精品解析：青海省西宁市海湖中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

西宁市海湖中学 2025-2026学年第一学期期中考试测试题 九年级数学 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 已知是方程 的两个根， 则的值为( ) A. 2 B. C. 3 D. 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象经过点，则该图象分别位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 6. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 当__________时，关于的方程是一元二次方程． 10. 抛物线顶点坐标为______． 11. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 12. 已知m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值为_______． 13. 若矩形长和宽是方程（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为_______． 14. 已知是二次函数，则实数______． 15. 若点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 16. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 17. 如图，是反比例函数图象上的一点，垂直于轴、垂足为，的面积为．若点也在此函数的图象上．则的值是________． 18. 如图，抛物线对称轴为直线，且经过点，下列结论： ①如果点和都在抛物线上，那么 ②； ③（）； ④． 其中正确的结论是___________．（填序号） 三、解答题（本大题共9小题，第19、20题每题10分，第21、22题每题8分，第23、24题每题10分，第25题8分，第26题12分，共76分．） 19. 解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 22. 某校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为40米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）_____米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点，． （1）求，对应函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 24. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，经市场调查，每天的销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式并指出售价为多少元时获得利润最大？ 25. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． （2）请仿照材料的方法，解下列方程： 26. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点；若点在抛物线上，且，求点的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市海湖中学 2025-2026学年第一学期期中考试测试题 九年级数学 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 已知是方程 的两个根， 则的值为( ) A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是方程 的两个根， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 3. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意每月的增长率为，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【详解】解：根据题意可知，二、三月份平均每月的增长率为， 则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 又第一季度共生产零件182万个， 则得：． 故选：B． 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握抛物线的平移变化规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由题意得，平移后解析式为：， 故选：D． 5. 若反比例函数的图象经过点，则该图象分别位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意得出，进而根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴函数的图象位于第一、三象限， 故选：A． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7. 如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：点A与关于原点对称， 点坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数． 8. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数y＝﹣， A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 当__________时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义可得，，据此解答即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 10. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式 的图象，根据二次函数 的顶点坐标是 ， 即可求出． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 12. 已知m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2﹣2m＝2，一元二次方程的根是指使方程成立的未知数的值． 【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣2＝0， ∴m2﹣2m＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 13. 若矩形的长和宽是方程（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为_______． 【答案】16 【解析】 【详解】解：设矩形的长和宽分别为，根据题意得； 所以矩形的周长=． 故答案为16． 14. 已知是二次函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 15. 若点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】将点，，，，，分别代入反比例函数，求得，，的值后，再比较它们的大小． 【详解】解：点，，，，，在反比例函数的图象上， ，即； ，即； ，即； ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 16. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 17. 如图，是反比例函数图象上的一点，垂直于轴、垂足为，的面积为．若点也在此函数的图象上．则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义，可得，从而得到，再将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴， ， 的面积为． ，即， 反比例函数解析式为， 点也在此函数的图象上， ，解得：． 故答案为： 18. 如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，下列结论： ①如果点和都在抛物线上，那么 ②； ③（）； ④． 其中正确的结论是___________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解题关键．由对称轴为直线，抛物线的开口向下， 可得距离对称轴越近的点的纵坐标越大，从而可判断①；结合对称轴可判断②，由图象可知，当时，函数有最大值1；可判断③，由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点，可判断④；从而可得答案． 【详解】解：∵对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大， 而 ∴ 故①符合题意； 由抛物线的对称轴为直线 ∴， ∴故②不符合题意； 由图象可知，当时，函数有最大值1， ∴对任意，则有， ∴； 故③符合题意； 由图象可知，顶点在第一象限，开口向下的二次函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴； 故④符合题意； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9小题，第19、20题每题10分，第21、22题每题8分，第23、24题每题10分，第25题8分，第26题12分，共76分．） 19. 解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ∴ 解得：． 【小问2详解】 ∴ ∴ ∴ 解得：． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴，， ∴， 解得：． 21. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】（1）见解析；（2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 22. 某校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为40米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）_____米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽． 【答案】（1） （2）12米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，理清各量之间的关系、列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式化简即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：若设菜地的宽为x米， 由题意可得：(米)． 故答案：． 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， 由题意可得：， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 所以，此时宽为12米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点，． （1）求，对应的函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先由点在反比例函数的图象上，求得反比例函数的解析式，即可求得点的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）求得直线与轴的交点为，然后根据求得即可； （3）观察图形，一次函数的值大于反比例函数的值，一次函数在反比例函数上面的部分． 【小问1详解】 把点代入，得， ， 把点代入中，得， ， 把点，代入直线得， 解得， ； 【小问2详解】 把代入得，， 直线与轴的交点为， ； 【小问3详解】 由图象可知，不等式的解集是或； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 24. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，经市场调查，每天销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式并指出售价为多少元时获得利润最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． （1）设，结合表格数据利用待定系数法求解，即可解题； （2）分析题意，根据总利润销售量 (售价成本)，结合（1）可得出与x的表达式； 再根据二次函数的图象和性质，求出二次函数的最大值就是最大利润，此时的x的值就是商品的售价． 【小问1详解】 解：每天的销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系， 设， 结合表格有， 解得， y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题知， 整理得， ， 当时，获得利润最大． 25. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． （2）请仿照材料的方法，解下列方程： 【答案】（1）降次 （2）， 【解析】 【分析】本题考查换元法解高次方程，通过换元达到降次的目的，将一元四次方程转化为一元二次方程求解． （1）根据材料，换元是为了降低方程的次数； （2）仿照材料方法，设，将方程转化为，解出后回代求解． 【小问1详解】 解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：降次． 【小问2详解】 解：， 设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，解得，； 当时，，此方程无实数解， ∴原方程的解为，． 26. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点；若点在抛物线上，且，求点的坐标； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积． （1）根据题意得出点的坐标为，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据二次函数的解析式，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标． 【小问1详解】 对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，， 、两点关于直线对称， 点的坐标为， 点的坐标为； 将，代入 解得： 抛物线的解析式为 【小问2详解】 当时， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为，． 设P点坐标为， ∵， ∴， 解得：． 当时，； 当时，． ∴点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $