专题07 三角函数的图象与性质讲义-2027届高考数学一轮复习（新高考版）

专题07　三角函数的图象与性质 一、核心知识 1．同角关系：，；诱导公式口诀"奇变偶不变，符号看象限"。 2．和差公式：，。 3．二倍角：，；降幂：。 4．辅助角公式：，其中 。 5．：振幅 、周期 、频率 、相位 ；由最高点定 ，由相邻最高（低）点距离定 。 6．正弦型函数单调性（）：增区间由 解出；对称轴由 解出，对称中心由 解出。 7．图象变换两原则：左加右减、上加下减；平移只对"自变量 "本身—— 平移 个单位得 ，相位改变 。 8．值域问题先换元：令 求出 的范围，再结合正弦图象； 型配方或设 。 9． 取值范围三板斧：单调性限制（区间长度不超过半个周期）、零点与对称点计数（把条件翻译成关于 的不等式）、端点代入法。 10．常见结论：；正弦曲线在一个周期内有 条对称轴、 个对称中心；相邻对称轴与对称中心相距 。 二、题型精练 题型一　三角恒等变换求值 【方法与技巧】 见 、、 等特殊角：直接套和差公式拆开算； 见 、 优先想二倍角与降幂公式；见 想辅助角或平方； 已知 求其他：优先用 的和差与二倍角公式；齐次式 直接除以 。 【例题精讲】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选 D。 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】（无需求 ）。故选 B。 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在第三象限，。。故选 B。 4．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，约分得 。故选 C。 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选 D。 6．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子 ，分母 ，约分得 。故选 A。 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选 D。 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 4．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分子 ，分母 ，约分得 。故选 D。 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 7．　　　　． 【答案】 【详解】原式 。 8．已知 ，则 　　　　． 【答案】 【详解】。 题型二　由图象与条件求解析式（A、ω、φ） 【方法与技巧】 定 ：看最高最低点，（最大值最小值，（最大值最小值； 定 ：相邻最高点（或相邻对称轴）距离为 ，相邻最高与最低点距离为 ； 定 ：代入特殊点（最高点、零点），注意 的限制与增减方向（零点左增右减区分别）。 【例题精讲】 1．已知 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】； 得 ； 得 ， 故 。故选 A。 2．函数 （）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】相邻对称轴距离为 ，故 ，。故选 C。 3．函数 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（）。故选 A。 【变式训练】 1．已知 （，）的最大值为 ，最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 2．函数 （）的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．已知 （）的图象经过点 ，且在 附近单调递增，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 得 （此时 ， 处递增，符合）。故选 B。 4．函数 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．函数 （）的图象与直线 的相邻两个交点之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与 的交点即最高点，相邻最高点距离为一个周期 ，。故选 C。 6．已知 （，，）图象的一个最高点为 ，与其相邻的一个最低点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】；，，； 得 。故 。故选 A。 【巩固练习】 1．函数 （）的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，。故选 D。 2．函数 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．函数 （）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】相邻对称轴距离 ，，。故选 A。 4．函数 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．已知 （，）的图象经过点 ，且在 附近单调递增，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 得 （， 处递增，符合）。故选 C。 6．已知 （，，）图象的一个最高点为 ，与其相邻的一个最低点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】；，，； 得 。故选 A。 7．已知 （）的最小正周期为 ，则 　　　　． 【答案】 【详解】，。 8．已知 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 　　　　． 【答案】 【详解】。 题型三　单调性、对称性与周期 【方法与技巧】 周期 （正切型为 ），求单调区间与对称元素前先定 ； 正弦型对称轴：；对称中心：，即图象过 ； 判断点是否为对称轴/中心：代入后看函数值是否取到 （轴）或 （中心）。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选 D。 2．函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令 ，， 时 。故选 B。 3．函数 的单调递增区间是（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】令 ，解得 。故选 A。 【变式训练】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选 D。 2．函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令 ，， 时 。故选 B。 3．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正切型周期 。故选 C。 4．函数 的单调递减区间是（　　） A．（） B．（） C．（） D． 【答案】A 【详解】令 ，解得 。故选 A。 5．已知函数 （）的图象关于直线 对称，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 得 。故选 B。 6．函数 在 上的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令 ， 得 。故选 C。 【巩固练习】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选 D。 2．函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，， 得 。故选 A。 3．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正切型周期 。故选 C。 4．函数 的单调递增区间是（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令 ，得 。故选 D。 5．已知函数 （）的图象关于直线 对称，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 得 。故选 B。 6．函数 的单调递减区间是（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】令 ，得 。故选 A。 7．函数 的最小正周期是　　　　． 【答案】 【详解】。 8．函数 的图象的一个对称中心是（横坐标在 内）　　　　． 【答案】 【详解】令 ，， 得 ，在对称中心 。 题型四　图象变换与平移 【方法与技巧】 平移：左加右减作用于 本身； 平移 个单位得 ，注意不是给 直接加减； 伸缩：横坐标伸长 倍即 变为 ；纵坐标伸长 倍即 变为 ； 变换顺序影响结果：先平移再伸缩与先伸缩再平移，平移量不同——"先伸缩，平移量要除以 "。 【例题精讲】 1．将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】右移减： 换成 ，得 。故选 D。 2．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】左移加： 换成 。故选 B。 3．函数 的图象可由 的图象经过怎样的变换得到（　　） A．向右平移 个单位，再纵坐标伸长为原来的 倍 B．向左平移 个单位，再纵坐标伸长为原来的 倍 C．向左平移 个单位，再纵坐标伸长为原来的 倍 D．向左平移 个单位，再横坐标伸长为原来的 倍 【答案】C 【详解】 需左移 个单位（）；再把振幅由 变 。故选 C。 【变式训练】 1．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】右移减：得 。故选 A。 2．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】横坐标伸长 倍即周期变为 倍， 换成 ，得 。故选 B。 3．将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】横坐标缩短为 ， 换成 ，相位不变：。故选 C。 4．将函数 的图象向右平移 （）个单位长度后所得图象关于 轴对称，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平移后 ，为偶函数需 ，，最小正值为 。故选 D。 5．将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先伸缩：；再右移 ： 换成 。故选 A。 6．下列变换中，能将函数 的图象变为 的图象的是（　　） A．先向左平移 个单位，再横坐标缩短为原来的 B．先向左平移 个单位，再横坐标缩短为原来的 C．先横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位 D．先横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位 【答案】A 【详解】A：左移 得 ，再缩短得 ，正确。验证 B 得 ；C 得 ？注意 C：先缩短得 ，再左移 得 ，错误；D 得 ，错误。故选 A。 【巩固练习】 1．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】左移加：得 。故选 C。 2．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 换成 。故选 D。 3．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】横坐标伸长 倍： 换成 。故选 B。 4．函数 的图象可由 的图象经过怎样的平移得到（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【答案】A 【详解】，故左移 个单位。故选 A。 5．函数 的图象可由 的图象经过怎样的变换得到（　　） A．纵坐标伸长为原来的 倍，再横坐标缩短为原来的 B．横坐标缩短为原来的 ，再纵坐标伸长为原来的 倍 C．横坐标伸长为原来的 倍，再纵坐标缩短为原来的 D．横坐标伸长为原来的 倍，再纵坐标伸长为原来的 倍 【答案】D 【详解】横坐标伸长 倍：；再纵坐标伸长 倍：。故选 D。 6．将函数 的图象向右平移 （）个单位长度后所得图象关于 轴对称，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平移后 ，为偶函数需 ，即 ，最小正值 （此时 ）。故选 B。 7．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式是　　　　． 【答案】 【详解】 换成 。 8．将 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位，得到的解析式是　　　　． 【答案】 【详解】先得 ，左移 ： 换成 ，即 。 题型五　最值与值域 【方法与技巧】 先化成一个三角函数：，值域即 ； 限定区间的值域：令 求出 的实际范围，结合正弦图象定高低（注意端点与最高点是否取到）； 型：降幂化为 ，或设 转化为二次函数在闭区间上的最值。 【例题精讲】 1．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 。故选 C。 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，值域 。故选 A。 3．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ，， 时最大 ， 时最小 。故选 B。 【变式训练】 1．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 最大取 ，。故选 C。 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，值域 。故选 D。 3．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，， 时最小 ， 时最大 。故选 A。 4．函数 ， 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 在此区间最小 （左端点）、最大 ，故值域 。故选 C。 5．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。设 ：， 时最大 ， 时最小 。故选 D。 6．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，值域 。故选 B。 【巩固练习】 1．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，值域 。故选 D。 3．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ：，最小 （），最大 （）。故选 B。 4．函数 ， 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，最小 （），最大 。故选 C。 5．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，设 ：，最小 （），最大 （）。故选 A。 6．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，值域 。故选 B。 7．函数 的最大值是　　　　． 【答案】 【详解】，最大值 。 8．函数 的最小值是　　　　． 【答案】 【详解】，最小值 。 题型六　ω 的取值范围 【方法与技巧】 单调性定 ：区间整体落进某个单调区带内，列 在端点处 与 、 的不等式； 零点、最值点、对称轴计数：把"第几个"翻译成 （或 ）中 的取值个数； 端点是否取到要盯紧：区间开闭、最高点是否在给定区间内，决定不等式是 还是 。 【例题精讲】 1．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 时 ，需整体落在 内：，得 。故选 C。 2．若函数 （）在 上恰有 个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正零点 （），。恰 个即 满足且 不满足： 且 。故选 D。 3．若函数 （）的图象关于直线 对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 时最小值 （）。验证： 为最大值，确为对称轴。故选 A。 【变式训练】 1．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】需 ，即 。故选 C。 2．若函数 （）在 上恰有 个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】零点 （），。恰 个即 满足且 不满足：。故选 D。 3．若函数 （）的最小正周期 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 4．若函数 （）在区间 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时 ，需落在某个增区带内： 得 （ 且下端 恒成立）。故选 A。 5．若函数 （）在区间 上的最大值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】最大值为 需在区间内取到峰值： 在 上含 ，即 ，。故选 D。 6．若函数 （）的图象在区间 上恰有一个最高点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】峰值处 ，。第一个峰值 得 ；第二个峰值 得 。综上 。故选 B。 【巩固练习】 1．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，需 ，即 。故选 C。 2．若函数 （）在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的减区间含 需 ，即 。故选 A。 3．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，需 ，。故选 B。 4．若函数 （）在 上恰有 个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正零点 。恰 个： 满足且 不满足： 且 ，又 时第 个零点 不在开区间内，故 ？注意 中 需 ， 时 取不到，故 。综合选项 为其中合理开区间，精确为 。故选 C。 5．若函数 （）在 上恰有 个对称中心，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中心 ，，：；：；：（须不成立）。恰 个：。故选 D。 6．若函数 （）的图象在 上恰有一个最高点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】峰值 ，。第一个峰值 ；第二个峰值 。故 。故选 A。 7．若 （）的最小正周期大于 ，则 的取值范围是　　　　． 【答案】 【详解】，又 ，故 。 8．若 （）在区间 上单调递减，则 的取值范围是　　　　． 【答案】 【详解】需 ，即 ，故 。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由二倍角公式：原式 。故选 C。 2．函数 （）的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，。故选 D。 3．函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令 ，， 得 。故选 B。 4．将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再保持纵坐标不变、横坐标缩短为原来的 ，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先左移：；再横坐标缩短为 ： 换 ，得 。故选 A。 5．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，最大值 。故选 D。 6．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，需 ，得 。故选 B。 7．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 8．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 【多项选择题】 9．关于函数 ，下列结论正确的是（　　） A．最小正周期为 B． 是其图象的一条对称轴 C． 在 上单调递增 D． 的最大值为 【答案】ABC 【详解】A：，正确；B： 为最大值，是对称轴，正确；C： 时 ，整体在增区带内，正确；D：最大值为 ，错误。故选 ABC。 10．已知函数 （，，）的最大值为 ，最小值为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B．若最小正周期为 ，则 C． 的值域为 D． 可以取 【答案】ABC 【详解】A：，正确；B：，正确；C：最大 、最小 ，值域 ，正确；D：限制 ，不能取 ，错误。故选 ABC。 11．已知函数 （）在 上的最大值为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B．当 时， 的最小正周期为 C．当 时， 在 上单调递增 D．当 时， 的图象关于点 对称 【答案】AB 【详解】A：需峰值落在区间内：，，正确；B：，正确；C： 时 ，跨越峰值 ，不单调，错误；D：，错误。故选 AB。 【填空题】 12．已知 ，则 　　　　． 【答案】 【详解】。 13．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是　　　　． 【答案】 【详解】右移减： 换成 。 14．函数 在 上的最大值是　　　　． 【答案】 【详解】，，最大值 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07　三角函数的图象与性质 一、核心知识 1．同角关系：，；诱导公式口诀"奇变偶不变，符号看象限"。 2．和差公式：，。 3．二倍角：，；降幂：。 4．辅助角公式：，其中 。 5．：振幅 、周期 、频率 、相位 ；由最高点定 ，由相邻最高（低）点距离定 。 6．正弦型函数单调性（）：增区间由 解出；对称轴由 解出，对称中心由 解出。 7．图象变换两原则：左加右减、上加下减；平移只对"自变量 "本身—— 平移 个单位得 ，相位改变 。 8．值域问题先换元：令 求出 的范围，再结合正弦图象； 型配方或设 。 9． 取值范围三板斧：单调性限制（区间长度不超过半个周期）、零点与对称点计数（把条件翻译成关于 的不等式）、端点代入法。 10．常见结论：；正弦曲线在一个周期内有 条对称轴、 个对称中心；相邻对称轴与对称中心相距 。 二、题型精练 题型一　三角恒等变换求值 【方法与技巧】 见 、、 等特殊角：直接套和差公式拆开算； 见 、 优先想二倍角与降幂公式；见 想辅助角或平方； 已知 求其他：优先用 的和差与二倍角公式；齐次式 直接除以 。 【例题精讲】 1．（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 5．（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．　　　　． 8．已知 ，则 　　　　． 题型二　由图象与条件求解析式（A、ω、φ） 【方法与技巧】 定 ：看最高最低点，（最大值最小值，（最大值最小值； 定 ：相邻最高点（或相邻对称轴）距离为 ，相邻最高与最低点距离为 ； 定 ：代入特殊点（最高点、零点），注意 的限制与增减方向（零点左增右减区分别）。 【例题精讲】 1．已知 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．函数 （）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．函数 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 （，）的最大值为 ，最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．函数 （）的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 （）的图象经过点 ，且在 附近单调递增，则 （　　） A． B． C． D． 4．函数 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．函数 （）的图象与直线 的相邻两个交点之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 （，，）图象的一个最高点为 ，与其相邻的一个最低点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 （）的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．函数 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．函数 （）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．函数 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 （，）的图象经过点 ，且在 附近单调递增，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 （，，）图象的一个最高点为 ，与其相邻的一个最低点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 （）的最小正周期为 ，则 　　　　． 8．已知 （）的最大值为 ，最小值为 ，则 　　　　． 题型三　单调性、对称性与周期 【方法与技巧】 周期 （正切型为 ），求单调区间与对称元素前先定 ； 正弦型对称轴：；对称中心：，即图象过 ； 判断点是否为对称轴/中心：代入后看函数值是否取到 （轴）或 （中心）。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的单调递增区间是（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式训练】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 4．函数 的单调递减区间是（　　） A．（） B．（） C．（） D． 5．已知函数 （）的图象关于直线 对称，则 （　　） A． B． C． D． 6．函数 在 上的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 4．函数 的单调递增区间是（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．已知函数 （）的图象关于直线 对称，则 （　　） A． B． C． D． 6．函数 的单调递减区间是（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 7．函数 的最小正周期是　　　　． 8．函数 的图象的一个对称中心是（横坐标在 内）　　　　． 题型四　图象变换与平移 【方法与技巧】 平移：左加右减作用于 本身； 平移 个单位得 ，注意不是给 直接加减； 伸缩：横坐标伸长 倍即 变为 ；纵坐标伸长 倍即 变为 ； 变换顺序影响结果：先平移再伸缩与先伸缩再平移，平移量不同——"先伸缩，平移量要除以 "。 【例题精讲】 1．将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 2．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的图象可由 的图象经过怎样的变换得到（　　） A．向右平移 个单位，再纵坐标伸长为原来的 倍 B．向左平移 个单位，再纵坐标伸长为原来的 倍 C．向左平移 个单位，再纵坐标伸长为原来的 倍 D．向左平移 个单位，再横坐标伸长为原来的 倍 【变式训练】 1．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 2．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 3．将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 4．将函数 的图象向右平移 （）个单位长度后所得图象关于 轴对称，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 5．将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 6．下列变换中，能将函数 的图象变为 的图象的是（　　） A．先向左平移 个单位，再横坐标缩短为原来的 B．先向左平移 个单位，再横坐标缩短为原来的 C．先横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位 D．先横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位 【巩固练习】 1．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 2．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 3．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 4．函数 的图象可由 的图象经过怎样的平移得到（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 5．函数 的图象可由 的图象经过怎样的变换得到（　　） A．纵坐标伸长为原来的 倍，再横坐标缩短为原来的 B．横坐标缩短为原来的 ，再纵坐标伸长为原来的 倍 C．横坐标伸长为原来的 倍，再纵坐标缩短为原来的 D．横坐标伸长为原来的 倍，再纵坐标伸长为原来的 倍 6．将函数 的图象向右平移 （）个单位长度后所得图象关于 轴对称，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 7．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式是　　　　． 8．将 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位，得到的解析式是　　　　． 题型五　最值与值域 【方法与技巧】 先化成一个三角函数：，值域即 ； 限定区间的值域：令 求出 的实际范围，结合正弦图象定高低（注意端点与最高点是否取到）； 型：降幂化为 ，或设 转化为二次函数在闭区间上的最值。 【例题精讲】 1．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 4．函数 ， 的值域是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 6．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 4．函数 ， 的值域是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 6．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 7．函数 的最大值是　　　　． 8．函数 的最小值是　　　　． 题型六　ω 的取值范围 【方法与技巧】 单调性定 ：区间整体落进某个单调区带内，列 在端点处 与 、 的不等式； 零点、最值点、对称轴计数：把"第几个"翻译成 （或 ）中 的取值个数； 端点是否取到要盯紧：区间开闭、最高点是否在给定区间内，决定不等式是 还是 。 【例题精讲】 1．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若函数 （）在 上恰有 个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若函数 （）的图象关于直线 对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若函数 （）在 上恰有 个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若函数 （）的最小正周期 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若函数 （）在区间 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若函数 （）在区间 上的最大值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若函数 （）的图象在区间 上恰有一个最高点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若函数 （）在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若函数 （）在 上恰有 个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若函数 （）在 上恰有 个对称中心，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若函数 （）的图象在 上恰有一个最高点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若 （）的最小正周期大于 ，则 的取值范围是　　　　． 8．若 （）在区间 上单调递减，则 的取值范围是　　　　． 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．（　　） A． B． C． D． 2．函数 （）的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 4．将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再保持纵坐标不变、横坐标缩短为原来的 ，得到的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 6．若函数 （）在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于函数 ，下列结论正确的是（　　） A．最小正周期为 B． 是其图象的一条对称轴 C． 在 上单调递增 D． 的最大值为 10．已知函数 （，，）的最大值为 ，最小值为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B．若最小正周期为 ，则 C． 的值域为 D． 可以取 11．已知函数 （）在 上的最大值为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B．当 时， 的最小正周期为 C．当 时， 在 上单调递增 D．当 时， 的图象关于点 对称 【填空题】 12．已知 ，则 　　　　． 13．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数解析式是　　　　． 14．函数 在 上的最大值是　　　　． （答案与逐题详解见《解析版》） 学科网（北京）股份有限公司 $