专题05 轴对称（期中真题汇编，广东专用）八年级数学上学期

专题05 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．B 2．D 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 11．D 12．A 13．C 14．【答案】 【分析】根据翻折变换的特点即可得出答案． 【详解】根据翻折变换的特点可知： 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 15．【答案】100 【分析】 作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解． 【详解】 解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″， 连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N， 此时，AM+AN+MN= A′M+A″N+MN= A′A″，即周长最小值即为A′A″， ∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°， ∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°， 由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°． 故答案为：100． 【点睛】 本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 16．【答案】 【分析】 本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 【详解】 解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．B 8．【答案】5 【分析】 本题考查线段的垂直平分线的性质．由题意知，直线是线段的垂直平分线，则即可得出结论． 【详解】 解：由题意知，直线是线段的垂直平分线 在直线上 ． 故答案为：5． 9．【答案】 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 10．【答案】（1） 点即为所求：      （2）8      【分析】 此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图可知，垂直平分， ∴． ∴的周长 11．【答案】① 周长相等的三角形是全等三角形    ② 假 【分析】 根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】 命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 故答案为：周长相等的三角形是全等三角形；假． 【点睛】 本题考查了命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 12．【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值． 【详解】 解：如图，连接， 直线垂直平分的边， ， ， ，当点F与点D重合时等号成立， ， 周长的最小值是8． 故答案为：8． 13．【答案】（1） 证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上；     （2）      【分析】 （1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 14．【答案】证明：， ． 又是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， 平分． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，得到，即可得到结论． 【详解】 略 15．【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线， ∴；     （2）12      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再证，得，推导出是的垂直平分线，则，即可解答； （2）由列式计算，求出，则，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴． 答：的长为12． 16．【答案】（1） 如图，点即为所求：      （2） 如图所示，即为所作： 【分析】 本题考查了尺规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，作线段． （1）作出的角平分线与交点即为点，根据角平分线的判定即可； （2）根据作一个角等于已知角的方法先作，再按照题意作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1） 即为所求．      （2）10      【分析】 本题考查了作垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形判定． （1）作的垂直平分线，交于点，点即为所求； （2）根据（1）可得，则，根据三角形的周长公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，即为所求． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 18．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求； 【分析】 本题考查尺规作图—作角平分线和中线，熟练掌握作图方法，是解题的关键： （1）以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，即可； （2）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交于点，连接，即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 19．【答案】（1）如图，DE为所作； （2）17 【分析】 （1）利用基本作图作DE垂直平分AC； （2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，AD＝CD＝5，则利用△ABC的周长得到AB+BC＝17，然后根据等线段代换可求出△AEC的周长． 【详解】 （1） 略 （2）∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC，AD＝CD＝5， ∴AC＝10， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27， ∴AB+BC＝27﹣10＝17， ∴△AEC的周长＝BE+EC+BC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝17． 【点睛】 本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．A 3．A 4．A 5．A 6．C 7．B 8．B 9．C 10．C 11．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称点的坐标特点，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为： 12．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称，在坐标系中，两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可得到答案． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 13．【答案】（5，3） 【分析】平面直角坐标系中，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】∵平面直角坐标系中，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴点A（﹣5，3）关于y轴的对称点的坐标是（5，3）． 故答案为（5，3）． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点，坐标的变化特点，理解点的坐标的特征，是解题的关键. 14．【答案】 【分析】 根据点坐标关于轴对称的变换规律即可得． 【详解】 解：点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数， 则点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了轴对称与坐标变化，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律是解题关键． 15．【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为；      （2）如图，点P即为所求；     （3）或      【分析】 本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图； （2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求； （3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 16．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，则；      （2）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 17．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）6     （3） 如图所示，点D即为所求。 【分析】 （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点、、的坐标，然后描点，顺次连接起来，即可； （2）利用三角形面积公式计算； （3）由于x轴垂直平分，则与x轴的交点为D，所以，于是有． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：6； (3) 小问详解： 解：略． 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，作图—轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 18．【答案】（1） 如图，作，使它与关于直线对称；      （2） 点D为所作求的点．      【分析】 本题考查了两点之间线段最短，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可； （2）连结交m于点D，点D即可为所求作． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 连结交m于点D，连结， 因为与关于直线m对称， 所以， 所以， 依据两点之间线段最短，可知点D为所作求的点． 19．【答案】x 【详解】【分析】根据非负数性质定理可求m,n；由点P,Q的坐标推出P,Q的位置关系. 【详解】由(m＋2)2＋＝0，可得m+2=0,n-1=0. 所以，m=-2,n=1. 所以，P(-2,1),Q(-2,-1)， 所以点P,Q关于x轴对称. 故答案为x 【点睛】本题考核知识点：非负数性质，用坐标表示轴对称. 解题关键点：求出点的坐标. 20．【答案】（1）如图所示： ；（2）2 【分析】 （1）先描出△ABC关于y轴对称的对称点，然后依次连接即可，最后根据图像可得点A1的坐标； （2）由图像及割补法进行求解三角形的面积即可． 【详解】 解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1， ∴点A1的坐标为； （2）由（1）及题意可得： ． 【点睛】 本题主要考查图形与坐标，熟练掌握把图形的对称转化为点的对称是解题的关键． 21．【答案】如图所示： 顶点的坐标为． 【分析】 本题考查了坐标系中作关于坐标轴对称的图形，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键； 先画出点A、B、C关于y轴对称的点，再顺次连接，进而可写出顶点的坐标． 【详解】 略 22．【答案】3 【分析】 本题考查了轴对称的性质．根据关于y轴对称的点的坐标性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，确定m和n的值，即可求出的值． 【详解】 解：∵点和点关于y轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3． 23．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2），，     （3）      【分析】 本题考查了作图中轴对称变换，最短路径问题，理解几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点坐标的特征得到，，然后顺次连接，即可求解； （2）根据，，的坐标，写出，到坐标轴的距离，即可求解； （3）利用三角形所在的长方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点到x轴的距离为；点到y轴的距离为；点的坐标为． 故答案为：，，． (3) 小问详解： 解： 故答案为：． 24．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求作的三角形．      （2）      【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割求三角形的面积． （1）利用轴对称变换的性质找出A、B、C关于直线的对称点，，，顺次连接即可得到关于直线对称的三角形； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 所以的面积为． 25．【答案】（1） 解：根据题意可得；     （2） 解：如图所示：根据题意可得：，顺次连接点即可求得；      （3）或      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，三角形面积相等知识点，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据题意写出三点坐标即可； （2）分别作出的对应点，顺次连接点，继而即可求解； （3）设点，构建方程即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设点， ， 由题意可得：，即， 解得：或， ∴点的坐标为或． 26．【答案】（1） 解：如图，即为所求． ．      （2）      【分析】 本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变化，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先求出点的坐标，再结合平面直角坐标系，利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与关于轴对称，，，， ∴， ∴的面积为． 27．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）     （3） 解：如图，点P即为所求． 【分析】 本题考查轴对称图形的画法、关于轴对称的点的坐标特征以及最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质和最短路径的求解方法． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、关于轴对称的点、、，再连接三点即可； （2）根据画出的，直接读取点的坐标； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接该对称点与，与轴的交点即为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 已知，则它们关于轴对称的点分别为： ； (3) 小问详解： 略 28．【答案】（1） 如图所示，为所作的图形；      （2）点C关于y轴对称的点的坐标为；     （3）      【分析】 本题考查作轴对称图形，点关于坐标轴对称，平面直角坐标系中两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）先找出A，B，C三点关于轴对称的对称点，连接三点画出三角形即可； （2）根据点关于坐标轴对称的性质即可； （3）设点P的坐标为，求出 ∴，再根据，列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点C关于y轴对称的点的坐标为； (3) 小问详解： ∵点P在x轴上， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴       ， 解得， ∴点P的坐标为． 29．【答案】（1）所作图形如下所示： （2）A1（-1，2），B1（-3，1），C1（2，-1）． 【分析】 （1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；（2）根据点关于y轴对称的性质，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求出A1、B1、C1各点的坐标． 【详解】 （1）作出A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1 （2）∵A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）， ∴关于y轴对称点A1，B1，C1的坐标分别为：A1（-1，2），B1（-3，1），C1（2，-1）． 【点睛】 本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点，准确找出对应点的位置是解答此题的关键． 30．【答案】（1） 如图所示， 即为所求；      （2）     （3）5      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出即可； （3）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交y轴于点P，则点P即为所求， 此时， ， ∴最小值为； (3) 小问详解： 解：． 31．【答案】（1） 如图，即为所作图形：      （2）     （3）7     （4）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）根据轴对称的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系得点的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：的面积； (4) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∴ ∵是定值， ∴当最小时，的周长最小，即三点共线时，最小，最小值为， ∴的周长最小值, ∵， ∴，， ∴的周长最小值． 考点04 等腰三角形 1．A 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．B 8．A 9．B 10．D 11．D 12．D 13．D 14．D 15．C 16．B 17．【答案】证明：， ， 和都是直角三角形， ， ， 在和中， ， ． ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【分析】 先根据平行线的性质可得，从而可得和都是直角三角形，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据直角三角形全等的判定定理即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了直角三角形全等的判定定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． 18．【答案】40度 【分析】 此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形底角的度数为：， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理，先由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可由三角形内角和定理求出的度数． 【详解】 解：，， ， 平分交于点D， ， 21．【答案】或度或度或度或度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．分两种情况讨论：若角为底角；若角为顶角，即可求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【详解】 解：若角为底角，它的底角度数为； 若角为顶角，它的底角度数为； 故答案为：或． 22．【答案】 【分析】 根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：依题意，中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了含度角的直角三角形的性质，掌握度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 23．【答案】CD＝6． 【分析】 先根据题意求出∠B、∠C、∠DAC的度数，然后再根据等腰三角形的判定与性质以及含30度直角三角形的性质即可即可． 【详解】 证明：∵∠ADC＝60°，∠BAD＝30°， ∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD， ∴BD＝AD＝3， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°， ∴CD＝2AD＝6． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、含30度角直角三角形性质等知识，灵活应用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键． 24．【答案】3 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】 解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 25．【答案】5 【分析】 首先利用等角对等边判定等腰三角形，即可得到AC边的长． 【详解】 ∵△ABC中，∠B=∠C， ∴AB=AC， ∵AB=5， ∴AC=5， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，注意：等角对等边，理解定理是关键． 26．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 27．【答案】7 【分析】 本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 28．【答案】（1）等腰三角形三线合一     （2） 证明：，，， ， 在和中， ， ， ．     （3） 相等的线段还有，． 理由：由（2）中， ，， 在和中，，， ， 又，， ， ， 相等的线段，．      【分析】 该题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据题意可得出依据是等腰三角形三线合一． （2）证明，即可证明． （3）根据得出，证明，得出． (1) 小问详解： 解：根据题意可得以上证明过程中，依据是等腰三角形三线合一， 故答案为：等腰三角形三线合一． (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 略． 29．【答案】7 【分析】 本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可． 【详解】 解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点D为边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为7． 故答案为7． 30．【答案】（1） 的平分线如下图所示：      （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴.      【分析】 本题主要考查了角平分线、等角对等边以及三角形全等判定的综合，利用等量代换得角相等是解题的关键． （1）如图，作角平分线，以为圆心，截取上一线段为半径画圆，分别与、相交，再分别以两交点为圆心，以大于交点距离一半的长为半径画弧相交于一点，与点相连，即为的平分线； （2）由（1）可得，再根据平行及等量代换，可得，等角对等边，得，进而证得三角形全等．由全等三角形的性质可得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 31．【答案】13 【分析】 本题考查的是轴对称—最短路线问题，垂直平分线的性质；连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴， 周长的最小值． 故答案为：． 32．【答案】（1） 解：即为所求；      （2） 解：∵，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了基本尺规作图—过直线外一点作垂线，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握基本作图和含角的直角三角形的性质． （1）利用过直线外一点作垂线的步骤进行作图即可； （2）利用含角的直角三角形的性质，进行证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 33．【答案】证明：过点A作于点F． 因为， 所以． 同理，因为， 所以． ∴， 即． 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，线段的和差，解题的关键是掌握三线合一． 过点A作于点F，利用等腰三角形的性质三线合一得出相等的线段，然后利用线段的和差即可证明． 【详解】 略 34．【答案】解：，理由如下： 是等边三角形， ，， 平分， 为中点，， ， ，， ， 即， 解得， 又平分， ， ， ． 【分析】 结合等边三角形的性质、三线合一推得，再结合三角形外角的性质得，即可由等角对等边得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查的知识点是等边三角形的性质、三线合一、三角形外角的性质、等腰三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定． 35．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的判定得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 36．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．     （2）      【分析】 此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． （1）利用证，由得，利用等腰三角形的性质即可得． （2）由（1）知，利用三角形面积公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴筝形的面积为． 37．【答案】（1） 证明：， 设，则， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ；     （2） 证明：如图，在上取， 由（1）得，， ， 在与中， ， ，， ，， ， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知设，则，利用角平分线定义，等边对等角，可表示出和，再利用三角形内角和分别表示出与，即可得出结论； （2）在上取，结合（1）中的结论，证明，可以推导出，从而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 38．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握等边对等角的性质是解题的关键．先由得出，再由三角形外角性质求得，然后由得到，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：，， ， ， ， ． 39．【答案】（1）证明：平分，，， ，      （2）证明：平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线      【分析】 （1）由角的平分线性质得，再由等边对等角即可证明； （2）由平分得，由，得，结合共用可证，可得，，由垂直平分线判定定理得出是的垂直平分线即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 40．【答案】（1）     （2） 解：， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论． (1) 小问详解： 解：如图1所示，设与交于点O， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：，30； (2) 小问详解： 略 41．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）， 理由如下： ∵， 由（1）知， ∴， ∴．      【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形等角对等边，三角形外角的性质 （1）根据，证明，再由，推出，结合，利用即可证明，即可得出结论； （2），根据三角形外角的性质得到，由（1）可得，即可说明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．【答案】（1） 证明：， ， 是的外角的平分线， ， ， ， ， ， ；     （2） 证明：由（1）得：， ，， 平分交于点N， ， 为等腰直角三角形．      【分析】 此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质． （1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可； （2）利用平分线的定义和平行线的性质证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算． （1）根据非负数的性质，得到关于，的方程组，求得，的值，即可得到点、点的坐标； （2）根据判定，再根据全等三角形对应边相等，即可得到，，，进而得到点的坐标为； （3）连接并延长交轴于点，连接，过点作的平行线交轴于点，证明是等腰直角三角形，得出，再根据，得出，最后判定，即可得到，进而得出点的坐标为． (1) 小问详解： 解： ，满足， ，， ，， ∴； (2) 小问详解： 解：如图所示，过作轴于，则，     ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； (3) 小问详解： 如图所示，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 44．【答案】（1）     （2）     （3）解：或，理由： ∵， ∴， ① 如图2，当在之间时，过点作，交轴于点，连接， ∵， ∴轴，轴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即； ② 如图3，当在左侧时，同理可证，， ∴，， ∴． 综上所述，线段之间的数量关系是或．      【分析】 （1）非负性求出的值，进而得到的长，利用三角形的面积公式进行求解即可； （2）延长至，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，求出，即可得出结果； （3）分当在之间和点在点左侧，两种情况，进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； (2) 小问详解： ． 理由如下：如图1，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等边对等角，非负性等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 45．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了逆定理，解题的关键掌握各判定定理． 判断定理是否有逆定理，需检验其逆命题是否成立，逆命题是将原定理的条件和结论互换后得到的命题，若逆命题真，则原定理有逆定理． 【详解】 解：定理①的逆命题为“同旁内角互补，则两直线平行”，该命题成立，是平行线的判定定理之一，故有逆定理； 定理②的逆命题为“三角形两角相等，则三角形为等腰三角形”，该命题成立，是等腰三角形的判定定理，故有逆定理； 定理③的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，该命题不成立，因为对应角相等只能保证三角形相似，不一定全等，故无逆定理； 定理④的逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等’”，该命题成立，是角平分线的性质定理，故有逆定理； 故答案为：① ② ④． 46．【答案】(1)，； (2) (3) 证明：延长至点，使，连接，     由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； (3)延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． (1) 小问详解： 解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； (2) ∵，，， ∴，， ∴， 解得． (3) 略 47．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 考点05 等边三角形 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B 6．A 7．C 8．D 9．【答案】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 【分析】 本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【详解】 略 10．【答案】（1） 如图所示，即为所求：      （2） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由等边三角形三角形的性质推出．由等边三角形的性质推出，再根据点D是边的中点，得到，进而得到，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，由，即可求解． 【详解】 解：是等边三角形， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 12．【答案】（1） 证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 13．【答案】① 4    ② 度 【分析】 本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果，先求出的度数，即可求出取得最小值时，的度数． 【详解】 作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接， 则， ∴ ∴为的最小值． ∵，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 即的值最小为4 当取得最小值时， 由作图知 故答案为： 4，． 14．【答案】（1）     （2） 证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 15．【答案】（1）①点A、E在线段的垂直平分线l上， ∴， ∴， ∴， 即； ② 不变，     （2）或      【分析】 （1）① 根据垂直平分线的性质得出，再由等边对等角及各角之间的数量关系求解即可；② 设与交于点M，根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，即可求解； （2）分两种情况进行分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质分析求解即可． (1) 小问详解： 证明：① 略 ② 在点A运动的过程中，的度数不变，理由如下： 如图，设与交于点M，    ∵是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； (2) 小问详解： 当时，在上截取，连接，    ∵， ∴， 由(1) 得直线，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示在上截取，连接，    ∵， ∴， 由(1) 得直线，，， ∴， ∴F是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可得：或． 【点睛】 题目主要考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键，同时注意进行分类讨论． 16．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴；     （2） 证明：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查了全等的性质和判定，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先利用等边三角形的性质证明，，再利用证明； （2）先利用全等三角形的性质得出，，再证明即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即；     （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点；     （3）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意可得，，即可求证； （2），则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （3）设与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 18．【答案】（1） 解：点D和点E如图所示： 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 点D和点A关于x轴对称， ∴， ∴；     （2）     （3）的最小值为4      【分析】 本题主要考查了坐标与图形，含有的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据题意画图，再根据直角三角形的性质求解即可； （2）由题易得，再根据面积建立方程求解即可； （3）根据题意，易得都是等边三角形，所以，当且仅当点A、P、Q、B依次共线时取等． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵， ∴， 由题可知， ∴，即， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，连接， 则，，，， ∴都是等边三角形， ∵， ∴， ∴平分， ∴所在直线垂直平分， ∴， ∵点A和点D关于x轴对称， ∴， ∴，当且仅当点A、P、Q、B共线时取等， 故的最小值为4． 19．【答案】1 【分析】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，找出点F的运动轨迹是解题的关键． 取的中点G，连接，，根据等边三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，推出，得到点F在直线上运动，作，的最小值即为． 【详解】 解：取的中点G，则，连接，， ∵将线段逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 作，的最小值即为， ∵，， ∴， 故答案为：1． 20．【答案】（1），     （2）或     （3）存在，，      【分析】 （1）根据题意列出代数式即可； （2）分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交于点D．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：，要使为直角三角形，分两种情况讨论： 情况1：当时，， ． ． 解得； 情况2：当时，， ． ， 解得． 因为点到点停止运动，所以的取值范围是， 所以，当或时，为直角三角形； (3) 小问详解： 解：假设存在点为线段中点的情况． 过点作交于点． 是等边三角形，， 是等边三角形． ， ． ， ，． 是中点， ． ， ，． ，， ， 解得． 当时，． ， ． 经检验，当时，在延长线上，与交于点，符合题意． 【点睛】 本题主要考查了动点问题，等边三角形的性质，列代数式，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 21．【答案】9 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，理解题意是解题的关键． 连接是的垂直平分线，得出，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，两点之间线段最短，得出当A、P、D三点共线时，最小，且最小值为的长，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式求出结果即可． 【详解】 解：如图所示，连接， 是中点，， ， 是的垂直平分线， ， ， 为定值， 当最小时，的周长最小， 两点之间线段最短， 当、、三点共线时，最小，且最小值为的长， ，是中点， ， ， ， 解得：， 周长的最小值为． 故答案为：9． 22．【答案】60 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及等边三角形的判定与性质，由题意得，进而得是等边三角形，即可求得的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． 23．【答案】（1）     （2） 证明：，， ． 是等边三角形， ，． 又（1）可知， ． ， ． 是等边三角形．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上性质是做题的关键． （1）根据已知条件易证出，可得，最后根据线段之间的关系即可求的长； （2）根据已知条件易证出，可得，最后根据角之间的关系得出即可证明． (1) 小问详解： 解：是等腰三角形，， ． 是等边三角形， ，， ． ． ． ，， ． 答：的长为． (2) 小问详解： 略 24．【答案】（1） 解：∵，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一，得出，结合，，故，即可证明； （2）根据，，证明是等边三角形，又因为点D是的中点，得，，根据，得，则，由（1）得，故，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 由（1）得， ∴． 25．【答案】（1）     （2） 猜想， 证明：如图，延长交于点， ∵，平分， ∴,,, ∴, ∴, ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）由题意可得，进而得到，由角平分线的定义得到，再根据对称的性质得到，推出，利用三角形外角的性质即可解答； （2）如图，延长交于点，利用等腰三角形三线合一证明，再证明，即可得出结论； （3）过点G作轴，垂足为Q，连接，设的垂直平分线与交点为P，证明是等边三角形，，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵点A与点C关于y轴的对称， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点G作轴，垂足为Q，连接，设的垂直平分线与交点为P， ∵是等边三角形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分， ∵， ， ∴， 同理， ∴． 【点睛】 本题考查坐标，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 26．【答案】问题1：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 问题2：点P的坐标为或或或或或． 问题3：证明： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】 本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 问题1：利用等量代换得，证明，可得，，再根据求解即可； 问题2：由题意可得，，分类讨论：当时，当时， 当时，根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，证得，可得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】 解：问题1：略 问题2：如图，∵，， ∴，， 当时， ① 过点作轴于点C， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ② 过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时， ③ 过点作轴于点E， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ④ 过点作轴于点F， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 当时， ⑤ 当时，如图， 过点作轴， 轴于点D， ∴ ∴, ∴； ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴，解得 ∴， ⑥ 当点与关于直线对称时，为等腰直角三角形，且点M为的中点，设， ∴， 即 ∴ 解得， ∴ 综上所述，点P的坐标为或或或或或． 问题3：略 27．【答案】（1）；； （2）证明：，， ， 在和中， ， ； （3） 【分析】 （1）根据直角三角形的性质及平角的定义推出，利用证明，根据全等三角形的性质得出； （2）根据三角形外角性质推出，利用即可证明； （3）过点作交于点，根据等边三角形的性质推出，，，根据平行线的性质及等腰三角形的判定推出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，根据线段的和差求解即可． 【详解】 （1）解：， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）解：如图3，过点作交于点， 、是等边三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（2026·广东广州白云区·综合练习）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）下列图标是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）“一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟的文字系统，是汉字的源头，中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文图画中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）年月第十五届全运会将由粤港澳大湾区三地联合举办．武术是我国传统的体育项目，下面武术动作图案中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）下面的图形是我国节能、节水、绿色食品以及塑料回收标徽，从形状上看是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，，将其折叠使点A落在BC边上的点处，折痕为，则（       ） A. 10° B. 30° C. 65° D. 85° 12．（25-26学年八上·广东东莞·期中）下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）下列命题中，正确的是（       ） A. 三角形的重心是三条角平分线的交点 B. 菱形不是轴对称图形 C. 若三个内角的度数之比为，则它为直角三角形 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 14．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，把沿翻折，点落在点的位置，若，则的大小为　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则　　　°． 16．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为　　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若的周长为12，，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）下面正确的命题中，其逆命题不成立的是 （ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 全等三角形的对应边相等 C. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D. 对顶角相等 5．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的三条边对应相等 D. 全等三角形的面积相等 6．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则　　　　　　　　　　． 9．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是　　　　　　． 10．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，已知，点D在边上，且． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的周长． 11．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）命题：“全等三角形的周长相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　；该逆命题是　　　　　　　　　　　　命题．（填“真”或“假”） 12．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，在中，直线垂直平分分别交、于点，，点为直线上任意一点，，，则周长的最小值是　　　　　． 13．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 14．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在中、、于点、是的垂直平分线，求证：平分． 15．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交于点G． （1）求证：； （2）若，，，求的长， 16．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）尺规作图，要求保留作图痕迹，不要求写作法． （1）如图1，已知，在边上作一点，使到的两边、的距离相等． （2）如图2，在的边上方作，并在射线上截取，连接． 17．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在中，D是上任意一点，连接． （1）在线段上作点E，使为等腰三角形． （2）在（1）条件下，连接，，，求的周长． 18．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） （1）作出中的角平分线． （2）作出边的中线 19．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，已知△ABC． （1）请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接CE，如果△ABC的周长为27，DC的长为5，求△BCE的周长． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·广东韶关·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于x轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）若点与点关于轴对称，则（     ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -7 3．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）剪纸，作为源远流长的中国民间艺术瑰宝，深藏着图形变换的无穷奥秘与精妙技艺．如图是一张蕴含轴对称变换的蝴蝶剪纸，将其放到直角坐标系中，则点关于轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（     ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 无法确定 6．（25-26学年八上·广东东莞·期中）点关于x轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）已知点P关于x轴对称的点为Q，则点A的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）在，，，四个点中，其中两个点关于x轴对称的是(     ) A. 点C，D B. 点A，D C. 点A，C D. 点B，C 10．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）已知点和点关于轴对称，则的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 11．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 12．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）点A（﹣5，3）关于y轴对称的点的坐标是　　　　　． 14．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）点P(﹣1，﹣2)关于x轴的对称点的坐标为　　　． 15．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 16．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； （2）求的面积． 17．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）已知在平面直角坐标系中，如图所示，，，． （1）作出关于y轴对称的图形； （2）的面积为_____________； （3）在边上找一点D，连接，使得．（请仅用无刻度直尺按要求画图） 18．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线对称； （2）在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 19．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）已知实数m，n满足(m＋2)2＋＝0，则点P(m，n)和点Q(2m＋2，n－2)关于　　　　　　　　轴对称． 20．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）求出△A1B1C1的面积． 21．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标． 22．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）在平面直角坐标系中，若点和点关于y轴对称，则　　　　　　　　　　　　　　 23．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点都在格点上． （1）作出关于y轴对称的（点A，B，C的对称点分别是，，）． （2）点到x轴的距离为________；点到y轴的距离为________；点的坐标为________． （3）的面积为________． 24．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点． （1）在图中画出关于直线的对称图形；（要求点A与，B与，C与相对应）． （2）求的面积． 25．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）写出顶点的坐标：A（        ），B（        ），C（        ） （2）画出关于轴对称的图形 （3）已知为轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点的坐标 26．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出关于x轴对称的； （2）求的面积． 27．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）画出关于x轴对称的； （2）直接写出点，，的坐标； （3）在y轴上画出点P，使最小． 28．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，． （1）请作出与关于x轴对称的； （2）写出与点C关于y轴对称的点的坐标； （3）点P在x轴上，，直接写出点P的坐标． 29．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在平面直角坐标系xoy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1． （2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）． 30．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于y轴成轴对称，作出； （2）若P为y轴上一点，使得最小，则最小值为______； （3）计算的面积． 31．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，在正方形网格中（图中每个正方形的边长均为1个单位长度），在平面直角坐标系中，已知． （1）画出关于x轴对称的． （2）写出点的坐标_______． （3）求的面积． （4）在轴上有一点，使的周长最小，求出此时周长的最小值． 考点04 等腰三角形 1．（2026·广东广州白云区·综合练习）已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长是 A. 22 B. 19 C. 17 D. 17或22 2．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  3．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作圆弧，与，延长线分别交于，两点；②分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点；③过点，作射线．则的度数为（       ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 4．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，在中，，，，是高，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在中，，，是的角平分线，如果点到的距离为2，那么的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（     ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 8 9．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（　　） A. 40° B. 70° C. 40°或140° D. 70°或20° 11．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为EF 的中点，AM的延长线交 BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF= DN；③AN = BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形．若，则的边长为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在中，，，E是边上一点，连接并延长至点D，连接，若，，，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  15．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，，若，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 17．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，，，E是上的一点，且，．求证：． 18．（25-26学年八上·广东东莞·期中）已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数为　　　　　　． 20．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，，，平分交于点D，求的度数． 21．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，小明沿倾斜角的山坡从山脚步行到山顶，共走了，则山的高度是　　　　　　． 23．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）（多选）如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°，BD＝3，求CD． 24．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·广东东莞·期中）在△ABC中，已知∠B=∠C，AB=5，则AC的长为　　． 26．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 27．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×月星期四 今天数学课，复习完三角形全等的证明方法和直角三角形的性质之后，重点解决了一个数学问题：是等腰直角三角形，是斜边边上的高，点是上的任意一点，作于点，交于点，根据题意可以得到如下两个结论吗？并说明你的理由（1）；（2）． 