21.2.1 .直接开平方法和因式分解法 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法，通过知识回顾平方根定义与性质，结合“试一试”引导学生从解\(x^2 = 4\)等具体方程入手，搭建旧知到新知的学习支架，逐步抽象出解法原理。 其亮点在于以“降次”转化思想贯穿教学，通过例题从基础形式拓展到\((mx + n)^2 = a\)，培养数学思维中的推理意识与运算能力，随堂演练融入实际问题（如计算盒子棱长）体现数学语言的模型意识，课堂小结“三步法”结构化总结方法，助力学生形成条理思维，教师可高效开展教学，学生提升问题解决能力。

21.2.1 第2课时 因式分解法 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 第21章 一元二次方程 知识回顾 因式分解的方法也可以达到降次的效果 提公因式法 公 式 法 a2-22= (a+2)(a-2) a2±2a+12=(a±1)2 解一元二次方程的基本思路是什么？ 降次 a2-a=a(a-1) 怎样才能达到降次的效果呢？ 开平方 还有别的降次方法吗？由下面因式分解的过程，你能得到什么结论呢？ 能用因式分解的方法解一元二次方程吗？接下来我们进一步探究. 解下列方程： 方程的左边是否可以因式分解？ 方程 x2 -1＝0左边因式分解，得：(x-1)(x+1)＝0. 则必有 x-1＝0或x+1＝0. 解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝－1. 对于题(1)，有这样的解法： 获取新知 解下列方程： 你是怎样解的？ 方程x2＝4变形，得x2 -4＝0. 方程左边因式分解，得：(x-2)(x+2)＝0. 则必有 x-2＝0或x+2＝0. 解这两个一元一次方程，得 x1＝2，x2＝－2. 对于题(2)，可以用上面的解法吗？ 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程的两个解. 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 试用两种方法解方程x2-900=0. 解：方法一： 移项，得x2=900. 直接开平方，得x=±30. 即 x1＝30，x2＝－30. 方法二： 方程左边因式分解，得：(x-30)(x+30)＝0. 则必有 x-30＝0或x+30＝0. 解这两个一元一次方程，得 x1＝30，x2＝－30. 例1 解下列方程：(1)3x2+2x=0; (2)5x(x-3)-10(x-3)=0. 解：（1）方程左边分解因式，得 x(3x+2)=0 所以 x=0 或 3x+2=0 （2）方程左边分解因式，得 5(x-3)(x-2)=0 所以 x-3=0 或 x-2=0 例题讲解 得 得x1＝3，x2＝2. 例2 用两种方法解方程：（5x + 1）2 = 1. 解：方法一：开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得x 1= 0 , x2= 方程左边分解因式，得5x(5x+2)=0. 所以 x=0 或 5x+2=0. 得x1＝0，x2＝ 方法二：移项，得（5x + 1）2 -1=0. 设置此例题是为了引导学生不能固化思维，在解方程时要注意观察方程特点，选择合适的解法解方程. Administrator (A) - 例2中的方程可以用因式分解法来解方程吗？鼓励学生一题多解，体会不同解法之间的区别，培养发散思维. 试写出一个一元二次方程，要求它的两根为x1＝2，x2＝3.符合条件的方程只有一个吗？ 一次方程 x-2=0 ，x-3=0 多项式相乘 (x-2)(x-3)=0 (x-3)(x-2)=0 如果还要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么？ 5(x-3)(x-2)=0 9 Administrator (A) - 对于第二个问题，在授课时可以多变换几个二次项系数，让学生能够充分体会因式分解法解一元二次方程的依据. 解：移项，得x(3x+2)=6(3x+2). 方程的两边同时除以(3x+2)，得x=6. 故原方程的解为x=6. 这样解是否正确呢？ 不正确，方程两边同时除以的数(3x+2)不能为0. 解方程：x(3x+2)-6(3x+2)=0. 这是学生的易错点。 10 1.一元二次方程x(x﹣3)＝0的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝0 C．x＝3 D．x1＝3，x2＝0 D 随堂演练 2.关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　） A．(x+1)(x+2)＝0 B．(x﹣1)(x﹣2)＝0 C．(x+1)(x﹣2)＝0 D．(x﹣1)(x+2)＝0 C 3.用因式分解法解下列方程： (1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=0; (3) x(x-1)-5x=0. 解 :(1)移项得4x2-12x=0, 则 4x(x-3)=0,解得x1=0,x2=3; (2) 得x-2=0或2x-3=0, 解得x1=2,x2=1.5; (3)原方程可以变形为x(x-1-5)=0,解得x1=0,x2=6. 4.用适当的方法解下列方程： (1)(x－3)2－25＝0； (2)x(x－2)＋x－2＝0. 解：(1)移项，得(x－3)2＝25. 开平方，得x－3＝±5， 即x－3＝5或x－3＝－5， 解得x1＝8，x2＝－2. (2)因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0， ∴x－2＝0或x＋1＝0， 解得x1＝2，x2＝－1. 因式分解法 概念 步骤 简记口诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0 原理 将方程左边因式分解，右边=0. 因式分解的方法: ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b) 课堂小结 $21.2.1 第1课时 直接开平方法 随堂演练 获取新知 例题讲解 知识回顾 第21章 一元二次方程 课堂小结 知识回顾 如果 x2=a,则x叫做a的 . 即：x= . 正数的平方根有2个，它们互为相反数.0的平方根为0. 平方根 可以根据平方根的定义解一元二次方程吗？接下来的课程我们一起探究. 2. 如果 x2=64 ,则x= . ±8 1. 什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质? 解下列方程： 你是怎样解的？ 获取新知 对于题(1)，有这样的解法： 方程 x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以 即x＝±2. 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1＝2，x2＝－2. 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 解下列方程： 你是怎样解的？ 方程 x2 -1＝0，可移项，变形为：x2 ＝1 意味着x是1的平方根，所以 即x＝±1. 这里得到了方程的两个根， 通常也表示成 x1＝1，x2＝－1. 对于题(2)，可以用上面的解法吗？ 一般的，对于方程 x2 = p （p ≥ 0）， （Ⅰ） 根据平方根的意义，方程（Ⅰ）的实数根为： 像这种，根据平方根的意义,直接开平方解一元二次方程的方法叫直接开平方法. 例题讲解 例1 解下列方程: (1) x2－2=0；(2)16x2－25 = 0. 解：（1）移项，得 x2=2. 直接开平方，得 即 （2）移项，得 方程两边都除以16，得 直接开平方，得 即 16x2=25. 对照上面的方法，你认为应怎样解方程（x+3）2=5 ① ？ 对照上面的方法，由方程x2=25得x=±5，因此想到：由方程 （x+3）2=5 ②，得 ，即 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 ③ 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的一元一次方程了. 获取新知 这是直接开平方法解一元二次方程的变形。 7 Administrator (A) - 在进行讲解时，要给学生进行细讲把x+3看作一个整体。 例2 解下列方程： (1)(x+1)2 -4=0; (2)12(2-x)2-9=0. 分析：两个方程都可以通过简单的变形，化为 的形式，用直接开平方法求解. (mx+n)2=a(a≥0) 解：（1）原方程可以变形为: (x+1)2=4 直接开平方，得 所以 例题讲解 Administrator (A) - 在这部分讲解解题步骤时，给学生提示下做题的步骤，碰到什么样的类型用什么样的步骤。这样能让学生的思路更清晰。 例2 解下列方程： (1)(x+1)2 -4=0; (2)12(2-x)2-9=0. 分析：两个方程都可以通过简单的变形，化为 的形式，用直接开平方法求解. (mx+n)2=a(a≥0) 解： （2）原方程可以变形为 直接开平方，得 所以 x1= ，x2= 直接开平方法解一元二次方程的“三步法” 开方 求解 变形 将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式 利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程 解两个一元一次方程，得出方程的根 随堂演练 C. 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ; x2= D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2=-2,解方程，得x=± B.(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D 2.一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　) A．x－6＝4 B．x－6＝－4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4 D 3.用直接开平方法解下列方程： (1)x2=9; (2)(x ＋ 6)²－9=0； (3)2x2+3=5; (4) 4(2x-3)²－25=0. 解：(1) x = =±3，所以方程x2=9有两个根 x1=3, x2=-3. (2)整理，得(x＋6)2＝9，x＋6＝3或x＋6＝-3， 所以方程的两个根为x1＝-3，x2＝-9. (3)整理，得x2=1， 所以方程的两个根为x1=1，x2=-1. (4)整理，得(2x－3)2＝，即2x－3＝或2x－3＝- ， 所以方程的两个根为x1＝，x2＝. 4. 一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的外表面，计算盒子的棱长. 解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，列出方程 整理得 x2=25. 根据平方根的意义得 即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm． x=±5. 用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义. 10×6x2=1500. Administrator (A) - 引导学生体会实际问题当中的一元二次方程的解有什么特殊要求，为后续学习一元二次方程的应用做好铺垫. 课堂小结 直接开平方法 概念 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 $