专题02 全等三角形（期中真题汇编，青海专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．【答案】72 【分析】 本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】 解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 7．【答案】80° 【分析】根据全等三角形的性质求出∠ACB，根据三角形的外角性质得出∠AOB=∠ACB+∠DBC，代入求出即可． 【详解】△ABC≌△DCB，∠DBC=40°， 故答案为80° 【点睛】考查全等三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键. 8．【答案】50°    【详解】首先根据全等三角形性质可得对应角相等，再结合图形找到全等三角形的那两个角对应相等，根据题意完成填空． 解:因为∠B＝100°，∠BAC＝30°所以∠ACB＝50°；又因为△ABC≌△ADE，所以∠ACB＝∠AED ＝50°. 9．【答案】① 7    ② 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质， 根据全等三角形的对应边相等得或，求出解即可. 【详解】 解：∵这两个三角形全等， ∴或， 解得或， 则或， 所以的值是7.5或7. 10．【答案】2或 【分析】 本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以分两种情况讨论，第一种，第二种，然后分别求出相应的的值即可． 【详解】 解：当时，则，， ，， ，， ， ， 解得； 当时，则，，． ，， ，， ， 解得； 由上可得的值是2或， 故答案为：2或． 11．【答案】4 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，求出和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】 解：若时，则， ∴， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 故答案为：4． 考点02 三角形全等的判定 1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．【答案】（答案不唯一） 【分析】 此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定并灵活选择是解题的关键． 【详解】 解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 10．【答案】中点或点C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再分两种情况：当时，当时，分别利用全等三角形的判定定理证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：， 当时， 在和中， ， ∴， 当时， 在和中， ， ∴， 综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等， 故答案为：中点或点C． 11．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴（）． 【分析】 本题考查平行线的性质定理，全等三角形的判定定理，熟练掌握三角形的判定定理，能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问题的关键． 由，得出，由，得出，再利用即可证明． 【详解】 略 12．【答案】， 证明：， ， ， ，， ， 在和中 故答案为：． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是能正确理解所需条件． 先求出，，再根据定理推出即可． 【详解】 略 13．【答案】HL 【分析】 根据题目条件，利用直角三角形中一组直角边对应相等和斜边对应相等，证明全等． 【详解】 解：在和中， ， ∴． 故答案是：HL． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的所有判定方法． 14．【答案】（1）见解析     （2）14      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．【答案】证明：连接， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过连接构造全等三角形． 通过连接，构造出和，利用SSS（边边边）判定定理证明这两个三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等得出． 【详解】 略 16．【答案】证明：在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可得出结论． 【详解】 略 17．【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 18．【答案】（1） 在与中      （2）      【分析】 本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 19．【答案】8米 【分析】 证明，即可得解． 【详解】 解：在和中， ， ∴ ∴米； 故答案为：8米． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，证明． 20．【答案】6 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，首先根据“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 21．【答案】100度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据已知条件可以判断出条件中的两个三角形全等，由全等三角形对应角相等，可以求出的度数． 【详解】 解：由已知条件知： ，， 在中，， 在和中， ，，， ， 故答案为：． 22．【答案】解：题设：①；②；⑤； 结论：⑥， 证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质． 先选取题设和结论，再根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】 略 23．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 24．【答案】（1） 证明：平分， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明即可得到； （2）由的面积为，，得到，由（1）可知，可证明，则，再根据，得到，求出，最后根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 的面积为，， ， 解得， 由（1）可知， 由（1）得， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， 即种植鲜花的面积是． 25．【答案】见解析 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 26．【答案】见详解 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，过点作，证明，得出，，证明，得出，即可证明． 【详解】 解：过点作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．【答案】60 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，根据题意，画出图形，得到，得到，即可得出结果。 【详解】 解：由题意，画图如下： 由题意，，， ∴，， ∴； 故答案为：60 28．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°， ∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°， ∴∠BAD=∠ECD， 在△ABD和CFD中， ， ∴△ABD≌△CFD（AAS）， （2）3． 【分析】 （1）利用ASA，可证△ABD≌△CFD； （2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2． 【详解】 （1） 略 （2）∵△ABD≌△CFD， ∴BD=DF， ∵BC=7，AD=DC=5， ∴BD=BC﹣CD=2， ∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等. 29．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．证明，由全等三角形的性质可推出，证明，由全等三角形的性质可推出．，，则可得出答案． 【详解】 解：① ∵为角平分线， ∴， ∵于点D，于点E， ∴°， ∵， ∴， ∴． 故① 正确； ② ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故② 正确； ③ ∵， ∴， 故③ 正确； ④ ∵， ∴， 故④ 正确． 故答案为：① ② ③ ④ ． 30．【答案】（1）见解析     （2）6      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ．     （2） 如图，令交于点O， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．【答案】（1）     （2）1或3     （3）      【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． (1) 小问详解： 解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； (3) 小问详解： 解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以， ∴． 考点03 角的平分线 1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的判定定理，到角的两边的距离相等的点在该角的角平分线上，据此可得平分，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】 解：∵，，且， ∴平分， ∴， 故答案为：． 10．【答案】7 【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质是关键． 根据角平分线的性质得出，再代入求出即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等，根据平分，可知点到的距离与点到的距离相等，即可求解． 【详解】 角平分线上的点到角两边距离相等， 点到的距离点到的距离． 故答案为． 12．【答案】6 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∵， ∴的面积是， 故答案为：6． 13．【答案】（1）见详解     （2），见详解      【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：，理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 14．【答案】4 【详解】 解：过点P作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N， ∵AD∥BC， ∴MN⊥BC， ∵∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E， ∴PM=PE=2，PE=PN=2， ∴MN=2+2=4． 故答案为4． 【点睛】 此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键． 15．【答案】8 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，过点作，由角平分线的性质定理得出，由题意可知，最后根据计算即可． 【详解】 解：过点作，连接，如下图： ∵的两条角平分线交于点O，， ， ， 根据题意可知：， ， 故答案为：8． 16．【答案】证明：， ， 又、分别是、的平分线， ，， ， ， 即． 【分析】 要证，即证，由角平分线的性质和平行线的性质可知，． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了平行线的性质、线段垂直，解题的关键就是找到与之间的关系，也考查了整体代换思想． 17．【答案】n度 【分析】 本题考查角平分线的作图和三角形的内角和定理．熟练掌握三角形内角和及角平分线的性质是解题的关键． 由图可知，是的角平分线，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义进行计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， 由图可知，是的角平分线， ∴ ， ∴； 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质与三角形内角和的计算，熟练掌握角平分线的判定和三角形内角和的计算是解题的关键，根据题意可得，，再利用三角形内角和即可得到答案． 【详解】 解：∵点O在内，且到三边的距离相等， 即点O到和的距离相等，点O到和的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，根据点在内，且到三边的距离相等，得到点为三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】 解：如图： ∵点在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：120 20．【答案】（1） 解：作图如下：      （2）的度数为      【分析】 本题考查了尺规作图—角平分线、角平分线的判定定理和三角形内角和定理的应用，正确的作图是解决本题的关键． （1）以B点为圆心，任意长为半径作弧，分别交和于点D和点E，以点D为圆心，以长为半径作弧，以点E为圆心，以长为半径作弧，交上一个弧于点F，连接射线，以C点为圆心，任意长为半径作弧，分别交和于点H和点G，以点H为圆心，以长为半径作弧，以点G为圆心，以长为半径作弧，交上一个弧于点I，连接射线，两条射线交于点O，此时点O即为所求； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的性质可得，进而即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是和的角平分线， ∴， ∴． 21．【答案】平方厘米 【分析】 先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】 解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是，， ∴ = = = =； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积． 22．【答案】12 【分析】 根据角平分线的性质得出，再证，推出，进而解答即可． 【详解】 解：，是的角平分线，于点， ， 在和中， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据角平分线的性质得出． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，已知，下列结论，①；②；③；④．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，，若，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）已知，若，，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，已知与全等，那么　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠AOB＝　　　　　°． 8．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是，若这两个三角形全等，则的值是　　　　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为　　　　　　． 11．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，，于点，于点，且，点从点向点运动，每分钟走，点从点向点运动，每分钟走，若、两点同时开始出发，运动　　　　　分钟后． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 2．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，两根钢条的中点连在一起，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具（          ）． A. 可以带1号去 B. 可以带2号去 C. 可以带3号去 D. 都不行 4．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图,OA=OB,OC=OD, ∠O=60°, ∠C=25°则∠BED的度数是( ) A. 70° B. 85° C. 65° D. 以上都不对 5．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，已知，是上的点，，，且，，则可以直接判定的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，，要使还需添加一个条件是 　　　　　　　　　．（只需写出一种情况） 10．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到　　　　　　　　位置时，才能使与全等． 11．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）已知：如图，A、E、B、D在同一条直线上，，，．求证：； 12．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 13．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是　　　　　　　　 14．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，是的高线，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 15．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，，，求证：． 16．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，，，求证． 17．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  18．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图所示，、是在水池两侧的两点，若，，且米，则水池宽　　　　　　． 20．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，在中，，，若，则　　　　　　． 21．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，若，，，则的度数为　　　　　． 22．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，请选择以下条件中的若干个作为命题的题设，其余中的另一个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤；⑥． 题设： 结论： 证明： 23．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 　　 ． 24．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）在中，，的平分线交于点于点． （1）如图1，试说明； （2）如图2，是某市的一块空地，，点、、分别在边、、上，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足平分，，．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，AC，求种植鲜花的面积（即的面积）为___________． 25．（25-26学年八上·青海治州格尔木市三校·期中）如图，在中，，过上一点作，且，作．求证：． 26．（25-26学年八上·青海治州格尔木市三校·期中）如图，在梯形中，，E是中点，平分，求证：． 27．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，小刚在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了40米到达一棵树处，接着再向前走了40米到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了140米．估计小刚在点处时他与电线塔的距离为　　　　　　　　　米． 28．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）（多选）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD； （2）已知BC=7，AD=5，求AF的长． 29．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是　　　　　　．（填序号） 30．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 31．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，已知，，相交于点，，． （1）求证：． （2）求证：． 32．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： （1）小亮判断的依据是______； （2）请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； （3）迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 2．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（       ）． A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 3．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，在中，是的角平分线，，垂足为．若，的面积为20，则的长度为（     ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 4．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝12，则点P到BC的距离是(        ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（       ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 6．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是（       ） ①平分；②；③；④ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 8．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·青海治州格尔木市三校·期中）如图，，，若，，，则的度数为　　　　　　． 10．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，在中，，平分，交于点D，于点E，且，求的长． 11．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点，，，那么点到的距离是　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，中，，平分，，，则的面积是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 14．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为　　　　　　　　　　 15．（25-26学年八上·青海治州格尔木市三校·期中）如图，的两条角平分线交于点O，作，若，的周长为8，则　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，已知，与、分别相交于点、，与的平分线相交于点，求证：． 17．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，　　　　　　． 18．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）点在内，且到三边的距离相等，若，则　　　　　． 20．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图所示，在中，是角平分线． （1）利用尺规作出的角平分线、的角平分线，两条角平分线交于点O（保留作图痕迹） （2）若，求的度数． 21．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是　　　　　　． 22．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，中，，是的角平分线，于点，若，，，则的周长是　　　　　　 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】 解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意， B.两个图形不能完全重合，不是全等图形，符合题意， C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意， D.两个图形能完全重合，是全等图形，不符合题意， 故选D． 【点睛】 本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键． 2．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，已知，下列结论，①；②；③；④．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 根据全等三角形的性质逐一判断即得答案． 【详解】 解：∵， ∴，，，． 故① ② 正确，③ ④ 错误； 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 3．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，，若，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质（对应角相等），解题的关键是根据得出，进而推导出，设，则，再利用角的和差关系计算得出，即，求解即可得出的度数． 【详解】 解：，    （全等三角形对应角相等）.    又，,    ， ．    设，则， 已知，，且， ． 解得，即． 故选：C． 4．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】 解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 5．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）已知，若，，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理， 首先根据三角形内角和定理求出，然后利用全等三角形对应角相等求解． 【详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，已知与全等，那么　　　　　　　　　　． 【答案】72 【分析】 本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】 解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 7．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠AOB＝　　　　　°． 【答案】80° 【分析】根据全等三角形的性质求出∠ACB，根据三角形的外角性质得出∠AOB=∠ACB+∠DBC，代入求出即可． 【详解】△ABC≌△DCB，∠DBC=40°， 故答案为80° 【点睛】考查全等三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键. 8．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=　　　　　　　　　　． 【答案】50°    【详解】首先根据全等三角形性质可得对应角相等，再结合图形找到全等三角形的那两个角对应相等，根据题意完成填空． 解:因为∠B＝100°，∠BAC＝30°所以∠ACB＝50°；又因为△ABC≌△ADE，所以∠ACB＝∠AED ＝50°. 9．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是，若这两个三角形全等，则的值是　　　　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　． 【答案】① 7    ② 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质， 根据全等三角形的对应边相等得或，求出解即可. 【详解】 解：∵这两个三角形全等， ∴或， 解得或， 则或， 所以的值是7.5或7. 10．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为　　　　　　． 【答案】2或 【分析】 本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以分两种情况讨论，第一种，第二种，然后分别求出相应的的值即可． 【详解】 解：当时，则，， ，， ，， ， ， 解得； 当时，则，，． ，， ，， ， 解得； 由上可得的值是2或， 故答案为：2或． 11．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，，于点，于点，且，点从点向点运动，每分钟走，点从点向点运动，每分钟走，若、两点同时开始出发，运动　　　　　分钟后． 【答案】4 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，求出和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】 解：若时，则， ∴， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 故答案为：4． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 2．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，两根钢条的中点连在一起，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，再由，即可利用证明． 【详解】 解：由题意得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具（          ）． A. 可以带1号去 B. 可以带2号去 C. 可以带3号去 D. 都不行 【答案】A 【分析】 根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案． 【详解】 由图形可知，1号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；2号没有完整的边或角，3号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，2号和3号都不可以作出与原三角形全等的三角形． 故选A． 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 4．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图,OA=OB,OC=OD, ∠O=60°, ∠C=25°则∠BED的度数是( ) A. 70° B. 85° C. 65° D. 以上都不对 【答案】A 【详解】 解：在△OAD和△OBC中 ， ∴△OAD≌△OBC(SAS)， ∴∠D=∠C. ∵∠C=25°， ∴∠D=25°. ∵∠O=60°， ∴∠OBC=95°. ∵∠BED+∠D=∠OBC， ∴∠BED+25°=95°， ∴∠BED=70°. 故选：A. 5．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定定理即可一一判定． 【详解】 解：， ．当时，根据ASA可判定，故该选项不符合题意； ．当时，可得，根据可判定，故该选项不符合题意； ．当时，不能判定，故该选项符合题意； ．当时，可得，根据可判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，已知，是上的点，，，且，，则可以直接判定的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据，，得到，利用判定即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 故选A． 7．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握“”等判定方法是解题的关键，据此逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、∵，，，∴不能证明，故该选项是符合题意的； B、∵，，，∴能证明，故该选项是不符合题意的； C、∵，，，∴能证明，故该选项是不符合题意的； D、∵，，，∴能证明，故该选项是不符合题意的； 故选：A． 8．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】 解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 9．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，，要使还需添加一个条件是 　　　　　　　　　．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定并灵活选择是解题的关键． 【详解】 解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到　　　　　　　　位置时，才能使与全等． 【答案】中点或点C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再分两种情况：当时，当时，分别利用全等三角形的判定定理证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：， 当时， 在和中， ， ∴， 当时， 在和中， ， ∴， 综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等， 故答案为：中点或点C． 11．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）已知：如图，A、E、B、D在同一条直线上，，，．求证：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴（）． 【分析】 本题考查平行线的性质定理，全等三角形的判定定理，熟练掌握三角形的判定定理，能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问题的关键． 由，得出，由，得出，再利用即可证明． 【详解】 略 12．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 【答案】， 证明：， ， ， ，， ， 在和中 故答案为：． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是能正确理解所需条件． 先求出，，再根据定理推出即可． 【详解】 略 13．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是　　　　　　　　 【答案】HL 【分析】 根据题目条件，利用直角三角形中一组直角边对应相等和斜边对应相等，证明全等． 【详解】 解：在和中， ， ∴． 故答案是：HL． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的所有判定方法． 14．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，是的高线，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析     （2）14      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明：连接， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过连接构造全等三角形． 通过连接，构造出和，利用SSS（边边边）判定定理证明这两个三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等得出． 【详解】 略 16．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，，，求证． 【答案】证明：在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可得出结论． 【详解】 略 17．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 18．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 在与中      （2）      【分析】 本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 19．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图所示，、是在水池两侧的两点，若，，且米，则水池宽　　　　　　． 【答案】8米 【分析】 证明，即可得解． 【详解】 解：在和中， ， ∴ ∴米； 故答案为：8米． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，证明． 20．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，在中，，，若，则　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，首先根据“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 21．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，若，，，则的度数为　　　　　． 【答案】100度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据已知条件可以判断出条件中的两个三角形全等，由全等三角形对应角相等，可以求出的度数． 【详解】 解：由已知条件知： ，， 在中，， 在和中， ，，， ， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·青海西宁第十中学·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，请选择以下条件中的若干个作为命题的题设，其余中的另一个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤；⑥． 题设： 结论： 证明： 【答案】解：题设：①；②；⑤； 结论：⑥， 证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质． 先选取题设和结论，再根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 24．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）在中，，的平分线交于点于点． （1）如图1，试说明； （2）如图2，是某市的一块空地，，点、、分别在边、、上，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足平分，，．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，AC，求种植鲜花的面积（即的面积）为___________． 【答案】（1） 证明：平分， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明即可得到； （2）由的面积为，，得到，由（1）可知，可证明，则，再根据，得到，求出，最后根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 的面积为，， ， 解得， 由（1）可知， 由（1）得， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， 即种植鲜花的面积是． 25．（25-26学年八上·青海治州格尔木市三校·期中）如图，在中，，过上一点作，且，作．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 26．（25-26学年八上·青海治州格尔木市三校·期中）如图，在梯形中，，E是中点，平分，求证：． 【答案】见详解 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，过点作，证明，得出，，证明，得出，即可证明． 【详解】 解：过点作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，小刚在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了40米到达一棵树处，接着再向前走了40米到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了140米．估计小刚在点处时他与电线塔的距离为　　　　　　　　　米． 【答案】60 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，根据题意，画出图形，得到，得到，即可得出结果。 【详解】 解：由题意，画图如下： 由题意，，， ∴，， ∴； 故答案为：60 28．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）（多选）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD； （2）已知BC=7，AD=5，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°， ∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°， ∴∠BAD=∠ECD， 在△ABD和CFD中， ， ∴△ABD≌△CFD（AAS）， （2）3． 【分析】 （1）利用ASA，可证△ABD≌△CFD； （2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2． 【详解】 （1） 略 （2）∵△ABD≌△CFD， ∴BD=DF， ∵BC=7，AD=DC=5， ∴BD=BC﹣CD=2， ∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等. 29．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是　　　　　　．（填序号） 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．证明，由全等三角形的性质可推出，证明，由全等三角形的性质可推出．，，则可得出答案． 【详解】 解：① ∵为角平分线， ∴， ∵于点D，于点E， ∴°， ∵， ∴， ∴． 故① 正确； ② ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故② 正确； ③ ∵， ∴， 故③ 正确； ④ ∵， ∴， 故④ 正确． 故答案为：① ② ③ ④ ． 30．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析     （2）6      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，已知，，相交于点，，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ．     （2） 如图，令交于点O， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： （1）小亮判断的依据是______； （2）请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； （3）迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 【答案】（1）     （2）1或3     （3）      【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． (1) 小问详解： 解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； (3) 小问详解： 解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以， ∴． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．（25-26学年八上·青海海东平安区·期中）如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（       ）． A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角的两边的距离相等，据此可得答案． 【详解】 解：∵是的平分线，，， ∴， 故选：B． 3．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）如图，在中，是的角平分线，，垂足为．若，的面积为20，则的长度为（     ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键； 根据角平分线性质可知，再通过三角形的面积可求出，进而可求解． 【详解】 解：∵是的角平分线，， ， 又 ∵的面积为， ，即， ， ， 故选：C． 4．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝12，则点P到BC的距离是(        ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【分析】 过点P作于点E，利用角平分线的性质得到． 【详解】 解：如图，过点P作于点E， ∵BP平分，，， ∴AP=EP， ∵， ∴， ∵CP平分，，， ∴DP=EP， ∴， ∴，即点P到BC的距离是6． 故选：B． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 5．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（       ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【分析】 根据角平分线的性质，可知和的关系，进而通过线段和差求解． 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 【详解】 解：是的平分线， , , , ， ,, 在和中， , ． 故选：． 6．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图痕迹分析出是角平分线且，再结合全等三角形逐一分析选项． 先根据尺规作图痕迹确定是的角平分线且，然后通过证明，结合直角三角形的性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】 解：从作图痕迹可知，是的角平分线， （因为在上，且作图痕迹显示是到的垂线， 在中，， ． 又， ． 根据“同角的余角相等”，可得， 选项正确． 平分， ； 又，且， ． 由全等三角形的性质，可得， 选项B正确． 由可得， 选项C正确． 要使，需是的垂直平分线，但从作图和已知条件中，无法推出这一结论． ， 选项D错误． 故选D． 7．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是（       ） ①平分；②；③；④ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【分析】 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断① ；证明，根据全等三角形的性质得出，判断② ；根据三角形的外角性质判断③ ；根据全等三角形的性质判断④ ． 【详解】 解：① 过点P作于D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴点P在的角平分线上，所以结论① 正确； ② ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，所以结论② 错误； ③ ∵平分，平分， ∴，， ∴，所以结论③ 正确； ④ 由② 可知，， ∴， ∴，所以结论④ 正确， 综上所述，正确的结论有① ③ ④ ， 故选：C． 8．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】 解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 9．（25-26学年八上·青海治州格尔木市三校·期中）如图，，，若，，，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的判定定理，到角的两边的距离相等的点在该角的角平分线上，据此可得平分，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】 解：∵，，且， ∴平分， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，在中，，平分，交于点D，于点E，且，求的长． 【答案】7 【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质是关键． 根据角平分线的性质得出，再代入求出即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 11．（25-26学年八上·青海西宁海湖中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点，，，那么点到的距离是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等，根据平分，可知点到的距离与点到的距离相等，即可求解． 【详解】 角平分线上的点到角两边距离相等， 点到的距离点到的距离． 故答案为． 12．（25-26学年八上·青海西宁第十二中学·期中）如图，中，，平分，，，则的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∵， ∴的面积是， 故答案为：6． 13．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解     （2），见详解      【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：，理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 14．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为　　　　　　　　　　 【答案】4 【详解】 解：过点P作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N， ∵AD∥BC， ∴MN⊥BC， ∵∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E， ∴PM=PE=2，PE=PN=2， ∴MN=2+2=4． 故答案为4． 【点睛】 此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键． 15．（25-26学年八上·青海治州格尔木市三校·期中）如图，的两条角平分线交于点O，作，若，的周长为8，则　　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，过点作，由角平分线的性质定理得出，由题意可知，最后根据计算即可． 【详解】 解：过点作，连接，如下图： ∵的两条角平分线交于点O，， ， ， 根据题意可知：， ， 故答案为：8． 16．（25-26学年八上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，已知，与、分别相交于点、，与的平分线相交于点，求证：． 【答案】证明：， ， 又、分别是、的平分线， ，， ， ， 即． 【分析】 要证，即证，由角平分线的性质和平行线的性质可知，． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了平行线的性质、线段垂直，解题的关键就是找到与之间的关系，也考查了整体代换思想． 17．（25-26学年八上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）如图，　　　　　　． 【答案】n度 【分析】 本题考查角平分线的作图和三角形的内角和定理．熟练掌握三角形内角和及角平分线的性质是解题的关键． 由图可知，是的角平分线，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义进行计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， 由图可知，是的角平分线， ∴ ， ∴； 故答案为：． 18．（25-26学年八上·青海西宁七中·期中）如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质与三角形内角和的计算，熟练掌握角平分线的判定和三角形内角和的计算是解题的关键，根据题意可得，，再利用三角形内角和即可得到答案． 【详解】 解：∵点O在内，且到三边的距离相等， 即点O到和的距离相等，点O到和的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·青海西宁二中·期中）点在内，且到三边的距离相等，若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，根据点在内，且到三边的距离相等，得到点为三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】 解：如图： ∵点在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：120 20．（25-26学年八上·青海西宁湟中区第一中学·期中）如图所示，在中，是角平分线． （1）利用尺规作出的角平分线、的角平分线，两条角平分线交于点O（保留作图痕迹） （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：作图如下：      （2）的度数为      【分析】 本题考查了尺规作图—角平分线、角平分线的判定定理和三角形内角和定理的应用，正确的作图是解决本题的关键． （1）以B点为圆心，任意长为半径作弧，分别交和于点D和点E，以点D为圆心，以长为半径作弧，以点E为圆心，以长为半径作弧，交上一个弧于点F，连接射线，以C点为圆心，任意长为半径作弧，分别交和于点H和点G，以点H为圆心，以长为半径作弧，以点G为圆心，以长为半径作弧，交上一个弧于点I，连接射线，两条射线交于点O，此时点O即为所求； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的性质可得，进而即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是和的角平分线， ∴， ∴． 21．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是　　　　　　． 【答案】平方厘米 【分析】 先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】 解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是，， ∴ = = = =； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积． 22．（25-26学年八上·青海西宁第七中学·期中）如图，中，，是的角平分线，于点，若，，，则的周长是　　　　　　 ． 【答案】12 【分析】 根据角平分线的性质得出，再证，推出，进而解答即可． 【详解】 解：，是的角平分线，于点， ， 在和中， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据角平分线的性质得出． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $