专题03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（期中真题汇编，青海专用）九年级数学上学期

专题03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点01 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点01 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．A 9．C 10．A 11．B 12．C 13．B 14．A 15．B 16．B 17．C 18．D 19．C 20．B 21．C 22．C 23．D 24．D 25．B 26．C 27．A 28．C 29．【答案】0 【分析】根据抛物线对称轴是y轴，可知对称轴为，利用对称轴可求b的值. 【详解】由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，即直线，b=0. 故答案为0 【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键. 30．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数性质等知识．抛物线上有两个对称点的坐标为和，则对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】 解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 31．【答案】1 【分析】 将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线． 32．【答案】 【分析】 考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键． 首先提取二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式． 【详解】 解： ， 故答案为：． 33．【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：① 以A为直角顶点；② 以D为直角顶点；③ 以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点，，， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． (3) 小问详解： 在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ① 当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ② 当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③ 当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】 本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 34．【答案】 【分析】 把抛物线化成顶点式，结合对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． 本题考查了顶点式的转化，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数有最小值， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最小值为2, ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 故的取值范围为． 故答案为：． 35．【答案】0 【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的对称性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】 解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴当时，y取得最小值， 当时， 当时，． ∴函数最大值为 0， 故答案为：0． 36．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的性质． 将二次函数化为顶点式，进而作答即可． 【详解】 解：， 所以顶点坐标为． 故答案为：． 37．【答案】10 【分析】 根据抛物线的顶点纵坐标=抛物线最值，列出关于m的方程，解答即可． 【详解】 根据抛物线顶点坐标公式得： ， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数最值问题，准确理解顶点坐标的横纵坐标是解题关键． 38．【答案】（1）抛物线的顶点坐标为     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． (1) 小问详解： 把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 39．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，写出一个的解析式即可 【详解】 解：根据题意， 故符合题意 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】 本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 40．【答案】四 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得顶点坐标是：，再由题意得到，，据此可得答案． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是：， ∵， ∴， ∴二次函数的顶点是在第四象限． 故答案为：四． 41．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的增减性． 二次函数开口向上，对称轴左侧函数递减，根据条件确定对称轴位置即可． 【详解】 解：二次函数的二次项系数为， 因此抛物线开口向上． 对称轴为直线， 当时，y 随 x 的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 42．【答案】（1） 如图所示，点D即为所求；      （2） 如图所示，点P即为所求． 【分析】 本题主要考查了二次函数的对称性，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）连接交直线l于E，连接并延长交抛物线于点D，则点D即为所求； （2）连接交直线l于点P，则点P即为所求；由对称性可得，则的周长，则当D、Q、P三点共线时，的周长有最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．【答案】(答案不唯一) 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 二次函数图象开口向下，则二次项系数为负；经过点，则常数项为1． 【详解】 解：设二次函数表达式为． ∵图象经过点， ∴当时， ，即，解得． ∵图象开口向下， ∴． 取，则． 故答案为∶ (答案不唯一)． 44．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算和时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】 解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为： 45．【答案】（1）     （2） 点在此函数图象上； 理由：当时，， 在此函数图象上．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征； （1）根据题意设出函数解析式，再把点代入求解即可； （2）求出时y的值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意设这个二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 略 46．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解题关键．由对称轴为直线，抛物线的开口向下， 可得距离对称轴越近的点的纵坐标越大，从而可判断① ；结合对称轴可判断② ，由图象可知，当时，函数有最大值1；可判断③ ，由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点，可判断④ ；从而可得答案． 【详解】 解：∵对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大， 而 ∴ 故① 符合题意； 由抛物线的对称轴为直线 ∴， ∴故② 不符合题意； 由图象可知，当时，函数有最大值1， ∴对任意，则有， ∴； 故③ 符合题意； 由图象可知，顶点在第一象限，开口向下的二次函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴； 故④ 符合题意； 故答案为：① ③ ④ ． 47．【答案】（1）     （2）或      【分析】 此题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积． （1）根据题意得出点的坐标为，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据二次函数的解析式，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标． (1) 小问详解： 对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，， 、两点关于直线对称， 点的坐标为， 点的坐标为； 将，代入 解得： 抛物线的解析式为 (2) 小问详解： 当时， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为，． 设P点坐标为， ∵， ∴， 解得：． 当时，； 当时，． ∴点的坐标为或． 48．【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题主要考查了待定系数法求解析式、抛物线中三角形的面积计算等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将分别代入得到方程组求解即可； （2）如图，过点D作y轴的平行线，交于M，根据解答即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为， 将分别代入得： ， 解得 ， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：如图：过点D作轴交于M， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得： ，解得： ， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，． ∴， ∴， ∴． 49．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及对称轴、开口方向对函数值取值范围的影响是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再分别计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 【详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， 抛物线开口向上，对称轴在范围内， 当时，的最小值为，且， 的取值范围为． 故答案为：． 50．【答案】（1），直线；     （2），．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，勾股定理，三角形三边关系． （）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式，即可作答； （2）根据三角形三边关系及勾股定理作答即可． (1) 小问详解： 解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：连接，可知， 当M在D上时，，达到最小值， ∵， ∴点的坐标为， 即点M的坐标为； 当时，， ∴， ∴ 51．【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，以及由对称轴求对称点，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 先根据对称轴求出抛物线与轴另一个交点坐标，再根据待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】 解：由图象可得对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， 将点，分别代入， 则 ， 解得 ， ∴这个二次函数的关系式为， 故答案为：． 52．【答案】（1），     （2） 图象如下，      （3）当时，函数值的取值范围      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可得顶点的坐标，令，求出的值即可得图象与轴交点B 的坐标； （2）先利用对称性列表，注意，要取整数，然后描点连线即可画出图象； （3）根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． (1) 小问详解： 解：化为顶点式得， 顶点的坐标为， 令，则， 点B 的坐标为； (2) 小问详解： 先利用对称性列表： 然后描点连线，得到的图象； … … … … (3) 小问详解： 二次函数， 当时，； 当时，； 二次函数的对称轴为直线，且， 当时，有最小值，， 当时，函数值的取值范围． 53．【答案】（1）直线：，抛物线：     （2）      【分析】 （1）将已知两点坐标代入解析式，求解方程组即可； （2）点P在第四象限，设，，则，所以时，取得最大值，得． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点，得 ，解得 ∴． 设直线的解析式为，经过，得 ，解得 ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：点P在第四象限，设，， ∴． 时，取得最大值，． ∴． 【点睛】 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数性质；由坐标表示线段长，进而运用二次函数性质是解题的关键． 54．【答案】（1,4）. 【详解】 解：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线 解得：b=2，c=3， 所以， 即该抛物线的顶点坐标是（1,4） 故答案为：（1,4）. 55．【答案】1 【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当时，y随着x的增大而增大，即可得到当时，当时取最小值，代入求解即可． 【详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，当时取最小值，最小值为， 故答案为：1 56．【答案】3 【分析】 本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④ ；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有② ③ ⑤ ，共个， 故答案为：． 57．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】 解：设， 于点E，于点F，， 为矩形， 在中，，， ，， ， ，， 矩形面积， 当时，面积最大为， 故答案为： 58．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，求出的表达式是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，则，当时，有最大值，此时． (1) 小问详解： 解：将点、代入， ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 解：如图所示： 当，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得 ， ， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，有最大值， 则当时，有最大值，此时． 59．【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移． （1）由题意设二次函数的顶点式，再把点代入求得的值，最后把二次函数的顶点式化为一般式，即可求出、、的值； （2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可． (1) 小问详解： 解：二次函数图象的顶点为， 设顶点式， 代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 展开得，故，，． (2) 小问详解： 解：向上或向下平移抛物线， 设平移后的抛物线为， 代入，得，解得， 平移后的抛物线的表达式为． 60．【答案】（1），对称轴为直线     （2）如图：      （3）①当时，y随x的增大而增大；②      【分析】 本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图象与性质，正确画出图象是解答本题的关键． （1）直接利用配方法将一般式化为顶点式即可求； （2）利用顶点式，结合“五点画图法”即可画出函数图象； （3）① 观察图象即可求解； ② 根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：如图所示， 0 6 8 6 0 (3) 小问详解： 解：① 由图象知，当时，y随x的增大而增大； ②∵，对称轴为直线， ∴当，随的增大而减小， 当时，，时，， ∴当，的取值范围是． 61．【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． (1) 小问详解： 解：把，代入， ∴ ， 解得： ， 则抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； (3) 小问详解： 解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 62．【答案】（1）；     （2） 画出抛物线，如图所示．      （3）；     （4）      【分析】 本题主要考查了二次函数的三种形式、二次函数的图象画法、二次函数图象的平移以及二次函数与三角形面积的综合应用，熟练掌握配方法、二次函数图象平移规律以及三角形面积公式是解题的关键． （1）通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，即先提取二次项系数，再对括号内的部分进行配方． （2）先根据函数的顶点式确定顶点坐标，再求出与坐标轴的交点坐标，最后描点画图． （3）根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”来确定平移后的函数关系式． （4）先求出抛物线的顶点坐标以及与x轴交点的坐标，然后根据三角形面积公式计算面积，其中底为AB的长度，高为顶点M到x轴的距离． (1) 小问详解： 解： ， 即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵原函数顶点式为，沿x轴向右平移5个单位，再沿y轴向下平移3个单位． ∴平移后函数关系式为； (4) 小问详解： 解：∵， ∴顶点， 令，则， 解得或， ∴， ∴，顶点M到x轴的距离为， ． 63．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是根据已知信息建立合适的函数解析式． （1）根据顶点坐标为，设函数解析式为，再将点代入函数解析式求解a的值即可； （2）设函数解析式为，再根据经过A点与B点代入和对称轴公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵顶点坐标为， ∴设函数解析式为， ∵函数经过点， ∴， 解得， ∴函数解析式为； (2) 小问详解： 解：设函数解析式为， ∵经过点，， ∴ ， 解得 ， ∵对称轴为直线， ∴，整理可得， 联立 ， 解得 ， ∴函数解析式为． 64．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．由抛物线的对称性可知，当时，，可判断① 结论；根据抛物线的顶点坐标得出对称轴，可判断② 结论；利用抛物线的最值可判断③ ④ 结论． 【详解】 解：由图象可知，抛物线开口向下， 抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， ，① 结论正确； 抛物线的顶点坐标为， ， ， ，② 结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为， 当时，抛物线有最大值为， ，即（的任意实数），③ 结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为， 一元二次方程有两个不相等的实数根，④ 结论错误； 故答案为：① ② ③ ． 65．【答案】（1） 将表格补充如下：     （2） 如图二次函数的图象即为所求； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 …      （3）；     （4）或.      【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． （1）将3、4代入解析式计算即可； （2）结合表格描点法画出二次函数图形即可； （3）观察图象即可求出x的范围； （4）利用函数图形，写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可． (1) 小问详解： 解：当时，； 当时，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图象可知，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：当时，，解得，． 由图象可知，当时，或． 故答案为：或. 66．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）求出一次函数解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，得到直线与直线的交点为，即可求出的面积； （3）根据函数图象的交点的横坐标和图象的位置关系即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线过点和， ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 一次函数经过点和点， ， 解得 ， 一次函数解析式为， 联立得到 ， 解得 或 ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为, 当时，， ∴直线与直线的交点为， ∴的面积为． (3) 小问详解： ∵，， ∴当或时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， ∴二次函数值小于一次函数值的的取值范围为或． 67．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】 解：设， ∵于点E，于点F，， ∴为矩形， ∵在中，，， ∴,， ∵， ∴，， 矩形面积， ∴当时，面积最大为， 故答案为： ． 68．【答案】（1）     （2）     （3）或或或或      【分析】 （1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，进而分来讨论，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， ； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ， ， ，， 由得，，， ， ； (3) 小问详解： 解：令， 解得或， ， 设， ∵， 则，，， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， 解得， 或； 当时，则， ， 解得， 或； 综上，坐标为或或或或． 【点睛】 本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 69．【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，设，求出，，，令或，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：设直线的表达式为， 将代入得： 解得， 直线的表达式为， 如图，设点，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； (3) 小问详解： 解：二次函数的对称轴为直线， 设， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵点的水平距离为，竖直距离为， ∴由勾股定理得，， 同理，得， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】 本题为二次函数综合题，涉及二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，分类求解是本题解题的关键． 70．【答案】（1），点的坐标为；     （2）点的坐标为；     （3）；     （4）点的坐标为、、．      【分析】 （1）将点、的坐标代入二次函数解析式，求出的值，得到解析式，再令求出点的坐标． （2）先求出直线的解析式，设点的坐标，进而表示出、的坐标，根据列方程求解． （3）用含的式子表示出的长度，转化为二次函数求最值问题． （4）先求出的面积，再根据面积相等求出点的纵坐标，代入抛物线解析式求解． (1) 小问详解： 解：二次函数经过点，， 将代入得：，即， ， 二次函数解析式为， 令，则，即， 或， 点的坐标为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得 ， 直线的解析式为， 设点的坐标为（），则，， ，， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， 点的坐标为； (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ， 当时，有最大值，最大值为； (4) 小问详解： 解：，，， ， ∴的面积为， 设点的坐标为，则的面积为， ， 解得或， 当时，，即， 解得（舍去）或，此时， 当时，，即， 解得，此时或， 综上，点的坐标为、、． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的解析式求解、一次函数解析式求解、二次函数的最值、三角形面积等知识点，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解题的关键． 71．【答案】（1）对称轴为，的取值范围为 （2）的取值范围为 （3）的取值范围为 （4）的值为或 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，包括对称轴公式、二次函数在区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论是解题的关键． （1）先根据二次函数对称轴公式求出对称轴，再判断对称轴与给定区间的位置关系，分别计算区间端点和对称轴处的函数值，从而确定的取值范围． （2）先求对称轴，判断其与区间的位置关系，再计算区间端点和对称轴处的函数值，确定的取值范围． （3）先求对称轴，找到函数最小值为时的值，再根据区间确定的取值范围． （4）根据二次函数顶点式的性质，分对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况讨论，求出的值． 【详解】 解：（1）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为， 故答案为：直线，； （2）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为． （3）， ∴对称轴为直线， 当时，． ∵当时，函数最小值为， ∴． （4）二次函数的顶点为，且，抛物线开口向上． 当时，在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 当时，的最小值为，不符合题意． 当时，在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 综上，的值为或． 72．【答案】（1）     （2）     （3）的最大值为4，      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，与面积的综合问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线与轴的另一个交点B，再由待定系数法求解； （3）过点作轴交于点，设，则，则，由建立起二次函数关系式，再由二次函数的性质求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 ∴ ，解得 ， ∴函数表达式为； (2) 小问详解： 解：对于，当时，则， 解得或 ∴, 设直线， 则 ，解得 ， ∴直线的函数解析式为； (3) 小问详解： 解：过点作轴交于点， 设，则， ∴ ∵ ∴ ， ∵， ∵， ∴当时，取得最大值为4， 此时． 73．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【分析】 （1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）当y=0时，0=﹣x2+x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 ， 解得： ， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN， =××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=， ∴E（2，1）． 【点睛】 1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点01 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知，，是抛物线上的点，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意可得对称轴直线为，且对称轴左侧函数值随的增大而减小，在对称轴右侧函数值随的增大而增大．再利用对称性找到点关于对称轴对称的点，由此可得，根据增减性，故． 【详解】 解：抛物线的对称轴直线为，且， 在对称轴左侧函数值随的增大而减小，在对称轴右侧函数值随的增大而增大． 点关于对称轴对称的点为， ， ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴是解题的关键． 2．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】 ∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 3．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）抛物线的对称轴是直线（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 抛物线的对称轴公式为，利用公式直接计算可得答案． 本题考查了抛物线的对称轴，熟练掌握对称轴方程的公式是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴抛物线对称轴为直线． 故选：C． 4．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）若二次函数的图象经过点，则a的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】 解：把代入可得，，解得 故选：B． 5．（25-26学年九上·青海西州格尔木市三校·期中）二次函数图象上的三个点，比较之间的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数值的大小比较，需先确定顶点位置，再计算各点纵坐标，然后相比即可得出答案． 【详解】 解：二次函数的顶点横坐标为， 代入得顶点纵坐标，即顶点为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，则取最小为， ∴为最小值． 当时，， 当时，， 则， 故选：C． 6．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质，逐一判断即可． 【详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故① 正确； 对称轴为直线， 整理得，故② 正确； 由图象可知，当时，即图象在x轴上方时， 或，故③ 错误， 由图象可知，当时，， 当时，， ， 即， 则，故④ 不正确； ， ， ， ， ， 即，故⑤ 错误． 则正确的有① ② ，共2个， 故选：C． 7．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了根据二次函数的性质比较函数值的大小，把点，，代入解析式分别求出函数值，即可比较，，之间的大小． 【详解】 解：分别把，，代入函数解析式得 ，，， ∴． 故选：A 8．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】 解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 9．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负， 再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】 解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， ∴， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故① 符合题意， ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于， 即， ∴，故② 符合题意， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即，故③ 符合题意， 由函数图象可知，当时，函数值小于零， ∴， 又∵， ∴， 即，故④ 符合题意， ∵抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， ∴当时，函数值小于零， 又∵当时，函数值大于零， 则， ∴， ∴，故⑤ 不符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：C． 10．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴，以及一次函数的斜率与截距的意义是解题的关键． 先根据一次函数的图象确定的符号，再结合二次函数的开口方向、对称轴等性质，逐一判断选项是否符合． 【详解】 解：A、二次函数开口向上，；一次函数过一、三象限，，一次函数与y轴的正半轴相交，二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴右侧，符合，故A项可能． B、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故B项不可能． C、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故C项不可能． D、二次函数开口向下，；一次函数过二、四象限，，但二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴左侧，而图中对称轴在轴右侧，矛盾，故D项不可能． 故选：A． 11．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）已知二次函数，下列说法中不正确的是（     ） A. 该二次函数的图象的开口向下 B. 该二次函数图象的顶点坐标是 C. 该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D. 已知点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项B错误；求出当时，的值即可判断选项C正确；根据二次函数的增减性即可判断选项D正确． 【详解】 解：∵二次函数中的， ∴该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确； 二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标是，则选项B错误； 当时，，解得或， ∴该二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则选项C正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点和都在这个二次函数的图象上，且， ∴，则选项D正确； 故选：B． 12．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：；；；对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号，即， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故正确； 当时，，故正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴函数的最大值为：， ∴当为任意实数时，有， ∴，故正确； 综上所述，正确的有， 故选：． 13．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断① 正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断② ；可知时和时的y值相等可判断③ 正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④ 错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤ 正确． 【详解】 ① ∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故① 正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故② 正确； ③ 由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③ 错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是① ② ⑤ ，有3个， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 14．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】 二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 15．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）抛物线y=ax²＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为( ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据a、b、c的符号，根据二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，逐一讨论即可得答案． 