21.1认识一元二次方程 课件 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

21.1 认识一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念；(重点) 2.了解一元二次方程的一般形式； (重点) 3.经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点） 2 导入新课 回顾与思考 而立之年督东吴，早逝英年两位数。 十位恰小个位三，个位平方与寿符。 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 意思是：周瑜30岁开始统领东吴，去世时年龄是两位数。十位数字比个位数字小3，个位数字的平方正好等于他的年龄。 设个位数字为 ，则十位数字为 ，年龄可表示为： 根据"个位平方与寿符"： 整理一下，得到： 同学们观察这个方程，它和我们学过的一元一次方程有什么不同？ 有一首改编的诗这样写道： （1）它们是一元一次方程吗？ （2）与一元一次方程有何异同？ （3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 特点： 等号两边都是整式 ① 只含有一个未知数 ② 未知数的最高次数是2 ③ 一元二次方程的概念 一 请观察下面两个方程并回答问题： 含有 1个未知数，并且未知数的 最高次数为2 的 整式方程叫做一元二次方程 三个判断要点 ①只含有一个未知数（"一元"） ②未知数最高次数是2（"二次"） ③必须是整式方程（分母不含未知数） 归纳 例1　下列方程中，哪些是一元二次方程？ （2） （3） （a、b、c为常数） （4） （1） 方程中含有 x 和 y 两个未知数. 当 时二次项消失，不是一元二次方程. 符合一元二次方程的概念. √ ⅹ ⅹ ⅹ 方程中含有 分式项，不是整式方程. 不是，分母含未知数 是，化简后 不是，化简后无二次项 不是，含有两个未知数 注意：必须加 是，化简后 先化简（去括号、移项、合并同类项），再按三个要点判断！ 判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由： 变式 ① ② ④ ③ ⑤ ⑥ 方法总结： 一元二次方程的一般形式 归纳 二次项 一次项 常数项 二次项系数 a 一次项系数 b 常数项 c 想一想 2. 各项系数都要带上前面的符号（正号可省略，负号不能丢） 重要提醒： 1. a ≠ 0 是必要条件，b、c 可以为 0； 在一般式 中 为什么要限制 可以为零吗？ 例2　将方程化为一般形式并确定各项系数 把方程 化为一般形式，写出各项系数。 解： 去括号，得　 移项、合并同类项，得　 各项系数 二次项系数 3 一次项系数 −5 常数项 −12 确定一元二次方程的各项系数及常数项需要注意 （1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行. （2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号. （3）二次项系数a≠0. （1） （2） （3） （4） 把下列方程化为一般式，并写出二次项、一次项、常数项. 变式 移项合并后： 二次项系数：1 一次项系数：6 （1） 常数项：2 （1） （2） （3） （4） 把下列方程化为一般式，并写出二次项、一次项、常数项. 变式 移项后： 二次项系数：4 一次项系数：-3 常数项： （2） （1） （2） （3） （4） 把下列方程化为一般式，并写出二次项、一次项、常数项. 变式 （3） 移项整理得： 二次项系数：3 一次项系数：-2 常数项：1 （1） （2） （3） （4） 把下列方程化为一般式，并写出二次项、一次项、常数项. 变式 （4） 二次项系数：2 一次项系数：-7 整理（二次项系数化正）： 常数项：3 移项变号，系数带符号 约去公因数 二次项系数通常化为正 解题关键 1. 方程 是一元二次方程，求 a 的取值范围. 例3 方程 是一元二次方程，则 k = ? 解： 二次项系数不为零 ∵ ∴ ∴ 第一层 试一试 爬楼梯 2. 方程 是一元二次方程，m 满足什么条件？ 整理得 解： ∵ ∴ 第二层 试一试 爬楼梯 解得： 解： 由题意得 3. 方程 是一元二次方程， 求k . 第三层 试一试 爬楼梯 一元二次方程的根 能使一元二次方程成立的未知数的值叫做一元二次方程的解. 一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 解：将 代入方程 , 二 1. 若 是方程 的根，求 a. 第一层 试一试 爬楼梯 2. 已知 是方程 的解，求 . 解：将 代入 原方程得 ∴ 第二层 试一试 爬楼梯 解：将 代入原方程得 因式分解得 ∵，∴ 即 ，∴ 3. 方程 有一个非零根 ，求 第三层 试一试 爬楼梯 第四层 试一试 爬楼梯 4. 若 m 是方程 的一个根，求 的值。 解：将 代入原方程得： ∴ ∴ ∴ 注意：整体思想的运用 第五层 试一试 爬楼梯 5.方程 有一个根为 2025，则方程 必有一个根为？ 所以原方程中根的值 = 新方程中 的值 整理 得： ∴ ∴ 解： 第五层 试一试 爬楼梯 5.方程 有一个根为 2025，则方程 必有一个根为？ 方法总结： 遇到结构相似的两个方程，先化成相同形式，再比较"谁替换了谁"。原方程的根 = 新方程中被替换部分的值，解出新未知数即可。 当堂练习 1. 判断下列方程中，哪些是一元二次方程. （1） （2） （3） （4） （5） 则这个方程可 2. 若一元二次方程有一个根是 , （ ） A. B. C. D. D 以是 √ ⅹ √ ⅹ ⅹ 3.已知关于x的一元二次方程 一个根为1, 求 的值. ax2+bx+c=0 (a≠0) 思考 若 ,你能通过观察,求出 的一个根吗? a+b+c=0 ax2+bx+c=0 (a≠0 ) 拓广探索 若 , ，你能通过观察,求出方程 的一个根吗? 课堂小结 1. 含有 1个未知数，并且未知数的 最高次数为2 的 整式方程叫做一元二次方程 2.一元二次方程的一般形式 3.能使一元二次方程成立的未知数的值叫做一元二次方程的解. $