3.4 一元二次方程根与系数的关系 专题7 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系与运用-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式及根与系数的关系运用，通过基础证明、参数求解、函数新定义问题及几何综合题（如菱形、三角形）的递进设计，构建从概念理解到综合应用的学习支架，衔接方程解法与韦达定理基础。 其亮点在于结合新定义“衍生点”及菱形周长计算等实例，培养学生数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理意识、运算能力），以例题解析呈现数学语言表达，助力学生提升综合应用能力，为教师提供系统分层的教学资源。

2 第3章　一元二次方程 专题7　一元二次方程根的判别式及根与 系数的关系的运用 3 1. （岳阳阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0. （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+-x1x2=27，求m的值. 类型1　综合利用根的判别式及根与系数的关系求字母的取值 （1）证明：因为Δ=［-（m-3）］2-4×1×（-m）=m2-2m+9=（m-1）2+8>0， 所以无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）解：因为一元二次方程x2-（m-3）x-m=0的两个实数根为x1，x2， 所以x1+x2=m-3，x1x2=-m. 因为x12+x22-x1x2=27，所以（x1+x2）2-3x1x2=27， 即（m-3）2-3×（-m）=27，解得m1=-3，m2=6. 所以m的值为-3或6. 2 3 4 5 6 1 4 2. （张家界慈利期中）已知关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2-3=0. （1）若该方程有一个根是-1，求k的值. （2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围. （3）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=11，求k的值. 解：（1）因为方程有一个根是-1，所以12+2（k+1）+k2-3=0，解得k1=0，k2=-2. 所以k的值为0或-2. （2）因为方程有两个实数根，所以Δ=b2-4ac=［-2（k+1）］2-4（k2-3）≥0，解得k≥-2. 所以k的取值范围是k≥-2. （3）因为方程的两个实数根为x1，x2，所以x1+x2=2（k+1），x1x2=k2-3， 所以（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=k2-3-2（k+1）+1=k2-2k-4. 因为（x1-1）（x2-1）=11，所以k2-2k-4=11，解得k1=5，k2=-3. 由（2）可知，k≥-2，所以k的值为5. 2 3 4 5 6 1 5 3. ［新定义·新概念问题］定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1<x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点. （1）若一元二次方程为x2+3x=0，求出该方程的衍生点M的坐标. （2）若关于x的一元二次方程x2-（5m+1）x+5m=0的衍生点为M，且点M在直线y=-2x上，求m的值. （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx+2（k+3）上？若存在，请求出b，c的值；若不存在，请说明理由. 类型2　与函数的综合题 2 3 4 5 6 1 6 解：（1）把方程左边的多项式因式分解，得x（x+3）=0，解得x1=-3，x2=0， 所以该方程的衍生点M的坐标为（-3，0）. （2）把方程左边的多项式因式分解，得（x-5m）（x-1）=0，解得x1=5m，x2=1或x1=1，x2=5m. ①当5m<1，即m<时，衍生点M的坐标为（5m，1）. 因为点M在直线y=-2x上，所以1=-2×5m，解得m=-，符合题意. ②当5m>1，即m>时，衍生点M的坐标为（1，5m）. 因为点M在直线y=-2x上，所以5m=-2×1，解得m=-，不符合题意，舍去. 综上所述，m的值为-. （3）存在. 因为y=kx+2（k+3）=k（x+2）+6，所以直线经过定点（-2，6），所以一元二次方程x2+bx+c=0的衍生点M的坐标为（-2，6）. 设一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，且x1<x2，则x1=-2，x2=6. 因为x1+x2=-b，x1x2=c，所以b=-4，c=-12. 2 3 4 5 6 1 4. 若a，b是菱形ABCD两条对角线的长，且a，b是一元二次方程x2-12x+30=0的两个根，求菱形ABCD的周长. 类型3　与几何的综合题 解：因为a，b是一元二次方程x2-12x+30=0的两个根，所以a+b=12，ab=30. 因为a，b是菱形ABCD两条对角线的长，所以菱形的边长为. 所以菱形ABCD的周长为4×=4. 2 3 4 5 6 1 8 5. （衡阳校级阶段练习）已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2-（k-3）x+k-4=0的两个实数根. （1）若AB的长为2，求k的值. （2）当k为何值时，平行四边形ABCD为菱形？ （3）是否存在k，使得平行四边形ABCD为对角线长为的矩形？若存在，请求出k的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由. 2 3 4 5 6 1 9 解：（1）根据题意，将x=2代入一元二次方程x2-（k-3）x+k-4=0，得4-2（k-3）+k-4=0，解得k=6. （2）因为菱形的邻边相等，所以AB=AD，即一元二次方程x2-（k-3）x+k-4=0有两个相等的实数根，所以Δ=［-（k-3）］2-4（k-4）=0，解得k1=k2=5. 所以当k=5时，平行四边形ABCD为菱形. （3）存在. 设一元二次方程x2-（k-3）x+k-4=0的两个实数根为x1，x2，且AB=x1，AD=x2，则x1>0，x2>0. 由根与系数之间的关系得x1+x2=k-3，x1x2=k-4. 若平行四边形ABCD为对角线长为的矩形，则有AB2+AD2=（）2，所以=26，所以（x1+x2）2-2x1x2=26，所以（k-3）2-2（k-4）=26，解得k1=-1，k2=9. 当k=-1时，x1x2=-5<0，不符合题意，舍去，所以k的值是9. 矩形的面积为AB·AD=x1x2=5. 2 3 4 5 6 1 6. 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0. （1）判断一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0根的情况. （2）若一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=6，求k的值. （3）若△ABC的两边AB，AC的长是一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两根，第三边BC的长为5. ①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出△ABC的周长. 2 3 4 5 6 1 11 解：（1）因为Δ=［-（2k+3）］2-4×1×（k2+3k+2）=4k2+12k+9-4k2-12k-8=1>0，所以一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有两个不相等的实数根. （2）根据题意，得x1+x2=2k+3，x1x2=k2+3k+2. 因为（x1-1）·（x2-1）=6，所以x1x2-（x1+x2）+1=6，即k2+3k+2-（2k+3）+1=6，解得k1=-3，k2=2. 所以k的值是-3或2. （3）①由题意，得AB+AC=2k+3，AB·AC=k2+3k+2. 因为△ABC是以BC为斜边的直角三角形， BC=5，所以AB2+AC2=BC2，所以（AB+AC）2-2AB·AC=BC2，即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=52，解得k1=-5，k2=2. 因为AB+AC=2k+3>0，所以k>-，所以k=2. 当k=2时，一元二次方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，符合题意. 所以当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形. ②若△ABC是等腰三角形，则分两种情况：第1种：AB=AC，此时一元二次方程有两个相等的实数根，这与Δ>0矛盾，不符合题意. 第2种：AB=BC（或AC=BC），此时一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的一个根为5，所以52-5（2k+3）+k2+3k+2=0，解得k1=3，k2=4. 当k=3时，AB+AC=2k+3=9，△ABC的周长为9+5=14. 当k=4时，AB+AC=2k+3=11，△ABC的周长为11+5=16. 所以当k为3或4时，△ABC是等腰三角形，且△ABC的周长为14或16. 2 3 4 5 6 1 绿卡图书—走向成功的通行证 13 $