专题04 等腰三角形（期中真题汇编，青海专用）八年级数学上学期

专题04 等腰三角形 考点01 等腰三角形 考点01 等腰三角形 1．D 2．C 3．A 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．C 11．D 12．D 13．【答案】 【分析】 根据所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】 解：∵垂直于横梁， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是斜梁的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了关于中点的计算以及含的直角三角形的性质，熟知所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 15．【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，余角的性质，解题的关键是证明． （1）根据等腰三角形的性质，得出，，根据余角的性质得出，即可得出，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．【答案】50° 【分析】 由基本作图可知CG⊥AB，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，CG平分∠ACB，利用∠A＝∠B和三角形内角和定理计算出∠ACB，进一步求得∠BCG的度数． 【详解】 解：由基本作图可知CG⊥AB， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B，CG平分∠ACB， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BCG＝∠ACB＝50°． 故答案为：50°． 【点睛】 本题考查了作图﹣基本作图和等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图是解答本题的关键． 17．【答案】的长为 【分析】 本题考查了角平分线的定义，直角三角形所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质．由角平分线的定义以及三角形内角和定理可求出，再根据直角三角形的性质可得，根据等角对等边可得，然后利用可求得． 【详解】 解：，， ． 是的平分线， ． ，． ． ． 的长为． 18．【答案】5 【分析】 根据角平分线可证∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，进而由等角对等边可知：BD＝OD，CE＝OE，进而可知AB＋AC＝9，进而可证BC的长度． 【详解】 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵DE∥BC， ∴∠BOD＝∠OBC，∠COE＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠COE， ∴BD＝OD，CE＝OE， ∵△ADE的周长为29， ∴AD＋DE＋AE ＝AD＋OD＋OE＋AE ＝AD＋BD＋CE＋AE ＝AB＋AC ＝9， ∵△ABC的周长是14， ∴AB＋AC＋BC＝14， ∴BC＝5， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查三角形等角对等边的性质，三角形角平分线，以及三角形周长公式，能够熟练掌握三角形等角对等边的性质是解决此类题型的关键． 19．【答案】45° 【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质得：∠AEC=∠ACE=，∠BFC=∠BCF=，从而利用∠EFC=∠BCF+∠ACE-∠ACB=+-90°=45°求解． 故答案为45°． 考点：等腰三角形的性质 20．【答案】（1）     （2） 证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，根据垂直的定义得出，进而得出，根据等角对等边，即可求解． (1) 小问详解： 解：，是的中点            即    又        (2) 小问详解： 略 21．【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ．     （2） 解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形边角边判定及等腰三角形底边上的三线合一，解题的关键是通过平行线的性质找到夹角相等． （1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据边角边判定即可证明； （2）由（1）得，根据等腰三角形底边上三线合一即可得到证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】 【分析】 该题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，根据等腰三角形的性质得到，进而得到． 【详解】 解：∵线段的垂直平分线交于， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理．由外角定义得其相邻的内角为，再根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理，判断该内角只能为顶角，从而求出底角． 【详解】 解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴与这个外角相邻的内角为． 若该内角为底角，则两个底角均为，顶角为，不符合三角形内角和定理，故不可能； ∴该内角为顶角，则底角为． 故答案为． 24．【答案】（1） 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形．     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在等腰中，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 25．【答案】见详解 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，证明，即可解答． 【详解】 证明：∵和是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∴． 26．【答案】 【分析】 本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，连接，根据中垂线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵的垂直平分线交于点、交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质及等腰三角形的判定， 根据平分得出，利用得出，从而得出，即可得出结论． 【详解】 解：是等腰三角形， 理由：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设，由等边对等角和三角形内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】 解：设， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．【答案】30 【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝70°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝40°，然后计算∠ABC﹣∠DBA即可． 【详解】 解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°， ∵OD垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°． 故答案为30． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了线段垂直平分线的性质． 30．【答案】（1）     （2） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）根据平行线的性质可得的度数，则可证明，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 31．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】 解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 32．【答案】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB． ∴△OAB是等腰三角形． 【分析】 （1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 33．【答案】 【分析】 本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点，解决此题的关键是判断出是等腰三角形. 先根据直角三角形中所对的边是斜边的一半，求出的长；再判断是等腰三角形，求出的长，即可解答； 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 34．【答案】11 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】 解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 35．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，由题意可得，设经过秒，与全等，由题意可得，，分两种情况：当点在线段上时，那么点在射线上；当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上；分别利用全等三角形的判定与性质，建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过秒，与全等， 由题意可得：，， 当点在线段上时，那么点在射线上，如图， ∵，， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，经过或秒时，与全等， 故答案为：或． 36．【答案】（1） 解：， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，推导出，而，，即可根据“..”证明； （2）由，，求得，则可证，由，可得，根据等边对等角可求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ∴， ∵， ∴， ． 37．【答案】18 【分析】 本题考查等腰三角形及含角的直角三角形，由，得．而，可知，，即得，故． 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 38．【答案】证明：∵点为的边的中点， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，证明，得到，进而得到，三线合一，即可得出结论。 【详解】 略 39．【答案】（1） 证明：∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2）第秒或第秒时，为直角三角形     （3）不变，      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； （3）由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设时间为t秒，则），， ① 当时， ∵， ∴，得， ∴； ② 当时， ∵， ∴，得， ∴； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． (3) 小问详解： 解：在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴． 40．【答案】（1）两底角相等，则两腰相等；     （2） 第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，CE是的平分线．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴． ∵CE是的平分线， ∴． ∴． ∴． 第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，．求证：CE是的平分线． 证明：∵， ∴． ∵是等腰三角形． ∴． ∴， ∴CE是的平分线．      【分析】 根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可． (1) 小问详解： ∵．∴．依据是两底角相等，则两腰相等； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定.熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 41．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题是图形与坐标的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质及三角形外角的性质即可求解； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为G、H，则可证明，从而有，求出即可求解； （3）在上取点N，使，连接，证明，则,；再证明得，由即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∵，轴，轴， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，在上取点N，使，连接； ∵，轴于点E，轴于点F， ∴； ∵， ∴， ∴,； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 42．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：过作， 由（1）可知 ∴， ∵，， ∴， ∴， （3） 【分析】 （1）由同角的余角相等，即可得出，即可证得，再根线段的和差关系即可证明结论； （2）过作，由（1）可知，即可得出，再由等腰三角形三线合一可得出：，即可的得出结论； （3）过作，由（1）可知，，即可得出，，再证得，得出，即可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）略 解：（3）过作， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质，利用类比方法添加辅助线构造全等是解题的关键． 43．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形 1大高频考点概览 考点01 等腰三角形 考点01 等腰三角形 1．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）在中，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两底角相等即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴（等腰三角形的两底角相等）， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】由于没有说明80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ① 当80°的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数＝（180°−80°）÷2＝50°； ② 当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°， 故它的底角度数是50°或80°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意80°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键． 3．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，在中，，为中线，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，首先根等边对等角得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【详解】 ∵在中，， ∴， ∵为中线， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 4．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）等腰三角形一个角是，则它的顶角的度数是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意分类讨论． 根据等腰三角形的性质，已知角可能是顶角或底角，分两种情况讨论顶角的度数． 【详解】 解：∵ 等腰三角形的一个角是， ∴ 当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为，顶角为， ∴ 顶角为或， 故选：D． 5．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】 解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 6．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，在中，，，，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．先在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图， 平分，于点，于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形的判定和性质，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，得出，得到，得出，根据三角形三边关系得到，故结论① ② ③ 正确；因为，故结论④ 正确；即可得到答案． 【详解】 解： 平分，于点，于点， ，， ， ； ， ， ； 故结论① ② ③ 正确； ∵， ∴， 故结论④ 正确； 正确结论的个数是个， 故选：D． 8．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查坐标与图形，过点作，则：，根据轴，得到，，进而求出点的坐标即可． 【详解】 解：∵轴，， ∴， 过点作，则轴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即：； 故选C． 9．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）下列各命题中，它们的逆命题不成立的是（     ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形的三个内角都相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】B 【分析】 本题考查命题与逆命题的真假判断，解决本题的关键是知道原命题成立时，逆命题不一定成立． 根据等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质进行判断即可． 【详解】 解：A、原命题：等腰三角形的两个底角相等， 逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形． ∵三角形中等角对等边， ∴逆命题成立，不符合题意； B、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题：对应角相等的三角形全等． ∵例如，大小不同的等边三角形对应角相等但不全等， ∴逆命题不成立，符合题意； C、原命题：等边三角形的三个内角都相等， 逆命题：三个内角都相等的三角形是等边三角形． ∵三角形内角和为，每个角为， ∴三边相等，逆命题成立，不符合题意； D、原命题：直角三角形的两个锐角互余， 逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形． ∵两个角互余，则第三个角为， ∴逆命题成立，不符合题意． 故选：B． 10．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（       ） A. ③④ B. ①② C. ①②③ D. ②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】 解：∵， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形．故① 正确， ，，即有，故② 正确， 的周长．故③ 正确， 不一定相等，故④错误， 故选：C． 11．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）下列条件①；②；③；④边上的高线和中线重合；⑤和边上的高相等；能确定为等腰三角形的是（     ） A. ②③⑤ B. ①②③④ C. ①②⑤ D. ①②④⑤ 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边、三线合一及面积法，逐一分析各条件是否充分，即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：①，则为等腰三角形，故① 符合题意； ②，则为等腰三角形，故② 符合题意； ③，不能确定为等腰三角形，故③ 不符合题意； ④边上的高线和中线重合，则为等腰三角形，故④ 符合题意； ⑤和边上的高相等，则为等腰三角形，故⑤ 符合题意； 综上，符合题意的有：① ② ④ ⑤ ， 故选：D． 12．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】 解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 13．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为　　　　　　m． 【答案】 【分析】 根据所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】 解：∵垂直于横梁， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是斜梁的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了关于中点的计算以及含的直角三角形的性质，熟知所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键． 14．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）在中，，求该三角形和的度数． 【答案】 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，余角的性质，解题的关键是证明． （1）根据等腰三角形的性质，得出，，根据余角的性质得出，即可得出，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图,在△ABC中，AC=BC，∠A=40∘，观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为 　　　　　　　 【答案】50° 【分析】 由基本作图可知CG⊥AB，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，CG平分∠ACB，利用∠A＝∠B和三角形内角和定理计算出∠ACB，进一步求得∠BCG的度数． 【详解】 解：由基本作图可知CG⊥AB， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B，CG平分∠ACB， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BCG＝∠ACB＝50°． 故答案为：50°． 【点睛】 本题考查了作图﹣基本作图和等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图是解答本题的关键． 17．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，在中，是的平分线，求的长． 【答案】的长为 【分析】 本题考查了角平分线的定义，直角三角形所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质．由角平分线的定义以及三角形内角和定理可求出，再根据直角三角形的性质可得，根据等角对等边可得，然后利用可求得． 【详解】 解：，， ． 是的平分线， ． ，． ． ． 的长为． 18．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若的周长为9，的周长是14，则　　　　　　． 【答案】5 【分析】 根据角平分线可证∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，进而由等角对等边可知：BD＝OD，CE＝OE，进而可知AB＋AC＝9，进而可证BC的长度． 【详解】 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵DE∥BC， ∴∠BOD＝∠OBC，∠COE＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠COE， ∴BD＝OD，CE＝OE， ∵△ADE的周长为29， ∴AD＋DE＋AE ＝AD＋OD＋OE＋AE ＝AD＋BD＋CE＋AE ＝AB＋AC ＝9， ∵△ABC的周长是14， ∴AB＋AC＋BC＝14， ∴BC＝5， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查三角形等角对等边的性质，三角形角平分线，以及三角形周长公式，能够熟练掌握三角形等角对等边的性质是解决此类题型的关键． 19．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，∠ACB=90°，E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=　　　　　　　　　　． 【答案】45° 【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质得：∠AEC=∠ACE=，∠BFC=∠BCF=，从而利用∠EFC=∠BCF+∠ACE-∠ACB=+-90°=45°求解． 故答案为45°． 考点：等腰三角形的性质 20．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）在中，是的中点，交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】（1）     （2） 证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，根据垂直的定义得出，进而得出，根据等角对等边，即可求解． (1) 小问详解： 解：，是的中点            即    又        (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，点在线段上，，，，是的中点． （1）求证： （2）直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ．     （2） 解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形边角边判定及等腰三角形底边上的三线合一，解题的关键是通过平行线的性质找到夹角相等． （1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据边角边判定即可证明； （2）由（1）得，根据等腰三角形底边上三线合一即可得到证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于，连接．则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 该题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，根据等腰三角形的性质得到，进而得到． 【详解】 解：∵线段的垂直平分线交于， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的一个底角等于　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理．由外角定义得其相邻的内角为，再根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理，判断该内角只能为顶角，从而求出底角． 【详解】 解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴与这个外角相邻的内角为． 若该内角为底角，则两个底角均为，顶角为，不符合三角形内角和定理，故不可能； ∴该内角为顶角，则底角为． 故答案为． 24．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求 【答案】（1） 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形．     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在等腰中，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 25．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，和是等腰三角形，，连接，．求证：． 【答案】见详解 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，证明，即可解答． 【详解】 证明：∵和是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∴． 26．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点、交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，连接，根据中垂线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵的垂直平分线交于点、交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，平分，且，则是怎样的特殊三角形，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质及等腰三角形的判定， 根据平分得出，利用得出，从而得出，即可得出结论． 【详解】 解：是等腰三角形， 理由：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 28．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，在中，，，，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设，由等边对等角和三角形内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】 解：设， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为　　　　　°． 【答案】30 【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝70°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝40°，然后计算∠ABC﹣∠DBA即可． 【详解】 解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°， ∵OD垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°． 故答案为30． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了线段垂直平分线的性质． 30．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）根据平行线的性质可得的度数，则可证明，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】 解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 32．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）（多选）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 【答案】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB． ∴△OAB是等腰三角形． 【分析】 （1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 33．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，在中，，交于点，求线段的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点，解决此题的关键是判断出是等腰三角形. 先根据直角三角形中所对的边是斜边的一半，求出的长；再判断是等腰三角形，求出的长，即可解答； 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 34．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】 解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 35．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过　　　　　　　　　秒时，与全等． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，由题意可得，设经过秒，与全等，由题意可得，，分两种情况：当点在线段上时，那么点在射线上；当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上；分别利用全等三角形的判定与性质，建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过秒，与全等， 由题意可得：，， 当点在线段上时，那么点在射线上，如图， ∵，， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，经过或秒时，与全等， 故答案为：或． 36．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 解：， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，推导出，而，，即可根据“..”证明； （2）由，，求得，则可证，由，可得，根据等边对等角可求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ∴， ∵， ∴， ． 37．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，在中，，，于点，，的长为　　　　　　　　　　． 【答案】18 【分析】 本题考查等腰三角形及含角的直角三角形，由，得．而，可知，，即得，故． 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 38．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，已知点为的边的中点，，，垂足分别为，，且，求证：平分． 【答案】证明：∵点为的边的中点， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，证明，得到，进而得到，三线合一，即可得出结论。 【详解】 略 39．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图（1），点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点，同时从顶点，出发向点、运动，且它们的速度都为． （1）【思考研究】连接，交于点，求证：； （2）【解决问题】连接，何时是直角三角形？ （3）【拓展延伸】如图（2），若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为，则的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，直接写出它的度数． 【答案】（1） 证明：∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2）第秒或第秒时，为直角三角形     （3）不变，      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； （3）由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设时间为t秒，则），， ① 当时， ∵， ∴，得， ∴； ② 当时， ∵， ∴，得， ∴； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． (3) 小问详解： 解：在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴． 40．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四数学推理真有趣今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个．第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴．∵CE是的平分线，∴．∴．∴．（依据）∴是等腰三角形．第二种情况第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是______． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 【答案】（1）两底角相等，则两腰相等；     （2） 第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，CE是的平分线．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴． ∵CE是的平分线， ∴． ∴． ∴． 第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，．求证：CE是的平分线． 证明：∵， ∴． ∵是等腰三角形． ∴． ∴， ∴CE是的平分线．      【分析】 根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可． (1) 小问详解： ∵．∴．依据是两底角相等，则两腰相等； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定.熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 41．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，，点B在x轴上． （1）如图1，交x轴于点D，若，则       ； （2）如图1，若点B在x轴正半轴上，点，求点B坐标； （3）如图2，若点B在x轴负半轴上，轴于点E，轴于点F，，交直线于点M，若点，，求的长． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题是图形与坐标的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质及三角形外角的性质即可求解； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为G、H，则可证明，从而有，求出即可求解； （3）在上取点N，使，连接，证明，则,；再证明得，由即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∵，轴，轴， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，在上取点N，使，连接； ∵，轴于点E，轴于点F， ∴； ∵， ∴， ∴,； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 42．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为．求证：． 独立思考：（1）请证明王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，中，，点D是上一点，于E，求证：”． 问题解决： （3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，中，，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，请直接写出的值为__________．” 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：过作， 由（1）可知 ∴， ∵，， ∴， ∴， （3） 【分析】 （1）由同角的余角相等，即可得出，即可证得，再根线段的和差关系即可证明结论； （2）过作，由（1）可知，即可得出，再由等腰三角形三线合一可得出：，即可的得出结论； （3）过作，由（1）可知，，即可得出，，再证得，得出，即可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）略 解：（3）过作， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质，利用类比方法添加辅助线构造全等是解题的关键． 43．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形 1大高频考点概览 考点01 等腰三角形 考点01 等腰三角形 1．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）在中，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 3．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，在中，，为中线，，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）等腰三角形一个角是，则它的顶角的度数是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 5．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  6．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，在中，，，，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图， 平分，于点，于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4 个 8．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）下列各命题中，它们的逆命题不成立的是（     ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形的三个内角都相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 10．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（       ） A. ③④ B. ①② C. ①②③ D. ②③④ 11．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）下列条件①；②；③；④边上的高线和中线重合；⑤和边上的高相等；能确定为等腰三角形的是（     ） A. ②③⑤ B. ①②③④ C. ①②⑤ D. ①②④⑤ 12．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为　　　　　　m． 14．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）在中，，求该三角形和的度数． 15．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 16．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图,在△ABC中，AC=BC，∠A=40∘，观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为 　　　　　　　 17．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，在中，是的平分线，求的长． 18．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若的周长为9，的周长是14，则　　　　　　． 19．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，∠ACB=90°，E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）在中，是的中点，交于点． （1）求的度数； （2）求证： 21．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，点在线段上，，，，是的中点． （1）求证： （2）直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 22．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于，连接．则　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的一个底角等于　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求 25．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，和是等腰三角形，，连接，．求证：． 26．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点、交于点，若，求的长． 27．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，平分，且，则是怎样的特殊三角形，并说明理由． 28．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，在中，，，，则的度数为　　　　　　． 29．（25-26学年八上·青海海西州格尔木市三校·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为　　　　　°． 30．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 31．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 32．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）（多选）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 33．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，在中，，交于点，求线段的长． 34．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为　　　　　　． 35．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过　　　　　　　　　秒时，与全等． 36．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 37．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，在中，，，于点，，的长为　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，已知点为的边的中点，，，垂足分别为，，且，求证：平分． 39．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图（1），点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点，同时从顶点，出发向点、运动，且它们的速度都为． （1）【思考研究】连接，交于点，求证：； （2）【解决问题】连接，何时是直角三角形？ （3）【拓展延伸】如图（2），若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为，则的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，直接写出它的度数． 40．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四数学推理真有趣今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个．第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴．∵CE是的平分线，∴．∴．∴．（依据）∴是等腰三角形．第二种情况第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是______． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 41．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，，点B在x轴上． （1）如图1，交x轴于点D，若，则       ； （2）如图1，若点B在x轴正半轴上，点，求点B坐标； （3）如图2，若点B在x轴负半轴上，轴于点E，轴于点F，，交直线于点M，若点，，求的长． 42．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为．求证：． 独立思考：（1）请证明王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，中，，点D是上一点，于E，求证：”． 问题解决： （3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，中，，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，请直接写出的值为__________．” 43．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $