21.2.1 直接开平方法和因式分解法 课件 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

21.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法和因式分解法 学习目标 1. 理解直接开平方法的原理，能解形如 x²=p 和 (mx+n)²=p 的方程 2. 掌握因式分解法解一元二次方程的步骤 3. 会用十字相乘法分解因式解一元二次方程 2 导入新课 1. 平方根定义是什么？ 若 则 x 叫做 a 的平方根, 2. 如果 ，那么 x 等于多少？ 3. 若 则a、b应该满足什么样的条件？ 或 回顾与思考 解下列方程 （1） （2） 试一试 直接开平方法 一 直接开平方，得 即 移项，得 直接开平方，得 常采用直接开平方法解 形如 的方程 注意：有两个根，容易漏掉负根！ 用直接开平方法解形如 的方程 归纳 （1） 第一层 解方程 试一试 爬楼梯 （2） 移项，得 直接开平方，得 即 系数化为1，得 移项，得 直接开平方，得 即 （1） 第二层 解方程 试一试 爬楼梯 （2） 直接开平方，得 ∴ 即 或 直接开平方，得 ∴ 或 即 （1） 直接开平方，得 ∴ 即 或 （2） 直接开平方，得 ∴ 或 即 系数化为1，得 解方程 变式 解形如 的方程 关键：将 看作一个整体，不要展开！ 直接开平方，得 ∴ 解题秘钥 （1） 第三层 解方程 试一试 爬楼梯 （2） 直接开平方，得 ∴ 或 直接开平方，得 ∴ 或 拓展：型 → 或 2. 两根为 和 ，求 有解，求 a 取值范围 1. 小试牛刀 由题意得， 解： ， 解得： ， ∴ ∴ 由题意得， 解： ∴ 两根互为相反数 因式分解法 二 试用两种方法解方程 方法一：直接开平方法 ∴ ∴ ∴ 或 方法二：因式分解法 ∴ ∴ 因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式. 问题 什么是因式分解？ 问题 因式分解的主要方法 1. 提公因式法： 2. 公式法：平方差、完全平方公式 把方程右边化为0，左边分解为两个一次因式的乘积，转化为两个一元一次方程求解一元二次方程的方法叫因式分解法. 因式分解法解一元二次方程的概念 可以是单项式，也可以是多项式 因式分解法的基本步骤是： 若方程的右边不是零，先移项，使方程的右边为零； ① 将方程的左边分解因式； ② 根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. ③ 注意：因式分解法，等号右边必须为0 第一层 解方程 试一试 爬楼梯 （1） （2） 解： 解： 第二层 解方程 试一试 爬楼梯 （3） 解： 第二层 解方程 试一试 爬楼梯 （4） 解： 第三层 解方程 试一试 爬楼梯 （5）题既可用直接开平方法，也可用因式分解法 （5） 解： 第三层 解方程 试一试 爬楼梯 （6） 解： 注意变形 拓展：十字相乘法 二次项系数为1： x x 2 3 2x 3x 或 即 0 解： 5x 口诀：看两端、首尾化积，交叉相乘、凑中间、横着书写 拓展：十字相乘法 二次项系数不为1： 3x x 1 3 x 9x 8x 或 即 0 解： （1） 十字相乘的过程写在草稿纸上，注意符号！ 提示 （2） 或 解： 或 解： 小试牛刀 当堂练习 1.填空： （1）方程x2+x=0的根是 _________________； （2）x2－25=0的根是________________. x1=0, x2= -1 x1=5, x2= -5 （1） （2） 或 解： 或 解： 2. 用因式分解法解下列方程 当堂练习 （3） （4） 或 解： 或 解： 当堂练习 2. 用因式分解法解下列方程 当堂练习 (5) 4x2=12x (6) (x -2)(2x -3)=6 x(x-3)=0, 4x2-12x=0 解 :(5)移项得, 即x2-3x=0, 得x1=0,x2=3; 解得x1=0,x2=3.5; (6)原方程可以变形为 2x2-7x=0, 分解因式为x(2x-7)=0, 2. 用因式分解法解下列方程 当堂练习 (7) x2+9=-6x (8) 9x2=(x-1)2 (7)原方程可以变形为 解得x=-3 （x+3)2=0 解得x1=-0.5,x2=0.25. (8)移项得9x2-(x-1)2=0 变形得（3x-x+1)(3x+x-1)=0 2. 用因式分解法解下列方程 课堂小结 1.直接开平方法 适用于或 型，关键是整体思想 2.因式分解法 右边化为0，左边分解因式，转化为一次方程 3.十字相乘法 二次三项式因式分解的快捷方法 $