21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年华东师大版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过解具体方程计算两根和与积引导学生观察规律，从二次项系数为1的方程推广至一般形式，以实例为支架衔接前序方程解法与求根公式知识。 其亮点在于以“探索—推导—应用”为主线，通过求根公式推导培养推理能力，总结“化、写、判、算”四步规范数学语言表达，结合不同解法对比练习提升应用意识。学生能深化逻辑思维，教师可依托清晰流程与分层练习提高教学实效。

第21章 一元二次方程 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 华东师大版（2024） 学习目标 1、理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系 2、会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单的问题。 探索新知 解下列一元二次方程，并分别计算方程两根x1 + x2和x1·x2的值。（1）x2+3x–4=0 （2）x2+2x-8=0 x1 + x2=-4+1=-3 x1·x2 =-4 x1=-4,x2=1 x1=-4,x2=2 x1 + x2=-4+2=-2 x1·x2 =-4 思考：它们与方程的系数有什么关系？ 是一次项系数的相反数 等于常数项 当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 探索新知 思考：对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2－4q ≥ 0） ＝ ， ＝ ＝ + = p ＝ · = = q 概括 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，则 ＝ －p ＝ q 当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 例 1 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积 （1） （2） 解：（1）设两根为可得 x1 + x2 = －3，x1x2 = －5 当二次项系数不为1时，该怎么办？ 先将方程化为二次项系数为1的形式。 （2）方程两边同除以 2 ，得 设两根为，可得 练习 1、不解方程，求出方程的两根之和和两根之积 （1）x2＋2x－1＝0 （2）－x2＋6x－2＝0 解：(1)x1 + x2 = －2，x1x2 =－1 (2)将方程化为一般形式：x2-6x+2=0 x1 + x2 =6，x1x2 =2 例 2 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0， b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数的关系。 解 :方程两边同除以 a ，得 x2 + x + = 0 由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = 思考：你能由一元二次方程的求根公式，直接推导方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与系数的关系？ 例 2 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0， b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数的关系。 解: 因为 x = 所以 x1 + x2 = + x1·x2 = · 概括 一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程的两根为， 那么 在一元二次方程中，两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得商。 韦达定理 阅读参考： 课本36页读一读， 37页阅读材料 练习 （课本第37页，练习） 2、不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根 的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2 + 4x－3 = 0 （2）3x2－4x = 0 解: （1）a=1 ,b=4 ,c=-3 ∵Δ ＝ b2－4ac=42 －4×1×(－3)＝ 28 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2 ， 则 x1 + x2 ＝－4，x1 ·x2 ＝－3. 练习 （课本第37页，练习） 2、不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根 的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2 + 4x － 3 = 0 （2）3x2 － 4x = 0 （2）a=3 ,b=-4 ,c=0 ∵Δ＝b2－4ac=(－4)2-4×3×0＝16 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1 、x2 ， 则 x1+x2 ＝－，x1·x2 ＝0 练习 （课本第37页，练习） 2、不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根 的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： （3） （3）原方程可变形为 x2 + 4 ＝ 0. a=1 ,b=0 ,c=4 ∵Δ ＝b2－4ac=02 －4×1×4＝-16 ＜ 0 ∴方程没有实数根. 练习 （课本第37页，练习） 2、不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根 的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： （3） （4）原方程可变形为 3x2 + 9x－2 ＝ 0 a =3 ,b=9 ,c=-2 ∵Δ ＝b2－4ac=92 －4×3×(－2)＝ 105 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2， 则 x1 + x2 ＝－，x1 · x2 ＝－. 概括 求一元二次方程两根之和与两根之积的步骤： (1) 化：把方程化为一般形式； (2) 写：写出系数的值； (3) 判：计算的值，判断方程是否有实数根； (4) 算：若方程有实数根，则根据根与系数的关系计算. 练习 （课本第39页，习题） 8、不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1） （1）原方程可变形为 x2-x-4 ＝ 0 a =1 ,b=-1 ,c=-4 ∵Δ ＝b2－4ac=（-1）2 －4×1×(－4)＝ 17 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2， 则 x1 + x2 ＝，x1 x2 ＝-4 练习 （课本第39页，习题） 8、不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1） （2）原方程可变形为 3x2+7x-6＝ 0 a =3 ,b=7 ,c=-6 ∵Δ ＝b2－4ac=72 －4×3×(－6)＝121 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2， 则 x1 + x2 ＝-，x1 x2 ＝-2 练习 （课本第37页，练习） 3、试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法: （1）已知关于 x 的方程 x2 + mx + 2n = 0 的两个根是 1 和 －3，求 m 和 n 的值； 解:（1）解法一: 将 x＝ 1 和 x ＝－3 分别代入方程， 得 1 + m + 2n = 0， 9－3m + 2n = 0， 解得 m = 2， n = － . 解法二: 根据根与系数的关系，得 1 + (－3)＝－m， 1×(－3)＝ 2n，所以 m = 2，n = －. 练习 （课本第37页，练习） 3、试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法 （2）已知关于 x 的方程 x2 + mx－20 = 0 的一个根是 －4，求它的另一个根和 m 的值. （2）解法一: 将 x ＝－4 代入方程，得 16－4m－20 ＝ 0， 解得 m ＝－1. 将 m ＝－1 代回原方程，得 x2－x－20＝0，解得 x1 ＝ 5， x2 ＝－4，∴另一个根是 5。 解法二: 根据根与系数的关系，设另一个根为 a， 则有－4 + a ＝－m，－4×a ＝－20，∴ a ＝ 5，m ＝－1， 即另一个根为 5，m 的值为 －1。 一元二次方程的根与系数的关系 课堂小结 一元二次方程的两根为， 那么. （1）化（2）写 （3）判（4）算 一元二次方程两根之和与两根之积的步骤: 作业： 必做：课本第39页 习题11 第51页 复习题3 选做：课本第52-53页 11、12、18 $