广东湛江市吴川市广大实验学校 2025-2026学年度第一学期八年级数学期中考试试卷

**基本信息** 吴川市广大实验学校初二数学期中检测，以几何与代数知识为核心，通过QQ表情识别轴对称、荡秋千问题等情境设计，考查抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|轴对称、三角形性质、整式运算|结合QQ表情等生活情境，考查几何直观| |填空题|5/15|三角形稳定性、坐标对称、内角和|引入“特征值”概念，培养抽象能力| |解答题一|3/21|化简求值、全等证明|基础运算与推理，巩固核心知识| |解答题二|3/27|尺规作图、乘法公式几何意义、荡秋千问题|通过拼图验证公式，联系生活实际| |解答题三|2/27|动点面积、三角形探究|动态几何与开放探究，发展推理能力与创新意识|

吴川市广大实验学校2025-2026学年度第一学期 第二阶段质量检测初二年级数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是边上的高，，若 ，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　）   A． B． C． D． 6．已知的乘积项中不含项，则m的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，CD＝6，则点D到AB的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知，则的值是（   ） A． B．5 C． D．6 9．如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第个……按此作法继续下去，则第个三角形的底角度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的_____（选填“稳定性”或“不稳定性”）． 12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 13．一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角） 14．如图，的三条中线，，交于点．若的面积是18，则阴影部分的面积是________． 15．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作．例如：等腰直角三角形的顶角为，底角的度数都是，那么．若，则该等腰三角形的顶角为________． 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算： (1)． (2)． 17．如图，，，求证：． 18． 先化简，再求值：，其中． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知中，，，． (1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 20．在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用了如图①所示的三种不同的矩形纸片拼成了如图②所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示出图②中阴影部分的面积； 方法1：            方法2： (2)拓展应用： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 21．根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由． 任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 五、解答题三（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 23．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． (1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ； (2)如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 吴川市广大实验学校2025-2026学年度第一学期 第二阶段质量检测初二年级数学试卷及答案 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，先理解题意，得出，结合两直线平行，同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， 依题意，， ∴， 故选：A 3．如图，在中，，是边上的高，，若 ，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再求出，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握其法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方，解答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，与角平分线有关的计算，根据、为折痕，可知、分别为，的角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， 故选：B． 6．已知的乘积项中不含项，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为0． 【详解】解： ∵的乘积项中不含项， ∴， 解得， 故选：A． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，CD＝6，则点D到AB的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到AB的距离DE长等于CD的长解答即可． 【详解】解：过D作DE⊥AB， ∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°， ∴DE=CD， ∵CD=6， ∴DE=6， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单． 8．已知，则的值是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】利用非负性，得到，解出与的值，即可解得. 【详解】由 得： 则： 所以：,故答案选D. 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性，解答即可. 9．如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第个……按此作法继续下去，则第个三角形的底角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，得出，及的度数，从而找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数，从而可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴； 同理可得，， ∴第个三角形中以为顶点的底角度数是． ∴第个三角形中以为顶点的底角度数是， 故选：B． 10．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的_____（选填“稳定性”或“不稳定性”）． 【答案】稳定性 【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 【点睛】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性． 12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键． 根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 13．一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角） 【答案】直角 【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案． 【详解】180°÷(1+2+3)×3 =180°÷6×3 =30°×3 =90°， 答：这个三角形中最大的角是直角． 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出这个三角形的最大内角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°． 14．如图，的三条中线，，交于点．若的面积是18，则阴影部分的面积是________． 【答案】9 【分析】本题考查三角形中线性质，根据三角形的中线将三角形的面积平分求解即可． 【详解】解：∵的三条中线，，交于点， ∴，，， ∴，，， ∵的面积是18， ∴， 故答案为：9． 15．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作．例如：等腰直角三角形的顶角为，底角的度数都是，那么．若，则该等腰三角形的顶角为________． 【答案】/108度 【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，设未知数并根据三角形内角和定理列方程是解此题的关键．根据特征值为3，设底角为，则顶角为，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的“特征值”， ∴设底角为，则顶角为， ∴， 解得：， ∴顶角为， 故答案为：. 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式      ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，正确的计算是解题的关键． 17．如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再得出对应相等的两边即可． 【详解】证明：， ． ，，， ． ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减，化简求值，根据整式的加减运算顺序，先去括号，再合并同类项，最后代入的值求解即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知中，，，． (1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线分别交、于点、即可； （2）由作图可得CD=BD，继而可得AD=CD，再结合三角形周长的求解方法进行求解即可． 【详解】（1）如图所示，点D、H即为所求 （2）∵DH垂直平分BC， ∴DC=DB， ∴∠B=∠DCB， ∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°， ∴∠A=∠DCA， ∴DC= DA， ∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 20．在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用了如图①所示的三种不同的矩形纸片拼成了如图②所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示出图②中阴影部分的面积； 方法1：            方法2： (2)拓展应用： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①3；②2023 【分析】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． （1）方法一：阴影部分面积为两个小正方形面积之和，分别求出两个小正方形面积然后相加即可；方法二：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，分别求出面积然后进行计算即可； （2）①根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案； ②根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案. 【详解】（1）解：（1）方法1：由题意可知阴影部分面积为两个小正方形面积之和 即：， 方法2：由阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积 ； （2）①∵，，， ∴， 解得； ②由（1）得， 可得， ∵， ∴ ． 21．根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由． 任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】任务1：见解析；任务2： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 任务1：由垂直的定义得到，由余角的性质推出，即可证明． 任务2：由全等三角形的性质推出，求出，即可求出的长． 【详解】解：任务1：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 任务2：如图：∵， ∴， ∴， ∴． ∴小丽距离地面的高度为． 五、解答题三（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的周长、面积的计算，明确点P的位置是解题的关键． （1）先求出的周长为，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间路程速度即可求解； （2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （3）当P在上时，根据列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵的周长为， ∵把的周长分成相等的两部分， ∴， ∴当时，把的周长分成相等的两部分， 故答案为：； （2）当把的面积分成相等的两部分时， 点P为的中点， ∴点P运动的路程为， ∴， ∴当时，把的面积分成相等的两部分时； （3）当P在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为． 23．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． (1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ； (2)如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 【答案】(1)DE＝BD+CE/DE=CE+BD (2)成立，证明见详解 (3)等边三角形，理由见详解 【分析】（1）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE； （2）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE； （3）先由α=120°和AF平分∠BAC得到∠BAF=∠CAF=60°，然后结合AB=AF=AC得到△ABF和△ACF是等边三角形，然后得到FA=FC、∠FCA=∠FAB=60°，然后结合△BDA≌△EAC得到∠BAD=∠ACE、AD=CE，从而得到∠FAD=∠FCE，故可证△FAD≌△FCE，从而得到DF=EF、∠DFA=∠EFC，最后得到∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=60°，即可得证△DEF是等边三角形． 【详解】（1）DE=BD+CE，理由如下， ∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°， ∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°， ∴∠DBA=∠EAC， ∵AB=AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴AD=CE，BD=AE， ∴DE=AD+AE=BD+CE， 故答案为：DE=BD+CE． （2）DE=BD+CE仍然成立，理由如下， ∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α， ∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α， ∴∠DBA=∠EAC， ∵AB=AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴BD=AE，AD=CE， ∴DE=AD+AE=BD+CE； （3）△DEF是等边三角形， 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点 ∴∠BAF＝∠CAF＝60°， ∵AB=AF=AC ∴△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF＝∠FAE·10分 在△DBF和△EAF中， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等． 学科网（北京）股份有限公司 $