3.2基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

3.2 基本不等式 1 课前预习 PART ONE 回忆与展望 初中研究过的一个非常重要的“等式”是什么？它刻画了什么关系？ 赵爽弦图 问题一：如果 上述不等式仍成立吗？ 探究一：由上图你能得到什么结论? 成立 代换法 探究二：如果,分别代替 作差法 问题二： 能否利用不等式的性质证明基本不等式呢？请用做差法尝试进行证明. 2 课中学习 PART TWO 如图，AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a, CB=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD, 则CD= , 半径为 . 探究 你能发现其中的不等关系吗？如何证明？ D A B C E a b D A B C E a b O C与O不重合时，CD<OD C与O重合时，CD＝OD a＝b a≠b （当且仅当 a＝b时，等号成立） 基本不等式： 几何平均数 算术平均数 两个正数的 不大于 代数意义： 符号语言： 算术平均数 几何平均数 1.基本不等式 前提条件 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 归纳总结 典例精析 一正 二定 三相等 关于“一正” 只有“两个正数”时才能尝试使用 典例精析 典例精析 一正 二定 三相等 ①拆(裂项拆项) ②并(分组并项) ③配(配式、配系数,凑出定值) 凑出“和”或“积”为定值,常见的方法技巧如下: 关于“二定” ①拆(裂项拆项) ②并(分组并项) ③配(配式、配系数,凑出定值) 凑出“和”或“积”为定值,常见的方法技巧如下: 关于“二定” 典例精析 一正 二定 三相等 验证“取等”条件,必不可缺 关于“三相等” 典例精析 一正 二定 三相等 典例精析 典例精析 利用基本不等式求最值 归纳总结 归纳总结 重要不等式 基本不等式 等号成立的条件 当且仅当a=b时，等号成立 a，b为正实数时 两个正数 积为定值时，和有最小值 和为定值时，积有最大值 当且仅当a＝b时取“＝” 3 课后巩固 PART THREE 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解 解 例1 已知，求的最小值. , , 当且仅当, 即,时,等号成立 因此有最小值为2. , , 当且仅当, 即,时,等号成立 因此有最大值为-2. 变式1： 已知 ，则有最______值为______. 变式2： 当 时，求的最小值. 因为 ,故有 , 所以 , 当且仅当 ,即 时等号成立. 因此所求的最小值为5. 变式3：当 时，求 的最小值. 解: (2) 变式4：(1)分析 的最值. (2) 分析 的最值. 解: (1) 例2 已知，求的最大值. , , 当且仅当, 即时,等号成立 因此有最大值为. 变式1　已知x>0，y>0，且满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，求x＋2y的最小值． [解]　∵x>0，y>0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1， ∴x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝3))时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，x＋2y取最小值18. 变式2 已知 >0，b>0， ＋2b＝1，求 ＋eq \f(1,b)的最小值． 解　解法一：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋2b)＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq \r(2)， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1，,b＝1－\f(\r(2),2)))时，等号成立． ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2). 利用基本不等式求最值要把握下列三个条件： ①“一正”——各项为正数； ②“二定”——“和”或“积”为定值； ③“三相等”——等号一定能取到． 这三个条件缺一不可． 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件， 解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 “拆项、添项、配凑、变形”等方法 创建应用基本不等式的条件． 1．若a，b为正实数，且a＋b＝2，则ab的最大值为(　　) A．eq \r(3) B．1 C．2eq \r(3) D．2 解析　因为a，b为正实数，且a＋b＝2≥2eq \r(ab)，当且仅当a＝b＝1时成立，所以ab≤1.故选B. 2．若eq \f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　) A．1＋eq \r(2) B．2 C．3 D．4 解析　eq \f(x2－x＋1,x－1)＝eq \f(xx－1＋1,x－1)＝x＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立． 解析　因为x，y为正实数，所以(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(3,y)))＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(3x,y)))≥4＋2eq \r(3).当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(3x,y)，即x＝2(eq \r(3)－1)，y＝2(3－eq \r(3))时取等号．又x＋y＝4，所以eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)≥1＋eq \f(\r(3),2)，故eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为1＋eq \f(\r(3),2). 答案　1＋eq \f(\r(3),2) 3．若x，y为正实数，且x＋y＝4，则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为______________. 解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0. ∴eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－b＋b－c,2)＝eq \f(a－c,2). 答案　eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－c,2) 4．已知a>b>c，则eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是_____________. 5．已知x，y都是正数． (1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值； (2)若x＋2y＝3，求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值． 解　(1)∵3x＋2y＝12， ∴xy＝eq \f(1,6)·3x·2y≤eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋2y,2)))2＝6， 当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立． ∴xy取得最大值为6. (2)∵x＋2y＝3，∴1＝eq \f(x,3)＋eq \f(2y,3)， ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(2y,3)))＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)＋eq \f(x,3y)＋eq \f(2y,3x)≥1＋2eq \r(\f(x,3y)·\f(2y,3x))＝1＋eq \f(2\r(2),3)， 当且仅当eq \f(x,3y)＝eq \f(2y,3x)，即x＝3eq \r(2)－3，y＝3－eq \f(3\r(2),2)时取等号， ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为1＋eq \f(2\r(2),3). $