21.2.4根的判别式 课件 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

21.2 一元二次方程的解法 第4课时 根的判别式 1.7.2013 ‹#› 学习目标 1. 理解一元二次方程根的判别式的概念 2. 会用判别式判断一元二次方程根的情况 3. 能根据根的情况确定字母系数的取值范围 4. 能证明一元二次方程根的情况 1.7.2013 Click to add text ‹#› 导入新课 回顾与思考 1. 一元二次方程一般形式为： 2. 一元二次方程求根公式为： 1.7.2013 ‹#› 导入新课 回顾与思考 3. 如何通过配方法推导出求根公式？ 将一般式一元二次方程 配方成 ,再开方. 1.7.2013 ‹#› 导入新课 回顾与思考 4. 一元二次方程 根的情况是？ 1.7.2013 ‹#› 想一想 一元二次方程 根的情况是？ 当 时， 此时方程有两个 不相等的实数根. 此时方程有两个 当 时， 相等的实数根. 6 此时方程无实数根. 当 时， 究竟是谁决定了一元二次方程根的情况? 思考 所以叫做根的判别式，用希腊字母 "Δ" 表示. ★ Δ 的作用：不解方程，判断一元二次方程根的情况 反之，同样成立！ 当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根. 即一元二次方程 反过来，对于一元二次程： 1.当方程有两个不相等的实数根时，有 ； 2.当方程有两个相等的实数根时，有 ； 3.当方程没有实数根时，有 . 判别式与根的关系 ⇔ 方程有两个不相等的实数根 ⇔ 方程有两个相等的实数根 ⇔ 方程无实数根 ★ 补充：Δ ≥ 0 ⇔ 方程有实数根 归纳 第一层 试一试 爬楼梯 类型一 不解方程判断根的情况 （1） ∴ 方程有两个不相等的实数根 （1） 解： （2） （3） （2） 化为一般式： ∴ 方程有两个相等的实数根 解： 第一层 试一试 爬楼梯 类型一 不解方程判断根的情况 第一层 试一试 爬楼梯 类型一 不解方程判断根的情况 （3） ∴ 方程没有实数根 解： 第二层 试一试 爬楼梯 类型二 由根的情况确定字母系数的取值范围 (1) 关于x的一元二次方程 有两个实数根，求k的取值范围. 方程有两个实数根 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解： 第二层 试一试 爬楼梯 类型二 由根的情况确定字母系数的取值范围 有两个不相等的实数根，求k的取值范围. (2) 方程 解： 方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 第三层 试一试 爬楼梯 类型三 证明一元二次方程根的情况 (1)证明方程实根 方程总有两个不相等的实数根 解： ， 即 Δ 恒大于 0 第三层 试一试 爬楼梯 类型三 证明一元二次方程根的情况 (2)证明方程 实根 解： 当 时，此时方程为一元一次方程 原方程可化为: ,此时有实根 当 时，此时方程为一元二次方程 第三层 试一试 爬楼梯 类型三 证明一元二次方程根的情况 (2)证明方程 实根 解： ∴ Δ = 4 > 0（与m无关） ∴ 方程总有两个不相等的实数根 综上， 实根 1.若关于x的方程 有实数根，则的取值范围为（　　） A 当堂练习 2. 已知关于x的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（　　） D 3. 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) (2) 3² − 4×3×(−2) = 33 > 0　 (1) 解： 有两个不相等的实数根 (3) 3. 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) (2) (3) 整理得 有两个相等的实数根 (2) 解： 3. 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) (2) (3) 没有实数根 整理得 (3) 解： 4. 已知：关于的方程，完成下列问题： (1) 不解方程，判断方程根的情况。 (2) 若此方程的一个根为 1，请求出方程的另一个根. 把 代入方程，得 ，原方程为 因式分解得 ，另一个根为 方程有两个不相等的实数根 解： 5. 已知关于的一元二次方程 ，求证：不论x为任何实数，这个方程总有两个不相等的实数根. 证明： ， Δ > 0，即不论 m 为何值， 方程总有两个不相等的实数根. 25 课堂小结 ⇔ 方程有两个不相等的实数根 ⇔ 方程有两个相等的实数根 ⇔ 方程无实数根 Δ ≥ 0 ⇔ 方程有实数根 对于一元二次方程 ： $