第3章 圆的基本性质 单元测试卷 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版2026年九年级上册 第3章 圆的基本性质 单元测试卷 满分120分 时间120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．已知⊙O的半径为6，点A到圆心O的距离为7，则点A与圆的位置关系为（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 2．如图，在⊙O中，若∠ABC＝58°，则∠AOC的度数为（　　） A．105° B．110° C．116° D．126° 3．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于H，连接OB、OC，则下列结论中错误的是（　　） A．BH＝CH B．OH＝AH C．AB＝AC D．∠AOB＝∠AOC 4．如图，拱桥可以近似地看作直径为200m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为120m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　） A．20m B．40m C．60m D．80m 5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．110° C．70° D．109° 6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，⊙O的直径为DM，连接AM，BM，CM，EM．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：∠BMC＝36°；小丽：1．下列关于两人结论的判断中，正确的是（　　） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 8．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为6cm，当滑轮上点A转过的度数为30°时，重物上升了（　　） A． B．πcm C．3πcm D．6πcm 9．如图，AB是⊙O的直径，等腰三角形ABC的底边BC、腰AC分别交⊙O于点D，E，其中弦EF⊥AB．连结OD，DF，设∠A＝x度，∠FDO＝y度，则（　　） A．x+y＝90 B．2x+y＝180 C．x+2y＝180 D．3x+2y＝180 10．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为⊙O上的一点，且点B，F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图形△ABG，连接GC，若GB＝2，，则GC的长度是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝16，则⊙O的半径为　 　 ． 12．在⊙O中，弦AB＝9，∠AOB＝120°，则⊙O的半径为　 　 ． 13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，则∠A的度数等于　 　 ． 14．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为　 　 ． 15．如图，AC为半圆O的直径，B为半圆O上的一点，连接AB，BC，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点D．若BC＝2，AC＝4，则阴影部分的面积为　 　 ．（结果保留π） 16．如图，公园花坛是正多边形，小明在路边发现公园花坛被圆形装饰物遮住．若将正多边形的两边延长交于点C，测量出∠C＝100°，则正多边形的边数n＝　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：ED＝EB． 18．（8分）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图（1）的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图（2）位置，若正六边形的边长为2cm，求正六边形的中心O运动的路程． 19．（8分）如图是我国古代园林的圆形拱门，它是⊙O的一部分．已知拱门的地面宽度CD＝2m，线段EM是过圆心且垂直CD于点M，EM＝2m，求构成该拱门的⊙O的半径． 20．（8分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F． （1）当∠B＝50°，∠E＝35°时，求∠F的度数． （2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请用含有α，β的代数式表示∠B的大小． 21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 22．（10分）AC为⊙O的一条弦，将弦AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连接DC． （1）如图1，若AD与⊙O相切，判断DC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）如图2，以OC为边作等边三角形COP，点P落在⊙O上，连接PA，OD． ①求证：△ACP≌△DCO； ②若OC＝2，求OD的最大值及此时的长． 23．（10分）综合与实践：起跑线中的数学 有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的． 体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究．在图3中，弯道跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，OA与直线跑道垂直．最内道的跑步路线（图3中的虚线，称为“标准路线”）与跑道的最内侧线处处等宽．起跑点C1是OA与标准路线的交点，OC1＝6．从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等． 【认识原理】 C是起跑线上异于点C1的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点． （1）M是上异于点T的一点．线段CM与的长度之和　 　 切线CT的长．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）从点C1出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线跑完全程．小组成员发现：切线CT的长与的长相等．他们的发现是否正确？为什么？ （3）过起跑线上一点C2（点C2在点C的外侧）作虚线半圆的切线，切点为T2.判断切线C2T2，CT的长度之差与的长是否相等？请说明理由． 【理解原理】 C3是起跑线上的一点，经测量，点C3与圆心O的距离为10．设从点C3出发的选手沿切线方向跑到点T3后，再沿标准路线跑完全程，求∠C1OT3的度数．（结果保留π） 【设计方案】 请在第5跑道外侧线上确定起跑点C4的位置．（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点C4的步骤） 24．（12分）如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．【解答】解：∵⊙O的半径为6，点A到圆心O的距离为7， ∴点A与圆的位置关系为：点A在圆外． 故选：C． 2．【解答】解：∵∠ABC＝58°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝116°， 故选C． 3．【解答】解：∵BC是⊙O的弦，OA⊥BC于H， ∴BH＝CH，， ∴AB＝AC，∠AOB＝∠AOC， 得不出OH＝AH，故选项B符合题意． 故选：B． 4．【解答】解：如图，设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA， ∵拱桥可以近似地看作直径为200m的圆弧，路面AB长度为120m， ∴，， ∴， ∴CD＝OD﹣OC＝100﹣80＝20（m）， ∴这些钢索中最长的一根为20m， 故选：A． 5．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠D＝70°， ∴∠B＝180°﹣70°＝110°， 故选：B． 6．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°， ∴∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝60°， ∵∠ADC＝50°， ∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠CEB＝∠B+∠BDE＝60°+40°＝100°， 故选：A． 7．【解答】解：连接OA、OB、OC、OE，OA交EM于P点，如图， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠BOC72°， ∴∠BMC∠BOC＝36°，所以小慧的结论正确； ∵O点和D点都在AB的垂直平分线上， ∴DM垂直平分AB， 即DM为正五边形ABCDE对称轴， ∴EM＝CM，∠AME＝∠BMC＝36°，∠AOM＝∠BOM∠AOB＝36°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣36°）＝72°， ∴∠MPA＝180°﹣∠AMP﹣∠MAP＝72°， ∴∠MPA＝∠MAP， ∴AM＝PM， ∵∠EPO＝∠MPA＝72°，∠AOE＝72°， ∴∠EPO＝∠EOP， ∴EP＝OE＝OM， ∴1，所以小丽的结论正确． 故选：A． 8．【解答】解：由题知， 因为滑轮的半径为6cm， 所以滑轮上点A转过的度数为30°时，所对应的弧长为：π（cm）， 即重物上升了π cm． 故选：B． 9．【解答】解：连结OE、OF，则OF＝OD，∠BOE＝2∠A， ∴∠OFD＝∠FDO， ∵AB是⊙O的直径，且弦EF⊥AB， ∴， ∴∠BOF＝∠BOE＝2∠A， ∵等腰三角形的底边为BC， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠BOD＝∠A， ∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝2∠A+∠A＝3∠A， ∵∠FOD+∠OFD+∠FDO＝3∠A+2∠FDO＝180°，且∠A＝x度，∠FDO＝y度， ∴3x+2y＝180， 故选：D． 10．【解答】解：如图，延长GA交⊙O于点H，连接BH，CH， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC＝45°， ∴∠BHA＝∠BFA＝∠BCA＝45°， ∠BAC＝∠BHC＝45°， ∴∠AHC＝∠BHC+∠BHA＝90°， 在Rt△GHC中， GH2+HC2＝GC2， ∵作△ABF关于AB对称的图形△ABG， ∴△ABG≌△ABF（SSS）， ∴∠BGA＝∠BFA＝45°， ∴∠GBH＝90°， ∴△GBH是等腰直角三角形， ∴GB＝BH＝2， ∴GH2＝GB2+BH2＝22+22＝8． ∵∠GBA＝∠GBH﹣∠ABH＝90°﹣∠ABH， ∠CBH＝∠ABC﹣∠ABH＝90°﹣∠ABH， ∴∠GBA＝∠CBH， 在△BAG和△BCH中， ， ∴△BCH≌△BAG（AAS）， ∴， 把代入GH2+HC2＝GC2中得GC2＝11， ∴若GB＝2，，则． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．【解答】解：连结OC，作OH⊥CD于点H， ∵CD是⊙O的弦， ∴CH＝DH， ∵⊙O的直径AB与弦CD相交于点P， ∴∠CHO＝∠PHO＝90°， ∵∠APC＝45°， ∴∠POH＝90°﹣∠APC＝45°， ∴∠APC＝∠POH， ∴PH＝OH， ∴PC＝CH+PH＝CH+OH，PD＝DH﹣PH＝CH﹣OH， ∵PC2+PD2＝16， ∴（CH+OH）2+（CH﹣OH）2＝16， 整理得CH2+OH2＝8， ∵CH2+OH2＝OC2， ∴OC2＝8， ∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为2， 故答案为：2． 12．【解答】解：过O点作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BHAB， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B（180°﹣∠AOB）（180°﹣120°）＝30°， 在Rt△OAH中，∵∠A＝30°， ∴OHAH， ∴OA＝2OH＝3， 即⊙O的半径为3． 故答案为3． 13．【解答】解：如图：⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，连接BO，则BO＝CO， ∴∠OCB＝∠OBC＝35°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣35°﹣35°＝110°， 根据圆周角定理可知，． 故答案为：55°． 14．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°， ∴∠BOD∠BOE120°＝40°， 故答案为：40°． 15．【解答】解：在Rt△ABC中，， ∵在Rt△ABC中，BC＝2，AC＝4， ∴∠A＝30°， ∴， ∵扇形的圆心角为∠A＝30°，半径为， ∴， ∴阴影部分面积． ∴． 故答案为：2π． 16．【解答】解：∵公园花坛是正多边形， ∴∠CAB＝∠CBA， 在△ABC中，∵∠C＝100°， ∴∠CAB＝∠CBA40°， 即正n边形的外角是40°， ∴n9， 即这个正多边形是正九边形， 故答案为：9． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．【解答】证明：如图，连接BD． ∵AB＝CD， ∴． ∴． ∴． ∴∠B＝∠D． ∴BE＝DE． 18．【解答】解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的边长为半径旋转60°， ∵正六边形的边长为2cm， ∴正六边形的中心O运动的路程运动的路径为：； ∵从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动， ∴正六边形的中心O运动的路程6π＝4π（cm）， 答：正六边形的中心O运动的路程4π． 19．【解答】解：连接OC．设⊙O的半径为xm， 根据题意得：EM⊥CD，CD＝2m， ∴CMCD＝1m， ∵EM＝2m， ∴OM＝EM﹣OE＝（2﹣x）m， 在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2， ∴（2﹣x）2+12＝x2． ∴x． 即构成该拱门的⊙O的半径为m． 20．【解答】解：（1）由条件可知∠DCF＝∠B+∠E＝85°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣∠B＝130°， ∴∠F＝∠ADC﹣∠DCF＝130°﹣85°＝45°； （2）由条件可知∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠DCF＝∠BAD，∠EAD＝∠BCD， ∴∠DCF+∠EAD＝180°， ∵∠DCF＝∠B+∠E，∠EAD＝∠B+∠F， ∴∠B+∠E+∠B+∠F＝180°， ∴2∠B+α+β＝180°， ∴． 21．【解答】（1）证明：如图，连接BD． ∵AB是⊙O的弦，半径 OD⊥AB， ∴D是 的中点， ∴， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠DBC， ∴BD＝CD， ∴AD＝CD， 即D为AC的中点； （2）如图，连接OA． ∵半径 OD⊥AB，垂足为H，AB＝6， ∴AHAB＝3， ∵D是AC的中点，， ∴， ∴DH2， 设OD＝OA＝r，则 OH＝r﹣2， 在 Rt△OAH中，OH2+AH2＝OA2， ∴（r﹣2）2+32＝r2， ∴， 即⊙O的半径为． 22．【解答】（1）解：DC与⊙O相切，理由如下： 连接OA，OC， ∵AD与⊙O相切， ∴OA⊥AD， ∴∠OAD＝90°， ∵弦AC绕点A顺时针旋转60°得到AD， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝∠D＝60°， ∴∠OAC＝30°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝30°， ∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝90°， ∴OC⊥CD， ∴DC与⊙O相切． （2）①证明：∵△ADC和△OPC都是等边三角形， ∴∠ADC＝∠ACD＝∠DAC＝∠POC＝∠OPC＝∠OCP＝60°，AD＝DC＝CA，PO＝PC＝OC， ∴∠PCO+∠OCA＝∠ACD+∠OCA， ∴∠PCA＝∠OCD， ∵， ∴△ACP≌△DCO（SAS）； ②解：∵△ACP≌△DCO（SAS）， ∴PA＝OD， 连接OA， ∵PO+OA≥AP， ∴当P、O、A三点共线时，PA的值最大， 此时AP＝PO+OA＝2+2＝4， ∴OD的最大值为4， ∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°， ∴． 23．【解答】解：【认识原理】 （1）连接MT．在△CMT中，由三角形的三边关系，得CM+MT＞CT； 又∵， ∴； 故答案为：＞； （2）正确，理由如下： 由题意可知，切线CT的长加上剩余路程等于总路程，的长加上剩余路程等于总路程， ∵不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等． ∴切线CT的长等于的长； （3）相等，理由如下： 同理（2）可得，C2T2的长等于的长， 又∵CT的长等于的长， ∴切线C2T2，CT的长度之差等于与的长的差，即等于的长； 【理解原理】 如图，连接OC3，T3，设∠C1OT3的度数为n°， 由题意可知，OT3＝OC1＝6， 在Rt△OC3T3中，， ∴的长为8，即， 解得， 即∠C1OT3的度数为； 【设计方案】 第一步：在半圆的标准路线上取一点T4，测出∠C1OT4的度数，计算的长， 第二步：过点T4作半圆的切线，交第5跑道外侧线于点C4，测量C4T4的长， 第三步：比较与C4T4的长度大小，调整半圆上点T4的位置，直到，此时该交点即为起跑点C4的位置． 24．【解答】解：（1）如图1中， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝4， ∴AB8， ∴⊙O的半径为4； （2）如图1中，连接OC，OD． ∵CD＝4，OC＝OD＝4， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴∠COD＝90°， ∴∠OCD＝45°， ∵AC＝OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°； （3）如图2中，连接OM，OC． ∵AM＝MD， ∴OM⊥AD， ∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J， 连接CJ，JM． ∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ， ∴CJ⊥OA， ∴CJ2， ∵CM≤CJ+JM＝22， ∴CM的最大值为22． 学科网（北京）股份有限公司 $