第3章 圆的基本性质 单元测试 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版2024九年级上第3章圆的基本性质单元卷，通过基础巩固与综合应用梯度设计，覆盖圆的核心性质，适配单元复习，体现几何直观与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|正多边形外角、圆内接四边形、圆心角等|结合过桥米线情境（题9），考查弧长计算，体现应用意识| |填空题|5|直径性质、圆周角、扇形面积等|题16以扇形为背景，融合中点连线与弧长计算，培养空间观念| |解答题|5|切线证明、垂径定理、几何综合等|题22三问递进，从基础证明到综合计算，考查推理能力与模型意识，贴合中考命题趋势|

浙教版（2024）九年级上 第3章 圆的基本性质 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 2．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC=110°，则∠ADC的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 3．如图，⊙O的半径为1，若∠A=60°，∠C=75°，则AC的长为（　　） A．1 B． C． D． 4．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC=140°，则∠D的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D为的中点，连接AC，若∠B=60°，则∠ACD的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点F，D分别为AC，BC的中点，以F为圆心，FD长为半径作弧，交AB于点G，交AC的延长线于点E，已知，AF=3，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 7．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CD与AB交于点E，连接OD，BC，AC，OD∥BC，∠A=24°，则∠D的度数为（　　） A．66° B．38° C．33° D．24° 8．如图，AB分别与⊙O交于两点B，C，AD与⊙O交于点D，连接CD，若CA=CD，∠A=20°，则∠BOD的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 9．中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径AB=20cm.喝汤时，若∠CAB=60°，则弧CB的长为（　　） A．10π B． C． D． 10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P点，若∠APB=120°．则的值为（　　） A． B． C． D． 11．如图，已知∠BAC=α（0°＜α＜180°），AB=m,AC=n,（m,n都是常数）．过A，B，C三点的圆与∠BAC的平分线交于点D，连结CD．当α变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．AD-CD B．AD2-CD2 C．AD+CD D．AD•CD 12．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点G是平面内的一动点，且D G=2，F是BG的中点，E是BC上一动点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值为（　　） A． B． C．9 D． 二．填空题（共5小题） 13．已知⊙O的半径是4cm,则⊙O中最长的弦长是______cm. 14．如图，在⊙O中，若∠CDB=60°，⊙O的直径AB等于4，则AC的长为______． 15．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠BCD=62°，则∠AOC的度数为 ______°． 16．如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，P，Q分别为OA，OB的中点，连接PQ，以点Q为圆心，QB为半径作弧，若OA的长为2，则阴影部分的面积为______． 17．如图，AB为⊙O的一条弦，△ABC为等边三角形，圆心O在△ABC内部，BC的延长线交⊙O于点D，连接AD，过点O作BC的垂线分别交BC，AC于点E，F．若CE=1，CD=3，则AD的长为______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO． （1）当∠BCO=30°时，求∠A的度数； （2）若CD=6，BE=6，求⊙O的半径． 19．如图，AB与⊙O相切于点B，以AB为边作菱形ABCD，交⊙O于点C，D，E是对角线BD上一点，在AB，AD上取点F，G，使∠FEG=60°． （1）求证：AD是⊙O切线； （2）求证：△ABD是等边三角形； （3）若BF=3，DG=9，求⊙O的半径． 20．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，O是圆心． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作以AC为对角线，AB、BC为边的平行四边形ABCD； （2）求证：AD是⊙O的切线； （3）若AB=3，BC=2，求⊙O的半径． 21．如图，点O是△ABC内部一点，连接OC，CO平分∠ACB，以点O为圆心，OC为半径的圆经过点B，交AC于点D，连接BO并延长交于点E，连接ED并延长交AB于点F． （1）求证：OC∥EF； （2）当∠EBF=2∠A时，求∠EFB的度数． 22．已知AB是⊙O直径，AC、AD为两条弦，连接CD与AB交于点H，AD=AC． （1）如图1，求证：AB⊥CD； （2）如图2，连接BC，弦DE⊥BC交AB于点K，连接CE，求证：AC=CE； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，点F在弧BD上，连接AF与CD交于点G，连接EF，若AG：EF=25：39，DG=2，AH=4，求BE的长． 浙教版（2024）九年级上 第3章 圆的基本性质 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、C 2、B 3、B 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C 9、D 10、A 11、B 12、A  二．填空题（共5小题） 13、8； 14、2； 15、56； 16、； 17、7；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）∵OB=OC，∠BCO=30°， ∴∠B=∠BCO=30°， ∵AB⊥CD， ∴∠BEC=90°， ∴∠BCD=90°-30°=60°， ∴∠A=∠BCD=60°； （2）∵AB⊥CD，CD=6， ∴CE=CD=3， ∵OC=OB，BE=6， ∴OE=BE-OB=6-OC， ∵∠OEC=90°， ∴CE2+OE2=OC2， ∴（3）2+（6-OC）2=OC2， 解得：OC=， 即⊙O的半径为． 19、（1）证明：如图1，四边形ABCD是菱形，AB与⊙O相切于B，连接OB，OD，OA， ∴AB=AD，OB⊥AB， 在△ABO和△ADO中， ， ∴△ABO≌△ADO（SSS）， ∴∠ODA=∠OBA=90°， ∴半径OD⊥AD， ∴AD是⊙O的切线； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠CBD，∠CDB=∠ADB，∠BAD=∠BCD，AB=AD=BC=CD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， 设∠OBD=∠ODB=x,则∠BOD=180°-2x, ∴， ∵AB与⊙O相切于B，OB是⊙O的半径， ∴OB⊥AB， ∴∠ABD=90°-x, ∴∠ABD=∠BCD， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵∠CDB=∠ADB，∠ABD=∠CBD， ∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，即∠ABD=60°， 在△ABD中，AB=AD且∠ABD=60°， ∴△ABD是等边三角形； （3）解：如图2，作FM⊥BD于点M，作EN⊥AD于点N，作OH⊥BD于点H，连接OB，OD，设BE=m,DE=n. 由（2）知△ABD是等边三角形， ∴AB=BD，∠ABD=∠ADB=∠BAD=60°， ∵∠FEG=60°， ∴∠BEF+∠GED=180°-60°=120°， 在△BFE中，∠BFE+∠BEF=180°-60°=120°， ∴∠BFE=∠GED， 又∵∠FBE=∠GDE=60°， ∴△BFE∽△DEG， ∴，∠BEF=∠DGE． ∴， ∴mn=27． ∵∠ABD=60°， ∴ ∴． ∵∠ADB=60°， ∴ ∴． ∵tan∠BEF=tan∠DGE， ∴， ∴， ∴， 解得：n=18， ∴， ∴． ∵△ABD是等边三角形， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，∠CBD=∠ABD=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°， ∴∠BOD=120°， ∵OH⊥BD， ∴∠BOH=60°，， ∵ ∴， 解得：（经检验，是原分式方程的解，且符合题意）， ∴⊙O的半径是． 20、（1）解：以AC为对角线，AB、BC为边的平行四边形ABCD，如图1即为所求； （2）证明：如图2，AB=AC，连接并延长AO交BC于点H，连接OC，OB，则OB=OC， ∴点A、点O都在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC，∠OHB=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OHB=∠OAD=90°， ∴半径OA⊥AD， ∴AD是⊙O的切线； （3）解：∵BC=AD=2，AO垂直平分BC交BC于点H， ∴， 在直角三角形ABH中，∠AHB=90°，AB=3， 由勾股定理得： ∵OA=OB， ∴， 在直角三角形BOH中，由勾股定理得：BH2+OH2=OB2， ∴， 解得：， ∴⊙O的半径长为． 21、（1）证明：∵∠ACO=∠BCO； 由题意得：OB=OC， ∴∠OBC=∠BCO=∠ACO， 由圆周角定理得：∠EDC=∠OBC， ∴∠ACO=∠EDC， ∴OC∥EF． （2）解：设∠ACO=α，∠A=β， ∴∠ADF=∠EDC=α，∠DCB=2∠ACO=2α，∠EBF=2∠A=2β， ∴∠EFB=∠ADF+∠A=α+β， 由圆周角定理得：∠E=∠DCB=2α， 在△BEF中，∠EFB+∠E∵∠ACO=∠BCO； 由题意得：OB=OC， ∴∠OBC=∠BCO=∠ACO， 由圆周角定理得：∠EDC=∠OBC， ∴∠ACO=∠EDC， ∴OC∥EF．+∠EBF=180°， ∴α+β+2α+2β=180°，解得α+β=60°． ∴∠EFB=α+β=60°． 22、（1）证明：∵AD=AC， ∴，即点A在CD的垂直平分线上， 又∵AB是⊙O的直径， ∴直径AB平分弧CD， 根据垂径定理，可得AB⊥CD． （2）证明：由（1）知， ∵AB⊥CD， ∴， ∴∠ACD=∠ABC， ∵DC⊥AB， ∴∠AHC=∠BHC=90°， ∴∠BAC+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠BAC=∠BCD， 又∵DE⊥BC， ∴∠CDE+∠BCD=90°，∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠CDE=∠ABC， ∴， ∴AC=CE； （3）解：延长FE至L使EL：EF=25：39，连接CF，CL，AE， 又∵AG：EF=25：39， 则AG=EL， 根据圆内接四边形的性质，有∠FAC+∠FEC=180°， 又∵∠CEL+∠FEC=180°， ∴∠FAC=∠CEL， 由（2）知，AC=CE， ∴△GAC≌△LEC（SAS）， ∴∠ECL=∠DCA=∠CFL，CL=CG， 又∵∠L=∠L， ∴△CEL∽△FCL， ∴， ∴， ∴， ∴， 设AG=5x,CG=8x,CD=8x+2，DH=1+4x,GH=DH-2=4x-1， 在Rt△AHG中，有AG2=AH2+GH2即（5x）2=（4x-1）2+42， 解得x1=1，（舍去）， ∴CH=DH=5，CD=10， 又∵∠ADH=∠ABC，∠AHD=∠CHB， ∴△ADH∽△CBH， ∴， 则AH•HB=CH•HD， ∴， ∴， 连接AE，由AB是直径，则∠BEA=90°， 又∵AD=AC=CE， ∴， ∴∠EAC=∠CEA=∠ADC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ACE， ∴△DAC≌△ACE（SAS）， ∴AE=CD=10， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $