = x2 的图象，它具有哪些性质？小组交流讨论. 3 6 9 y O -3 3 x y = x2 ①函数 y = x2 的图象是一条曲线，开口向上，关于y轴对称. ②对称轴与图象的交点是原点O（0，0）. ③当 x = 0 时，函数值最小，最小值为0. ④图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小；在 对称 轴右边的部分， 函数值随自变量取值的增大而增大.（左降右升） 思考：y ＝ ax2 （a>0）的图象是不是都具有上述性质呢？按“列表、描点、连线”的步骤试一试，并归纳其性质. y = ax2(a＞0) 图象的性质： （1）图象开口向上. （2）对称轴是 y 轴，顶点是坐标原点. （3）当 x = 0 时，函数值最小，最小值为0. （4）当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，简称右升； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，简称左降. 3 6 9 y O -3 3 x D 二次函数 y ＝ x2 不具有的性质是（ ） A．对称轴是 y 轴 B．开口向上 C．当x＜0时, y 随 x 的增大而减小 D．有最大值 例1 画出二次函数 的图象． 解：列表：因为二次函数 y = x2 的图象关于 y 轴对称， 因此列表时，自变量 x 可以从原点的横坐标 0 开始取值. x 0 1 2 3 … y = x2 0 　 2 　 …　 描点和连线：画出图象在y 轴右边的部分，如图所示. 利用对称性，画出图象在 y 轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把 y 轴左边的点和原点顺次连接起来， 这样就得到了 y ＝ x2 的图象. y = ax2(a＞0) 图象的性质： （1）图象开口向上. （2）对称轴是 y 轴，顶点是坐标原点O(0,0). （3）当 x = 0 时，函数值最小，最小值为0. （4）当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，简称右升； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，简称左降. 3 6 9 y O -3 3 x A 1.下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是(　　) A．y有最大值 B．图象的对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．图象的顶点是原点 随堂小练 2. 已知二次函数 y＝ax2 (a＞0)过 A (－2, y1), B (1,y2) 两点, 则下列关系式中正确的是（ ） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 C ①③② 4.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=3x²及y= x²的图象，并比较它们的共同点与不同点. y=3x² 不同点：a值越大，抛物线的开口越小． 解：画出的图象如图所示. 相同点：开口向上． 顶点：原点(0，0)——最低点． 对称轴：y轴． 增减性：在y轴左侧，y随x增大而减小； 在y轴右侧，y随x增大而增大． 解：（1）这个函数图象的另一部分如图所示． 5.已知二次函数 ，解答下列问题： (1)根据已知的部分图象(如图)画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图)； (2)判断点(－2，－4)是否在这个函数图象上； （2）当x＝－2时，y＝2≠－4， ∴点(－2，－4)不在这个函数图象上． (3)求当y＝4时，对应的函数图象在第一象限的点的坐标． （3）当y＝4时，4＝ x2，解得x＝±2， ∴当y＝4时，对应的函数图象在第一象限的点的坐标为(2，4)． 3.如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数表达式依次是________．(填序号) $