第一个结论： 是等腰直角三角形， 是斜边边上的中线（依据） 又 为等腰直角三角形 第二个结论…… （1）以上证明过程中，依据是________． （2）请帮助小亮证明第二个结论：． （3）除了以上两个结论外，你还能得到哪些相等的线段，并说明你的理由． 29．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为　　　　　　　　 30．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）尺规作图，并完成证明． 如图，点D，F在外，连接，，，且，，． （1）用尺规作图完成以下基本作图： 作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）； （2）根据（1）中的作图，求证：． 31．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，M为直线上一动点，则的周长的最小值为　　　　　　． 32．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）已知：如图，中，，． （1）尺规作图：作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 33．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，，，求证：． 34．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）已知：如图，是等边三角形，平分，交于点．延长到点，使，判断与的数量关系，并说明理由． 35．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，则的中线的长为　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）两组邻边分别相等的四边形，我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，，相交于点． （1）求证：． （2）如果，，求筝形的面积． 37．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）在中，，点是和平分线的交点，点在外且满足，，设． （1）证明：． （2）证明：． 38．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在中，点是边上一点，且，，求的度数． 39．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）已知：如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，． 求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 40．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：                    ，                      ； （2）类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 41．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在中，D为上一点，且，E为上方一点，且，． （1）求证：； （2）猜想与之间的数量关系，并说明理由． 42．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． （1）求证：； （2）若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 43．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，且a，b满足，连接，． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 44．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，点，满足． （1）直接写出的面积为__________； （2）如图1，点在线段上（不与重合）移动，，且，求的度数； （3）如图2，，点是轴上一动点（点在点的左边且不与点重合），在轴正半轴上取一点，连接，使，试探究线段之间的数量关系，并给出证明． 45．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）以下定理中，有逆定理的是　　　　　　　　． ①两直线平行，同旁内角互补；②等腰三角形两底角相等； ③全等三角形的对应角相等；④角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 46．（25-26学年八上·广东东莞·期中）【模型启迪】（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，D为边的中点，连接，E为边上一点，连接交于点F，且．求证：． 47．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 考点05 等边三角形 1．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（       ） A. 240° B. 120° C. 170° D. 360° 2．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，等边中，，点D是高上一点，过点D作，分别交于点E，F，连接，当时，（     ） A.  B.  C. 1 D.  3．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　） A. 100海里 B. 80海里 C. 60海里 D. 50海里 4．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（       ） A. ①②③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②⑤ D. ②③④ 7．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在等边中，，连接、交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 10．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； （2）在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 11．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在等边中，点D是边的中点， 点E在线段上．若是等腰三角形， 则　　　　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 13．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是　　　　　　　　　　，当取得最小值时，的度数是　　　　　　　　　　． 14．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． （1）求度数； （2）连接，求证：平分； （3）若，，，求的值． 15．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）直线垂直平分线段，点A是直线上的动点，连接，，以为边作等边三角形，使其与点在直线的两侧，与直线相交于点（点与点A不重合），连接． （1）如图，当时， ①求证：； ②在点A运动的过程中，的度数是否会发生改变？如果会请说明理由，如果不会请求出的度数； （2）在点A运动的过程中，试探究线段，，之间的数量关系． 16．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，和都是等边三角形，点，分别在，边上，且． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 17．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． （1）求证：； （2）求证：G为中点； （3）若，求的度数． 18．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）【读一读】数形结合是初中阶段的一种重要数学思想方法，其应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数的精确性来阐明形的某些属性；第二种情形是“以形助数”，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．著名的数学家华罗庚曾强调：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见通过结合抽象的数学语言和直观的几何图形，可以简化复杂问题，使抽象问题具体化，从而找到更优的解题路径． 【做一做】 如图，中，点、在轴上，点在轴上，且，，． （1）尺规作图：分别作出点关于轴的对称点，点关于轴的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接、，并直接写出点的坐标； （2）在（）的条件下，作点关于直线（直线可左右平移，直线上各点的横坐标都为）的对称点，若的面积为，求的值； （3）点、分别为、上的动点，求的最小值． 19．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，在边长为4的等边中，为边上的中线，点E为所在直线上的一动点，连接，将线段逆时针旋转得到，连接、，则在点E运动的过程中，的最小值是　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． （1）用含的式子表示线段长度：________，________； （2）当为何值时，为直角三角形； （3）若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 21．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图所示，中，，是的垂直平分线，P是上的一个动点，D是中点．如果面积为20，，则周长最小值为　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）已知：如图，在中，点D在边上，，，则　　　　　　　度． 23．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点，，，在同一条直线上． （1）若，，求的长； （2）以为腰在下方作等腰，使，连接，，若．求证：是等边三角形． 24．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在中，，点D是的中点，作，边交的延长线于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证： （2）若，求的度数 25．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）在平面直角坐标系中，，作点A关于y轴的对称点C，连接平分交于D． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点C作，垂足为E，猜想与的数量关系，并证明； （3）如图3，以为边在x轴上方作等边，点G是边垂直平分线上一动点，连接，将沿翻折，点G的对应点为，过作，垂足为M当最小时，直接写出的值． 26．（25-26学年八上·广东东莞·期中）妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形． 27．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）（1）问题发现如图1，把一块三角板放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是　　，与线段相等的线段是　　； （2）拓展探究：如图2，在中，点在边上，并且，．求证：． （3）能力提升：如图3，在等边中，，分别为、边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（2026·广东广州白云区·综合练习）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】 解：A、C、D选项图形无法找到一条直线，使折叠后两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形，故A、C、D均不符合题意； B选项图形可以找到直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意． 2．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）下列图标是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）“一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟的文字系统，是汉字的源头，中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文图画中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）年月第十五届全运会将由粤港澳大湾区三地联合举办．武术是我国传统的体育项目，下面武术动作图案中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的知识点是轴对称图形的定义，解题关键是熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】 解：选项，该图案不是轴对称图形，选项不符合题意； 选项，该图案不是轴对称图形，选项不符合题意； 选项，该图案是轴对称图形，选项符合题意； 选项，该图案不是轴对称图形，选项不符合题意． 故选：． 5．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】 解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：D． 6．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 7．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键． 【详解】 解：根据轴对称图形的定义， 只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形； 故选：C． 8．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】 A不是轴对称图形，故此选项不合题意； B不是轴对称图形，故此选项不合题意； C不是轴对称图形，故此选项不合题意； D是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是轴对称图形的概念，图形两部分折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴． 9．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 10．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）下面的图形是我国节能、节水、绿色食品以及塑料回收标徽，从形状上看是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、是轴对称图形，本选项符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 11．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，，将其折叠使点A落在BC边上的点处，折痕为，则（       ） A. 10° B. 30° C. 65° D. 85° 【答案】D 【分析】 根据折叠和三角形内角和定理，可求出，，即可求解． 【详解】 解：∵折叠使点A落在BC边上的点处，折痕为， ∴ ， ， ∵∠ACB=90°， ∴， ∵∠A=50°， ∴ ， ∴． 故选：D． 【点睛】 本题考查了图形的变换——折叠，三角形内角的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于 是解题的关键． 12．（25-26学年八上·广东东莞·期中）下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：B，C，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 13．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）下列命题中，正确的是（       ） A. 三角形的重心是三条角平分线的交点 B. 菱形不是轴对称图形 C. 若三个内角的度数之比为，则它为直角三角形 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】 本题考查三角形的基本概念，包括重心、轴对称图形、三角形内角和以及全等三角形的判定，掌握以上知识点是解决本题的关键． 根据相关定义逐一分析每个选项的正确性即可． 【详解】 解：∵三角形的重心是三条中线的交点，而非角平分线的交点， ∴选项A错误； ∵菱形是轴对称图形，有两条对称轴， ∴选项B错误； ∵设三个内角分别为x、、，则， 解得， ∴三个角分别为、、，故为直角三角形， ∴选项C正确； ∵三个角对应相等的两个三角形不一定全等（全等需要至少一边相等）， ∴选项D错误． 故选：C． 14．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，把沿翻折，点落在点的位置，若，则的大小为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据翻折变换的特点即可得出答案． 【详解】根据翻折变换的特点可知： 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 15．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则　　　°． 【答案】100 【分析】 作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解． 【详解】 解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″， 连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N， 此时，AM+AN+MN= A′M+A″N+MN= A′A″，即周长最小值即为A′A″， ∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°， ∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°， 由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°． 故答案为：100． 【点睛】 本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 16．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 【详解】 解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得，即可求解. 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， 故选：B. 2．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若的周长为12，，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式即可得到答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 4．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）下面正确的命题中，其逆命题不成立的是 （ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 全等三角形的对应边相等 C. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D. 对顶角相等 【答案】D 【详解】 解：A、逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立； B、逆命题是三组对应边相等的三角形全等，成立； C、逆命题是到一个角的两边的距离相等的点再这个角的平分线上，成立； D、逆命题是相等的角是对顶角，不成立； 故选D． 5．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的三条边对应相等 D. 全等三角形的面积相等 【答案】C 【分析】 本题考查了逆命题、三角形的分类、对顶角、全等三角形的判定，正确写出逆命题是解题关键．先写出各命题的逆命题，再根据三角形的分类、对顶角、全等三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】 解：A、逆命题：有两个锐角的三角形是钝角三角形，是假命题；反例：直角三角形有两个锐角，则此项不符合题意； B、逆命题：相等的角是对顶角，是假命题，则此项不符合题意； C、逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等，是真命题，则此项符合题意； D、逆命题：面积相等的两个三角形全等，是假命题，则此项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 【详解】 解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由作图痕迹可知直线是的垂直平分线，射线是的平分线．先由线段垂直平分线知，再用三角形外角性质求出，再用三角形内角和求出，然后用角平分线求出，最后根据三角形的内角和求出．本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：由作图痕迹可知直线是的垂直平分线，射线是的平分线． ， ， ， ∵中，，， ， ， ． 故选：B 8．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查线段的垂直平分线的性质．由题意知，直线是线段的垂直平分线，则即可得出结论． 【详解】 解：由题意知，直线是线段的垂直平分线 在直线上 ． 故答案为：5． 9．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，已知，点D在边上，且． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的周长． 【答案】（1） 点即为所求：      （2）8      【分析】 此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图可知，垂直平分， ∴． ∴的周长 11．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）命题：“全等三角形的周长相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　；该逆命题是　　　　　　　　　　　　命题．（填“真”或“假”） 【答案】① 周长相等的三角形是全等三角形    ② 假 【分析】 根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】 命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 故答案为：周长相等的三角形是全等三角形；假． 【点睛】 本题考查了命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 12．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，在中，直线垂直平分分别交、于点，，点为直线上任意一点，，，则周长的最小值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值． 【详解】 解：如图，连接， 直线垂直平分的边， ， ， ，当点F与点D重合时等号成立， ， 周长的最小值是8． 故答案为：8． 13．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上；     （2）      【分析】 （1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 14．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在中、、于点、是的垂直平分线，求证：平分． 【答案】证明：， ． 又是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， 平分． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，得到，即可得到结论． 【详解】 略 15．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交于点G． （1）求证：； （2）若，，，求的长， 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线， ∴；     （2）12      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再证，得，推导出是的垂直平分线，则，即可解答； （2）由列式计算，求出，则，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴． 答：的长为12． 16．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）尺规作图，要求保留作图痕迹，不要求写作法． （1）如图1，已知，在边上作一点，使到的两边、的距离相等． （2）如图2，在的边上方作，并在射线上截取，连接． 【答案】（1） 如图，点即为所求：      （2） 如图所示，即为所作： 【分析】 本题考查了尺规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，作线段． （1）作出的角平分线与交点即为点，根据角平分线的判定即可； （2）根据作一个角等于已知角的方法先作，再按照题意作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在中，D是上任意一点，连接． （1）在线段上作点E，使为等腰三角形． （2）在（1）条件下，连接，，，求的周长． 【答案】（1） 即为所求．      （2）10      【分析】 本题考查了作垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形判定． （1）作的垂直平分线，交于点，点即为所求； （2）根据（1）可得，则，根据三角形的周长公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，即为所求． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 18．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） （1）作出中的角平分线． （2）作出边的中线 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求； 【分析】 本题考查尺规作图—作角平分线和中线，熟练掌握作图方法，是解题的关键： （1）以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，即可； （2）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交于点，连接，即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 19．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，已知△ABC． （1）请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接CE，如果△ABC的周长为27，DC的长为5，求△BCE的周长． 【答案】（1）如图，DE为所作； （2）17 【分析】 （1）利用基本作图作DE垂直平分AC； （2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，AD＝CD＝5，则利用△ABC的周长得到AB+BC＝17，然后根据等线段代换可求出△AEC的周长． 【详解】 （1） 略 （2）∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC，AD＝CD＝5， ∴AC＝10， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27， ∴AB+BC＝27﹣10＝17， ∴△AEC的周长＝BE+EC+BC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝17． 【点睛】 本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·广东韶关·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于x轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查点的坐标与轴对称变换，解题的关键是掌握点的坐标的变换规律． 关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，检查解答即可． 【详解】 解：∵点A的坐标为，且关于x轴对称， ∴对称点的坐标为． 故选A． 2．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）若点与点关于轴对称，则（     ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -7 【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称与坐标变化的知识，关键在于掌握关于轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数． 利用关于轴对称的点的坐标规律可知：与4互为相反数，等于3，即可求得的值． 【详解】 点与点关于轴对称． ，． ． 故选：A． 3．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据平面直角坐标系写出点P的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】 解：点P（﹣2，5）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣5）． 故选：A． 【点睛】 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）剪纸，作为源远流长的中国民间艺术瑰宝，深藏着图形变换的无穷奥秘与精妙技艺．如图是一张蕴含轴对称变换的蝴蝶剪纸，将其放到直角坐标系中，则点关于轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可进行解答． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是． 故选：A． 5．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（     ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 此题主要考查了关于轴对称点的坐标．根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案． 【详解】 解：平面直角坐标系内的点与点关于轴对称． 故选：A． 6．（25-26学年八上·广东东莞·期中）点关于x轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查点关于x轴对称的点，掌握知识点是解题的关键． 关于x轴对称的点，x坐标不变，y坐标取相反数． 【详解】 解：点对关于x轴对称的点是． 故选C． 7．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）已知点P关于x轴对称的点为Q，则点A的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，， ∴点A的坐标为； 故选B． 8．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的符号是解题关键．直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数分析得出答案． 【详解】 解：点关于x轴的对称点的坐标为． 故选：B． 9．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）在，，，四个点中，其中两个点关于x轴对称的是(     ) A. 点C，D B. 点A，D C. 点A，C D. 点B，C 【答案】C 【分析】 本题考查了坐标与轴对称；关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。通过比较各点坐标，只有点和满足条件． 【详解】 解：点和点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 点和点关于轴对称． 故选：C． 10．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）已知点和点关于轴对称，则的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查了坐标与图形变化——轴对称，已知字母的值 求代数式的值，有理数的乘方运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用关于y轴对称的点的坐标性质：横坐标互为相反数，纵坐标相等，建立方程求解a和b，再计算代数式的值． 【详解】 解：∵点和点关于y轴对称， ∴，且， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 11．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称点的坐标特点，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为： 12．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称，在坐标系中，两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可得到答案． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）点A（﹣5，3）关于y轴对称的点的坐标是　　　　　． 【答案】（5，3） 【分析】平面直角坐标系中，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】∵平面直角坐标系中，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴点A（﹣5，3）关于y轴的对称点的坐标是（5，3）． 故答案为（5，3）． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点，坐标的变化特点，理解点的坐标的特征，是解题的关键. 14．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）点P(﹣1，﹣2)关于x轴的对称点的坐标为　　　． 【答案】 【分析】 根据点坐标关于轴对称的变换规律即可得． 【详解】 解：点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数， 则点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了轴对称与坐标变化，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律是解题关键． 15．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为；      （2）如图，点P即为所求；     （3）或      【分析】 本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图； （2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求； （3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 16．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，则；      （2）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 17．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）已知在平面直角坐标系中，如图所示，，，． （1）作出关于y轴对称的图形； （2）的面积为_____________； （3）在边上找一点D，连接，使得．（请仅用无刻度直尺按要求画图） 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）6     （3） 如图所示，点D即为所求。 【分析】 （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点、、的坐标，然后描点，顺次连接起来，即可； （2）利用三角形面积公式计算； （3）由于x轴垂直平分，则与x轴的交点为D，所以，于是有． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：6； (3) 小问详解： 解：略． 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，作图—轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 18．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线对称； （2）在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，作，使它与关于直线对称；      （2） 点D为所作求的点．      【分析】 本题考查了两点之间线段最短，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可； （2）连结交m于点D，点D即可为所求作． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 连结交m于点D，连结， 因为与关于直线m对称， 所以， 所以， 依据两点之间线段最短，可知点D为所作求的点． 19．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）已知实数m，n满足(m＋2)2＋＝0，则点P(m，n)和点Q(2m＋2，n－2)关于　　　　　　　　轴对称． 【答案】x 【详解】【分析】根据非负数性质定理可求m,n；由点P,Q的坐标推出P,Q的位置关系. 【详解】由(m＋2)2＋＝0，可得m+2=0,n-1=0. 所以，m=-2,n=1. 所以，P(-2,1),Q(-2,-1)， 所以点P,Q关于x轴对称. 故答案为x 【点睛】本题考核知识点：非负数性质，用坐标表示轴对称. 解题关键点：求出点的坐标. 20．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）求出△A1B1C1的面积． 【答案】（1）如图所示： ；（2）2 【分析】 （1）先描出△ABC关于y轴对称的对称点，然后依次连接即可，最后根据图像可得点A1的坐标； （2）由图像及割补法进行求解三角形的面积即可． 【详解】 解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1， ∴点A1的坐标为； （2）由（1）及题意可得： ． 【点睛】 本题主要考查图形与坐标，熟练掌握把图形的对称转化为点的对称是解题的关键． 21．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标． 【答案】如图所示： 顶点的坐标为． 【分析】 本题考查了坐标系中作关于坐标轴对称的图形，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键； 先画出点A、B、C关于y轴对称的点，再顺次连接，进而可写出顶点的坐标． 【详解】 略 22．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）在平面直角坐标系中，若点和点关于y轴对称，则　　　　　　　　　　　　　　 【答案】3 【分析】 本题考查了轴对称的性质．根据关于y轴对称的点的坐标性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，确定m和n的值，即可求出的值． 【详解】 解：∵点和点关于y轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3． 23．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点都在格点上． （1）作出关于y轴对称的（点A，B，C的对称点分别是，，）． （2）点到x轴的距离为________；点到y轴的距离为________；点的坐标为________． （3）的面积为________． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2），，     （3）      【分析】 本题考查了作图中轴对称变换，最短路径问题，理解几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点坐标的特征得到，，然后顺次连接，即可求解； （2）根据，，的坐标，写出，到坐标轴的距离，即可求解； （3）利用三角形所在的长方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点到x轴的距离为；点到y轴的距离为；点的坐标为． 故答案为：，，． (3) 小问详解： 解： 故答案为：． 24．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点． （1）在图中画出关于直线的对称图形；（要求点A与，B与，C与相对应）． （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求作的三角形．      （2）      【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割求三角形的面积． （1）利用轴对称变换的性质找出A、B、C关于直线的对称点，，，顺次连接即可得到关于直线对称的三角形； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 所以的面积为． 25．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）写出顶点的坐标：A（        ），B（        ），C（        ） （2）画出关于轴对称的图形 （3）已知为轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点的坐标 【答案】（1） 解：根据题意可得；     （2） 解：如图所示：根据题意可得：，顺次连接点即可求得；      （3）或      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，三角形面积相等知识点，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据题意写出三点坐标即可； （2）分别作出的对应点，顺次连接点，继而即可求解； （3）设点，构建方程即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设点， ， 由题意可得：，即， 解得：或， ∴点的坐标为或． 26．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出关于x轴对称的； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． ．      （2）      【分析】 本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变化，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先求出点的坐标，再结合平面直角坐标系，利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与关于轴对称，，，， ∴， ∴的面积为． 27．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）画出关于x轴对称的； （2）直接写出点，，的坐标； （3）在y轴上画出点P，使最小． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）     （3） 解：如图，点P即为所求． 【分析】 本题考查轴对称图形的画法、关于轴对称的点的坐标特征以及最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质和最短路径的求解方法． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、关于轴对称的点、、，再连接三点即可； （2）根据画出的，直接读取点的坐标； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接该对称点与，与轴的交点即为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 已知，则它们关于轴对称的点分别为： ； (3) 小问详解： 略 28．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，． （1）请作出与关于x轴对称的； （2）写出与点C关于y轴对称的点的坐标； （3）点P在x轴上，，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示，为所作的图形；      （2）点C关于y轴对称的点的坐标为；     （3）      【分析】 本题考查作轴对称图形，点关于坐标轴对称，平面直角坐标系中两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）先找出A，B，C三点关于轴对称的对称点，连接三点画出三角形即可； （2）根据点关于坐标轴对称的性质即可； （3）设点P的坐标为，求出 ∴，再根据，列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点C关于y轴对称的点的坐标为； (3) 小问详解： ∵点P在x轴上， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴       ， 解得， ∴点P的坐标为． 29．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在平面直角坐标系xoy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1． （2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）． 【答案】（1）所作图形如下所示： （2）A1（-1，2），B1（-3，1），C1（2，-1）． 【分析】 （1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；（2）根据点关于y轴对称的性质，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求出A1、B1、C1各点的坐标． 【详解】 （1）作出A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1 （2）∵A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）， ∴关于y轴对称点A1，B1，C1的坐标分别为：A1（-1，2），B1（-3，1），C1（2，-1）． 【点睛】 本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点，准确找出对应点的位置是解答此题的关键． 30．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于y轴成轴对称，作出； （2）若P为y轴上一点，使得最小，则最小值为______； （3）计算的面积． 【答案】（1） 如图所示， 即为所求；      （2）     （3）5      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出即可； （3）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交y轴于点P，则点P即为所求， 此时， ， ∴最小值为； (3) 小问详解： 解：． 31．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）如图，在正方形网格中（图中每个正方形的边长均为1个单位长度），在平面直角坐标系中，已知． （1）画出关于x轴对称的． （2）写出点的坐标_______． （3）求的面积． （4）在轴上有一点，使的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】（1） 如图，即为所作图形：      （2）     （3）7     （4）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）根据轴对称的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系得点的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：的面积； (4) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∴ ∵是定值， ∴当最小时，的周长最小，即三点共线时，最小，最小值为， ∴的周长最小值, ∵， ∴，， ∴的周长最小值． 考点04 等腰三角形 1．（2026·广东广州白云区·综合练习）已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长是 A. 22 B. 19 C. 17 D. 17或22 【答案】A 【详解】①4为腰长时，三角形三条边长分别为4、4、9，4+4＜9，不能构成三角形； ②9为腰长时，三角形三条边长分别为9、9、4，符合三角形三边关系，此时周长为22. 故选A. 点睛：此类没有明确等腰三角形的腰长问题，首先要进行分类讨论，特别注意要对三角形的三条边长进行验证是否满足三角形三边关系. 2．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】 解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 3．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作圆弧，与，延长线分别交于，两点；②分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点；③过点，作射线．则的度数为（       ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】B 【分析】 根据作图步骤可得平分，故，即可求得． 【详解】 在中，， 故 根据作图步骤可得平分 故 故选：B． 【点睛】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰直角三角形的性质． 4．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，在中，，，，是高，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【分析】 本题主要运用直角三角形的性质，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，通过角度关系得到边的关系，进而求解线段长度． 【详解】 解：∵，是高，， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 6．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在中，，，是的角平分线，如果点到的距离为2，那么的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，进而得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】 解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 7．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据，，根据直角三角形的性质即可求得的长，再根据角平分线的定义及平行线的性质推出，继而得到，可得结论． 【详解】 解：∵是的高，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是证明． 8．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（     ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 8 【答案】A 【分析】 根据，得到垂直平分，继而得到，得到，结合，，得到，于是，进而求得． 【详解】 解：∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，又， ∴． 故选：A． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，线段的和差等，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质． 9．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和，解题的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 由全等三角形的性质可得，，可求得，，由三角形的内角和可求得，从而得解． 【详解】 解：∵， ，， ， 即， ， ． 故选B． 10．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（　　） A. 40° B. 70° C. 40°或140° D. 70°或20° 【答案】D 【分析】 分两种情况讨论：① 若∠A＜90°；② 若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数． 【详解】 解：分两种情况讨论： ① 若∠A＜90°，如图1所示： ∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD＝90°， ∵∠ABD＝50°， ∴∠A＝90°﹣50°＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°； ② 若∠A＞90°，如图2所示： 同① 可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°， 故选：D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解． 11．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】 如图，过点P作，垂足为E，由角平分线性质，得，，由平行性质，可推证，，得，中，，所以． 【详解】 如图，过点P作，垂足为E， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ； ∴， ； ∴， 中，， ∴； 故选：D． 【点睛】 本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，角直角三角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为EF 的中点，AM的延长线交 BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF= DN；③AN = BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ， ∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF， ∴∠AEF=∠DFB=∠AFE， ∴△AFE为等腰三角形， ∴结论① 正确； ∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点， ∴∠AMF=90°， ∴∠DBF=∠DAN， ∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D， ∴AD=BD， ∴△DBF≌△DAN， ∴DF= DN，AN=BF， ∴结论② ③ 正确； ∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM， ∴△BMA≌△BMN， ∴AM=MN， ∴BE是线段AN的垂直平分线， ∴EA=EN， ∴∠EAN=∠ENA=∠DAN， ∴AD∥EN， ∵AD⊥BC ∴EN⊥NC， ∴结论④ 正确； 故选D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键． 13．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形．若，则的边长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边三角形的性质以及度角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】 解：如图所示 为等边三角形， ，． ，， ． ． ． ． ， ． 、…均为等边三角形． ． ， ． ，． ，． ． 同理，， 以此类推：． 即的边长为． 故选：D． 14．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在中，，，E是边上一点，连接并延长至点D，连接，若，，，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么可证．再利用证明，得出，设，根据列出方程，求解即可． 【详解】 解：作，垂足为，则，如图所示： ，， ，， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 设，则，． ， ， ， 线段长为． 故选：D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型． 15．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，，若，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等腰三角形的性质等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 16．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【详解】 ∵∠B、∠C的角平分线交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF， 设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β， ∵， ∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β， ∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴DB＝DF，EF＝EC， ∴△BDF与△CEF为等腰三角形， ∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE， △ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC， ∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF， ∴② ③ 正确，① ④ 不正确， ∵∠A＝80°， ∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°， ∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤ 正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键． 17．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，，，E是上的一点，且，．求证：． 【答案】证明：， ， 和都是直角三角形， ， ， 在和中， ， ． ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【分析】 先根据平行线的性质可得，从而可得和都是直角三角形，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据直角三角形全等的判定定理即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了直角三角形全等的判定定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． 18．（25-26学年八上·广东东莞·期中）已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为　　　　　　　　　． 【答案】40度 【分析】 此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形底角的度数为：， 故答案为：． 20．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，，，平分交于点D，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理，先由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可由三角形内角和定理求出的度数． 【详解】 解：，， ， 平分交于点D， ， 21．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为　　　　　　． 