3.2.1 基本不等式的证明-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本不等式（√ab ≤ (a+b)/2，a,b≥0），通过金店天平称重情境导入，衔接不等式基础，构建“概念辨析—证明推理—最值应用”的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过“想一想”“通性通法”强化数学思维，如配凑法求最值训练运算能力，分层作业设计落实数学语言表达。学生能提升逻辑推理与应用意识，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

3.2　基本不等式 ≤ （a，b≥0） 3.2.1　基本不等式的证明 第三章　不等式 1 课标 要求 1.掌握基本不等式 ≤ （a，b≥0，当且仅当a＝b时等号 成立）（逻辑推理）. 2.能用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小（数学运 算）. 3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 （数学建模、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　某金店有一台天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准 确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一 次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数 作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑. 【问题】　你认为顾客的质疑有道理吗？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把 　 　称为a，b的算术平均数， 　 　称为 a，b的几何平均数. 　 　 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　基本不等式与重要不等式 1. 基本不等式 如果a，b是正数，那么 （当且仅当 时，等号成 立）. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. ≤　 a＝b　 不小于　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 “当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 提示：一方面是当a＝b时取等号，即a＝b⇒ ＝ ；另一方面是仅 当a＝b时取等号，即 ＝ ⇒a＝b. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 重要不等式 当a，b∈R时，ab≤ （当且仅当 时，等号成立）； ab≤ （当且仅当 时，等号成立）. 提醒：基本不等式的常见变形：①a＋b≥2 （其中a，b≥0，当且仅 当a＝b时等号成立）；②ab≤ ≤ （其中a，b∈R，当且 仅当a＝b时等号成立）；③a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（其中a，b， c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立）. 　 a＝b　 a＝b　 数学·必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 2. 基本不等式成立的条件“a≥0，b≥0”能省略吗？请举例说明. 提示：不能，如 ≥ 是不成立的. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B. a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C. a＋b≥2 成立的条件是a≥0，b≥0 D. a＋b≥2 成立的条件是ab＞0 √ √ 解析： 　根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·苏州质检）已知x＞0，则x＋ ＋1的最小值为（　　） A. ＋1 B. 2 ＋1 C. 4 D. 5 √ 解析： ∵x＞0， ＞0，∴x＋ ＋1≥2 ＋1＝5，当且仅当x＝2 时，等号成立，即x＋ ＋1的最小值为5.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 若x＞0，y＞0，x＋y＝40，则xy的最大值为 ⁠. 解析：∵x＞0，y＞0，由基本不等式得， ≤ ＝ ＝20， ∴xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立，故xy的最大值为400. 400　 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为 ⁠. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤ ＝ ＝ ，当且仅当x＝1－x，即x＝ 时等号成立，即当x＝ 时，x（1 －x）取得最大值 . ​ 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　对基本不等式的理解 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　） A. a2＋b2＞2ab B. a＋b≥2 C. ＋ ＞ D. ＋ ≥2 √ 解析： 　对于A，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、 C，条件ab＞0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B、C错误；对 于D，因为ab＞0，所以 ＞0， ＞0，所以 ＋ ≥2 ＝2，当且仅 当a＝b时，等号成立.故D正确.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 数学·必修第一册（SJ） 目录 下列说法正确的是（　　） A. 当x＞0时，x2＋ ≥2 B. 当x≥2时，x＋ 的最小值为2 C. 当a≥0，b≥0时， ≥ 成立 D. 当ab＞0时， ＋ ≥ 恒成立 √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 对于选项A，符合基本不等式的条件，故A正确；对于选项B， 忽视了验证等号成立的条件，即x＝ ，则x＝1，不满足x≥2，故B错 误；对于C，当a≥0，b≥0时， ≤ ，当且仅当a＝b时取等号， 故C错误；对于D，当a＝－1，b＝－1时，ab＝1＞0但 ＋ ≥ 不成 立，故D错误.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　利用基本不等式证明不等式 （链接教科书第57页例1）设a，b为正数，证明下列不等式成立： （1）a＋ ≥2； 证明： 因为a为正数，所以 也为正数. 由基本不等式，得a＋ ≥2 ＝2， 当且仅当a＝ ，即a＝1时，等号成立.所以原不等式成立. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2） ＋ ≥ ＋ . 证明： 因为a＞0，b＞0， 所以 ＋ ≥2 ＝2 ， ① ＋ ≥2 ＝2 . ② ①②两式相加，得 ＋ ＋ ＋ ≥2 ＋2 ， 所以 ＋ ≥ ＋ ，当且仅当a＝b时等号成立.所以原不等式成立. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 运用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从问题的已知条件出发，借助不等式的性质和基本不等式或 已证的重要不等式，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征 是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②不 等式的同向可加性是不等式证明中的一种常用方法；③对不能直接使用基 本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 数学·必修第一册（SJ） 目录 　设a，b，c为正数，证明下列不等式成立： （1）a＋b＋c＋ ＋ ＋ ≥6； 证明： 因为a，b，c为正数，所以 ， ， 也为正数. 由基本不等式，得a＋ ≥2 ＝2，b＋ ≥2 ＝2，c＋ ≥2 ＝2， 所以a＋b＋c＋ ＋ ＋ ≥6. 当且仅当a＝ ，b＝ ，c＝ ，即a＝b＝c＝1时，等号成立. 所以原不等式成立. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）（a＋b）（b＋c）（a＋c）≥8abc. 证明： 因为a，b，c为正数，所以由基本不等式，得a＋ b≥2 ，b＋c≥2 ，a＋c≥2 ， 所以（a＋b）（b＋c）（a＋c）≥2 ·2 ·2 ＝8abc， 当且仅当a＝b，b＝c，a＝c，即a＝b＝c时，等号成立. 所以原不等式成立. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　利用基本不等式求最值 （链接教科书第58页例2）（1）已知x＞0，求x＋ 的最小值； 解： 因为x＞0，所以 ＞0，由基本不等式，得x＋ ≥2 ＝8， 当且仅当x＝ ，即x＝4时，等号成立. 所以x＋ 的最小值为8. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）设y＝x＋ ，x∈（3，＋∞），求y的最小值. 解： 因为x＞3，所以x－3＞0，由基本不等式， 得x＋ ＝（x－3）＋ ＋3≥2 ＋3＝2 ＋3，当且 仅当x－3＝ ，即x＝ ＋3时，等号成立.因此，当x＝ ＋3时，y 的最小值为2 ＋3. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 1. （变条件、变设问）若x＜0，则x＋ 的最大值为 ⁠. 解析：∵x＜0，∴－x＞0，∴（－x）＋（－ ） ≥2 ＝8，∴x＋ ＝－（－x＋ ）≤－8，当且仅 当－x＝－ ，即x＝－4时，等号成立.故x＋ 的最大值为－8. －8　 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （变条件）设y＝2x＋ ，x∈（3，＋∞），求y的最小值. 解：因为x＞3，所以x－3＞0，2x－6＞0， 所以y＝2x＋ ＝2x＋ ＝2x－6＋ ＋6≥2 ＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝ ，即x＝4时，等号成立. 因此，当x＝4时，y的最小值为10. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 1. 利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等” （1）一正：各项必须为正； （2）二定：各项之和或各项之积为定值； （3）三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 2. 配凑法求最值的策略 将已知数学表达式变形，配凑出符合基本不等式条件的形式（和或积为定 值）.解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、 变形”等方法创设应用基本不等式的条件. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. （－6≤a≤3）的最大值为（　　） A. 9 B. C. 3 D. √ 解析： 　当a＝－6或a＝3时， ＝0；当－6＜a＜3 时， ≤ ＝ ，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝ － 时取等号. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 设y＝ ，x＞1，则y的最小值为 ⁠. 解析：因为x＞1，所以x－1＞0，所以y＝ ＝ ＝x＋1＋ ＝x －1＋ ＋2≥2＋2＝4.当且仅当 ＝x－1，即x＝2时，等号成立，所 以当x＝2时，y的最小值为4. 4 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 下列选项中不等式一定成立的是（　　） A. a＋ ≥2 B. a2＋b2≥4ab C. ≥ D. a2＋ ≥2 √ 解析： 　若a＜0，则a＋ ≥2 不成立，故A错误；当a＝1，b＝1 时，a2＋b2＜4ab，故B错误；当a＝4，b＝16时， ＜ ，故C错 误；由基本不等式可知，D正确.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 下列各式中，最小值为4的是（　　） A. x＋ B. 2t＋ C. 4t＋ （t＞0） D. t＋ √ 解析： 　A中，当x＝－1时，x＋ ＝－5＜4，故A错误；B中，当t＝－ 1时，2t＋ ＝－3＜4，故B错误；C中，4t＋ ≥2 ＝4，当且仅当t ＝ 时，等号成立，故C正确；D中，当t＝－1时，t＋ ＝－2＜4，故D错 误.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·扬州中学期中）设x＞0，则3－3x－ 的最大值是 ⁠ ⁠. 解析：因为x＞0，所以3x＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当3x＝ ，即x ＝ 时，等号成立，所以－（3x＋ ）≤－2 ，所以3－3x－ ≤3－ 2 ，故最大值为3－2 . 3－ 2 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 已知a，b＞0，证明：（a＋ ）（b＋ ）≥4. 证明：因为a，b＞0，所以ab＞0， ＞0，所以（a＋ ）（b＋ ）＝2 ＋ab＋ ≥2＋2 ＝4， 当且仅当ab＝ ，即ab＝1时，等号成立. 所以原不等式成立. 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 36 1. 下列结论正确的是（　　） A. 当x＞0且x≠1时，x＋ ≥2 B. 当x＞0时， ＋ ≥2 C. 当x≠0时，x＋ 的最小值为2 D. 当x＞0时，x＋ 的最小值为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　选项A不满足“取等号时的条件”，故A错误；选项C不满足 “各项必须为正”，故C错误；选项D不满足“积为定值”，故D错误.故 选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·沭阳期中）设a＞0，则a＋ 的最小值为（　　） A. 2 B. 2 C. 4 D. 3 √ 解析： 　因为a＞0，所以a＋ ＝a＋ ＋1≥2 ＋1＝3，当且仅 当a＝ ，即a＝1时取等号.故a＋ 的最小值为3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 当x＞0时，y＝ 的最小值为（　　） A. B. 1 C. D. √ 解析： 当x＞0时， ＝ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ ，当且仅当x ＝2时等号成立，所以当x＞0时，y＝ 的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 设p＝ ，q＝ ，r＝ （b＞a＞0），则下列关系式正确 的是（　　） A. r＞q＞p B. q＞p＞r C. q＞r＞p D. r＝q＞p √ 解析： 　∵b＞a＞0，∴a2＋b2＞2ab，∴2（a2＋b2）＞（a＋b）2， ∴ ＞ ，∴ ＞ .又∵ ＞ ，∴ ＞ ＞ ，即r＞q＞p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（　　） A. ≥ B. ＋ ≥2 C. ｜ ＋ ｜≥2 D. 2（a2＋b2）≥（a＋b）2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，当a＜0，b＜0时， ≥ 不成立，故A错误； 对于B，由式子有意义，故a＞0，故 ＋ ≥2，当且仅当a＝1时等号成 立，故B正确；对于C，｜ ＋ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜≥2，当且仅当a＝±b 时，等号成立，故C正确；对于D，∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2 －2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D正确.故选B、 C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知x＞0，则下列式子的最小值为2的有（　　） A. ＋ B. 2x（2－x） C. 2x＋ D. x－1＋ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　因为x＞0，所以 ＋ ≥2，当且仅当x＝2时取等号，故A正 确；2x（2－x）＝－2（x－1）2＋2≤2，即最大值为2，故B不正确；因 为x＞0，所以2x＋ ≥2，当且仅当x＝ 时取等号，故C正确；因为x＞ 0，所以x－1＋ ＝x＋1＋ －2≥2 －2＝2，当且仅 当x＝1时取等号，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 若a＞0，且a＋b＝0，则a－ ＋1的最小值为 ⁠. 解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－ ＝ ＞0，所以a－ ＋1＝a ＋ ＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 已知x＜0，则x＋ 的最大值为 ⁠. 解析：因为x＜0，则x＋ ＝－ ≤－2 ＝－3，当且仅当－x ＝ ，即x＝－ 时，等号成立，所以x＋ （x＜0）的最大值为－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 已知x＞ ，则y＝x－1＋ 的最小值为 　 　. 解析：由x＞ 得x－ ＞0，则函数y＝x－1＋ ＝x－ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝2＋ ＝ ，当且仅当 即x＝ 时，等号成立，此时y取得最小值 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. （1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞ ＋ ＋ ； 证明： 因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b≥2 ，b＋ c≥2 ，c＋a≥2 . 所以2（a＋b＋c）≥2（ ＋ ＋ ），即a＋b＋c≥ ＋ ＋ ，当且仅当a＝b＝c时等号成立.由于a，b，c为不全相等的正实 数，故等号不成立.所以a＋b＋c＞ ＋ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）已知a＞0，求证： ≤ ≤ . 证明： 因为a＞0，所以 ≥ （当且仅当a＝1时，等号成立）， 所以 ≤ ，所以 ≤ ＝ ，所以 ≤ ≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世 西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都 能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所 示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，O），点D 在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则由 该图形中DE，DC，DO的大小关系可以完成的“无字证明”是（　　） A. ≤ （a＞0，b＞0） B. ＜ （a＞0，b＞0，a≠b） C. ≤ （a＞0，b＞0） D. ＜ ＜ （a＞0，b＞0，a≠b） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝ ，由三角形 相似，知DC2＝DE·DO＝AC·BC，易得DC＝ ＝ ，DE ＝ ＝ ＝ .∵DE＜DC＜DO，∴ ＜ ＜ （a＞0， b＞0，a≠b）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕（2026·苏州月考）下列各式中，最小值是6的有（　　） A. x＋ B. 2x2＋ C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，由于x可能为负，所以x＋ 的最小值不是6，故A错 误；对于B，因为x2＋1＞0，所以2x2＋ ＝2（x2＋1）＋ － 2≥2 －2＝6，当且仅当x2＝1时等号成立，故B正确； 对于C， ＝ ＋ ＋4，当x，y异号时其最小值应小于4，故C错 误；对于D，因为 ＞0，所以 ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝6，当且仅当x＝8时等号成立，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 已知p＝a＋ （a＞2），q＝－b2－2b＋3（b∈R），则p，q的 大小关系为 （用不等号表示）. 解析：因为a＞2，所以p＝a＋ ＝（a－2）＋ ＋ 2≥2 ＋2＝4，当且仅当a－2＝ ，即a＝3时，等号成 立，所以p≥4.又q＝－b2－2b＋3＝－（b＋1）2＋4，所以q≤4，所以 p≥q. p≥q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. （1）已知a＞0，b＞0，求 的最小值； 解： 因为a，b都是正数，所以 ＝5＋ ＋ ≥5＋ 2 ＝9，当且仅当b＝2a时，等号成立.所以 的最 小值是9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解： （a－c）（ ＋ ）＝（a－b＋b－c）（ ＋ ）＝1＋1 ＋ ＋ . ∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0， ∴2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4， 当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，取等号， ∴（a－c）（ ＋ ）的最小值为4. （2）已知a＞b＞c，求（a－c）（ ＋ ）的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $