4.2.2 课时1 二次函数 y = a(x-h)²（a≠0）的图象和性质 课件--2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y = a(x-h)^2 \)（\( a eq 0 \)）的图象与性质，从 \( y = x^2 \) 平移实例导入，通过点的坐标变化推导新函数表达式，搭建从 \( y = ax^2 \) 到平移后函数的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题链引导探究，通过点平移推导函数关系培养推理意识，用表格对比 \( a>0 \) 与 \( a<0 \) 时的性质发展抽象能力，结合例题与练习强化应用意识。学生能直观理解平移规律，教师可依托结构化内容提升教学效率。

4.2 二次函数的图象与性质 4.2.2 课时1二次函数 y = a(x-h)²（a≠0）的图象和性质 把二次函数 的图象(I)向右平移1个单位长度，得到图象(II)，如图所示.图象(II)可以表示哪个函数的图象呢？ I l II l′ 问题1：在抛物线 上任取一点 P（ ）,那么在向右平移1个单位长度后，点 P的像点 Q 的坐标是什么？ 问题2：点 Q在函数 的图象上吗？为什么？ 记 s ＝ d + 1，则 d ＝s -1，从而点 Q 的坐标为（ s ， ）. 这表明：点 Q 在函数 的图象上． 由此得出，图象(II)是函数 的图象． Q（ ） P Q 由于平移保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变，因此平移不改变图形的形状和大小，从而将图象(I)向右平移1个单位长度后，其原像与像之间的关系如下表： 原像 像 抛物线： 抛物线： 顶点坐标是点O(0,0) 顶点坐标是点O′(1,0) 对称轴是直线l（与y轴重合） 对称轴是直线l′（过点O′与y轴平行） 开口向上 开口向上 问题3：类比前面的分析方法，把二次函数 的图象向左平移1个单位长度后，得到的是哪个函数的图象呢？小组同学分析向上（下）平移3 个单位长度后又能得到哪个函数的图象呢？ 向左平移1个 单位长度 向右平移1个 单位长度 y = x2 − 3 y = x2 y = x2 + 3 向上平移3个 单位长度 向下平移3个 单位长度 向上平移k个单位 向下平移k 个单位 y=ax2 y=ax2+k y=ax2-k y=a(x+h)2 向左平移 h个单位 y=a(x-h)2 向右平移 h个单位 上加下减 左加右减 思考：尝试归纳一下二次函数y=ax2 与y=ax2+k，y=a(x-h)2的关系. 要得到抛物线y= (x－4)2，可将抛物线y= x2( ) A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位 C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位 C 思考1：函数 的图象具有哪些性质？ (1)二次函数 的图象是一条________，它的_________; (2)图象的对称轴是____________; (3)顶点坐标是___________； 抛物线 开口向上 直线x=1 O′(1,0) l′ 思考1：函数 的图象具有哪些性质？ (4)图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_______； 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而_______； (5)当 x ＝ 1 时，函数值最小，最小值为___ . 减小 0 增大 l′ 思考2：当 a ＞ 0 时，y ＝ a ( x - h )2 的图象是不是都具有上述性质呢？当 a ＜ 0 时，y ＝ a ( x - h )2 的图象又具有怎么样的性质呢？小组交流讨论后并归纳. a可以取几个不同的值，按“列表、描点、连线” 三个步骤画图试一试. 抛物线 y=a(x-h)2(a>0) y=a(x-h)2(a<0) 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 （h，0） （h，0） 直线 x = h 直线 x = h 向上 向下 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 当 x = h时,最小值为0 当 x = h时,最大值为0 由于我们已经知道了二次函数 y ＝ a（x - h ）2 的图象的性质， 因此今后在画 y ＝ a（x - h ）2 的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线” 三个步骤. 例1 画函数 y ＝ （ x － 2 ）2 的图象． 解：抛物线 y =（x - 2）2 的对称轴是 x = 2，顶点坐标是（2，0）. 列表： 自变量 x 从顶点的横坐标 2 开始取值. x 2 3 4 5 … （ x － 2 ）2 0 1　 4 9 …　 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分． 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了（ x － 2 ）2 的图象,如图所示. x 2 3 4 … （ x － 2 ）2 0 1　 4 …　 y ＝( x－2 )2 抛物线 y=a(x-h)2(a>0) y=a(x-h)2(a<0) 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 （h，0） （h，0） 直线 x = h 直线 x = h 向上 向下 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 当 x = h时,最小值为0 当 x = h时,最大值为0 平移规律：上加下减，左加右减 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(　 　) ①开口向上； ②顶点坐标为(0，－1)； ③对称轴为直线x＝1； ④与x轴的交点坐标为(1，0)； ⑤图象不经过第二、三象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ a(x＋c)2的图象可能是(　　 ) B 3. 三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征小明：函数图象的顶点在x轴上； 小智：当自变量取1，3时，函数值相等； 小文：函数有最大值． 请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式：_______________________． y＝－(x－2)2(答案不唯一) 4.分别画出二次函数 y ＝ -( x – 1 )2 ， 的图象. y ＝ -( x – 1 )2 5.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得 ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2. 6.在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 ． (1)当时，求的值． (2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（-1, 0），求b的值． (1)当时， ∴当时，的值为0. (2)∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（-1, 0）， ∴原抛物线经过（1,0）， 把（1, 0） 代入解析式可得,∴． 解： $