【答案】或度或度或度或度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．分两种情况讨论：若角为底角；若角为顶角，即可求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【详解】 解：若角为底角，它的底角度数为； 若角为顶角，它的底角度数为； 故答案为：或． 22．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，小明沿倾斜角的山坡从山脚步行到山顶，共走了，则山的高度是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：依题意，中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了含度角的直角三角形的性质，掌握度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 23．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）（多选）如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°，BD＝3，求CD． 【答案】CD＝6． 【分析】 先根据题意求出∠B、∠C、∠DAC的度数，然后再根据等腰三角形的判定与性质以及含30度直角三角形的性质即可即可． 【详解】 证明：∵∠ADC＝60°，∠BAD＝30°， ∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD， ∴BD＝AD＝3， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°， ∴CD＝2AD＝6． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、含30度角直角三角形性质等知识，灵活应用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键． 24．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】 解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 25．（25-26学年八上·广东东莞·期中）在△ABC中，已知∠B=∠C，AB=5，则AC的长为　　． 【答案】5 【分析】 首先利用等角对等边判定等腰三角形，即可得到AC边的长． 【详解】 ∵△ABC中，∠B=∠C， ∴AB=AC， ∵AB=5， ∴AC=5， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，注意：等角对等边，理解定理是关键． 26．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 27．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 28．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×月星期四 今天数学课，复习完三角形全等的证明方法和直角三角形的性质之后，重点解决了一个数学问题：是等腰直角三角形，是斜边边上的高，点是上的任意一点，作于点，交于点，根据题意可以得到如下两个结论吗？并说明你的理由（1）；（2）． 第一个结论： 是等腰直角三角形， 是斜边边上的中线（依据） 又 为等腰直角三角形 第二个结论…… （1）以上证明过程中，依据是________． （2）请帮助小亮证明第二个结论：． （3）除了以上两个结论外，你还能得到哪些相等的线段，并说明你的理由． 【答案】（1）等腰三角形三线合一     （2） 证明：，，， ， 在和中， ， ， ．     （3） 相等的线段还有，． 理由：由（2）中， ，， 在和中，，， ， 又，， ， ， 相等的线段，．      【分析】 该题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据题意可得出依据是等腰三角形三线合一． （2）证明，即可证明． （3）根据得出，证明，得出． (1) 小问详解： 解：根据题意可得以上证明过程中，依据是等腰三角形三线合一， 故答案为：等腰三角形三线合一． (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 略． 29．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为　　　　　　　　 【答案】7 【分析】 本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可． 【详解】 解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点D为边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为7． 故答案为7． 30．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）尺规作图，并完成证明． 如图，点D，F在外，连接，，，且，，． （1）用尺规作图完成以下基本作图： 作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）； （2）根据（1）中的作图，求证：． 【答案】（1） 的平分线如下图所示：      （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴.      【分析】 本题主要考查了角平分线、等角对等边以及三角形全等判定的综合，利用等量代换得角相等是解题的关键． （1）如图，作角平分线，以为圆心，截取上一线段为半径画圆，分别与、相交，再分别以两交点为圆心，以大于交点距离一半的长为半径画弧相交于一点，与点相连，即为的平分线； （2）由（1）可得，再根据平行及等量代换，可得，等角对等边，得，进而证得三角形全等．由全等三角形的性质可得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，M为直线上一动点，则的周长的最小值为　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查的是轴对称—最短路线问题，垂直平分线的性质；连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴， 周长的最小值． 故答案为：． 32．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）已知：如图，中，，． （1）尺规作图：作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 【答案】（1） 解：即为所求；      （2） 解：∵，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了基本尺规作图—过直线外一点作垂线，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握基本作图和含角的直角三角形的性质． （1）利用过直线外一点作垂线的步骤进行作图即可； （2）利用含角的直角三角形的性质，进行证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，，，求证：． 【答案】证明：过点A作于点F． 因为， 所以． 同理，因为， 所以． ∴， 即． 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，线段的和差，解题的关键是掌握三线合一． 过点A作于点F，利用等腰三角形的性质三线合一得出相等的线段，然后利用线段的和差即可证明． 【详解】 略 34．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）已知：如图，是等边三角形，平分，交于点．延长到点，使，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： 是等边三角形， ，， 平分， 为中点，， ， ，， ， 即， 解得， 又平分， ， ， ． 【分析】 结合等边三角形的性质、三线合一推得，再结合三角形外角的性质得，即可由等角对等边得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查的知识点是等边三角形的性质、三线合一、三角形外角的性质、等腰三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定． 35．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，则的中线的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的判定得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）两组邻边分别相等的四边形，我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，，相交于点． （1）求证：． （2）如果，，求筝形的面积． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．     （2）      【分析】 此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． （1）利用证，由得，利用等腰三角形的性质即可得． （2）由（1）知，利用三角形面积公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴筝形的面积为． 37．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）在中，，点是和平分线的交点，点在外且满足，，设． （1）证明：． （2）证明：． 【答案】（1） 证明：， 设，则， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ；     （2） 证明：如图，在上取， 由（1）得，， ， 在与中， ， ，， ，， ， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知设，则，利用角平分线定义，等边对等角，可表示出和，再利用三角形内角和分别表示出与，即可得出结论； （2）在上取，结合（1）中的结论，证明，可以推导出，从而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 38．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在中，点是边上一点，且，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握等边对等角的性质是解题的关键．先由得出，再由三角形外角性质求得，然后由得到，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：，， ， ， ， ． 39．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）已知：如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，． 求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1）证明：平分，，， ，      （2）证明：平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线      【分析】 （1）由角的平分线性质得，再由等边对等角即可证明； （2）由平分得，由，得，结合共用可证，可得，，由垂直平分线判定定理得出是的垂直平分线即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 40．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：                    ，                      ； （2）类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论． (1) 小问详解： 解：如图1所示，设与交于点O， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：，30； (2) 小问详解： 略 41．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在中，D为上一点，且，E为上方一点，且，． （1）求证：； （2）猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）， 理由如下： ∵， 由（1）知， ∴， ∴．      【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形等角对等边，三角形外角的性质 （1）根据，证明，再由，推出，结合，利用即可证明，即可得出结论； （2），根据三角形外角的性质得到，由（1）可得，即可说明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． （1）求证：； （2）若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 【答案】（1） 证明：， ， 是的外角的平分线， ， ， ， ， ， ；     （2） 证明：由（1）得：， ，， 平分交于点N， ， 为等腰直角三角形．      【分析】 此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质． （1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可； （2）利用平分线的定义和平行线的性质证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，且a，b满足，连接，． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算． （1）根据非负数的性质，得到关于，的方程组，求得，的值，即可得到点、点的坐标； （2）根据判定，再根据全等三角形对应边相等，即可得到，，，进而得到点的坐标为； （3）连接并延长交轴于点，连接，过点作的平行线交轴于点，证明是等腰直角三角形，得出，再根据，得出，最后判定，即可得到，进而得出点的坐标为． (1) 小问详解： 解： ，满足， ，， ，， ∴； (2) 小问详解： 解：如图所示，过作轴于，则，     ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； (3) 小问详解： 如图所示，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 44．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，点，满足． （1）直接写出的面积为__________； （2）如图1，点在线段上（不与重合）移动，，且，求的度数； （3）如图2，，点是轴上一动点（点在点的左边且不与点重合），在轴正半轴上取一点，连接，使，试探究线段之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）     （2）     （3）解：或，理由： ∵， ∴， ① 如图2，当在之间时，过点作，交轴于点，连接， ∵， ∴轴，轴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即； ② 如图3，当在左侧时，同理可证，， ∴，， ∴． 综上所述，线段之间的数量关系是或．      【分析】 （1）非负性求出的值，进而得到的长，利用三角形的面积公式进行求解即可； （2）延长至，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，求出，即可得出结果； （3）分当在之间和点在点左侧，两种情况，进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； (2) 小问详解： ． 理由如下：如图1，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等边对等角，非负性等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 45．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）以下定理中，有逆定理的是　　　　　　　　． ①两直线平行，同旁内角互补；②等腰三角形两底角相等； ③全等三角形的对应角相等；④角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了逆定理，解题的关键掌握各判定定理． 判断定理是否有逆定理，需检验其逆命题是否成立，逆命题是将原定理的条件和结论互换后得到的命题，若逆命题真，则原定理有逆定理． 【详解】 解：定理①的逆命题为“同旁内角互补，则两直线平行”，该命题成立，是平行线的判定定理之一，故有逆定理； 定理②的逆命题为“三角形两角相等，则三角形为等腰三角形”，该命题成立，是等腰三角形的判定定理，故有逆定理； 定理③的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，该命题不成立，因为对应角相等只能保证三角形相似，不一定全等，故无逆定理； 定理④的逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等’”，该命题成立，是角平分线的性质定理，故有逆定理； 故答案为：① ② ④． 46．（25-26学年八上·广东东莞·期中）【模型启迪】（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，D为边的中点，连接，E为边上一点，连接交于点F，且．求证：． 【答案】(1)，； (2) (3) 证明：延长至点，使，连接，     由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； (3)延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． (1) 小问详解： 解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； (2) ∵，，， ∴，， ∴， 解得． (3) 略 47．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 考点05 等边三角形 1．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（       ） A. 240° B. 120° C. 170° D. 360° 【答案】A 【分析】 本题考查等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，得到，根据，进行求解即可． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 故选A． 2．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，等边中，，点D是高上一点，过点D作，分别交于点E，F，连接，当时，（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了本题考查等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，由等边三角形的性质可得，根据，可得，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，根据，可得，求出，设，则，求出，再求出，得到，从而得到，求解即可． 【详解】 解：∵等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故选：B． 3．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　） A. 100海里 B. 80海里 C. 60海里 D. 50海里 【答案】A 【分析】 本题考查了方向角，平行线性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于推出为等边三角形． 根据方向角，平行线性质，推出为等边三角形，再结合等边三角形性质求解，即可解题． 【详解】 解：由题知，，（海里）， 如图，由两直线平行，内错角相等可知，， ， 为等边三角形， 海里， 故选：A． 4．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质．作，先由平行线的性质得到，再判定，由平行线的性质得到，最后根据平角的性质即可求解． 【详解】 解：∵等边， ∴， 作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】 解：如图在的下方作等边，作射线． ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q在射线上运动（点T是定点，是定值）， 当时，的值最小，而D为的中点， 最小值为， 故选：B． 6．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（       ） A. ①②③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②⑤ D. ②③④ 【答案】A 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，① 正确；由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，⑤ 正确；同理得：，即可得出② 正确；根据，，可知，可知④ 错误；利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知③ 正确． 【详解】 解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，① 正确； ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，⑤ 正确； 同理得：， ∴，② 正确； ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，故④ 错误； ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴③ 正确； 综上，正确的有① ② ③ ⑤ ； 故选：A． 7．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在等边中，，连接、交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，通过证明，则，运用外角性质得，再结合，得，即可作答． 【详解】 解：∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， 故① 正确的； ∴ 故③ 正确的； ∴， ∵，， ∴， 故② 正确的； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④ 错误的； 故选：C． 8．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质，平行线的性质等；① 过作交于，交于，由平行线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由等边三角形的判定方法，即可判断；② 由全等三角形的性质得，点D是的平分线上的一个定点得是定值，即可判断；③ 由垂线段最短得当时，的值最小，即可判断；④ 由平行线的性质即可判断；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质是解题的关键． 【详解】 解：① 过作交于，交于， ， 点D是的平分线上的一个定点， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 是等边三角形； 故此项正确； ② 由① 得， ， ， 点D是的平分线上的一个定点， 是定值， 四边形的面积是一个定值； 故此项正确； ③ 如图， 当时， 的值最小， 是等边三角形， 的周长为， 的周长最小； 故此项正确； ④ 如图， ， ， 故此项正确； 故选：D． 9．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 【分析】 本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【详解】 略 10．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； （2）在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求：      （2） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在等边中，点D是边的中点， 点E在线段上．若是等腰三角形， 则　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由等边三角形三角形的性质推出．由等边三角形的性质推出，再根据点D是边的中点，得到，进而得到，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，由，即可求解． 【详解】 解：是等边三角形， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 13．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是　　　　　　　　　　，当取得最小值时，的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】① 4    ② 度 【分析】 本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果，先求出的度数，即可求出取得最小值时，的度数． 【详解】 作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接， 则， ∴ ∴为的最小值． ∵，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 即的值最小为4 当取得最小值时， 由作图知 故答案为： 4，． 14．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． （1）求度数； （2）连接，求证：平分； （3）若，，，求的值． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）直线垂直平分线段，点A是直线上的动点，连接，，以为边作等边三角形，使其与点在直线的两侧，与直线相交于点（点与点A不重合），连接． （1）如图，当时， ①求证：； ②在点A运动的过程中，的度数是否会发生改变？如果会请说明理由，如果不会请求出的度数； （2）在点A运动的过程中，试探究线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①点A、E在线段的垂直平分线l上， ∴， ∴， ∴， 即； ② 不变，     （2）或      【分析】 （1）① 根据垂直平分线的性质得出，再由等边对等角及各角之间的数量关系求解即可；② 设与交于点M，根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，即可求解； （2）分两种情况进行分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质分析求解即可． (1) 小问详解： 证明：① 略 ② 在点A运动的过程中，的度数不变，理由如下： 如图，设与交于点M，    ∵是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； (2) 小问详解： 当时，在上截取，连接，    ∵， ∴， 由(1) 得直线，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示在上截取，连接，    ∵， ∴， 由(1) 得直线，，， ∴， ∴F是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可得：或． 【点睛】 题目主要考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键，同时注意进行分类讨论． 16．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，和都是等边三角形，点，分别在，边上，且． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴；     （2） 证明：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查了全等的性质和判定，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先利用等边三角形的性质证明，，再利用证明； （2）先利用全等三角形的性质得出，，再证明即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． （1）求证：； （2）求证：G为中点； （3）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即；     （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点；     （3）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意可得，，即可求证； （2），则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （3）设与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 18．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）【读一读】数形结合是初中阶段的一种重要数学思想方法，其应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数的精确性来阐明形的某些属性；第二种情形是“以形助数”，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．著名的数学家华罗庚曾强调：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见通过结合抽象的数学语言和直观的几何图形，可以简化复杂问题，使抽象问题具体化，从而找到更优的解题路径． 【做一做】 如图，中，点、在轴上，点在轴上，且，，． （1）尺规作图：分别作出点关于轴的对称点，点关于轴的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接、，并直接写出点的坐标； （2）在（）的条件下，作点关于直线（直线可左右平移，直线上各点的横坐标都为）的对称点，若的面积为，求的值； （3）点、分别为、上的动点，求的最小值． 【答案】（1） 解：点D和点E如图所示： 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 点D和点A关于x轴对称， ∴， ∴；     （2）     （3）的最小值为4      【分析】 本题主要考查了坐标与图形，含有的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据题意画图，再根据直角三角形的性质求解即可； （2）由题易得，再根据面积建立方程求解即可； （3）根据题意，易得都是等边三角形，所以，当且仅当点A、P、Q、B依次共线时取等． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵， ∴， 由题可知， ∴，即， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，连接， 则，，，， ∴都是等边三角形， ∵， ∴， ∴平分， ∴所在直线垂直平分， ∴， ∵点A和点D关于x轴对称， ∴， ∴，当且仅当点A、P、Q、B共线时取等， 故的最小值为4． 19．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，在边长为4的等边中，为边上的中线，点E为所在直线上的一动点，连接，将线段逆时针旋转得到，连接、，则在点E运动的过程中，的最小值是　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，找出点F的运动轨迹是解题的关键． 取的中点G，连接，，根据等边三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，推出，得到点F在直线上运动，作，的最小值即为． 【详解】 解：取的中点G，则，连接，， ∵将线段逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 作，的最小值即为， ∵，， ∴， 故答案为：1． 20．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． （1）用含的式子表示线段长度：________，________； （2）当为何值时，为直角三角形； （3）若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）或     （3）存在，，      【分析】 （1）根据题意列出代数式即可； （2）分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交于点D．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：，要使为直角三角形，分两种情况讨论： 情况1：当时，， ． ． 解得； 情况2：当时，， ． ， 解得． 因为点到点停止运动，所以的取值范围是， 所以，当或时，为直角三角形； (3) 小问详解： 解：假设存在点为线段中点的情况． 过点作交于点． 是等边三角形，， 是等边三角形． ， ． ， ，． 是中点， ． ， ，． ，， ， 解得． 当时，． ， ． 经检验，当时，在延长线上，与交于点，符合题意． 【点睛】 本题主要考查了动点问题，等边三角形的性质，列代数式，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 21．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图所示，中，，是的垂直平分线，P是上的一个动点，D是中点．如果面积为20，，则周长最小值为　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，理解题意是解题的关键． 连接是的垂直平分线，得出，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，两点之间线段最短，得出当A、P、D三点共线时，最小，且最小值为的长，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式求出结果即可． 【详解】 解：如图所示，连接， 是中点，， ， 是的垂直平分线， ， ， 为定值， 当最小时，的周长最小， 两点之间线段最短， 当、、三点共线时，最小，且最小值为的长， ，是中点， ， ， ， 解得：， 周长的最小值为． 故答案为：9． 22．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）已知：如图，在中，点D在边上，，，则　　　　　　　度． 【答案】60 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及等边三角形的判定与性质，由题意得，进而得是等边三角形，即可求得的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． 23．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点，，，在同一条直线上． （1）若，，求的长； （2）以为腰在下方作等腰，使，连接，，若．求证：是等边三角形． 【答案】（1）     （2） 证明：，， ． 是等边三角形， ，． 又（1）可知， ． ， ． 是等边三角形．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上性质是做题的关键． （1）根据已知条件易证出，可得，最后根据线段之间的关系即可求的长； （2）根据已知条件易证出，可得，最后根据角之间的关系得出即可证明． (1) 小问详解： 解：是等腰三角形，， ． 是等边三角形， ，， ． ． ． ，， ． 答：的长为． (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在中，，点D是的中点，作，边交的延长线于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证： （2）若，求的度数 【答案】（1） 解：∵，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一，得出，结合，，故，即可证明； （2）根据，，证明是等边三角形，又因为点D是的中点，得，，根据，得，则，由（1）得，故，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 由（1）得， ∴． 25．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）在平面直角坐标系中，，作点A关于y轴的对称点C，连接平分交于D． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点C作，垂足为E，猜想与的数量关系，并证明； （3）如图3，以为边在x轴上方作等边，点G是边垂直平分线上一动点，连接，将沿翻折，点G的对应点为，过作，垂足为M当最小时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2） 猜想， 证明：如图，延长交于点， ∵，平分， ∴,,, ∴, ∴, ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）由题意可得，进而得到，由角平分线的定义得到，再根据对称的性质得到，推出，利用三角形外角的性质即可解答； （2）如图，延长交于点，利用等腰三角形三线合一证明，再证明，即可得出结论； （3）过点G作轴，垂足为Q，连接，设的垂直平分线与交点为P，证明是等边三角形，，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵点A与点C关于y轴的对称， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点G作轴，垂足为Q，连接，设的垂直平分线与交点为P， ∵是等边三角形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分， ∵， ， ∴， 同理， ∴． 【点睛】 本题考查坐标，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 26．（25-26学年八上·广东东莞·期中）妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形． 【答案】问题1：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 问题2：点P的坐标为或或或或或． 问题3：证明： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】 本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 问题1：利用等量代换得，证明，可得，，再根据求解即可； 问题2：由题意可得，，分类讨论：当时，当时， 当时，根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，证得，可得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】 解：问题1：略 问题2：如图，∵，， ∴，， 当时， ① 过点作轴于点C， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ② 过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时， ③ 过点作轴于点E， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ④ 过点作轴于点F， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 当时， ⑤ 当时，如图， 过点作轴， 轴于点D， ∴ ∴, ∴； ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴，解得 ∴， ⑥ 当点与关于直线对称时，为等腰直角三角形，且点M为的中点，设， ∴， 即 ∴ 解得， ∴ 综上所述，点P的坐标为或或或或或． 问题3：略 27．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）（1）问题发现如图1，把一块三角板放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是　　，与线段相等的线段是　　； （2）拓展探究：如图2，在中，点在边上，并且，．求证：． （3）能力提升：如图3，在等边中，，分别为、边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）；； （2）证明：，， ， 在和中， ， ； （3） 【分析】 （1）根据直角三角形的性质及平角的定义推出，利用证明，根据全等三角形的性质得出； （2）根据三角形外角性质推出，利用即可证明； （3）过点作交于点，根据等边三角形的性质推出，，，根据平行线的性质及等腰三角形的判定推出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，根据线段的和差求解即可． 【详解】 （1）解：， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）解：如图3，过点作交于点， 、是等边三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $