河南省新乡市百师联考2026-2027学年高一上学期阶段检测(一)数学试题

2026—2027学年度高一上学期阶段检测（一） 数学参考答案及评分意见 1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．A 7．B 8．C 9．ABD 10．BD 11．ACD 12．7 13．28 14．9 15．解：（1）由，得或． 当时，，又因为，所以不满足集合中元素的互异性，故舍去； 3分 当时，，解得或（舍去），此时，符合题意． 所以． 6分 （2）由，得或 若则．又，所以该方程无解． 9分 若则，解得或 11分 当时，，，所以，满足题意； 当时，，，所以，满足题意． 所以存在或使得． 13分 16．（1）证明：必要性：因为，，均为正实数， 所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号． 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以若，则，必要性成立． 4分 充分性：若， 则，， 所以若，则，充分性成立． 所以成立的充要条件是． 8分 （2）因为，所以，即． 10分 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 14分 所以的最大值为1． 15分 17．解：（1）由题意，得． 2分 “”是“”的充分条件，． 4分 又， 解得， 实数的取值范围为． 7分 （2）方法一：命题“，”是真命题，． 9分 下面讨论的情形： ①当时，，，满足； 11分 ②当时，，若，则或，解得或，所以， 当时，，当时，． 13分 综上，命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 15分 方法二：命题“，”是真命题，． 9分 ． 即命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 15分 18．解：（1）由，解得或，所以或． 2分 ， 解一元二次方程，得，． 4分 当时，； 当时，； 当时，． 7分 （2）由题意，，且集合中有且仅有一个整数． 当时，，又或，所以，不符合题意，舍去． 10分 当时，，又或，所以． 所以中仅有整数，则，即． 13分 当时，，又或，所以中仅有整数， 则，即． 16分 综上，实数的取值范围为或． 17分 19．解：（1）根据差倍集的定义，，，， 当，时，； 2分 当，时，； 3分 当，时，． 6分 由集合中元素的互异性，可得． 7分 （2）由于，，则由集合中元素的互异性可知，且． 8分 当，时，的可能取值为2或3． 9分 当时，，则，，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 11分 当时，，则，，， 此时，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 13分 当，时，根据，，， 可得，，． 由于且，所以且，且． 14分 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下两种情况讨论： 若，则此方程无解； 若解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 16分 综上，所有满足条件的的值为2，10． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度高一上学期阶段检测（一）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．设集合，，则 A． B． C． D． 3．不等式的解集是 A． B． C． D． 4．已知集合，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 5．已知，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 6．“”是“命题，为假命题”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路单位时间内通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速．当安全距离取时，该道路的“道路容量”的最大值约为 A．90 B．96 C．110 D．122 8．设集合，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 10．已知，，，则下列结论正确的是 A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为3 D．的最小值为 11．下列说法正确的是 A．若，，则 B．关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 C．命题，不等式成立，则实数的取值范围为 D．真包含于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知全集，集合，，则的真子集个数为_____． 13．为了积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对学生假期玩游戏的时长进行了调查．某班共有50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，则班上这三种游戏都不玩的学生有_____人． 14．已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，集合． （1）若，求的值； （2）是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 16．（15分）（1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是； （2）已知，求的最大值． 17．（15分）设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 18．（17分）已知关于的一元二次不等式的解集为，的解集为，． （1）求集合，； （2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 19．（17分）设集合是正整数集的非空子集，对任意，，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． （1）当时，写出集合的差倍集； （2）设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值． 学科网（北京）股份有限公司 $