【详解】 A.∵a＞0， ∴二次函数的图象开口向上，故该选项错误， B.∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，对称轴在y轴右侧， ∴c＞0，＞0， ∴b＜0， ∴对于一次函数y=bx＋c=0时，x=＞0， ∴一次函数与x轴交于x轴正半轴，故该选项正确， C.由B选项可知该选项错误， D.∵二次函数图象与y轴交于y轴负半轴，对称轴在y轴右侧， ∴c＜0，＞0， ∴b＜0， ∴对于一次函数y=bx＋c=0时，x=＜0， ∴一次函数与x轴交于x轴负半轴，故该选项错误， 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 16．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）若抛物线 y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（       ） A. 抛物线开口向上 B. 当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小 C. 对称轴为 x=﹣1 D. c 的值为﹣3 【答案】B 【分析】由条件可求得点 c 的值，再利用二次函数解析式，逐项判断即可． 【详解】解： ∵y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0，﹣3）， ∴c=﹣3，故 D 正确，不符合题意， ∴抛物线解析式为 y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为 x=﹣1，当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大，故 A、 C 正确，不符合题意，B 不正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是求得函数解析式、化为顶点式． 17．（25-26学年九上·青海西州格尔木市三校·期中）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（     ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】 解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 18．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（     ） … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；把代入函数解析式求出y值即可判断C；根据二次函数的图象和性质可对D进行判断． 【详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； 把代入， 解得：，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， 且， 离对称轴越近越小，则，所以选项D符合题意， 故选：D． 19．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，旋转的性质，二次函数图象上点的坐标特征，先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得，且轴，从而求得的纵坐标为，代入求得的解析式即可求得的坐标，根据题意求得的纵坐标是解题的关键． 【详解】 解：∵的顶点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线为， ∵点， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴点在轴上，且， ∴， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标为，代入，得， 解得， ∴， 故选：． 20．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（       ） A. 可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C. 可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 【答案】B 【分析】 求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分和两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可． 【详解】 解：在中， 对称轴为直线， 令，解得：，， ∴函数图像与x轴交于，， ∵， ∴离对称轴最远，离对称轴最近， 当时，开口向上， ∴； 当时，开口向下， ∴； ∴和可能最大，也可能最小， 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析． 21．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，利用图象特征判断字母系数的符号是解题的关键． 根据每个选项中的图象特征，分别判断一次函数和二次函数中的符号，再对比是否一致即可得出答案． 【详解】 解：A、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故B选项不符合题意 C、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故D选项不符合题意； 故选：C． 22．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数 的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣1） B. （2，﹣1） C. （，﹣） D. （﹣，） 【答案】C 【详解】 ∵y=2x2﹣x﹣1=2（x﹣）2﹣ ， ∴二次函数顶点坐标为（，﹣）， 故选C． 23．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（     ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断． 【详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； ∵抛物线与轴的交点坐标为，且开口向上， ∴当时，，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， ∴当时，，当时，， ∴，所以选项D符合题意， 故选：D． 24．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是　　 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系． 【详解】二次函数， 对称轴为， ， 时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ，，在二次函数的图象上，且，， ． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 25．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（       ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故① 正确， ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故② 错误， ∵， ∴，故③ 正确， ∵时，， ∴，故④ 错误， ∵，且对称轴为直线， ∴抛物线与横轴另一个交点坐标为， 通过图象可得，当时，，故⑤ 错误， 故选：B． 26．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是根据图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数符号及函数值的变化． 由开口方向得的符号，由对称轴位置得的符号，由与轴交点得的符号，判断abc的符号；代入、得对应函数值，判断② ③ ；根据二次函数的最值性质，判断④ ． 【详解】 解：由图象知：图象开口向上，故；对称轴是直线，故，；与轴交于负半轴，故． ① ，，，则，正确； ② 当时，，由图象知时，，错误； ③ 当时，，由图象知时，，正确； ④ 当时，是最小值，故对任意，，即，正确． 综上，① ③ ④ 正确，共3个． 故选：C． 27．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（       ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ③④ 【答案】A 【分析】 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a＋b＝0；当x＝−1时，y＝a−b＋c；然后由图像确定当x取何值时，y＞0． 【详解】 解：① ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴ab＜0，故正确； ② ∵对称轴x＝−＝1， ∴2a＋b＝0；故正确； ③ ∵2a＋b＝0， ∴b＝−2a, ∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0， ∴a−（−2a）＋c＝3a＋c＜0，故错误； ④ 根据图示知，当x＝1时，有最大值； 当m≠1时，有am2＋bm＋c＜a＋b＋c, 所以a＋b≥m（am＋b）（m为实数）． 故正确． ⑤ 如图，当−1＜x＜3时，y不只是大于0． 故错误． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握① 二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；② 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③ 常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 28．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）如图，在菱形中，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数关系大致是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点F作交的延长线于H，连接，由菱形的性质得是等边三角形，进而可证明，得；在中求得，利用得到关于t的二次函数，结合t的范围即可确定函数的图象． 【详解】 解：如图，过点F作交的延长线于H，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴，， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴的面积y与运动时间t的函数关系是抛物线的一部分， 当时，则， 当时，，最小， 当时，则， 即选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，二次函数的图象，熟练掌握这些知识，表示出的面积是解题的关键． 29．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如果抛物线的对称轴为y轴，那么实数b的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】0 【分析】根据抛物线对称轴是y轴，可知对称轴为，利用对称轴可求b的值. 【详解】由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，即直线，b=0. 故答案为0 【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键. 30．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数性质等知识．抛物线上有两个对称点的坐标为和，则对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】 解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 31．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）抛物线的对称轴为直线　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线． 32．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）将化成的形式为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键． 首先提取二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式． 【详解】 解： ， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）如图，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： （3）设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：① 以A为直角顶点；② 以D为直角顶点；③ 以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点，，， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． (3) 小问详解： 在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ① 当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ② 当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③ 当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】 本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 34．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）已知抛物线，当时，则的取值范围　　　　　　． 【答案】 【分析】 把抛物线化成顶点式，结合对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． 本题考查了顶点式的转化，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数有最小值， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最小值为2, ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 故的取值范围为． 故答案为：． 35．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值是　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的对称性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】 解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴当时，y取得最小值， 当时， 当时，． ∴函数最大值为 0， 故答案为：0． 36．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）二次函数，该函数的顶点坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的性质． 将二次函数化为顶点式，进而作答即可． 【详解】 解：， 所以顶点坐标为． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，m=　　　　　． 【答案】10 【分析】 根据抛物线的顶点纵坐标=抛物线最值，列出关于m的方程，解答即可． 【详解】 根据抛物线顶点坐标公式得： ， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数最值问题，准确理解顶点坐标的横纵坐标是解题关键． 38．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，已知抛物线经过点．    （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． (1) 小问详解： 把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 39．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，写出一个的解析式即可 【详解】 解：根据题意， 故符合题意 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】 本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 40．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数中，，则其图象的顶点是在第　　　　　象限． 【答案】四 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得顶点坐标是：，再由题意得到，，据此可得答案． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是：， ∵， ∴， ∴二次函数的顶点是在第四象限． 故答案为：四． 41．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数中，当时，随的增大而减小，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的增减性． 二次函数开口向上，对称轴左侧函数递减，根据条件确定对称轴位置即可． 【详解】 解：二次函数的二次项系数为， 因此抛物线开口向上． 对称轴为直线， 当时，y 随 x 的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 42．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点． （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【答案】（1） 如图所示，点D即为所求；      （2） 如图所示，点P即为所求． 【分析】 本题主要考查了二次函数的对称性，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）连接交直线l于E，连接并延长交抛物线于点D，则点D即为所求； （2）连接交直线l于点P，则点P即为所求；由对称性可得，则的周长，则当D、Q、P三点共线时，的周长有最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）已知二次函数的图象开口向下，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】(答案不唯一) 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 二次函数图象开口向下，则二次项系数为负；经过点，则常数项为1． 【详解】 解：设二次函数表达式为． ∵图象经过点， ∴当时， ，即，解得． ∵图象开口向下， ∴． 取，则． 故答案为∶ (答案不唯一)． 44．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是：　　　　　　　　　（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算和时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】 解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为： 45．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值． （1）求这个二次函数的表达式 （2）试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由 【答案】（1）     （2） 点在此函数图象上； 理由：当时，， 在此函数图象上．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征； （1）根据题意设出函数解析式，再把点代入求解即可； （2）求出时y的值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意设这个二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 略 46．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，下列结论： ①如果点和都在抛物线上，那么 ②； ③（）； ④． 其中正确的结论是　　　　　　　　　　　．（填序号） 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解题关键．由对称轴为直线，抛物线的开口向下， 可得距离对称轴越近的点的纵坐标越大，从而可判断① ；结合对称轴可判断② ，由图象可知，当时，函数有最大值1；可判断③ ，由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点，可判断④ ；从而可得答案． 【详解】 解：∵对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大， 而 ∴ 故① 符合题意； 由抛物线的对称轴为直线 ∴， ∴故② 不符合题意； 由图象可知，当时，函数有最大值1， ∴对任意，则有， ∴； 故③ 符合题意； 由图象可知，顶点在第一象限，开口向下的二次函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴； 故④ 符合题意； 故答案为：① ③ ④ ． 47．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点；若点在抛物线上，且，求点的坐标； 【答案】（1）     （2）或      【分析】 此题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积． （1）根据题意得出点的坐标为，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据二次函数的解析式，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标． (1) 小问详解： 对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，， 、两点关于直线对称， 点的坐标为， 点的坐标为； 将，代入 解得： 抛物线的解析式为 (2) 小问详解： 当时， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为，． 设P点坐标为， ∵， ∴， 解得：． 当时，； 当时，． ∴点的坐标为或． 48．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，已知抛物线经过三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线顶点为，求的面积． 【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题主要考查了待定系数法求解析式、抛物线中三角形的面积计算等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将分别代入得到方程组求解即可； （2）如图，过点D作y轴的平行线，交于M，根据解答即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为， 将分别代入得： ， 解得 ， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：如图：过点D作轴交于M， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得： ，解得： ， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，． ∴， ∴， ∴． 49．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知二次函数，当时，的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及对称轴、开口方向对函数值取值范围的影响是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再分别计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 【详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， 抛物线开口向上，对称轴在范围内， 当时，的最小值为，且， 的取值范围为． 故答案为：． 50．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）点是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标及的最小值． 【答案】（1），直线；     （2），．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，勾股定理，三角形三边关系． （）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式，即可作答； （2）根据三角形三边关系及勾股定理作答即可． (1) 小问详解： 解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：连接，可知， 当M在D上时，，达到最小值， ∵， ∴点的坐标为， 即点M的坐标为； 当时，， ∴， ∴ 51．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，以及由对称轴求对称点，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 先根据对称轴求出抛物线与轴另一个交点坐标，再根据待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】 解：由图象可得对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， 将点，分别代入， 则 ， 解得 ， ∴这个二次函数的关系式为， 故答案为：． 52．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）已知二次函数，它的图象顶点为A，并且与轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1），     （2） 图象如下，      （3）当时，函数值的取值范围      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可得顶点的坐标，令，求出的值即可得图象与轴交点B 的坐标； （2）先利用对称性列表，注意，要取整数，然后描点连线即可画出图象； （3）根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． (1) 小问详解： 解：化为顶点式得， 顶点的坐标为， 令，则， 点B 的坐标为； (2) 小问详解： 先利用对称性列表： 然后描点连线，得到的图象； … … … … (3) 小问详解： 二次函数， 当时，； 当时，； 二次函数的对称轴为直线，且， 当时，有最小值，， 当时，函数值的取值范围． 53．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．        （1）分别求出直线和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接，求线段最长时点P的坐标． 【答案】（1）直线：，抛物线：     （2）      【分析】 （1）将已知两点坐标代入解析式，求解方程组即可； （2）点P在第四象限，设，，则，所以时，取得最大值，得． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点，得 ，解得 ∴． 设直线的解析式为，经过，得 ，解得 ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：点P在第四象限，设，， ∴． 时，取得最大值，． ∴． 【点睛】 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数性质；由坐标表示线段长，进而运用二次函数性质是解题的关键． 54．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　. 【答案】（1,4）. 【详解】 解：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线 解得：b=2，c=3， 所以， 即该抛物线的顶点坐标是（1,4） 故答案为：（1,4）. 55．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数中，当时，的最小值是　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当时，y随着x的增大而增大，即可得到当时，当时取最小值，代入求解即可． 【详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，当时取最小值，最小值为， 故答案为：1 56．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，抛物线（）与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是　　　　　　个． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④ ；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有② ③ ⑤ ，共个， 故答案为：． 57．（25-26学年九上·青海西州格尔木市三校·期中）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】 解：设， 于点E，于点F，， 为矩形， 在中，，， ，， ， ，， 矩形面积， 当时，面积最大为， 故答案为： 58．（25-26学年九上·青海西州格尔木市三校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作轴于点，交直线于点，当的长为最大值时，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，求出的表达式是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，则，当时，有最大值，此时． (1) 小问详解： 解：将点、代入， ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 解：如图所示： 当，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得 ， ， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，有最大值， 则当时，有最大值，此时． 59．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移． （1）由题意设二次函数的顶点式，再把点代入求得的值，最后把二次函数的顶点式化为一般式，即可求出、、的值； （2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可． (1) 小问详解： 解：二次函数图象的顶点为， 设顶点式， 代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 展开得，故，，． (2) 小问详解： 解：向上或向下平移抛物线， 设平移后的抛物线为， 代入，得，解得， 平移后的抛物线的表达式为． 60．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； （3）根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线     （2）如图：      （3）①当时，y随x的增大而增大；②      【分析】 本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图象与性质，正确画出图象是解答本题的关键． （1）直接利用配方法将一般式化为顶点式即可求； （2）利用顶点式，结合“五点画图法”即可画出函数图象； （3）① 观察图象即可求解； ② 根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：如图所示， 0 6 8 6 0 (3) 小问详解： 解：① 由图象知，当时，y随x的增大而增大； ②∵，对称轴为直线， ∴当，随的增大而减小， 当时，，时，， ∴当，的取值范围是． 61．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． (1) 小问详解： 解：把，代入， ∴ ， 解得： ， 则抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； (3) 小问详解： 解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 62．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知二次函数． （1）将函数关系式化为的形式； （2）在所给网格中画出此函数的图象． （3）若将此图象沿轴向右平移5个单位，再沿轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式． （4）若抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（在的右侧），求的面积． 【答案】（1）；     （2） 画出抛物线，如图所示．      （3）；     （4）      【分析】 本题主要考查了二次函数的三种形式、二次函数的图象画法、二次函数图象的平移以及二次函数与三角形面积的综合应用，熟练掌握配方法、二次函数图象平移规律以及三角形面积公式是解题的关键． （1）通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，即先提取二次项系数，再对括号内的部分进行配方． （2）先根据函数的顶点式确定顶点坐标，再求出与坐标轴的交点坐标，最后描点画图． （3）根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”来确定平移后的函数关系式． （4）先求出抛物线的顶点坐标以及与x轴交点的坐标，然后根据三角形面积公式计算面积，其中底为AB的长度，高为顶点M到x轴的距离． (1) 小问详解： 解： ， 即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵原函数顶点式为，沿x轴向右平移5个单位，再沿y轴向下平移3个单位． ∴平移后函数关系式为； (4) 小问详解： 解：∵， ∴顶点， 令，则， 解得或， ∴， ∴，顶点M到x轴的距离为， ． 63．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象过点，顶点坐标为． （2）已知图象经过点，，且对称轴为直线． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是根据已知信息建立合适的函数解析式． （1）根据顶点坐标为，设函数解析式为，再将点代入函数解析式求解a的值即可； （2）设函数解析式为，再根据经过A点与B点代入和对称轴公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵顶点坐标为， ∴设函数解析式为， ∵函数经过点， ∴， 解得， ∴函数解析式为； (2) 小问详解： 解：设函数解析式为， ∵经过点，， ∴ ， 解得 ， ∵对称轴为直线， ∴，整理可得， 联立 ， 解得 ， ∴函数解析式为． 64．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的序号是　　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．由抛物线的对称性可知，当时，，可判断① 结论；根据抛物线的顶点坐标得出对称轴，可判断② 结论；利用抛物线的最值可判断③ ④ 结论． 【详解】 解：由图象可知，抛物线开口向下， 抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， ，① 结论正确； 抛物线的顶点坐标为， ， ， ，② 结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为， 当时，抛物线有最大值为， ，即（的任意实数），③ 结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为， 一元二次方程有两个不相等的实数根，④ 结论错误； 故答案为：① ② ③ ． 65．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知二次函数，完成下列问题． （1）将表格补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 … （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； （3）当x________时，y随x的增大而减小； （4）当时，x的取值范围是________． 【答案】（1） 将表格补充如下：     （2） 如图二次函数的图象即为所求； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 …      （3）；     （4）或.      【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． （1）将3、4代入解析式计算即可； （2）结合表格描点法画出二次函数图形即可； （3）观察图象即可求出x的范围； （4）利用函数图形，写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可． (1) 小问详解： 解：当时，； 当时，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图象可知，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：当时，，解得，． 由图象可知，当时，或． 故答案为：或. 66．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交轴于点，经过原点的抛物线交直线于点，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）连结，求的面积． （3）根据图象直接写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）求出一次函数解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，得到直线与直线的交点为，即可求出的面积； （3）根据函数图象的交点的横坐标和图象的位置关系即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线过点和， ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 一次函数经过点和点， ， 解得 ， 一次函数解析式为， 联立得到 ， 解得 或 ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为, 当时，， ∴直线与直线的交点为， ∴的面积为． (3) 小问详解： ∵，， ∴当或时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， ∴二次函数值小于一次函数值的的取值范围为或． 67．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】 解：设， ∵于点E，于点F，， ∴为矩形， ∵在中，，， ∴,， ∵， ∴，， 矩形面积， ∴当时，面积最大为， 故答案为： ． 68．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积（请在图1中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 【答案】（1）     （2）     （3）或或或或      【分析】 （1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，进而分来讨论，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， ； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ， ， ，， 由得，，， ， ； (3) 小问详解： 解：令， 解得或， ， 设， ∵， 则，，， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， 解得， 或； 当时，则， ， 解得， 或； 综上，坐标为或或或或． 【点睛】 本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 69．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． （3）在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，设，求出，，，令或，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：设直线的表达式为， 将代入得： 解得， 直线的表达式为， 如图，设点，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； (3) 小问详解： 解：二次函数的对称轴为直线， 设， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵点的水平距离为，竖直距离为， ∴由勾股定理得，， 同理，得， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】 本题为二次函数综合题，涉及二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，分类求解是本题解题的关键． 70．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，已知二次函数经过点，，与x轴另一交点为点，点在线段上运动（不与点，点重合），过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． （1）求该二次函数的解析式及点的坐标； （2）若，求点的坐标； （3）求线段的最大值； （4）在抛物线上是否存在一点（不与点重合），使得的面积等于的面积，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），点的坐标为；     （2）点的坐标为；     （3）；     （4）点的坐标为、、．      【分析】 （1）将点、的坐标代入二次函数解析式，求出的值，得到解析式，再令求出点的坐标． （2）先求出直线的解析式，设点的坐标，进而表示出、的坐标，根据列方程求解． （3）用含的式子表示出的长度，转化为二次函数求最值问题． （4）先求出的面积，再根据面积相等求出点的纵坐标，代入抛物线解析式求解． (1) 小问详解： 解：二次函数经过点，， 将代入得：，即， ， 二次函数解析式为， 令，则，即， 或， 点的坐标为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得 ， 直线的解析式为， 设点的坐标为（），则，， ，， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， 点的坐标为； (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ， 当时，有最大值，最大值为； (4) 小问详解： 解：，，， ， ∴的面积为， 设点的坐标为，则的面积为， ， 解得或， 当时，，即， 解得（舍去）或，此时， 当时，，即， 解得，此时或， 综上，点的坐标为、、． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的解析式求解、一次函数解析式求解、二次函数的最值、三角形面积等知识点，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解题的关键． 71．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）综合与实践：综合与实践数学活动课上，老师给出了这样一个问题：已知二次函数，当时，则的取值范围是多少？ 【问题初探】 经探究发现：对于求二次函数区间范围内的最值时，需要对二次函数图象的对称轴与自变量的取值范围的位置关系（区间在对称轴左侧、对称轴右侧以及对称轴在区间内）进行讨论；再通过“数形结合”思想找出在区间取值范围内的最大值与最小值． 【问题解决】 （1）首先确定的对称轴为___________；并通过，2和对称轴的大小关系，分别确定了最大值和最小值，则的取值范围为___________． 【类比探究】 （2）二次函数，当时，的取值范围为___________； （3）二次函数，当时，函数的最小值为，的取值范围为___________． 【拓展应用】 （4）已知二次函数，当时，其对应的函数值的最小值为3，求常数的值． 【答案】（1）对称轴为，的取值范围为 （2）的取值范围为 （3）的取值范围为 （4）的值为或 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，包括对称轴公式、二次函数在区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论是解题的关键． （1）先根据二次函数对称轴公式求出对称轴，再判断对称轴与给定区间的位置关系，分别计算区间端点和对称轴处的函数值，从而确定的取值范围． （2）先求对称轴，判断其与区间的位置关系，再计算区间端点和对称轴处的函数值，确定的取值范围． （3）先求对称轴，找到函数最小值为时的值，再根据区间确定的取值范围． （4）根据二次函数顶点式的性质，分对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况讨论，求出的值． 【详解】 解：（1）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为， 故答案为：直线，； （2）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为． （3）， ∴对称轴为直线， 当时，． ∵当时，函数最小值为， ∴． （4）二次函数的顶点为，且，抛物线开口向上． 当时，在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 当时，的最小值为，不符合题意． 当时，在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 综上，的值为或． 72．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线的函数解析式； （3）若点是抛物线上的一动点且在直线下方，连接，设的面积为，求的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）的最大值为4，      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，与面积的综合问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线与轴的另一个交点B，再由待定系数法求解； （3）过点作轴交于点，设，则，则，由建立起二次函数关系式，再由二次函数的性质求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 ∴ ，解得 ， ∴函数表达式为； (2) 小问详解： 解：对于，当时，则， 解得或 ∴, 设直线， 则 ，解得 ， ∴直线的函数解析式为； (3) 小问详解： 解：过点作轴交于点， 设，则， ∴ ∵ ∴ ， ∵， ∵， ∴当时，取得最大值为4， 此时． 73．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）（多选）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【分析】 （1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）当y=0时，0=﹣x2+x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 ， 解得： ， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN， =××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=， ∴E（2，1）． 【点睛】 1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点01 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知，，是抛物线上的点，则（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）抛物线的对称轴是直线（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）若二次函数的图象经过点，则a的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（25-26学年九上·青海西州格尔木市三校·期中）二次函数图象上的三个点，比较之间的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）已知二次函数，下列说法中不正确的是（     ） A. 该二次函数的图象的开口向下 B. 该二次函数图象的顶点坐标是 C. 该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D. 已知点和都在这个二次函数的图象上，则 12．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：；；；对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 14．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）抛物线y=ax²＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为( ) A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）若抛物线 y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（       ） A. 抛物线开口向上 B. 当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小 C. 对称轴为 x=﹣1 D. c 的值为﹣3 17．（25-26学年九上·青海西州格尔木市三校·期中）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（     ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 18．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（     ） … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 19．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（       ） A. 可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C. 可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 21．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数 的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣1） B. （2，﹣1） C. （，﹣） D. （﹣，） 23．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（     ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 24．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是　　 A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（       ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 26．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 27．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（       ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ③④ 28．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）如图，在菱形中，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数关系大致是（　　） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如果抛物线的对称轴为y轴，那么实数b的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 30．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为　　　　　　． 31．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）抛物线的对称轴为直线　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）将化成的形式为　　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）如图，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： （3）设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 34．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）已知抛物线，当时，则的取值范围　　　　　　． 35．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值是　　　　　　． 36．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）二次函数，该函数的顶点坐标为　　　　　　． 37．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，m=　　　　　． 38．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，已知抛物线经过点．    （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 39．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式　　　　　　　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数中，，则其图象的顶点是在第　　　　　象限． 41．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数中，当时，随的增大而减小，则的取值范围是　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点． （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 43．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）已知二次函数的图象开口向下，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式　　　　　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是：　　　　　　　　　（填“”，“”或“”）． 45．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值． （1）求这个二次函数的表达式 （2）试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由 46．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，下列结论： ①如果点和都在抛物线上，那么 ②； ③（）； ④． 其中正确的结论是　　　　　　　　　　　．（填序号） 47．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点；若点在抛物线上，且，求点的坐标； 48．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，已知抛物线经过三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线顶点为，求的面积． 49．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知二次函数，当时，的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）点是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标及的最小值． 51．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为　　　　　　　． 52．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）已知二次函数，它的图象顶点为A，并且与轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． … … … … 53．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．        （1）分别求出直线和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接，求线段最长时点P的坐标． 54．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　. 55．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）二次函数中，当时，的最小值是　　　　　　　　　． 56．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，抛物线（）与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是　　　　　　个． 57．（25-26学年九上·青海西州格尔木市三校·期中）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为　　　　　　． 58．（25-26学年九上·青海西州格尔木市三校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作轴于点，交直线于点，当的长为最大值时，求点的坐标． 59．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 60．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； （3）根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 0 6 8 6 0 61．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 62．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知二次函数． （1）将函数关系式化为的形式； （2）在所给网格中画出此函数的图象． （3）若将此图象沿轴向右平移5个单位，再沿轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式． （4）若抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（在的右侧），求的面积． 63．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象过点，顶点坐标为． （2）已知图象经过点，，且对称轴为直线． 64．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的序号是　　　　　　　　　　　． 65．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知二次函数，完成下列问题． （1）将表格补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 … （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； （3）当x________时，y随x的增大而减小； （4）当时，x的取值范围是________． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 … 66．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交轴于点，经过原点的抛物线交直线于点，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）连结，求的面积． （3）根据图象直接写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围． 67．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为　　　　　　　． 68．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积（请在图1中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 69．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． （3）在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 70．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，已知二次函数经过点，，与x轴另一交点为点，点在线段上运动（不与点，点重合），过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． （1）求该二次函数的解析式及点的坐标； （2）若，求点的坐标； （3）求线段的最大值； （4）在抛物线上是否存在一点（不与点重合），使得的面积等于的面积，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 71．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）综合与实践：综合与实践数学活动课上，老师给出了这样一个问题：已知二次函数，当时，则的取值范围是多少？ 【问题初探】 经探究发现：对于求二次函数区间范围内的最值时，需要对二次函数图象的对称轴与自变量的取值范围的位置关系（区间在对称轴左侧、对称轴右侧以及对称轴在区间内）进行讨论；再通过“数形结合”思想找出在区间取值范围内的最大值与最小值． 【问题解决】 （1）首先确定的对称轴为___________；并通过，2和对称轴的大小关系，分别确定了最大值和最小值，则的取值范围为___________． 【类比探究】 （2）二次函数，当时，的取值范围为___________； （3）二次函数，当时，函数的最小值为，的取值范围为___________． 【拓展应用】 （4）已知二次函数，当时，其对应的函数值的最小值为3，求常数的值． 72．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线的函数解析式； （3）若点是抛物线上的一动点且在直线下方，连接，设的面积为，求的最大值，并求出此时点的坐标． 73．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）（多选）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $