专题07 勾股定理（期中真题汇编，广东专用）八年级数学上学期

专题07 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【分析】 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB===10， 故选∶C． 【点睛】 此题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 2．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（       ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】 解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：C． 3．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）下列各组数中，是勾股数的是（       ） A. 9，16，25 B. ，，2 C. ，2， D. 5，12，13 【答案】D 【分析】 本题考查的是勾股数，根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【详解】 解：A、，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； D、，且5，12，13都是正整数，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）在直角三角形中，两直角边的长度分别为和．则斜边的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】 解；∵在直角三角形中，两直角边的长度分别为和， ∴斜边的长为， 故选：A． 5．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点处，当摆锤摆动到最高位置点时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置的水平距离，若，则钟摆的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可推出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：根据题意可知，，，，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选：C． 6．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（       ）（取3） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】 解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 7．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】 本题考查勾股数的定义，即三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．需逐一验证选项中的数是否与6、10构成勾股数． 【详解】 勾股数要求三个正整数满足（其中为最大数）． A：三个数为6、6、10，最大数为10．，不符合条件． B：三个数为6、8、10，最大数为10．，符合条件． C：三个数为6、10、10，最大数为10．，不符合条件． D：三个数为6、10、12，最大数为12．，不符合条件． 综上，只有选项B满足勾股数的条件， 故选B． 8．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（     ） A. 3 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】B 【分析】 本题考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面积公式解答． 【详解】 解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 9．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，以下式子成立的是（   ） A. a2+b2=c2 B. a2+c2=b2 C. b2+c2=a2 D. （a+c）2=b2 【答案】B 【详解】试题分析：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，b为斜边，a，c直角边，根据勾股定理可得a2+c2=b2，故答案选B． 考点：勾股定理. 10．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（       ） A. 8 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由勾股定理，得，，，，则，结合，，即得． 【详解】 解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的知识内容，难度较小；勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理的是（       ） A. 甲行、乙不行 B. 甲不行、乙行 C. 甲、乙都行 D. 甲、乙都不行 【答案】C 【分析】 图甲利用大正方形面积减去四周四个直角三角形面积可以表示出中间小正方形的面积，根据正方形面积公式，用边长可以直接表示出中间小正方形面积，从而验证勾股定理；图乙用直角梯形面积减去两个直角三角形面积可以表示中间直角三角形面积，利用三角形面积公式可以直接表示出面积，从而验证勾股定理． 【详解】 解：图甲中大正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积和为：， 则中间小正方形的面积为：， ∵中间小正方形边长为c， ∴面积为， ∴， ∴图甲能利用面积验证勾股定理； 图乙中直角梯形的面积为：， 两个直角三角形的面积和为：， 中间等腰直角三角形的面积为：， ∵中间等腰直角三角形的两条直角边为c， ∴中间等腰直角三角形的面积为， ∴， 即， ∴图乙能利用面积验证勾股定理； 综上分析可知，甲、乙都行，故C正确． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的图形验证，解题的关键是熟练掌握正方形面积公式和梯形面积公式，以及三角形面积公式． 12．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（       ） A.  B.  C.  D. 7 【答案】A 【分析】 此题考查了平面展开-最短路径问题，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．先把图中正方体展开，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，    ∵正方体的棱长为，O为的中点， ∴，，， 由勾股定理得， 故选：A． 13．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）下列是勾股数的一组是（       ） A. 4，5，6 B. 1，， C. 5，12，13 D. 1，， 【答案】C 【分析】 此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果为正整数，且满足，那么，、、叫做一组勾股数． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】 解：A、，不是勾股数，故此选项不合题意；              B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； C、，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：C． 14．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）如图，矩形是一块草地，折线是一条人行道，米，米，为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在，处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（       ）米，踏之何忍” ． A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的应用；由长方形的性质得，再由勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】 解：四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， （米）， ∴牌子上写着“少走4米，踏之何忍”． 故选：A． 15．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）边长为的等边三角形的面积为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，作于点，则，由等边三角形的性质得，则，然后通过勾股定理求出的长，最后由三角形面积公式即可求解，掌握等边三角形的性质和勾股定理是解题的根据． 【详解】 解：如图，作于点，则，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 16．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）下列各组数据中是勾股数的是（     ） A. ，，1 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 7，24，25 【答案】D 【分析】 本题主要考查了勾股数的识别，解题的关键是掌握勾股数的定义． 根据勾股数的定义逐项进行判断即可，勾股数需为正整数且满足勾股定理． 【详解】 解：∵ 勾股数定义：正整数且， A：，，1，不都是正整数，排除； B：1， 2，，其中非整数，排除； C：，不符合； D：，符合． 故选：D． 17．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）在下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，则这三个数是勾股数，进行判断即可． 【详解】 解：A、，是勾股数，符合题意； B、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 18．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答． 19．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放进门，刚好能放进去，则竿的长度为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 2米 【答案】C 【分析】 本题考查了用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先设竿的长度为米，再用表示出门宽，然后利用勾股定理求解． 【详解】 解：设竿的长度为米， ∵将竿横放则比门宽长1米， ∴门宽为米， ∴， 解得：， 故选：C 20．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺，退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可． 【详解】 解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺． 因此方程为：， 整理得：， 故选：C． 21．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（        ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股数． 【详解】 解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 22．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】 解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 23．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，一圆柱高为8cm，底面周长为30cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A. 15cm B. 17cm C. 18cm D. 30cm 【答案】B 【分析】 沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可． 【详解】 如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB， 则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， AC＝×30＝15（cm），∠C＝90°，BC＝8cm， 由勾股定理得：AB＝＝17（cm）． 故选B． 【点睛】 本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程． 24．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】 解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 25．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】 解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 26．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（     ）． A. 56 B. 66 C. 74 D. 84 【答案】B 【分析】 此题考查了勾股定理，直角三角形的面积．解题的关键是利用“割补法”将两三角形的面积差转化为另外两个三角形的面积差． 先利用勾股定理求得的长，然后再求得的长，根据题意推出再由三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：∵ ∴， 由知，又 ∴ 故选：B． 27．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、图形类规律探索，由题意可得，由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理可得，即可得出，同理可得，从而得出规律，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵正方形的边长为2， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故选：D． 28．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）（多选）如图1，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，AB＝5，AC＝2，BC＝． （1）请在网格中画出△ABC （2）如图2，直接写出： ①AC＝　     　，BC＝　     　． ②△ABC的面积为　     　． ③AB边上的高为　     　． 【答案】（1）△ABC即为所求； （2）①，，①，③ 【分析】 （1）根据点A、B、C在正方形网格的格点上，AB=5，AC=2，BC=，即可在网格中画出△ABC； （2）① 根据勾股定理即可求出AC、BC的长； ② 根据割补法即可求出三角形ABC的面积； ③ 利用面积法以及勾股定理即可求出AB边上的高． 【详解】 解：（1）略 （2）①AC＝＝， BC＝＝； ②S△ABC＝2×2﹣1×1﹣1×2﹣1×2＝， ③ 如图2， AB边上的高为CD，垂足为D， ∵S△ABC＝AB•CD＝， ∵AB＝＝， ∴CD＝， ∴CD＝． 故答案为：、、、． 【点睛】 本题考查作图-应用与设计作图、勾股定理等知识，解题的关键是准确利用网格． 29．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）如图，在平面直角坐标系中，有两点和．求这两点之间的距离． 【答案】 【分析】 根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵和， ∴，， 在中，根据勾股定理，得：， ∴， ∴A，B两点之间的距离为． 【点睛】 本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 30．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）直角三角形的三边长为3，4，m，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】25或7或25 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】 解：当长为的边为斜边时，可有， 当长为的边为直角边时，可有， 综上所述，的值为25或7． 故答案为：25或7． 31．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为　　　　　　　　　　　　． 【答案】12 米 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】 解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 32．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的“勾股分割点”已知点M，N是线段的“勾股分割点”，若，，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得BN的长，本题得以解决． 【详解】 解：当BN是斜边时， ∵AM＝2，MN＝3， ∴BN＝＝＝； 当MN为斜边时， ∵AM＝2，MN＝3， ∴BN＝＝＝， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 33．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【分析】 本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】 解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 34．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）如图，在中，，边在数轴上，且，，若以点B为圆心，以的长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴点P表示的数为：． 故答案为：． 35．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是　　　　　． 【答案】米 【分析】 根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】 解：如图，    由题意得， 在直角三角形中，根据勾股定理得：（米）． 所以大树的高度是（米）． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 36．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）已知如图，图中直角三角形旁阴影部分是正方形，则正方形的面积为 　　　　　平方厘米． 【答案】25 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】 解：根据勾股定理得： 正方形的边长为厘米， ∴正方形的面积为平方厘米． 故答案为：25 37．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）如图，在直角坐标系中： （1）描出、、、四点； （2）顺次连接、、、，计算得到的图形周长． 【答案】（1） 如图：点、、、为所求．      （2）      【分析】 本题考查了坐标与图形综合，勾股定理，利用平行四边形的判定与性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据所给点的坐标，描点即可； （2）先说明四边形是平行四边形，再求出周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵、、、， ∴，，， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴得到的图形周长为． 38．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）如图，以原点B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的实数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】 解：如图所示：， 故点A所表示的数是：． 故答案为：． 39．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，已知方格中每个小正方形的边长都为1．    （1）求图1中正方形的边长及面积（不需书写推理过程，只需写出计算算式及计算结果）； （2）如图2，将一段数轴与这个方格最下面的格线重合，数轴的单位长度与小正方形的边长相同．请在方格中画一个面积为10的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上），并用圆规在数轴上画出表示实数的点． 【答案】（1）边长，面积     （2） 画图如下： 【分析】 （1）根据勾股定理，正方形的面积公式计算即可； （2）根据勾股定理，计算正方形的边长为，画图即可． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，基本作图，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： ． 正方形的面积． (2) 小问详解： 略 40．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】 解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 41．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积． 【答案】30． 【分析】 根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解． 【详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， 由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称， 故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm． 在△CEF中，CF＝=4cm， 设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝（x+4）cm． 在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2． 解得x＝6，故BC＝10． 所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）． 【点睛】 此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 42．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）课本再现 如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c． （1）请利用图1验证勾股定理． 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积． （3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________． 【答案】（1）证明：∵大正方形的面积四个直角三角形的面积小正方形的面积， ， ． （2）9；（3） 【分析】 本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据大正方形的面积的两种表示方法四个直角三角形的面积小正方形的面积，列式证明即可； （2）先根据勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可； （3）根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可． 【详解】 （1）证明：略； （2）由勾股定理得， ∴小正方形的面积． （3）大正方形的面积为：， 大正方形的边长：． 43．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】 解：如图，     ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 44．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 【答案】12. 【分析】 根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】 解： ∵OB=16×1.5=24，AB=30，∠AOB=90°， ∴ ∴18÷1.5=12（海里／时）， 答：乙船每小时航行12 海里. 45．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）如图，长方形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，， 连接，则的最小值是   　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】 解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，∠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值=， 故答案为：． 46．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）八年级数学兴趣小组成员利用所学数学知识，测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小亮的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）小红认为：想让风筝沿方向下降米，应该往回收线米．你同意她的说法吗？请说明理由． 【答案】（1）风筝的高度为米     （2） 不同意小红的说法． 理由如下：在线段上截点，使米， 由题意得， ∴（米）， ∴（米） ∴（米） 即：应该往回收线米，不同意小红的说法．      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理，求得的长度，进而即可求解； （2）在线段上截点，使米，根据勾股定理，即可求解； (1) 小问详解： 解：在中， 由勾股定理得，， ∴，（负值舍去）， 由题意易得， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； (2) 小问详解： 略 47．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，求绳索的长度． 【答案】绳索的长度是 【分析】 设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答． 【详解】 解：设秋千的绳索长为，则， 那么， 在中，， 故， 即 解得：， 所以绳索AD的长度是． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 48．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 【答案】（1）此时梯子顶端离地面8米     （2）使用不安全      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可； （2）先由题意求得的长，由勾股定理求出的长，从而可求出a的值，再当时，梯子最稳定，使用时最安全，比较即可求解． (1) 小问详解： 解：因为，米，米， 所以（米）． 答：此时梯子顶端离地面8米； (2) 小问详解： 解：因为梯子顶端下滑了3米到处， 所以梯子距离地面的高度（米）， 所以（米）， 所以， 因为当时，梯子最稳定，使用时最安全， 又，即． 所以这时使用不安全． 49．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5；（2）6；（3）t的值为2.5或10 【分析】 （1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，① 当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；② 当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同① 得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ① 如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ② 如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同① 得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】 本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 50．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，某隧道的截面是由半圆和长方形构成的，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高，宽，它能通过隧道吗？请说明理由． 【答案】能通过隧道，理由如下： 如图，设为卡车的宽度，过点分别作的垂线交半圆于点，，过圆心作于点， 则，， 由作法得 ， ， 在中，， ， ， 这辆货车能通过隧道． 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，理解题意是解题的关键．设为卡车的宽度，过点分别作的垂线交半圆于点，，过圆心作于点，则，，则，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论． 【详解】 略 51．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 【答案】（1）是勾股数，理由： ，，（k是正整数）， ， ，，是一组勾股数； （2）是勾股数，理由： a，b，c是一组勾股数， ∴，，（k是正整数）也是一组正整数， ， ， ∴，，（k是正整数）也是一组勾股数； （3）是勾股数，理由： 表示大于1的整数， 由，，得到、、均为正整数； 又， 而， ， 、、为勾股数． 【分析】 本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方； （1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）根据勾股数的定义得出，推出的成立即可； （3）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）略 52．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解出点A到点B的最短距离即可得到答案． 【详解】 解：由题意侧面展开得到下图所示： ∵底面直径为，高为， ∴，， ∴， ∴它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 53．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得． 故答案为： 【点睛】 此题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键． 54．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是              ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线                 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是             ；表格中表示的大小关系是             ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】素材：，二；（），；（）当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【分析】 此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【详解】 解：（）图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线二； 故答案为：，二； （）， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （）根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 55．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题． （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．． （1）______________； （2）__________________； （3）求出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）88      【分析】 本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识． （1）利用题中规律即可求出的值即可； （2）根据的变化规律直接得出答案即可； （3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ∴； 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 56．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米． （1）求滑道的长度； （2）若把滑梯改成滑梯，使得，则求出的长．（答案保留根号） 【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查了用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． (1) 先得出，，再设滑道=米，然后用分别表示出， ，再利用勾股定理得到关于的方程求解即可； (2) 先设米，用表示出，再利用勾股定理用表示出，从而可得出关于的方程求解，从而可求出，进而求得，再利用线段差求得． (1) 小问详解： 解：依题意得：是直角三角形，，， ，， ，， 设滑道=米，则米， 米， 在中， ∴ ， ∴， 答：滑道的长度为米； (2) 小问详解： ∵， ∴设米，则米， （米， ， ∴， （米， 由（1）可知，（米， ∴（米， 答：的长约为米． 57．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． 【答案】证明：连接BF，如图所示： ∵AC＝b， ∴正方形ACDE的面积为b2， ∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a， ∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b， ∵∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠BAE＝90°， ∵∠BAC＝∠EAF， ∴∠EAF+∠BAE＝90°， ∴△BAF为等腰直角三角形， ∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2）， ∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等， ∴b2＝c2+（b2﹣a2）， ∴b2＝c2+b2﹣a2， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2． 【分析】 连接，将拼接后的四边形ABDF分成两个三角形，根据题中信息，先证明△BAF为等腰直角三角形，进而得出中相关线段长，求出各个图形面积，再利用拼接前后两个图形的面积相等即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明． 58．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，求边上的高？ 【应用拓展】 （3）如图4，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）（3）0.2千米 【分析】 本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握该知识点是关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． 【详解】 解：（1） 略 （2）设边上的高为h，则： ，， ∴， ∴， 即边上的高是； （3）设， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， ∴（千米）， 答：新路比原路短0.2千米． 59．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车； 理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 【分析】 本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】 略 60．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　　　　　　　cm． 【答案】15 【分析】 过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】 解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形， 过作于，作关于的对称点，连接交于，连接， 则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ，， ， ，， 在△中，由勾股定理得：， 故答案为：15． 【点睛】 本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线． 61．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）如图1：正方形的边长为，是直线上一动点，连接，在的右侧以为直角顶点作等腰直角三角形，连接，． （1）当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由． （2）当时，求的长． 【答案】（1） ，理由如下: ∵四边形是正方形， ∴，， 在等腰直角三角形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）或      【分析】 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义等知识点，正确证明全等三角形是解题的关键． （1）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质推出，根据角的和差求出，利用证明, 根据全等三角形的性质即可得解； （2）分两种情况根据正方形的性质及勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 如图， 点在线段上， 由（1）得， ∴， ∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∴； ② 如图，点在延长线上，同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴ 综上，故的长为． 62．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标 （2）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 【答案】（1）     （2）存在，点P的坐标为或或     （3） 证明：过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ．      【分析】 此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图：过点作轴于． ∵， ∴， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； (2) 小问详解： 存在； 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； (3) 小问详解： 略 63．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由、组成的图形，其中，已知，，，则的面积为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，先求解，可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 的面积为． 故答案为：6． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）下列三条线段不能构成直角三角形的是（       ） A. 3，4，5 B.  C.  D. 40，50，60 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 【详解】 解：∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意， ∵， ∴能构成直角三角形，故B选项不符合题意， ∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意， ∵， ∴不能构成直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 2．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 本题考查了勾股定理的逆定理和垂线段最短的性质，解题的关键是构造直角三角形并利用相关性质验证大小关系． 通过构造三边长为、、的直角三角形，利用勾股定理的逆定理证明其为直角三角形，再结合垂线段最短的性质验证． 【解答】 解：如图，中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴， 故A符合题意， 选项、、均无法通过几何角度直接验证， 故选：A． 3．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（　　） A. 3，4，5 B. 2，3， C. 8，15，17 D. 5，12，14 【答案】D 【分析】 先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】 解：A、，这组数能作为直角三角形的三边，故此选项不符合题意； B、，这组数能作为直角三角形的三边，故此选项不符合题意； C、，这组数能作为直角三角形的三边，故此选项不符合题意； D、，这组数不能作为直角三角形的三边，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 4．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）下列各组数据中不能作为直角三角形三边长的是（       ） A. 3、4、6 B. 7、24、25 C. 6、8、10 D. 9、12、15 【答案】A 【分析】 判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】 解：A、32+42≠62，不能组成直角三角形，符合题意； B、72+242=252，能组成直角三角形，不符合题意； C、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意； D、92+122=152，能组成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合三角形内角和为度以及勾股定理的逆定理进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：∵， ， ∴不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∴不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵ 则 ∴不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，故D选项符合题意； 故选D 6．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 【答案】够用 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】    解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 7．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是　　　　　　． 【答案】度 【分析】 利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形即可． 【详解】 解：根据题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键． 8．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析     （2）84      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴. (2) 小问详解： 解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 9．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，．请用你学过的知识计算出这块四边形田地的面积 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到，分割法求出田地的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形田地的面积． 10．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． (1) 小问详解： 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：四边形的面积的面积的面积 ． 11．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】（1）证明：，，， ． 是直角三角形，即；     （2）解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响．      【分析】 （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（       ） A.  B. 3 C.  D.  3．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）下列各组数中，是勾股数的是（       ） A. 9，16，25 B. ，，2 C. ，2， D. 5，12，13 4．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）在直角三角形中，两直角边的长度分别为和．则斜边的长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点处，当摆锤摆动到最高位置点时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置的水平距离，若，则钟摆的长为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（       ）（取3） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（     ） A. 3 B. 9 C. 16 D. 25 9．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，以下式子成立的是（   ） A. a2+b2=c2 B. a2+c2=b2 C. b2+c2=a2 D. （a+c）2=b2 10．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（       ） A. 8 B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理的是（       ） A. 甲行、乙不行 B. 甲不行、乙行 C. 甲、乙都行 D. 甲、乙都不行 12．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（       ） A.  B.  C.  D. 7 13．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）下列是勾股数的一组是（       ） A. 4，5，6 B. 1，， C. 5，12，13 D. 1，， 14．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）如图，矩形是一块草地，折线是一条人行道，米，米，为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在，处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（       ）米，踏之何忍” ． A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 15．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）边长为的等边三角形的面积为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  16．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）下列各组数据中是勾股数的是（     ） A. ，，1 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 7，24，25 17．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）在下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放进门，刚好能放进去，则竿的长度为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 2米 20．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（        ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 22．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（        ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，一圆柱高为8cm，底面周长为30cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A. 15cm B. 17cm C. 18cm D. 30cm 24．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（     ）． A. 56 B. 66 C. 74 D. 84 27．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）（多选）如图1，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，AB＝5，AC＝2，BC＝． （1）请在网格中画出△ABC （2）如图2，直接写出： ①AC＝　     　，BC＝　     　． ②△ABC的面积为　     　． ③AB边上的高为　     　． 29．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）如图，在平面直角坐标系中，有两点和．求这两点之间的距离． 30．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）直角三角形的三边长为3，4，m，则的值为　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为　　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的“勾股分割点”已知点M，N是线段的“勾股分割点”，若，，则的长为　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 34．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）如图，在中，，边在数轴上，且，，若以点B为圆心，以的长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数为　　　　　　． 35．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是　　　　　． 36．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）已知如图，图中直角三角形旁阴影部分是正方形，则正方形的面积为 　　　　　平方厘米． 37．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）如图，在直角坐标系中： （1）描出、、、四点； （2）顺次连接、、、，计算得到的图形周长． 38．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）如图，以原点B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的实数是　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，已知方格中每个小正方形的边长都为1．    （1）求图1中正方形的边长及面积（不需书写推理过程，只需写出计算算式及计算结果）； （2）如图2，将一段数轴与这个方格最下面的格线重合，数轴的单位长度与小正方形的边长相同．请在方格中画一个面积为10的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上），并用圆规在数轴上画出表示实数的点． 40．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为　　　　　　　． 41．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积． 42．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）课本再现 如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c． （1）请利用图1验证勾股定理． 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积． （3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________． 43．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则　　　　　　　． 44．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 45．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）如图，长方形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，， 连接，则的最小值是   　　　　　　　　　　　　　 ． 46．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）八年级数学兴趣小组成员利用所学数学知识，测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小亮的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）小红认为：想让风筝沿方向下降米，应该往回收线米．你同意她的说法吗？请说明理由． 47．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，求绳索的长度． 48．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 49．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 50．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，某隧道的截面是由半圆和长方形构成的，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高，宽，它能通过隧道吗？请说明理由． 51．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 52．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是　　　　　　　　　　． 53．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则长为　　　　　　． 54．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是              ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线                 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是             ；表格中表示的大小关系是             ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 55．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题． （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．． （1）______________； （2）__________________； （3）求出的值． 56．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米． （1）求滑道的长度； （2）若把滑梯改成滑梯，使得，则求出的长．（答案保留根号） 57．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． 58．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，求边上的高？ 【应用拓展】 （3）如图4，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 59．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 60．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　　　　　　　cm． 61．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）如图1：正方形的边长为，是直线上一动点，连接，在的右侧以为直角顶点作等腰直角三角形，连接，． （1）当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由． （2）当时，求的长． 62．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标 （2）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 63．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由、组成的图形，其中，已知，，，则的面积为　　　　　　． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）下列三条线段不能构成直角三角形的是（       ） A. 3，4，5 B.  C.  D. 40，50，60 2．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（　　） A. 3，4，5 B. 2，3， C. 8，15，17 D. 5，12，14 4．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）下列各组数据中不能作为直角三角形三边长的是（       ） A. 3、4、6 B. 7、24、25 C. 6、8、10 D. 9、12、15 5．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 7．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是　　　　　　． 8．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． （1）求证：； （2）求的面积． 9．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，．请用你学过的知识计算出这块四边形田地的面积 10．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 11．（25-26学年八上·广东茂名茂南区·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．C 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．B 9．B 10．C 11．C 12．A 13．C 14．A 15．D 16．D 17．A 18．B 19．C 20．C 21．A 22．C 23．B 24．D 25．B 26．B 27．D 28．【答案】（1）△ABC即为所求； （2）①，，①，③ 【分析】 （1）根据点A、B、C在正方形网格的格点上，AB=5，AC=2，BC=，即可在网格中画出△ABC； （2）① 根据勾股定理即可求出AC、BC的长； ② 根据割补法即可求出三角形ABC的面积； ③ 利用面积法以及勾股定理即可求出AB边上的高． 【详解】 解：（1）略 （2）①AC＝＝， BC＝＝； ②S△ABC＝2×2﹣1×1﹣1×2﹣1×2＝， ③ 如图2， AB边上的高为CD，垂足为D， ∵S△ABC＝AB•CD＝， ∵AB＝＝， ∴CD＝， ∴CD＝． 故答案为：、、、． 【点睛】 本题考查作图-应用与设计作图、勾股定理等知识，解题的关键是准确利用网格． 29．【答案】 【分析】 根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵和， ∴，， 在中，根据勾股定理，得：， ∴， ∴A，B两点之间的距离为． 【点睛】 本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 30．【答案】25或7或25 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】 解：当长为的边为斜边时，可有， 当长为的边为直角边时，可有， 综上所述，的值为25或7． 故答案为：25或7． 31．【答案】12 米 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】 解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 32．【答案】或 【分析】 根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得BN的长，本题得以解决． 【详解】 解：当BN是斜边时， ∵AM＝2，MN＝3， ∴BN＝＝＝； 当MN为斜边时， ∵AM＝2，MN＝3， ∴BN＝＝＝， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 33．【答案】14.5尺 【分析】 本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】 解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 34．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴点P表示的数为：． 故答案为：． 35．【答案】米 【分析】 根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】 解：如图，    由题意得， 在直角三角形中，根据勾股定理得：（米）． 所以大树的高度是（米）． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 36．【答案】25 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】 解：根据勾股定理得： 正方形的边长为厘米， ∴正方形的面积为平方厘米． 故答案为：25 37．【答案】（1） 如图：点、、、为所求．      （2）      【分析】 本题考查了坐标与图形综合，勾股定理，利用平行四边形的判定与性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据所给点的坐标，描点即可； （2）先说明四边形是平行四边形，再求出周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵、、、， ∴，，， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴得到的图形周长为． 38．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】 解：如图所示：， 故点A所表示的数是：． 故答案为：． 39．【答案】（1）边长，面积     （2） 画图如下： 【分析】 （1）根据勾股定理，正方形的面积公式计算即可； （2）根据勾股定理，计算正方形的边长为，画图即可． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，基本作图，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： ． 正方形的面积． (2) 小问详解： 略 40．【答案】 【分析】 已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】 解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 41．【答案】30． 【分析】 根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解． 【详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， 由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称， 故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm． 在△CEF中，CF＝=4cm， 设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝（x+4）cm． 在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2． 解得x＝6，故BC＝10． 所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）． 【点睛】 此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 42．【答案】（1）证明：∵大正方形的面积四个直角三角形的面积小正方形的面积， ， ． （2）9；（3） 【分析】 本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据大正方形的面积的两种表示方法四个直角三角形的面积小正方形的面积，列式证明即可； （2）先根据勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可； （3）根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可． 【详解】 （1）证明：略； （2）由勾股定理得， ∴小正方形的面积． （3）大正方形的面积为：， 大正方形的边长：． 43．【答案】1 【分析】 根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】 解：如图，     ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 44．【答案】12. 【分析】 根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】 解： ∵OB=16×1.5=24，AB=30，∠AOB=90°， ∴ ∴18÷1.5=12（海里／时）， 答：乙船每小时航行12 海里. 45．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】 解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，∠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值=， 故答案为：． 46．【答案】（1）风筝的高度为米     （2） 不同意小红的说法． 理由如下：在线段上截点，使米， 由题意得， ∴（米）， ∴（米） ∴（米） 即：应该往回收线米，不同意小红的说法．      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理，求得的长度，进而即可求解； （2）在线段上截点，使米，根据勾股定理，即可求解； (1) 小问详解： 解：在中， 由勾股定理得，， ∴，（负值舍去）， 由题意易得， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； (2) 小问详解： 略 47．【答案】绳索的长度是 【分析】 设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答． 【详解】 解：设秋千的绳索长为，则， 那么， 在中，， 故， 即 解得：， 所以绳索AD的长度是． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 48．【答案】（1）此时梯子顶端离地面8米     （2）使用不安全      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可； （2）先由题意求得的长，由勾股定理求出的长，从而可求出a的值，再当时，梯子最稳定，使用时最安全，比较即可求解． (1) 小问详解： 解：因为，米，米， 所以（米）． 答：此时梯子顶端离地面8米； (2) 小问详解： 解：因为梯子顶端下滑了3米到处， 所以梯子距离地面的高度（米）， 所以（米）， 所以， 因为当时，梯子最稳定，使用时最安全， 又，即． 所以这时使用不安全． 49．【答案】（1）5；（2）6；（3）t的值为2.5或10 【分析】 （1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，① 当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；② 当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同① 得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ① 如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ② 如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同① 得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】 本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 50．【答案】能通过隧道，理由如下： 如图，设为卡车的宽度，过点分别作的垂线交半圆于点，，过圆心作于点， 则，， 由作法得 ， ， 在中，， ， ， 这辆货车能通过隧道． 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，理解题意是解题的关键．设为卡车的宽度，过点分别作的垂线交半圆于点，，过圆心作于点，则，，则，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论． 【详解】 略 51．【答案】（1）是勾股数，理由： ，，（k是正整数）， ， ，，是一组勾股数； （2）是勾股数，理由： a，b，c是一组勾股数， ∴，，（k是正整数）也是一组正整数， ， ， ∴，，（k是正整数）也是一组勾股数； （3）是勾股数，理由： 表示大于1的整数， 由，，得到、、均为正整数； 又， 而， ， 、、为勾股数． 【分析】 本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方； （1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）根据勾股数的定义得出，推出的成立即可； （3）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）略 52．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解出点A到点B的最短距离即可得到答案． 【详解】 解：由题意侧面展开得到下图所示： ∵底面直径为，高为， ∴，， ∴， ∴它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 53．【答案】 【分析】 四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得． 故答案为： 【点睛】 此题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键． 54．【答案】素材：，二；（），；（）当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【分析】 此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【详解】 解：（）图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线二； 故答案为：，二； （）， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （）根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 55．【答案】（1）     （2）     （3）88      【分析】 本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识． （1）利用题中规律即可求出的值即可； （2）根据的变化规律直接得出答案即可； （3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ∴； 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 56．【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查了用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． (1) 先得出，，再设滑道=米，然后用分别表示出， ，再利用勾股定理得到关于的方程求解即可； (2) 先设米，用表示出，再利用勾股定理用表示出，从而可得出关于的方程求解，从而可求出，进而求得，再利用线段差求得． (1) 小问详解： 解：依题意得：是直角三角形，，， ，， ，， 设滑道=米，则米， 米， 在中， ∴ ， ∴， 答：滑道的长度为米； (2) 小问详解： ∵， ∴设米，则米， （米， ， ∴， （米， 由（1）可知，（米， ∴（米， 答：的长约为米． 57．【答案】证明：连接BF，如图所示： ∵AC＝b， ∴正方形ACDE的面积为b2， ∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a， ∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b， ∵∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠BAE＝90°， ∵∠BAC＝∠EAF， ∴∠EAF+∠BAE＝90°， ∴△BAF为等腰直角三角形， ∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2）， ∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等， ∴b2＝c2+（b2﹣a2）， ∴b2＝c2+b2﹣a2， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2． 【分析】 连接，将拼接后的四边形ABDF分成两个三角形，根据题中信息，先证明△BAF为等腰直角三角形，进而得出中相关线段长，求出各个图形面积，再利用拼接前后两个图形的面积相等即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明． 58．【答案】（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）（3）0.2千米 【分析】 本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握该知识点是关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． 【详解】 解：（1） 略 （2）设边上的高为h，则： ，， ∴， ∴， 即边上的高是； （3）设， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， ∴（千米）， 答：新路比原路短0.2千米． 59．【答案】树枝落地时会砸着小轿车； 理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 【分析】 本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】 略 60．【答案】15 【分析】 过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】 解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形， 过作于，作关于的对称点，连接交于，连接， 则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ，， ， ，， 在△中，由勾股定理得：， 故答案为：15． 【点睛】 本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线． 61．【答案】（1） ，理由如下: ∵四边形是正方形， ∴，， 在等腰直角三角形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）或      【分析】 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义等知识点，正确证明全等三角形是解题的关键． （1）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质推出，根据角的和差求出，利用证明, 根据全等三角形的性质即可得解； （2）分两种情况根据正方形的性质及勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 如图， 点在线段上， 由（1）得， ∴， ∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∴； ② 如图，点在延长线上，同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴ 综上，故的长为． 62．【答案】（1）     （2）存在，点P的坐标为或或     （3） 证明：过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ．      【分析】 此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图：过点作轴于． ∵， ∴， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； (2) 小问详解： 存在； 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； (3) 小问详解： 略 63．【答案】6 【分析】 本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，先求解，可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 的面积为． 故答案为：6． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．D 2．A 3．D 4．A 5．D 6．【答案】够用 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】    解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 7．【答案】度 【分析】 利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形即可． 【详解】 解：根据题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键． 8．【答案】（1）见解析     （2）84      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴. (2) 小问详解： 解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到，分割法求出田地的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形田地的面积． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． (1) 小问详解： 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：四边形的面积的面积的面积 ． 11．【答案】（1）证明：，，， ． 是直角三角形，即；     （2）解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响．      【分析】 （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $